, ≥). M.4.1.31. Calcular adiciones y multiplicaciones con números reales y con términos algebraicos aplicando propiedades en R (propiedad distributiva de la suma con respecto al producto). 12 21/1/25 12:45 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 12 21/1/25 12:45 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 12]]> n” si y solo si “n < m”, o sea m – n ∈ ℝ. básicas, las manejan con mucha prolijidad y Ejemplo: excatitud. 12 > 6, si y solo si, al realizar 12 – 6, el resultado en este caso 6 pertenece a los números reales. 13 21/1/25 12:45 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 13 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 13 21/1/25 12:45]]> 0, se define a mn = a m Las leyes con exponentes enteros también se cumplen para los exponentes racionales. Shutterstock, 55340812. Introducción y extracción de factores de un radical ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción Introducción Extracción Para introducir factores en un radical, se Para extraer factores de un radical, se En los gases, la ecuación elevan los factores al índice de la raíz. descompone el radicando en factores. de la velocidad del Luego, se extraen aquellos factores que Ejemplos sonido es: tienen raíz exacta. 4 5 4 x a) ax x) 4 = x 4 ⋅ = x . Ejemplo donde γ es el b) 3 = 2 3 ⋅ = 24. 5 a = 5 a × a × a 4 coeficiente de dilatación 3 3 3 b)2 3 14 5 5 adiabática, 4 5 5 = 5 a × 5 a × 5 a = a 2 5 a 4 R la constante universal Operaciones con radicales de los gases, T la temperatura en kelvin, y Adición de radicales M la masa molar del gas. Responde: ¿qué Ejemplos propiedad de los radicales Como son radicales semejantes, se puede aplicar en esta a) Sumar: ecuación? aplicamos la propiedad distributiva: 3 + 3 3 3 54 −74 − 48 4 3 4(57 = 3 −− +18)5 4 Agrupamos los términos de acuerdo b) Sumar: con los radicales semejantes y Recuerda que... − + 72 − 43 62 53 sumamos: • Para sumar o restar 2(76) − 3(4 5) = 2 + 3 − − radicales, es necesario Por extracción de factores, que sean radicales c) Sumar: semejantes, es decir, transformamos a radicales semejantes: que tengan la misma 2 2 a ax a xa) 3 + a a − ax −− 9( − + 49( − a) ax −− a ( xa)7 x ( − a) cantidad subradical y 5 = ax a el mismo índice. − • Para multiplicar Archivo Editorial varios radicales que tienen el mismo Multiplicación de radicales índice, aplicamos la propiedad de Ejemplo los radicales. Si los 3 Multiplicar: 2 ⋅ 4 ⋅ 2 6 a radicales tienen diferente índice, los Transformamos a índice común, obteniendo el m.c.m. de los índices: m.c.m. (3, 4, 6) = 12 reducimos a un índice común. 12 4 3 2 12 7 2 ⋅ 22 ⋅a = 2 a 25 21/1/25 12:46 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 25 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 25 21/1/25 12:46]]> 0, c > 0, ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción = ⋅ . − 3 7 7 − 3 7 + 3 multiplica el numerador número y el denominador irracional por la conjugada del Utiliza el producto notable (a + b)(a – b) = a² – b² para obtener el resultado denominador. del denominador. Así: 2 2 7 + 3 ( 2 7 + ) 3 b + c , la conjugada = ⋅ = 2 2 es: b − c . 7 − 3 7 − 7 − 3 7 + 3 ( ) ( ) 3 número Y la conjugada de irracional b − c es: b + c. ( 2 7 + 3 ) ( 2 7 + ) 3 7 + 3 = = = . − 73 4 2 número racional 1 1 x − y x − y x − y DFA b) = ⋅ = 2 2 = . − x + y x + y x − y ( ) ( ) y xy Las personas con x − dificultades en su motricidad necesitan el ( − 7 ( − 7 ( − 7 10 10 2 − 7 10 2 ) 10 2 ) 10 2 ) tiempo suficiente para c) = ⋅ = = = . realizar su trabajo y sus 2 − 2 + 7 2 + 7 2 − 7 () − ( ) 7 2 47 −3 desplazamientos. 2 + + + 6 6 3 ( 21 ) 2 6 3 ( 2 1 ) 2 6 3 ( 2 1 ) 2 d) = ⋅ = = + 3 21 3 21 3 ( 21 ) 2 3 ( 21 ) 3 21 + + + + Competencia digital 6 3 ( 2 1 ) 2 2-1 ( 2 -1 ) ( 21 ) 2 2 Para conocer 6 + 3 + ) + = ⋅ = = 6 ( 2 -1 ) ( 21 . más acerca de la 3 21 2-1 2-1 racionalización de + binomios, ingresa a: x 3 3 1 ++ 1 − x 3 ( 1 ++ 1 − x ) lynk.ec/10m03 x e) . = ⋅ = 2 x x 1 +− 1- x 1 +− 1- x 1 ++ 1 − x ( 1 + x ) ( 1 − x ) 2 x − x x 3 3 ( 1 ++ 1 − x ) ( 1 ++ 1 − x ) = = . x 1 +− + x1 x 2 29 21/1/25 12:46 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 29 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 29 21/1/25 12:46]]>, <, ≥ y ≤. que se presta para toda clase de cálculos matemáticos. Ecuaciones de primer grado Recuerda que... En un salón de clases, la cuarta parte son niñas y los niños exceden a la mitad en tres. ¿Cuántos estudiantes tiene el salón de clases? La propiedad del Traducimos del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático: la variable x representa inverso multiplicativo consiste en multiplicar el número de estudiantes en el salón de clases. x x cada miembro de la La cuarta parte: —. La mitad excedida en 3: — + 3. ecuación por el mismo 4 2 número, pero invertido. x Por ejemplo, en 2x = 4, Entonces, la ecuación buscada es: + x +3 = x. si aplicamos el inverso 4 2 multiplicativo queda: Definición de ecuación lineal. Es una expresión de la forma ax + b = c, donde a, b 1 2x = 4 1 y c son números reales y el grado de la incógnita x es 1. 2 2 Resolverla significa encontrar el valor de la variable que satisface la igualdad. x = 2 A continuación, resolveremos la ecuación planteada anteriormente. Primero, eliminamos paréntesis. x x + 6 Luego, resolvemos la suma de fracciones y eliminamos el de- ¿Sabías que? + = x 4 2 nominador aplicando la propiedad del inverso multiplicativo. El símbolo ∞ significa infinito, es decir, no x + 2x +12 Después transponemos los términos agrupando las variables tiene fin. 4 = x en la izquierda, y las constantes (números) en la derecha. +∞: Significa más 3x +12 = 4x infinito x 3– 4x = –12 Finalmente, despejamos la variable x y multiplicamos los dos –∞: Significa menos infinito –x = –12 miembros de la igualdad por (–1) x = 12 Propiedades de las ecuaciones Competencia digital Propiedad Enunciado Ingresa al siguiente Si a = b, entonces a ± c = b ± c. Una igualdad no cambia si se le suma o se le resta enlace web: un mismo número a cada miembro. lynk.ec/10m05 Una igualdad se mantiene si se multiplica o divide imprime la página 90 Si a = b y c ≠ 0, entonces ac = bc. por un mismo número distinto de cero en cada para resolver ecuaciones. miembro. Archivo Editorial M.4.1.38. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en ℝ para resolver problemas sencillos. 56 M.4.1.39. Representar un intervalo en ℝ de manera algebraica y gráfica, y reconocer el intervalo como la solución de una inecuación de primer grado con una incógnita en ℝ. 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 56 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 56 21/1/25 12:47]]> b a − b es positiva a ≥ b a > b o a = b Una inecuación es a < b a − b es negativa a ≤ b a < b o a = b una desigualdad de dos cantidades, tal Archivo Editorial que la una es mayor que la otra. Los Propiedades de las desigualdades símbolos <, >, ≥ y ≤ se denominan signos de la ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción Propiedad Expresión algebraica Ejemplos desigualdad. Una desigualdad no cambia 8 < 10; 8 + 4 <10 + 4; de sentido si se suma o se Si a < b, entonces, 12 < 14 resta un mismo número a a ± c < b ± c. 1 > –7; 1 – 5 > –7 – 5; cada miembro. –4 > –12 ¿Sabías que? Una desigualdad no cambia 3 < 7; 3(2) < 7(2); La ley de tricotomía de sentido si se multiplican Si a < b y c es un número 6 < 14 dice que si a y b son o se dividen sus dos positivo, entonces, ac< bc. dos números reales miembros por un mismo c > 0 4 > –2, 4(5) > –2(5); cualesquiera, se número positivo. 20 > –10 cumple solo una de las Una desigualdad cambia –5 < 2, –5(–3) > 2(–3), siguientes relaciones: de sentido cuando se Si a < b y c es un número 15 > –6 multiplican o se dividen negativo, entonces, ac > bc. a > b, a = b; a < b sus dos miembros por un c < 0 8 > 3, 8(–10) < 3(–10), número negativo. –80 < –30 Archivo Editorial Tipos de intervalos Intervalo Interpretación Notación Conjunto Representación gráfica Abierto No incluye los (a, b) o ]a, b[ {x ∈ ℝ / a < x < b} extremos a y b. –∞ a b ∞ Cerrado Sí incluye los [a, b] {x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b} extremos a y b. –∞ a b ∞ Semiabierto por No incluye el (a, b] o ]a, b] {x ∈ ℝ / a < x ≤ b} la izquierda extremo izquierdo –∞ a b ∞ a. Semiabierto por No incluye el [a, b) o [a, b[ {x ∈ ℝ / a ≤ x < b} la derecha extremo derecho b. –∞ a b ∞ Abierto a No incluye el (a, +∞) o ]a, +∞[ {x ∈ ℝ / x > a} izquierda y tiende extremo izquierdo –∞ a b ∞ a más infinito y tiende a +∞. Tiende a menos No incluye el (–∞, a) o ]–∞, a[ {x ∈ ℝ / x < a} infinito y abierto a extremo derecho y –∞ a b ∞ la derecha tiende a –∞. Cerrado a Sí incluye el [a, +∞) o [a, +∞[ {x ∈ ℝ / x ≥ a} izquierde y tiende extremo izquierdo –∞ a b ∞ a más infinito. y tiende a +∞. Tiende a menos Sí incluye el (–∞, a] o ]–∞, a] {x ∈ ℝ / x ≤ a} infinito y cerrado extremo derecho y –∞ a b ∞ a derecha. tiende a –∞. Archivo Editorial 57 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 57 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 57 21/1/25 12:47]]> 3 b) Una ecuación es una igualdad. V 1 2 b) 7x + > 8 – x 88 c) El símbolo ≥ significa que los extremos no se 3 4 x > 87 incluyen en la solución. F c) –3x ≤ 3 – x ≤ 5x + 2 [1/6; +∞] d) Si a > b y b > c, entonces a < c. F 1 5 2 3. Escribe la igualdad o desigualdad para cada d) 3 < –x – < x + 4 –29/10 ≥ x < –7/6 6 3 enunciado. 1 e) 5(x + 3) ≥ (x + 2)(5) > –3x – 1 x > – 12/11 a) Veinticuatro es mayor o igual que un número. 2 24 ≥ x b) La cuarta parte de un número aumentado en f) 6 – 2x ≥ 0 x ≤ 3; (–∞, 3] cinco es igual a 30. x += 530 4 g) 3x + 5 ≥ 2x – 19 x ≥ –24; [–24, ∞) c) Un número es mayor o igual a –2 y menor que 7. 7 > x ≥ – 2 h) 3x + 5 < x + 15 x < 5; (– ∞, 5) d) Seis veces un número disminuido en 3 es igual a 56. 6x – 3 = 56 i) 3(x + 2) ≥ 2(x – 1) x ≥ –8; [–8, ∞) 4. Resuelve las siguientes ecuaciones. 1 1 ⎛ ⎤ 1 + j) 13 x ≤ x ≤ 6 ⎜ ⎝ ∞ – ;... – ,– ⎥ ⎦ 6 a) x – 5( 2x – 3) = 3(x – 1) + 4 7 2 6 k) 3(1 – 2x) < 2x – 5 x > 1; (1, ∞) ( 2 x 5) b) + 4 = 5x 2 x = 8 ⎛ 1 3 13 l) 25 – x > 3(x + 8) x < ;... –, 4 ⎞ 1 ⎟ ⎠ ∞ ⎜ 4 ⎝ x +2 4 c) 3 − = 5(3 x −2) x = 67 m) 5x – 2 ≤ –x + 6 (∞; – 3 5 76 6. Expresa el intervalo como una desigualdad en la d) (x3 – 4 ) + 10 = 13– x x = 15 variable x. 4 e) 2x – 15 = 5 x = 10 a) (–5, 8) –5 < x < 8 f) 2x – 15 = 3x + 3 x = – 18 b) (–∞, 3] x ≤ 3 g) 7y + 8y – 9 = 4 + 2 Y = 1 c) [4, ∞) x ≥ 4 1 3 h) x += x = 2 d) [–7, 12] –7 ≤ x ≤ 12 5 5 5 e) [0, 8) 0 ≤ x < 8 2 4 i) x += x = 2 f) (1, 6] 1 < x ≤ 6 3 5 15 58 59 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 58 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 58 21/1/25 12:47]]> – x – 1 ≥ 4 (–∞; –5/6) o x ≤ –5/6 2 1 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 2 e) 3x + 0,6 < 1,2x – 1 < x + 3,4 x < –8/9 h) [ –2, ) ( –3,5 (] = –3,+∞ ) ∞∪ f) 2 + x + 3 < x + 2 ≤ 5(x – 4) x ≥ 8 4 2 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 g) 2x – 5 > 3x + 2 x < –7 8. Determina qué números enteros se encuentran en cada intervalo. Actividad indagatoria 13. Indaga y escribe en tu cuaderno. a) (– 2, 2 ) {-1, 0, 1} c) (–2π, π) {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} ¿Cuándo una ecuación es incompatible? ) 7 b) – , 1 ) {-3, -2, -1, 0} d) [0,3; 5[ {1, 2, 3, 4} 2 2 58 59 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 59 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 59]]> 0 Para resolver la inecuación lineal, procedemos de la siguiente manera: ax + by + c ≤ 0, • Cambiamos el signo de la desigualdad < “menor que” por el signo =. ax + by + c ≥ 0 2x + y = 6 o y = –2x + 6. La solución de una • Graficamos la recta y = –2x + 6. Para ello, inecuación lineal con buscamos las intersecciones con los ejes y dos variables es el 8 Semiplano superior conjunto de pares coordenados. Como la desigualdad tiene Semiplano 6 ordenados el signo <, representamos la recta con inferior 4 Frontera (x, y) que satisfacen la línea punteada para indicar que los puntos P(–1, 3) igualdad, por lo tanto, que forman la recta no pertenecen al 2x + y < 6 2 P(4, 2) corresponde a la región conjunto solución. –6 –4 –2 0 2 4 6 x sombreada bajo o Si x = 0, y = 6, (0, 6) –2 Archivo Editorial sobre la recta. Si y = 0, x = 3, (3, 0) • Tomamos un punto sobre o bajo la recta y reemplazamos en la inecuación para determinar si satisface la inecuación. Competencia digital P(4, 2) 2x + y < 6 P(–1, 3) 2x + y < 6 Ingresa al siguiente 2(4) + 2 < 6 2(–1) + 3 < 6 enlace web: lynk.ec/10m06 10 < 6 1 < 6 Imprime la página y 10 no es menor que 6. El punto P(–1, 3) satisface la inecuación. resuelve los ejercicios, Pintamos la región donde se encuentra verifica los procesos. El punto (4, 2) no satisface la el punto. inecuación. La gráfica de una inecuación lineal con dos variables, son semiplanos con una línea recta como frontera. Ejemplos: 2x – 3y ≥ 12 2x – 3y < 6 y ≥ 0 x > 0 y y y y 6 6 6 6 4 4 4 4 2x – 3y < 6 2 2 y ≥ 0 2 2 x > 0 x x x x –2 0 2 4 6 –2 0 2 4 6 –4 –2 0 2 4 –2 0 2 4 6 –2 –2 –2 –2 2x – 3y ≥ 12 –4 –4 –4 –4 La frontera de la región es la La frontera de la región es la La frontera de la región es la La frontera de la región es la recta continua 2x – 3y = 12, recta punteada 2x – 3y = 6, recta y = 0, es decir, el eje x. recta x = 0, es decir, el eje y. porque la desigualdad es ≥. porque la desigualdad es <. Archivo Editorial M.4.1.40. Resolver de manera geométrica una inecuación lineal con dos incógnitas en el plano cartesiano sombreando la solución. 60 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 60 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 60 21/1/25 12:47]]>, <”, se representa con una línea de un auto o, punteada. Esto quiere decir que los puntos de la recta no forman parte de simplemente, en la las soluciones de la inecuación. relación de nuestro peso con nuestra altura. Ejemplos ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción a) Encontrar el conjunto solución de la inecuación: x − y 8 . 4 ≥ 2 Solución Cambiamos el signo de la desigualdad por “=” y graficamos. x 2 −8 y y = 1 Shutterstock, 136758263. 4 0 Como la inecuación tiene el símbolo ≥, –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x representamos la recta con una línea –1 Responde: ¿cuál es continua para indicar que los puntos de la la diferencia entre recta pertenecen a la solución. –2 inecuaciones y Si x = 4, y = 0; (4, 0), sí pertenece a la recta –3 Archivo Editorial ecuaciones? Si x = 0, y = –2; (0, –2), sí pertenece Tomamos un punto sobre o bajo la recta. P (5, 2); 2x – 4y ≥ 8 P (2, –3); 2x – 4y ≥ 8 2(5) – 4(2) ≥ 8 2(2) – 4(–3) ≥ 8 Glosario 2 ≥ 8, falso 16 ≥ 8, verdadero continua. Línea que no No satisface la inecuación. Satisface la inecuación, la solución es la parte tiene interrupciones. sombreada. región. Espacio limitado 2 1 que cumple una b) Hallar el conjunto solución de la inecuación: x 2 4 x 2y <3y 5. determinada condición 3 Solución o circunstancia. 2 x 2 x 8y <3y 5 Graficamos la recta con Encontramos la región 3 4 una línea punteada. solución, tomando los y puntos: 2 x x 8y <3y 5 1 3 2 0 P (0, 1) Competencia digital 4x 3x +24y <3y 5 –10 –5 0 5 10 x 0 + 6(1) < –30 Refuerza lo aprendido. 6 6 < – 30, falso Mira el video del link –5 No satisface. x +24y <18y 30 Archivo Editorial x +6y < 30 –10 P(1, –10) lynk.ec/10m07 Cambio el signo de la 1 + 6(–10) < –30 inecuación por “=”: La solución de la 1 – 60 < –30 inecuación es la parte – 59 < –30 x + 6y = –30 sombreada. Satisface la inecuación. 61 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 61 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 61 21/1/25 12:47]]> 4 B b) 3x + 4y > x – y + 2 A(4, 0) B(0, –1) C(0, 1) D(–2, –1) y 2 b) y – x ≥ 3 D 1 0 A(0, 2) B(1, 1) C(1, 3) D(0, 3) –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x F –1 –2 c) 5x – 3y < 4 D –3 A(2, 1) B(1, –1) C(2, 2) D(0, 1) c) 3x – 5y ≤ 8 d) –12x – 4y > 0 B y 2 A(0, 0) B(0, –1) C(2, 2) D(–1, 3) 1 0 3. Encuentra la inecuación lineal en dos variables –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x –1 V que describa la representación gráfica. Observa –2 –3 el ejemplo. y d) y < 8x + 2 6 y 4 3 2 2 1 F 0 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x x –1 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 –2 –2 1 e) y ≥ x – 3 Encontramos la ecuación de la recta que pasa por 2 dos puntos. y 2 A(2, 0) y B(0, 5) 1 0 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x y – 5 5 – 0 –1 V = –2 x – 0 0 – 2 –3 y – 5 = 5 x –2 f) x + y ≥ 2 5x + 2y = 10 y 2 1 Tomamos un punto de la parte sombreada y 0 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x reemplazamos en la ecuación. –1 F –2 P(3, 0) 5(3) + 2(0) > 10; 15 > 10, verdadero –3 –4 Tomamos el signo > porque la frontera es una recta punteada. La inecuación lineal en dos variables es: 5x + 2y > 10 62 63 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 62 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 62]]> 7 6 –6 4 x – 2y < 6 2 –6 –4 –2 x 2 4 6 c) y –2 –4 4 –6 2 x –4 –2 2 4 6 8 10 –2 –4 –6 3. y 4 3x + 4y < 12 c) 4x – 9y < 2 2 x –4 –2 2 4 6 8 10 d) y –2 3 –4 2 –6 1 –8 x –3 –2 –1 1 2 3 4 –1 –2 –3 x + 2y < 3 4. y 6 e) y d) x – 12y > 0 4 2 6 x 4 –6 –4 –2 2 4 6 –2 2 –6 –4 –2 x –4 2 4 6 –6 –2 –4 –6 6. Problema-decisión. Analiza y decide cuáles de 2x – 5y > 1 las siguientes afirmaciones son verdaderas. a) Una inecuación lineal con dos incógnitas siempre tiene solución. V Trabajo colaborativo b) La solución de una inecuación lineal con dos 4. Trabajen en equipo y resuelvan gráficamente incógnitas es un semiplano. V en su cuaderno. c) En la inecuación 2x + y > 0, los puntos de la recta frontera son parte de la solución de la inecuación. F a) 0,2x + y < 3,4y – 5 Actividad indagatoria b) y ≥ 0 c) 1 x – 2y ≤ 12(y – 1) 7. Indaga al menos tres aplicaciones de las 4 inecuaciones en la vida cotidiana. 62 63 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 63 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 63 21/1/25 12:47]]> 4 P(2, –4) 2 – (–4) > 4 entonces 6 > 4 –4 3x + 2y < 3 3(2) + 2(–4) < 3 –2 < 3 y Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de 4 dos o más de estas inecuaciones: 2 x ax + by + c > 0; ax + by + c < 0; ax + by + c ≥ 0; ax + by + c ≤ 0. –4 –2 0 2 4 6 –2 El par ordenado (x, y) es solución del sistema si satisface simultáneamente a todas las inecuaciones. A la región solución, si existe, se le llama región factible. –4 P(2, –4) Solución Si es vacía, el sistema es incompatible. del sistema Resolvemos el siguiente sistema de inecuaciones lineales con dos incóginitas. Sistema de Representamos gráficamente. Sombreamos la solución de cada inecuación y bus- inecuaciones x = 1, recta paralela al eje y. camos la intersección de las regiones sombreadas. lineales y = 3, recta paralela al eje x. y x > 1 6 x + y = 2, (0, 2) y (2, 0) y > 3 4 x + y ≤ 2 2 y –10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 x x = 1 –2 6 –4 4 y = 3 2 En esta representación gráfica no existe una región x –6 –4 –2 0 2 4 6 común para las tres inecuaciones. Por lo tanto, el –2 sistema es incompatible. –4 x + y = 2 M.4.1.41. Resolver un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas de manera gráfica (en el plano) y reconocer la zona común sombreada como solución del sistema. 64 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 64 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 64]]> -6 2x + y < 4 8 6 4 V 2 3. Contesta: ¿las siguientes regiones son acotadas 0 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 o no acotadas? -2 -4 a) 3 2. Resuelve las siguientes situaciones. a) Encuentra el sistema de desigualdades que 2 describe la región sombreada. 1 y 4 3 -2 -1 1 2 3 4 2 1 x –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 Acotada –2 –3 -2 < x < 5 -3 < y < 3 66 67 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 66 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 66]]> 2x y ≥ 4x – 2 -4 -2 2 4 6 8 b) x ≥ 2 6x + 2y ≥ 3 -2 y ≥ 2x – 3 2y < 5x – 1 6. Encuentren el sistema de inecuaciones lineales No acotada que forma la región factible. a) y c) ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción 5 6 4 5 3 4 2 3 1 2 x 1 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 –1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2x - 3y > -6; 2x + y <10 b) y Acotada 5 4 3 4. Representa gráficamente en tu cuaderno la región 2 solución del sistema. 1 x –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 ≥ a) x 0 –1 y 0 –2 ≥ x 2 y 3 x + y > 2; x > y; x < 4 ≤ − 7. Problema-decisión. Resuelvan el siguiente xy 1 problema: −≤ Una panadería produce dos tipos de guaguas de b) x 2 pan: pequeña y grande. Para elaborar la guagua ≥ y x 2 ≥− 4 pequeña, se necesita una hora; para la guagua − y 3 grande, tres horas. Cada guagua también debe ≤ −+ 2 ser decorada. Para decorar la guagua pequeña, yx ≥− se necesita una hora; para la guagua grande, también una hora. La panadería dispone para 5. Rosa ha decidido criar pollos y patos en el patio decorar de 2 horas y 5 horas para la elaboración. de su casa. Ella tiene $ 30 y desea comprar al me- La ganancia por unidad es de $ 2 para la guagua nos 16 animalitos pequeños. Cada pollito cuesta de pan pequeña y $ 3 para la grande. ¿Cuál sería $ 1 y cada patito $ 1,50. tu decisión en la planificación de producción para obtener un máximo beneficio? a) Escribe un sistema de desigualdades que represente al problema. x + 1,50y ≤ 30 x: cantidad de pollitos; Aproximadamente debe elaborar 1 guagua pequeña y 2 grandes para que el beneficio sea de aproximadamente $ 6 y: cantidad de patitos. x + y ≥ 16 x > 0; y > 0 b) Identifica las posibles combinaciones de Actividad indagatoria compras usando una gráfica. Respuesta abierta 8. Indaga en qué consisten los problemas de optimización. 66 67 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 67 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 67]]>800 f(x) = 500x + 400y ⎪ x >0 4. Responder ⎪ y >0 ⎪ ⎩ ¿Llegaste a la solución del problema? 4. Responder P(2,5; 0) f(x) = 6 500(2,5) + 3 400(0) ¿Llegaste a la solución del problema? La mayor producción se obtiene al cultivar única- 80 mente rosas. P(200; 600) = 500(200) + 400(600) = 340 000 Se debe enviar todas las flores de la bodega B y 200 flores de la bodega A. 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 80 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 80]]> 0. 7. Luis va a ver un espectáculo artístico con sus hi- a) Comprender el problema. jos, pero solo tiene 14 dólares. Si compra entradas de 4 dólares el dinero le alcanza, pero si compra b) Plantear la estrategia. entradas de 5 dólares, no. ¿Cuántos hijos tiene c) Aplicar la estrategia. Luis? 2 hijos d) Responder. 8. Un ganadero tiene un presupues- El número de calentadores que hay que vender es mayor que 500. to de $ 30 para comprar dos tipos 4. Dadas las siguientes variables proposicionales: de balanceado. El balanceado tipo I cuesta $ 0,25 por kilo y el tipo II, www.freepik.es • p: Rolando es primo de Paula • q: Diego es hermano de Rolando $ 0,10 por kilo. ¿Cuántos kilos del • r: Diego es primo de Paula balanceado tipo I puede adquirir conociendo que Determina la estructura lógica de la siguiente necesita el triple del balanceado tipo II para ela- borar la receta del alimento para sus animales? proposición compuesta: Si Rolando es primo de 0,25x + 0, 10(3x) < 30; x < 54, 54 Paula y Diego no es hermano de Rolando, enton- Podrá adquirir hasta 5 454 kg de balanceado tipo I. ces Diego no es primo de Paula. a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia. 81 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 81 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 81 21/1/25 12:47]]>50, pero como los lotes debe ser número entero la respuesta es 51. • Si Sebastián necesita ganar $ 1 500 y tiene el mismo recorrido en el kilometraje, ¿cuántos lotes de producto debe vender? Debe vender 75 lotes de producto. • ¿Qué diferencia hay en el procedimiento que realizas en el primer caso respecto del segundo? En el primer caso utilizó una inecuación, en el segundo utilizó una ecuación. Resuelve las situaciones • En una sala de cine, con capacidad para 400 personas, se obtuvo una re- caudación superior a los $ 1 650 un día en que se proyectó una película Shutterstock, 130498385. de estreno. Si el precio de cada entrada era de $ 4,50, ¿cuántas butacas quedaron vacías como máximo? Máximo quedan 33 butacas vacías. • Rodrigo debe comprar varios pliegos de cartulina. Si cada pliego cuesta $ 0,15 y dispone de $ 1,50 ¿cuántos pliegos de cartulina como máximo puede comprar? R. Puede comprar como máximo 10 pliegos. • Sergio y Nora conjuntamente deben comprar un regalo y como máximo pueden gastar $120. Si Nora debe aportar la tercera parte que Sergio, ¿cuál es la máxima cantidad de dinero que aporta él? R. Sergio aporta como máximo $ 90. • Para obtener un café de óptimo sabor, se mezcla dos tipos de este grano: uno de tipo A y otro de tipo B. Si la concentración del de tipo B debe ser mínimo un cuarto que del tipo A y se quiere conseguir como máximo 80 g de café mezclado, ¿cuál es la máxima cantidad de café del tipo A que debe tener la mezcla? R. La cantidad es de 64 g. Shutterstock, 519452827. 85 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 85 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 85]]> 0 d) x = 3 c) a : c ≤ b : c, cuando c > 0 3. Lee y analiza. d) a · c ≥ b · c, cuando c < 0 Resuelve: x + 3(x – 1) – 6 + 4(2x + 3) = 0 8. Lee y analiza. Escoge la respuesta correcta. Indica para cuál de las siguientes inecuaciones el 3 1 valor x = 3 no es solución: a) x = – c) x = – 4 4 Escoge la respuesta correcta. 3 1 b) x = d) x = a) 32x < 4x − 4 c) 5 · (2x – 3) > 4x + 7 − 4 4 3 ( x 72 −1 ) x 3 −1 b) ≥ d) –2 (x – 1) < 8 – x 4. Lee y analiza. 5 2 La suma de dos números es 108 y el doble del 9. Lee y analiza. mayor excede al triple del menor en 156. Halla y los números. Señala cuál de estas 3 inecuaciones tiene x Escoge la respuesta correcta. como solución la 3 a) 74,4 y 33,6 c) 52,8 y 55,2 región sombreada en la figura: b) 96 y 12 d) 90 y 18 87 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 87 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 87 21/1/25 12:47]]> y d) 3 + x < y b) Contradicción 10. Lee y analiza. c) Contingencia ¿Cuál de las siguientes inecuaciones es equiva- d) Ninguna lente a la inecuación 12x – 8 > 4x + 8? Escoge la respuesta correcta. 14. Lee y analiza. Indica qué clase de proposición es: a) 6x ≥ 10 c) 3x > 10 b) 5x < 2x + 10 d) 2x + 1 > 5 (p → q) ˄ p Escoge la respuesta correcta. 11. Lee y analiza. a) Tautología Determina la fórmula lógica de la proposición compuesta, si las simples son: b) Contradicción p: Pepe es hermano de Lali c) Contingencia q: Cecy es prima de Luis d) Ninguna Si Pepe no es hermano de Lali, entonces Cecy es 15. Lee y analiza. prima de Luis. Indica qué clase de proposición es: Escoge la respuesta correcta. (¬p ˅ q) ↔ (p → q) a) ⌐ (p → q) Escoge la respuesta correcta. b) p → q a) Tautología c) ⌐ p → q b) Contradicción d) ⌐ p → ⌐ q c) Contingencia 12. Lee y analiza. d) Ninguna Determina la fórmula lógica de la proposición 16. Lee y analiza. compuesta si las simples son: La solución para la ecuación r: Sergio es hijo de Andrea 2x – [6 – 2(5x – 4)] = 6x – 2 es: s: Laura es hermana de María Escoge la respuesta correcta. No es cierto que Sergio es hijo de Andrea y Laura es hermana de María. a) 2 Escoge la respuesta correcta. b) 4 a) ⌐ r ˄ s c) –2 b) ⌐ (r ˄ s) d) 3 c) ⌐ r ˄ ⌐ s 17. Lee y analiza. d) ⌐ (r ˄ ⌐s) La solución para el sistema de ecuaciones es: ⎧ 13. Lee y analiza. ⎪ y = x +2 ⎨ ⎩ Indica qué clase de proposición es: ⎪ y −3x = 4 (p˄q) → q 88 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 88 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 88]]> 2 x – 1) ( 5 3 F V V F F F F V F F 3 Es una Contradicción 2 5. Un punto de la región factible del sistema de inecuaciones es: c) 1 y 2 -1 1 2 3 x Respuesta abierta –10 –8 –6 –4 –2 2 4 –2 –4 x −1 c) ≥ y 3– 2 –6 3 –8 –10 15 a) P (–2, 2) c) P (–1, –1) 10 b) P (–2, 4) d) P (3, –4) 5 Respuesta abierta -5 5 10 15 92 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 92 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 92]]> 0; y > 0 enunciado y determina su valor de verdad. b) Escriban el sistema de inecuaciones y ⎧ X +Y ≤50 ⎪ ⎪ ⎪ X ≤ 45 resuélvanlo. Y ≤30 ⎨ ⎪ X >0 ⎪ 2 a) Si 4 = 16 y 4 · 4 = 16 entonces 16 = 4 c) Grafiquen la región factible del problema ⎩ ⎪ Y >0 pq) → V ( ∧ r b) No es cierto que si Guayaquil es la ciudad más y determinen sus vértices. (0, 0), (0, 30), (20, 30), (45, 5), (45, 0) grande o la más poblada, entonces es la capi- d) ¿Cuántos pasteles tres leches y selva negra tal del Ecuador. deben producirse diariamente? ( ⎡ ∼ p∨q)→ r ⎤ V Se pueden producir 20 de selva negra y 30 de tres leches o 45 de selva ⎣ ⎦ c) Un cuadrado es un cuadrilátero o un paralelo- negra y 5 de tres leches. gramo si y solo si tiene sus diagonales iguales. 11. Determinen, sin realizar la tabla de verdad, el ( ∨ r valor de verdad de la siguiente fórmula lógica: pq) ↔ V d) Si la Luna es un satélite y gira alrededor de la Tierra, entonces gira alrededor del Sol. si p, q, r y s son V, F, V, F, respectivamente. ( ∧ r p ( q) r q pq) → F 9. Identifica el valor de verdad de cada fórmula lógica. (~ (p q r) Verdadera. ⎦ ( a) ( ⎣ ⎡ p↔q)∧r ⎤ → r → q) si los valores de vedad de la preposiciones p, q y r son F F V respecti- 12. Expreso mis emociones. Si ves a un compañero con problemas de sociabilidad, acércate a él e vamente F intégralo a tu grupo de amigos. ¿Qué otras acti- ⎦ ( b) ( ⎣ ⎡ p→∼ q)∨r ⎤ → ∼ r∨q) si los valores de ver- vidades puedes proponer para que se integre al dad de las proposiciones p, q y r son V F V, res- grupo? pectivamente. V Autoevaluación 13. Pinta según la clave. Puedo ayudar a otros Resuelvo por mí mismo Necesito ayuda Estoy en proceso Resuelvo ecuaciones e inecuaciones lineales en R. Resuelvo sistemas de inecuaciones lineales. Contenidos Aplico las leyes de la lógica proposicional y el valor de verdad de proposiciones usando conectores lógicos. Metacognición • ¿Qué es lo más relevante que aprendiste en esta unidad? • ¿Cómo puedes aplicar lo aprendido en esta unidad en situación de la vida cotidiana? 93 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 93 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 93 21/1/25 12:47]]> y} a) A × B = {(1, a), (1, e), (1, o), (3, a), (3,e), (3,o), (5,a),(5,e),(5,o)} a) M × N = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3), (4, 1), (4, 3)} d) C× D = {(i, 2), (i, 4), (i, 6), (i, 8), (u, 2), (u, 4), (u, 6), (u, 8)} b) R1= {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (4, 3)} b) A × C e) B × D c) R2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} b) A × C = {(1, i), (1, u), (3, i), (3, u), (5, i), (5, u)} 8. Representa aparte gráficamente en un diagrama e) B × D = {(a, 2), (a, 4), (a, 6), (a, 8), (e, 2), (e, 4), (e, 6), (e, 8), (o, 2), (o, 4), sagital la relación M × N del ejercicio 7. (o, 6), (o, 8)} c) B × C f) A × D c) B × C = {(a, i), (a, u), (e, i), (e, u), (o, i), (o, u)} 9. Completa con argumentos la siguiente tabla. f) A × D = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (3, 8), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (5, 8)} Relación R No se cumple cuando 3. Determina el producto cartesiano que se solici- sobre A ta en cada literal, dados los siguientes conjuntos. Reflexiva Existe un elemento en A que no está relacionado A = {n, s, v}, B = {a, e}, C = {1, 2}, D = {1, 2, 3, 4} consigo mismo. Simétrica A la relación pertenece el par a) A × B = {(n, a); (n, e); (s, a); (s, e); (v, a); (v, e)} (a, b) pero no (b, a). b) B × C = {(a, 1); (a, 2); (e, 1); (e, 2)} Existe un elemento relacionado con un segundo Transitiva y este con un tercero, pero el primero no está c) A × D = {(n, 1); (n, 2); (n, 3); (n, 4); (s, 1); (s, 2); (s, 3); (s, 4); (v, 1); (v, 2); (v, 3); (v, 4)} relacionado con el tercero. d) D × A = {(1, n); (1, s); (1, v); (2, n); (2, s); (2, v); (3, n); (3, s); (3, v); (4, n); (4, s); (4, v)} 10. Describe las propiedades de las siguientes rela- e) A × A = {(n, n); (n, s); (n, v); (s, n); (s, s); (s, v); (v, n); (v, s); (v, v)} ciones utilizando las siguientes letras: R (reflexiva), S (simétrica), T (transitiva). 4. Dados los conjuntos A = {1, 3}, B = {2, 4, 6}, deter- mina y representa en tu cuaderno el diagrama cartesiano y el diagrama sagital de A × B. a) A A R A × B = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6)} a a 5. Representa en tu cuaderno el producto cartesia- no A × B y A × A utilizando los diagramas sagital b b y cartesiano. c c a) A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6} d d b) A = {1, 2, 3} 98 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 98 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 98]]> (x ) x < x ; entonces, (x ) = (x ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (x) (x) (x) (x ) 2 (x1) = (x2) (x1) (x ) 1 (x2) 0 x 0 x 0 x x1 x2 x1 x2 x1 x2 105 21/1/25 12:47 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 105 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 105 21/1/25 12:47]]> 0 m = –a, m < 0 m = 0 eje x. m no está definida. 109 21/1/25 12:48 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 109 21/1/25 12:48 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 109]]> 0, la curva estará abierta hacia cuadrante. que van del objeto al arriba. Si a > 0, las curvas irán hacia arriba, ojo sufren un cambio y la gráfica estará en el primer y de dirección cuando segundo cuadrante. atraviesan la frontera agua - aire. La representación del Exponente impar positivo Exponente impar negativo objeto se asemeja a la gráfica de una función La gráfica es una curva simétrica La función tiene dos asíntotas que por partes, ya que se con respecto al origen. son los ejes x e y. pueden apreciar dos y y 4 partes. 2 3 1 2 0 0 1 2 3 4 x 1 0 -4 Archivo editorial. -1 -2 -3 Archivo editorial. -4 -3 -2 -1 -1 -2 0 1 2 3 4 x -3 -1 -2 -4 -3 Si a < 0, la gráfica se encuentra en Si a < 0, la gráfica estará en el el segundo y cuarto cuadrante, y la segundo y cuarto cuadrante. La Shutterstock, 94788 función es decreciente. función es creciente. Si a > 0, la gráfica se encuentra en Si a > 0, la gráfica estará en el primer en el primer y tercer cuadrante, y la función es creciente. y tercer cuadrante. La función es decreciente. M.4.1.51. Definir y reconocer funciones potencia con n = 1, 2, 3, representarlas de manera gráfica e identificar su monotonía. M.4.1.52. Representar e interpretar modelos matemáticos con funciones lineales, y resolver problemas. 112 21/1/25 12:48 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 112 21/1/25 12:48 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 112]]> f(x2). f(x ) 1 Archivo editorial. f(x ) 0 x 1 x 2 x 2 Modelos matemáticos Shutterstock, 195961748 Cuando un jugador de baloncesto salta para encestar, la altura del jugador f(t) en pies desde el piso después de t segundos está dada por la fórmula: Juego de baloncesto 1 f(t) = – gt + 16t, 2 2 donde g es la constante gravitacional y equivale a 32 pies/s . ¿En qué intervalo de 2 tiempo el jugador se eleva para encestar?, ¿en qué intervalo de tiempo el jugador Competencia digital baja luego de encestar? 1 Realicemos la gráfica de la función f(t) = – gt + 16t. El comportamiento 2 2 de una función está Como g = 32 pies/s : f(t) = –16t + 16t determinado por 2 2 el crecimiento o f(t) decrecimiento. t f(t) 4 Ingresa a: 0 0 3,5 lynk.ec/10m12 e indaga: 0,2 2,56 3 creciente ¿cuándo una función es 0,4 3,84 2,5 decreciente estrictamente creciente 2 o estrictamente 0,5 4 decreciente? 1,5 0,6 3,84 1 0,8 2,56 0,5 Archivo editorial. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 t(s) 1 0 El jugador se eleva para encestar entre [0 ; 0,5] segundos y desciende en un intervalo de tiempo comprendido entre [0,5 ; 1] segundos. 113 21/1/25 12:48 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 113 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 113 21/1/25 12:48]]> a y c > b. Matemática 3 y Medicina 2 2 −b a Si queremos determinar Para encontrar la hipotenusa Para encontrar los catetos = c la distancia de un pico 2 2 que mide la frecuencia c = a 2 +b 2 a = c 2 −b 2 b = c − a cardíaca un uso sencillo La hipotenusa es igual a la raíz cuadrada Un cateto es igual a la raíz cuadrada del = c 2 − a 2 b del teorema de Pitágoras de la suma de los catetos elevados al cuadrado de la hipotenusa menos el nos puede ser de mucha cuadrado. cuadrado del otro cateto. utilidad. Archivo editorial. Responde: ¿qué A partir de la fórmula del teorema de Pitágoras, despejamos para obtener las fórmulas. nombre recibe en un triángulo rectángulo el Para resolver el problema planteado al inicio, es necesario identificar lo que lado que se opone al deseamos hallar, en este caso, un cateto. Por lo tanto, la fórmula que se aplica es: ángulo recto? 2 2 a = 150 –125 a= 6 875 a = 82,91 m Solución: El ancho de la cancha de fútbol es 82,91 metros. M.4.2.14. Demostrar el teorema de Pitágoras utilizando áreas de regiones rectangulares. M.4.2.15. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de triángulos rectángulos. 116 21/1/25 12:48 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 116 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 116 21/1/25 12:48]]> 0 (positivo), la parábola es cóncava hacia arriba y tiene un mínimo 6 que es el vértice. x < 0 5 Eje de simetría a > 0 • Si a < 0 (negativo), la parábola es cóncava hacia abajo y tiene un máximo Curva Cóncava que es el vértice. decreciente 4 hacia arriba 3 Cortes de la parábola con los ejes coordenados: son los puntos donde la función es cero. Para hallar el corte con el eje x, se tiene 2 x > 0 vértice Curva f(x) = 0 y se resuelve la ecuación ax 2 + bx + c = 0. 1 creciente x El corte con el eje y es (0, c), cuando x = 0. –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 Eje de simetría: es la recta que divide simétricamente a la parábola; está –1 x < 0 a < 0 b Curva –2 Cóncava dado por la ecuación =−x . creciente –3 hacia abajo 2 a –4 Vértice (V): es el punto de corte del eje de simetría con la parábola; tiene x > 0 –5 Curva b b decreciente como coordenadas: V ,f . –6 2a 2a –7 f(x) = –ax 2 La función f(x) = ax 2 tiene: Dominio: ℝ 0 Recorrido:  + {} si a0, > ó  ∪ − ∪ {} 0 ,sia <0 Archivo editorial. M.4.1.57. Definir y reconocer una función cuadrática de manera algebraica y gráfica, determinando sus características: dominio, recorrido, monotonía, máximos, mínimos y 176 paridad. 21/1/25 12:49 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 176 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 176 21/1/25 12:49]]> 0 se puede decir: si c > 0, 2 la función se desplaza c unidades hacia arriba. 2 1 y = x – 2 x Si c < 0, la función se desplaza c unidades hacia abajo. –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 El dominio son todos los reales, los ℝ. –1 Dos unidades El recorrido: si a > 0, y ≥ c, si a < 0, y ≤ c. –2 hacia abajo. Vértice (0, –c): (0, –2) Eje de simetría, eje y. Vértice (0, c). Archivo editorial. Desplazamiento horizontal de la función cuadrática de la forma f(x) = (x + h)2 Trazamos y analizamos la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas: f(x) = (x + 4)2, g(x) = (x – 2)2. f(x) Graficamos la función y = x . 2 y = (x + 4) 2 y = x 2 y = (x – 2) 2 6 2 2 La gráfica de y = (x + 4) indica que la gráfica inicial y = x se desplazó 5 hacia la izquierda 4 unidades y la gráfica de y = (x – 2) indica que se 2 4 desplazó hacia la derecha 2 unidades. 3 2 Cuatro 2 Dos unidades En forma general, en la función f(x) = (x + h) . Si h > 0, se desplaza la 2 unidades 1 a la derecha gráfica y = x hacia la izquierda h unidades. Si h < 0, se desplaza la a la izquierda x función inicial a la derecha h unidades. –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1 Archivo editorial. Ejemplo Graficamos la función y = x 2 – 2x – 3. Luego determinamos la concavidad, eje de simetría, vértice, dominio y recorrido de la función. Reconocemos en la función y = x 2 – 2x – 3, los coeficientes: a = 1, b = –2 y c = –3. f(x) 1 > 0 cóncava hacia arriba b 2 5 Determinamos el vértice de la parábola: =−x ==1 4 2 a 2 3 b 2 f = f(1)=1 2(1) 3= 4;V(1, 4) creciente 2a 1 eje de simetría x = 1 [1, +∞) b 2 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x Determinamos la ecuación del eje de simetría. =−x ==1 , x = 1 decreciente –1 2 a 2 (–∞, 1] Tomamos valores de x a los dos lados del eje de simetría. Elaboramos una tabla –2 de valores y graficamos. V(1, –4) –3 Dom: todos los  –4 Rec: [–4, + ∞) V 177 21/1/25 12:49 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 177 21/1/25 12:49 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 177]]> 0, existen dos soluciones reales 4 diferentes. − ac Las raíces de la ecuación cuadrática son: x = D < 0, la ecuación no 2 a tiene soluciones reales. M.4.1.59. Resolver la ecuación de segundo grado con una incógnita de manera analítica, (fórmula binomial) en la solución de problemas. 188 21/1/25 12:49 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 188 21/1/25 12:49 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 188]]> 0 hacia arriba b) Las coordenadas del vértice son: (–1, –1) c) El punto de corte con el eje y: y (0, 0) 4 cm d) Las raíces o soluciones de la ecuación son: 8 x = –2 y x = 0 x 1 2 e) Escribe el dominio y rango: 3 13 D = Reales y R = [–1, ∞) x = 8,5 cm 11. Encuentra x con el teorema de Thales. 15. Expreso mis emociones. Cuando tengas que x = 2,65 cm 5 cm realizar tus tareas y demás obligaciones como estudiante, debes ser optimista. Comparte tu 3,4 cm 3,9 cm sentir con tus compañeros. x Autoevaluación 16. Pinta según la clave. Puedo ayudar a otros Resuelvo por mí mismo Necesito ayuda Estoy en proceso Determino las características: dominio, recorrido, monotonía, cortes de eje x y y, concavidad de una función cuadrática. Encuentro las raíces mediante factoreo, completación de cuadrados Contenidos o por la fórmula general. Determino segmentos y triángulos semejantes aplicando el teorema de Thales en situaciones cotidianas. Metacognición • ¿Qué es lo más relevante que aprendiste en esta unidad? • ¿Cómo puedes aplicar lo aprendido en esta unidad en situación de la vida cotidiana? 213 21/1/25 12:50 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 213 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 213 21/1/25 12:50]]> 0 Discriminante: b 2 – 4ac = 0 Discriminante: b 2 – 4ac < 0 Discriminante positivo Discriminante nulo Discriminante negativo Dos raíces reales diferentes Raíces reales iguales No hay raíces reales Ejemplo: x + x – 6 = 0 Ejemplo: x – 6x + 9 = 0 Ejemplo: x – 3x + 5 = 0 2 2 2 Analizamos el discriminante. Analizamos el discriminante. Analizamos el discriminante. a = 1, b = 1, c = –6 a = 1, b = –6, c = 9 a = 1, b = –3, c = 5 2 2 b – 4ac = 0 b – 4ac < 0 2 b – 4ac > 0 (–6) – 4(1)(9) = 0 (–3) – 4(1)(5) < 0 2 2 2 1 – 4(1)(–6) > 0 36 – 36 = 0 9 – 20 < 0 1 + 24 > 0 0 = 0 –11 < 0 25 > 0 La ecuación tiene única solución, La ecuación tiene dos raíces reales las dos raíces son reales e iguales. La ecuación no tiene solución real. diferentes. Graficamos la función cuadrática: Graficamos la función cuadrática: y = x – 6x + 9 Graficamos la función cuadrática: 2 2 2 y = x + x – 6 y = x – 3x + 5 y y y 7 10 10 2 2 6 y = x – 6x + 9 y = x – 3x + 5 9 9 5 8 8 2 y = x + x – 6 4 7 7 3 6 6 2 5 5 1 4 4 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 3 3 –1 2 2 –2 1 1 –3 0 x 0 –4 –2 –1 –1 1 2 3 4 5 –2 –1 –1 1 2 3 4 5 x –5 Archivo editorial. –2 –2 –6 El punto de corte de la parábola con La parábola no corta el eje de las x, Los puntos (–3, 0) y (2, 0) son los cor- el eje x es (3, 0), que es el vértice de la por lo tanto, la ecuación no tiene tes de la parábola con el eje x, y son parábola. La ecuación tiene dos raíces soluciones reales. las soluciones de la ecuación: reales iguales: x = –3 y x = 2 x = x = 3 2 1 1 2 217 21/1/25 12:51 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 217 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 217 21/1/25 12:51]]> 0 Encuentra la altura del árbol de la figura b) Δ I > 0 Δ II < 0 Δ III = 0 si sabes que c) Δ I = 0 Δ II > 0 Δ III < 0 1 tg (β) = , siendo β d) Δ I < 0 Δ II = 0 Δ III > 0 4 el ángulo marcado y la distancia de este con el 3. Lee y analiza. C árbol es de 24 m. Observa el triángulo e indi- Escoge la respuesta correcta. ca cuál es el cateto adyacen- a) 6 m c) 8 m te al ángulo B: b) 7 m d) 9 m Escoge la respuesta B A correcta. 8. Lee y analiza. a) AB c) AC Una persona de b) BC d) Ninguno de los anteriores 1,8 m de altura se 30° para en la orilla de 4. Lee y analiza. un río y su sombra 1,8 m Resuelve el triángulo rectángulo que tiene por alcanza justamente Shutterstock, 1475117378. catetos a = 2,7 cm y b = 3 cm. la otra orilla. ¿Cuál es la anchura del Escoge la respuesta correcta. río si el ángulo de a) Hipotenusa = 5,7; A = 22,06°; B = 67,94 depresión es de 30°? b) Hipotenusa = 1,3; A = 32,06°; B = 57,94 Escoge la respuesta correcta. c) Hipotenusa = 4,03; A = 42,06°; B = 47,94 a) 6 m c) 8 m d) Hipotenusa = 3,5; A = 52,06°; B = 37,94 b) 7 m d) 9 m 247 21/1/25 12:52 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 247 21/1/25 12:52 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 247]]> –2 4. La región factible del sistema de inecuaciones es la parte sombreada más oscura. 3. Observa que la primera inecuación tiene una línea continua y la segunda línea es punteada. 2. Haz clic en alfa para encontrar el símbolo mayor que o igual. 1. Ingresa las inecuaciones una por una en la barra de entrada. Archivo editorial. 255 21/1/25 12:52 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 255 21/1/25 12:52 Matematica 10 EGB Plus+ MinEduc.indb 255]]>