, < o =, según d) 5 972mn 3 mn 4m corresponda. a) 24 > 10 7 Trabajo colaborativo b) 5 < 7 3 12. Trabajen en parejas y resuelvan. c) 3π 3π > 29 29 Sobre la obtención de 2 en un triángulo rectángulo, calculen en forma consecutiva d) 2,718718 = e 2 e 2, 2 3 3 3, 4, 5, 6 y 7 . e) 1,121,12 > ϕ ϕ 5 5 23 f) 7 > 11 Actividad indagatoria 5 π 13. Investiga en qué consiste la razón áurea. g) > 2 3 Expón en clase utilizando gráficos ilustrativos. h) − 23 < − 3 96 Puedes investigar en la siguiente página web: lynk.ec/9m03 15 17 i) − < − 3 4 23 22 23 21/1/25 12:16 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 23 21/1/25 12:16 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 23]]> átomos de elementos db c y eb c =+ =⋅ radiactivos. Su energía es tan grande que pueden causar En el trinomio x + x 5 − 24, que representa el área de la placa, tenemos: 2 daño al núcleo de 2 = x 8)( − las células. Esta x + x 5 − 24 ( + x 3) , puesto que 8 – 3 = 5 y (+8)(–3) = –24 propiedad se usa para esterilizar alimentos e Ejemplo 1 instrumental médico. 2 Factorizar x + 6 xy 7 y 2 − Solución Este trinomio contiene como término independiente la letra y. Por lo tanto, los términos por encontrar deberán contener dicha letra. 2 2 − x 7 )( − x + 6 xy 7 y = ( + y xy) Porque: yy7 −= y 6 y(+ y 7)(− y)=− y 7 2 M.5.1.1. Aplicar las propiedades algebraicas de los números reales en la resolución de productos notables y en la factorización de expresiones algebraicas. 156 21/1/25 12:23 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 156 21/1/25 12:23 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 156]]> o <, según corresponda. 1214 < 100 − 94 Shutterstock, 428655181. Las imágenes muestran una parte de las partituras de dos obras musicales. Cada imagen −7 > 5 < − −10 8 2 3 4 2 4 −3 ÷2 34 + 4 42 2 × musical de referencia. ¿Cuál es la fórmula de compás de cada una de las partituras? Al Partitura corresponde a compases diferentes; los dos compases usan la negra como figura comparar las dos fórmulas de compás, ¿qué conclusión podemos emitir? Para el primero y segundo compás, la fracción de compás tendrá como denomina- dor el 4, pues ese es el número de veces que la negra está contenida en la redonda. En el primer compás, el tiempo 1 de la negra se repite 4 veces, por tanto, la fracción ¿Sabías que? sería 4 . En el segundo compás se observa que ese tiempo se repite 6 veces. Los compases son 4 6 unidades de medición Entonces, la fracción es . 4 de tiempo. Son Al comparar las dos fórmulas de compás, concluimos que la primera es menor a la segmentos rítmicos de 4 6 una obra musical que segunda. Matemáticamente es: < están conformados por 4 4 una cantidad de figuras Una desigualdad es un enunciado en el que dos cantidades o expresiones no musicales. son iguales: a > b (a y b ∈ ℝ) Para separar los compases se usa La desigualdad que contiene una incógnita se llama inecuación: 2x – 1 < 7 una línea vertical La solución de una inecuación se expresa en forma de intervalo. que atraviesa el pentagrama. Intervalo Inecuación Representación gráfica (a, b) a < x < b a b + a b + a b + a b + [a, b] a ≤ x ≤ b a a a a a b b b b b + + + + + a a b b + + a a b b + + a b + a a b b + + [a, b) a ≤ x < b a a a a b b b b + + + + Interculturalidad a a a b b b + + + a a b b + + a a b b + + Nuestros ancestros (a, b] a < x ≤ b a a a a a b b b b b + + + + + indígenas utilizaban a a a a b b + + + + varias herramientas (a, ∞) x > a a a a a a b b + + + + para realizar cálculos a a a a + + + + + matemáticos. Una de a a a a + + + + ellas es la taptana, una [a, ∞) x ≥ a a a − −a + + + b b tabla similar a un ábaco. − a − a − + + b b b Indaga en internet (–∞, b) x < b − − − − − − b b b b b b acerca de cómo se usa − − − + b b b − − + b la taptana. (–∞, b] x ≤ b − − − − + b − − + b − + b − + − + (–∞, ∞) –∞ < x < ∞ − − + + M.4.1.11. Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita en ℤ, de manera analítica, en la solución de ejercicios numéricos y problemas. M.4.1.39. Representar un intervalo en ℝ de manera algebraica y gráfica, y reconocer el intervalo como la solución de una inecuación de primer grado con una incógnita en ℝ. 192 21/1/25 12:24 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 192 21/1/25 12:24 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 192]]> 0,entonces podemos trasponer términos en la << ,entonces Si a bc a a cb a cb acbc y > . • Inecuaciones de la − <−c. +< +c y c c forma 62 −> x 4+≥ − 10 se denominan Ejemplo 1 inecuaciones Resolver la inecuación aplicando propiedades. Expresar la respuesta en forma de continuas y se intervalo. pueden resolver simultáneamente. 5 − x 2 − ≥− 4 x 3 − 6 4 > x 2 + 4 4 ≥− 10 4 + − − − Solución − − − 6 4 > x 2 + 4 4 ≥− 10 4 − 5 + − x 2 − ≥− 4 x 3 − 10 > x 2 ≥− 14 +++ 5 54 − x 2 −++ x ≥− 4 x 3 54 x 10 2 14 x 2 ≥ 8 − > x ≥− 2 2 2 x 2 8 ≥ −> x ≥− 7 5 2 2 7; Solución [ [ − −5 x 4 Solución 4; ≥ Ejemplo 2 x 3 1 3 Resolver la inecuación −− < x + por trasposición de términos. 2 2 4 Solución x 3 1 3 −− 3< x + Pasamos —x con signo negativo y –3 con signo positivo. 2 2 4 2 x 3 1 −− x < + 3 Reducimos términos semejantes. Competencia digital 2 2 4 Imprime la página 13 4 del siguiente − x 2 < Multiplicamos por –2. 4 enlace y refuerza tu conocimiento 1 2x < 1 13 resolviendo inecuaciones. 2 2 4 lynk.ec/9m22 13 13 x < Solución ; 8 8 193 21/1/25 12:24 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 193 21/1/25 12:24 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 193]]> –10 < –6. 5 9 3 a) Se le suma 5 a ambos lados. −< −1 A) – B) –1 C) – 5 B 5 2 2 b) Se le resta 8 a ambos lados. −18 < −14 x 8 16 d) – > – 11 33 c) Se le resta –2 a ambos lados. −< −4 4 1 1 8 A) B) C) –– A 3 3 3 d) Se le multiplica por 4. −40 < −24 4. Expresa cada desigualdad como un intervalo y haz su gráfica. > e) Se le multiplica por –3. 30 18 ∞ a) x ≥ 4 [4, [ 4 + 4 + f) Se le multiplica por –1. 10 >6 4 4 + + + b) x ≤− 2 ]−∞, −2] - - 4 4 –2 + –2 - 4 –2 + - 4 + g) Se le divide por 2. −< − 3 –8 - –2 –2 5 c) x >− 8 ]8, [ –8 - - –2 − ∞ 2. Escribe tres números racionales que sean solu- –8 - –2 –8 –2 ción de las siguientes desigualdades. - - –8 6 –8 d) x < 6 ] −∞ , 6[ - - –8 6 6 6 –8 16 -2 - 5 6 a) x ≤ Respuesta abierta - 6 5 -2 - 5 5 6 -2 x 2 e) −≤ ≤ 5 [2,5] -2 -2 - 5 5 6 − − 35 -10 -2 6 5 b) x > Respuesta abierta -10 6 6 5 -10 -2 7 -10 -2 6 5 f) 6 ≥ x ≥ −10 [10, 6] -4 -10 8 6 6 − -10 47 -4 8 8 6 -4 -10 c) x < Respuesta abierta -4 -10 8 6 6 -12 -4 -6 8 + x 4 g) −≤ < 8 [ − 4,8[ -12 -4 -6 8 + + -6 8 -12 -4 23 -12 -4 -6 8 + d) x < – Respuesta abierta 20 -12 50 -6 + + 4 20 -12 50 -6 + + + x 6 h) −> ≥− 12 [12, 6[ 20 -12 50 -6 + + + − − 20 -12 50 -6 1 20 50 + e) x > – Respuesta abierta 20 50 + 3 20 50 + + 20 50 5. Determina la desigualdad que representa cada 3 f) –x > – Respuesta abierta intervalo. 4 3. Selecciona el número que no satisface a las si- a) [2 ,5]− −≤ x ≤ 5 2 guientes inecuaciones. 3 b) − ]4,1] − 4 a) x ≤2 −< x ≤− 1 4 1 1 A) 0 B) C) C −< x < 10 2 4 2 c) ]2 ,5[− 3 b) x ≤2 4 d) − − [80, 20[ −80 ≤ <−20 x 25 A) 0 B) C) 9,5 B 6 194 195 21/1/25 12:24 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 194 21/1/25 12:24 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 194]]> 0,3 x −1 x e) x −1 − 3 ≤ x + 9 x ≤ 75 − 3 ≤ + 9 6. Resuelve las inecuaciones y expresa la solución 2 3 3 2 en forma de intervalo. 2 1 4 7 1 7 2 4 + x > − a) x 27+≥ [5, ∞ [ f) 5 + x > 5 x x − 3 x > 41 + 3 7 3 3 5 5 ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción 5 b) x 5−≥ − 3 [2, ∞ [ g) 3 − 7x − 9 ≥− 8x + 11 x x + 5 x ≤ –125 3 5 9 11 + + 5 ≥− 8x − 7x − + 21 4 3 2 4 4 2 3 4 c) x 10 5− ≤ ] −∞, 15] 9. Resuelve las inecuaciones continuas. x − 3 −1 x x −1 x − 3 ≤−1 − 6 − 2 ≤−1 6 2 3 1 7 − d) 2 x 10 [5, ∞ [ + a) 4 x +≥ x 5 > 10 − x ⎛ ⎜ ⎝ 7 2 ; + ∞ ⎟ ⎞ ⎠ ≥ 51x −13 51x −13 + 2x ≤ 15x +1 +1 ≤ 15x + 2x − x 23 4 , e) x <− 1 ] −∞ −1[ b) 5 > 4 7 >−1 −11 < x < 3 1 4 3 c) 2 >− x > 0 < 4 < x 8 + < f) − 4 x 6 − ] 2 , ∞ [ 2 d) ( 2 x –5 ) ≥ x ( 3 –2 ) –4 x g) 2 x −≤ −+14 ] −∞, 7] 7 x ( x ) ≤+ 1 1 , x –1 2 2 10 h) 6 x 10 ≤ −− x ] −∞, 1 ] e) – –6 4 10 − 2 x 3 1 x 5 100 f) 4– +≤ + – , 3 i) 2 x 7+− x 4 x 16 ] −∞ −3[ 10 4 8 4 17 + > , x 7. Desarrolla los productos. Luego, soluciona la g) –9 ≤+ < 1 –84, –29 5 inecuación y representa la solución en forma 6 6 gráfica. x 6)( + ≥ x 1)( − a) ( + x 3) ( + x 1) x ≤ – 14 Trabajo colaborativo 9 10. Trabajen en parejas y resuelvan. Ejemplifiquen las propiedades 2, 3 y 4 de las b) 2 ( x 1)( + < x 5) + x 2 x > 2 desigualdades en la resolución de inecuaciones 2 + x 4) ( + continuas de tres ejemplos. Expongan en clase. 8. Resuelve las inecuaciones continuas. ⎛ x ⎞ ⎛ ⎞ 1 Actividad indagatoria a) 5– ⎜ –1 ⎟ ⎠ > 3 ⎜ ⎝ x – ⎟ ⎠ 6 x < –21 ⎝ 4 11. Investiga tres enunciados que pueden ser representados por una desigualdad. Comparte 3 x ⎛ 3 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ ⎞ 1 14 b) 4 – ⎜ ⎝ x – 10 ⎟ ⎠ + 2 ⎜ ⎝ 2 –1 ⎟ ≥ 5 ⎜ ⎝ x – ⎟ ⎠ 5 x ≤ – 85 tu investigación con la clase. ⎠ 194 195 21/1/25 12:25 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 195 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 195 21/1/25 12:25]]> 24 La edad mínima que debe tener el hermano mayor es 13. 205 21/1/25 12:25 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 205 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 205 21/1/25 12:25]]> fx() o estrictamente 1 2 1 2 1 2 1 2 decreciente. y y ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción f (x ) 2 f (x ) 2 Función decreciente Aumenta Función creciente Disminuye f (x ) f (x ) 1 1 x x Estrictamente creciente 0 X 1 Aumenta X 2 0 X 1 Aumenta X 2 Función constante y Una función es constante en un intervalo si a medida Estrictamente decreciente que aumenta el valor de x, f (x ) = f (x ) 2 Función constante 1 Constante se mantiene el mismo valor en y. x 1 < x 2 → fx() = fx() x 1 2 0 X 1 Aumenta X 2 Ejemplo 1 4 Graficar la función fx() = x 2 + x 2 y analizar su monotonía. − Construimos su tabla de valores x –5 –4 –2 –1 0 1 y 3 –2 –6 –5 –2 3 Ubicamos los pares ordenados en el plano cartesiano y obtenemos la gráfica. Competencia socioemocional D 3 B Observamos en la función que en 2 el intervalo ; 2 mientras x Si algún tema de clase no te quedó claro, 1 aumenta, y disminuye; por lo tanto, pregunta a tu profesor; es decreciente. En tanto que en no te quedes con la -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 el intervalo 2; x aumenta y duda. -1 también lo hace y; en consecuencia, Escribe tu criterio G A -2 es creciente en ese intervalo. a partir de tus -3 experiencias y Como la función es creciente y -4 decreciente no es monótona. preséntalo en clase. C F -5 E -6 225 21/1/25 12:26 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 225 21/1/25 12:26 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 225]]> 0 y decreciente si m < 0. desde las unidades El dominio de la función lineal son todos los ℝ y su rango también son todos hasta las decenas de los ℝ. millares. M.4.1.50. Definir y reconocer una función lineal de manera algebraica y gráfica (con o sin el empleo de la tecnología). 228 21/1/25 12:26 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 228 21/1/25 12:26 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 228]]> } b A) R { (1,2);(3,6)} 5⎦ 5 ⎣ = 2. R = { a b(, )/ a = −1 } B) R { (5,9)} 7. ¿Cuál es la función cuyo dominio es Domf :  {} 4 ? b − = 5 b 3. R = { a b(, )/ a = − } 4 C) R { (3,2);(5,2)} a) c) -4 -2 -2 0 2 4 4 = 3 -4 -6 ⎧ b ⎫ 2 -8 4. R = (a,b)/a = ⎬ D) R { (1,2)} 1 -10 -12 ⎨ = ⎩ 2⎭ -14 -16 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 a) 1D; 2C; 3B; 4A -2 b) 2D; 2C; 4A; 3B b) d) 8 6 c) 2C; 2D; 4A; 3B 4 6 4 2 d) 2C; 2D; 3B; 4A d 2 -6 -8 4 -4 -2 0 2 -4 -2 0 2 -2 a 252 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 252 21/1/25 12:27 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 252 21/1/25 12:27]]> el intervalo del dominio y en el la forma 1. En el recuadro entrada escribe la de la función, así por ejemplo: palabra “Si”. Al hacerlo, se despliega Si (–5 < x < 8, 4/x ) un cuadro de condiciones. Escoge la primera: Archivo Editorial, (2020). 255 21/1/25 12:27 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 255 Matematica 9 EGB Plus+ MinEduc.indb 255 21/1/25 12:27]]>