0, i = 1, 2. i i i i i i i incógnitas tener solución única? Justifica tu respuesta. Resolver el sistema de ecuaciones precedente significa hallar todas las ternas (x, y, z)   que satisfacen las dos ecuaciones. Se designa con 3 S al conjunto de todas las soluciones de tal sistema. Esto es, a x + b y + c z = d , 3 S = (x, y, z)   | . 1 1 1 1 a x + b y + c z = d 2 2 2 2 Competencia matemática Este tipo de ecuaciones se caracterizan por tener infinitas soluciones, En temas de años ante- o ninguna solución. riores se consideró la ecuación lineal (x, y)   tal que Ejercicio resuelto 2 3 ax + by = c, donde a, b, c   Considera el sistema de ecuaciones: (x, y, z)   , tal que fijos y |a| + |b| > 0. El conjunto 2x – y + z = –1, solución S está definido como x + 3y – 2z = 2. 2 S = {(x, y)   | ax + by = c}. Primeramente, el sistema de ecuaciones propuesto es lineal con tres Esta es una ecuación lineal que incógnitas x, y, z  . Denotamos con S al conjunto solución: tiene dos incógnitas. Como se 2x – y + z = –1, vio, el conjunto S representa S = (x, y, z)   | . 3 una recta. x + 3y – 2z = 2 Determinamos este conjunto S. De la primera ecuación, obtenemos z = –1 – 2x + y. Reemplazamos en la segunda ecuación: x + 3y – 2(–1 – 2x + y) = 2, de donde 5x + y = 0, y de esta ecuación, y = –5x. Reemplazamos y en la primera ecuación: 2x – (–5x) + z = –1, de donde z = –1 – 7x. El sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones que se expresan como: x  , 2x – y + z = –1, ˆx = (x, y, z)  S . y = –5x, x + 3y – 2z = 2. z = –1 – 7x. Reemplazando las soluciones y, z en ˆx se tiene: ˆx = (x, –5x, –1 – 7x)   . 3 Así, el conjunto solución S queda determinado como: S = {(x, –5x, –1 –7x) | x  }. M.5.1.11. Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas (ninguna solución, solución única, infinitas soluciones), de manera analítica, utilizando los métodos de sustitución o eliminación gaussiana. 22 21/1/25 16:07 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 22 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 22 21/1/25 16:07]]> 0 para i = 1, 2, 3. i i Para resolver un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas, se elige un par de ecuaciones; digamos, las dos primeras: a x + b y = c , 1 1 1 a x + b y = c ; 2 2 2 aplicamos cualquier método de resolución de sistemas de dos ecuacio- Competencia 2 ˆ ˆ matemática nes lineales con dos incógnitas; si el sistema tiene una solución (x, y)   , esta debe verificar la tercera ecuación, es decir que a xˆ + b yˆ = c . Así, 3 3 3 Los sistemas de tres (xˆ, y)   es solución del sistema de ecuaciones lineales de tres ecua- ˆ 2 ecuaciones lineales con dos ciones con dos incógnitas. incógnitas tienen la siguiente forma: Si (x, y)   no satisface la tercera ecuación, esto es a x + b yˆ ≠ c , ˆ ˆ ˆ 2 3 3 3 (x, y)   , 2 entonces (xˆ, y)   no es solución del sistema de tres ecuaciones ˆ 2 a x + b y = c , 1 lineales con dos incógnitas y se dirá que es un sistema inconsistente. 1 1 tal que a x + b y = c , 2 Por ello, escribiremos S = Ø. 2 2 a x + b y = c , 3 3 3 donde a, b, c   i = 1, 2, 3 Ejercicio resuelto 2 i i i son los coeficientes del sistema. Considera el sistema de ecuaciones (x, y)   , tal que: 1 1 Resolver este sistema de x + y = 1, ecuaciones significa hallar, 5 3 siempre que exista, todos los 6x + 10y = –30, pares de números reales (x, y) 3x + 5y = –15, que satisfacen a cada una de las ecuaciones del sistema. y sea S el conjunto solución. Para resolver este sistema, primeramente, Denotamos con S al conjunto encontramos, si existe, una solución de la primera y segunda ecuacio- solución. nes. Aplicamos el método de igualación. 1 De la primera ecuación obtenemos x = 5 – 1 – y y de la segunda, 3 1 x = (– 30 – 10y). Luego, igualamos los segundos miembros: 6 1 1 5 5 5 – 1 – y = (– 30 – 10y) –5 – y = –5 – y, 3 6 3 3 que muestra que el sistema reducido de dos ecuaciones es sobre- determinado. Multiplicamos a la primera ecuación por 15 y a la 1 segunda, por . 2 M.5.1.9. Resolver sistemas de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas (ninguna solución, solución única, infinitas soluciones), utilizando los métodos de sustitución o eliminación gaussiana. 26 21/1/25 16:07 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 26 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 26 21/1/25 16:07]]> 0 está definida como: c p(A  B) probabilidad: en un p(A | B) = . proceso aleatorio, razón entre el p(B) número de casos favorables y el Con el ejemplo del juego del cuarenta: A  B = A, número de casos posibles. p(A  B) 4 evento: eventualidad, hecho p(A | B) = = . imprevisto o que puede acaecer. p(B) 12 M.5.3.13. Reconocer experimentos en los que se requiere utilizar la probabilidad condicionada mediante el análisis de la dependencia de los eventos involucrados, y calcular la probabilidad de un evento sujeto a varias condiciones, aplicando el teorema de Bayes en la resolución de problemas. M.5.3.17. Juzgar la validez de las soluciones obtenidas en los problemas que involucren el trabajo con probabilidades y variables aleatorias discretas dentro del contexto del problema. 36 21/1/25 16:07 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 36 21/1/25 16:07 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 36]]> 0, entonces A  B = B y en consecuencia, 0 ≤ P(A) ≤ 1. La probabilidad p(A  B) p(B) de un suceso es un número p(A | B) = = = 1. comprendido entre 0 y 1. p(B) p(B) P(E) = 1, P(Ø) = 0. La probabili- iii) Si A  B y p(B) > 0, entonces A  B = A, p(A) ≤ p(B), luego, dad del suceso seguro es 1, y la p(A  B) p(A) del suceso imposible es 0. p(A | B) = = ≤ 1. p(B) p(B) Con base en la probabilidad condicional, se definen los eventos depen- dientes e independientes y las probabilidades de esta clase de eventos. Definición. Sean S un espacio muestral, y A, B dos eventos de S. i) Se dice que estos dos eventos son independientes si y solo si se verifica p(B | A) = p(B). La probabilidad de los eventos independientes A, B está relaciona- da como: p(A  B) = p(A) × p(B). ii) La probabilidad de los eventos dependientes A, B está relaciona- da como: p(A  B) = p(A) × p(B | A). La negación de dos eventos independientes hace que los eventos sean claramente dependientes. Nota que dos eventos, A, B, son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no altera la probabilidad de que el otro evento suceda. Se tiene: p(A) = p(A | B) y p(B) = p(B | A). Por ejemplo, si se lanzan dos monedas de un dólar, el resultado de Shutterstock, 190733279 obtener una cara o una cruz de una de ellas no se ve afectada por el resultado de cara o cruz de la otra moneda. 37 21/1/25 16:07 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 37 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 37 21/1/25 16:07]]> 0. Con Tomando en consideración la definición patacones 0,4 0,3 0,2 0,9 (Pat) de probabilidad condicional, verifica las siguientes propiedades. Sin patacones 0,05 0,025 0,025 0,1 (SPat) a) p(Ø | C) = 0. 0 Total 0,45 0,325 0,225 1,0 b) p(A \ B | C) = p(A | C) – p(A  B | C). – p (AC ) pA k BC ) ( Calcula las siguientes probabilidades. c) p(A | C) = 1 – p(A | C). 1– ( pA C ) C a) p(C  Pat). 0,95 d) p(A  B | C) = p(A | C) + p(B | C) – p(A  B | C). + ( pA C ) p (BC pA k BC ) – ( ) b) p(P  Spat). 0,4 e) Si A  B, entonces p(A | C) ≤ p(B | C). p ( pA C ) ≤(BC ) c) p(R  Pat). 0,925 2 Sean A, B, C tres sucesos mutuamente independientes, comprueba, con un 4 Si al 60 % de tus amigos le gusta el fútbol ejemplo, que las siguientes condiciones y al 25 % le gusta el fútbol y el tenis. se verifican. a) p(A  B) = p(A) × p(B). a) Indica la probabilidad de que a un amigo Respuesta personal. que le guste el fútbol, le guste el tenis. 42 % b) p(A  C) = p(A) × p(B). Respuesta personal. b) Verifica que si al 42 % de tus amigos les gus- ta el tenis, al 60 % les gusta el fútbol. c) p(B  C) = p(B) × p(C). 60 % sí se verifica. Respuesta personal. c) Encuentra la probabilidad de que un hom- d) p(A  B  C) = p(A) × p(B) × p(C). bre mayor de 30 años no consuma bebi- Respuesta personal. das alcohólicas, dado que una mujer entre 18-30 años de edad sí lo haga. 3 Analiza y resuelve. ( pH no M 18–30 sí ) =19.% >30 El restaurante de la familia ABCD ven- d) Responde cuál evento es más probable que de menestras con tres tipos de carnes: ocurra entre los anteriores. chancho, pollo y res. Estos platos pue- Hombre 18-30 años sí, dado que mujer >30 años sí. den o no llevar patacones. En la tabla, se muestran los porcentajes (probabi- 5 lidades) de clientes que prefieren cada En una bolsa hay diez bolas rojas, diez tipo. bolas azules y diez bolas amarillas. 40 21/1/25 16:07 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 40 21/1/25 16:07 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 40]]> 0, ∀x  , tenemos Dom(f) = , la distancia entre ese punto y Dom(g) = . Además, para todo x   se tiene: una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nom- bre de asíntota de la función. 2 2 (x + 1) = (x + 1)(x + 1) . Luego, 2 3 2 Las asíntotas son verticales si 2x(x + 1) 2 2 2x 2 2 2x(x + 1) g(x) = = = = f(x), ∀x  , son paralelas al eje Y; horizon- 2 3 2 2 2 2 (x + 1) (x + 1)(x + 1) x + 1 tales si son paralelas al eje X; y oblicuas si son inclinadas. en la que se ha simplificado el término (x + 1) . 2 2 Así, Dom(f) = Dom(g) = , y, f(x) = g(x), ∀x  , o sea f = g. Si ponemos p(x) = 2x, q(x) = x + 1, 2 r(x) = 2x(x + 1) , s(x) = (x + 1) , entonces, 3 2 2 2 p(x) f(x) = , g(x) = r(x) Competencia digital q(x) s(x) Visita esta página para y, en consecuencia, f(x) = g(x) si y solo si se verifica conocer más sobre funciones p(x) s(x) = q(x) r(x) = 2x(x + 1) , ∀x  . racionales y el cálculo de las 3 2 asíntotas. lynk.ec/12m03 De este resultado, se sigue que f(x) = g(x), ∀x  , o sea, f = g. Asíntotas Significado de x → 0, x → x , x → x – + 0 0 Para introducir los términos ‘pequeño’ y ‘suficientemente pequeño’, utilizaremos las relaciones de orden “menor que <” y “mayor que >” en el siguiente sentido: sea 0 < δ < 1 , diremos que x   con x ≠ 0 es pequeño con respecto de δ si se verifica |x| < δ. Sea x   fijo. Dado x   con x ≠ x , por la propiedad de trico- 0 0 toma, se verifica una y solo una de las dos condiciones siguientes: x < x , x > x . 0 0 Consideremos el caso x > x . Se tiene d(x , x) = |x – x| = x – x > 0. 0 0 0 0 57 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 57 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 57]]> x y para cada 0 0 δ > 0, d(x , x) = x – x < δ. 0 0 Sean δ > 0 y 0 < h < δ. Si x = x + h, se tiene x > x , 0 0 y d(x, x ) = x + h – x = h < δ, lo que da lugar a la siguiente interpreta- 0 0 0 Competencia ción: x = x + h tiende a x , conforme h > 0 tiende a cero. En tal caso, comunicacional 0 0 escribimos: • Escribimos x → 0 (que x + h → x , o también lím (x + h) = x , se lee: "x tiende a cero") para 0 h → 0 + 0 h → 0 + 0 0 indicar que x se puede hacer tan pequeño como se quiera. que se lee: “límite de x + h cuando h tiende a cero por la derecha es 0 Es decir que para cada igual a x ”. Estas dos últimas notaciones significan lo mismo que 0 + δ > 0, |x| < δ. También se x → x . 0 dice: |x| es suficientemente Ejercicios resueltos pequeño. 1. Sea x = –2,5. Entonces, 0 + • Escribimos x → x , que se d(–2,5, –2,49) = 2,5 – 2,49 = 0,01, 0 lee: "x tiende a x por el lado d(–2,5, –2,495) = 2,5 – 2,495 = 0,005, 0 derecho". d(–2,5, –2,499 9) = 2,5 – 2,499 9 = 0,000 1. • La notación lím (x + h) = x 0 0 h → 0 + Se observa que los números reales se lee: "límite de x + h cuan- –2,49, –2,495, –2,499 9 se aproximan cada vez más a –2,5. 0 do h tiende a cero por la de- Para h > 0 y x = –2,5 + h, se tiene recha es igual a x ". Estas dos d(–2,5; –2,5 + h) = –2,5 + h – (2,5) = h. 0 últimas notaciones significan lo mismo que Si asignamos valores a h > 0 cada vez mas próximos a cero, tendre- + x → x . mos que x = –2,5 + h se aproxima cada vez más a x = –2,5. En la 0 0 Indaga y responde: desde el Tabla 1 se muestran algunos de estos valores y d(–2,5; –2,5 + h). punto de vista matemático, ¿qué es el límite? Tabla 1 h x = –2,5 + h d(–2,5, –2,5 + h) 0,1 –0,4 0,1 0,01 –0,49 0,01 0,001 –0,499 0,001 0,000 1 –0,499 9 0,000 1 0,000 01 –0,499 99 0,000 01 2. Consideremos el caso x < x . Se tiene: 0 d(x , x) = |x – x| = x – x > 0. 0 0 0 x Sea = 0,3. En la Tabla 2 se muestran algunos valores de h < 0, 0 de x = 0,3 + h y la distancia d(0,3; 0,3 + h). 0 58 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 58 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 58]]> 0, 0 d(x , x) = x – x < δ. Los resultados de la Tabla 2 muestran que para h < 0 que se apro- 0 0 xima a cero, x = 0,3 + h se aproxima cada vez a 0,3. Escribimos Esto es lo mismo que 0,3 + h → 0,3 la notación x → x y estas dos, a – h → 0 – 0 ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción su vez, con lím(x + h) = x , 0 0 para indicar que h < 0 y que para δ > 0, d(0,3 0,3 + h) = –h < δ. h → 0 – que se lee: "límite de x + h 0 cuando h tiende a cero por Esto es lo mismo que la escritura h → 0,3 , y, a su vez, lo mismo que la izquierda igual a x ”. – lím(0,3 + h) = 0,3; que se lee: “límite de 0,3 + h cuando h 0 h → 0 – tiende a cero por la izquierda igual a 0,3”. En la Figura 2.2. dibujamos una flecha para indicar que los valores de x son menores que 0,3 y que x se aproxima a 0,3 por el lado 0,1 0,2 0,3 0,4 izquierdo. 0 0,5 x Si imaginamos que los puntos de la recta real asociados a cada x se mueven de la izquierda hacia x , la distancia d(x , x) será cada vez p Figura 2.2. 0 0 más pequeña o próxima a cero. Sea h < 0 y x = x . Entonces, x < x , y d(x , x + h) = x – (x + h) = 0 0 0 0 0 x – x + h = –h > 0. Para valores de h < 0 cada vez más próxi- 0 0 mos a cero, x + h es cada vez más próximo a x . Escribimos 0 0 x + h → x que se lee: 0 0 h → 0 – “x + h tiende a x cuando h tiende a cero por la izquierda”. 0 0 Competencia Representación gráfica de una función racional comunicacional y sus asíntotas Aprende las siguientes Ejercicios resueltos definiciones: 1. Sean p, q los polinomios reales definidos como p(x) = 3, x  , Asíntotas verticales: rectas q(x) = x + 2, x  . La función racional f está definida como: perpendiculares al eje de las p(x) 3 abscisas, de ecuación x = a, con f(x) = = , x ≠ –2. a una constante. q(x) x + 2 Asíntotas horizontales: rectas Se tiene Dom(f) =  \ {–2}. Una asíntota vertical es la recta R perpendiculares al eje de las definida como  = {(–2, y) | y  }o como x = –2. ordenadas, de ecuación y = b, con b una constante. Por otro lado, si |x| → ∞, también |x| + 2 → ∞ con lo que: Asíntotas oblicuas: si no son paralelas o perpendiculares a los 3 ejes, su ecuación f(x) = → 0 cuando x → ∞, x + 2 y = mx + b, donde m es la pen- 3 diente y b la ordenada al origen f(x) = → 0 cuando x → –∞. de la recta. x + 2 59 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 59 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 59 21/1/25 16:08]]> –2. Veamos en la Figura 2.3. algunos valo- res que toma la función f en cada una de estas regiones. Para x < –2 Para x > –2 y 7 3 3 asíntota V 6 f(–5) = = –1, f(–1,5) = = 6, 5 –5 + 2 –1,5 + 2 4 3 3 3 3 2 f(–4) = = – , f(–1) = = 3, asíntota H 1 –4 + 2 2 –1 + 2 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 x 3 3 –1 –2 f(–3) = = –3, f(0) = = 1,5, –3 –3 + 2 0 + 2 –4 –5 3 3 f(–2,5) = = –6. f(1) = = 1. –6 –7 –2,5 + 2 1 + 2 p Figura 2.3. En la región en la que x > –2, tenemos que la función f es estricta- mente decreciente al igual que en la región en que x < –2. Así, f es decreciente en el conjunto  \ {–2}. 2. Sean p, q los polinomios definidos como p(x) = x, q(x) = (x – 2)(x – 3) x  . La función racional u está definida como sigue: f (x) x u(x) = = x   \ {2, 3}. q(x) (x – 2)(x – 3) Existen dos asíntotas verticales R y R a la gráfica de f: 1 2 Algunos valores para la función del ejercicio 2 son: R = {(2, y) | y  } o x = 2, R = {(3, y) | y  } o x = 3. 2 1 Para x < 2 Por otra parte, u(x) → 0 cuando |x| → ∞, que muestra que esta –3 u(–3) = = –0,1, función racional u tiene una asíntota horizontal H. (–3–2)(–3–3) –2 u(–2) = = –0,1, (–2–2)(–2–3) H = {(x, 0) | x  } o y = 0. –1 1 u(–1) = = – , (–1–2)(–1–3) 12 Según el dominio de la función u, x < 2, 0 u(0) = = 0, en el eje x se identifican tres regiones: 2 < x < 3, (0–2)(0–3) 1 x > 3. u(1) = = 0,5. (1–2)(1–3) La gráfica de la función se muestra en la Figura 2.4. Para 2 < x < 3 Para 3 < x y 2,25 6 5 3,5 u(2,25) = = –12, u(3,5) = = 4,7, 4 (2,25–2)(2,25–3) (3,5–2)(3,5–3) asíntota H 3 2 2,5 4 1 u(2,5) = = –10, u(4) = = 2, –3 –2 –1 –1 1 2 3 4 5 6 7 x (2,5–2)(2,5–3) (4–2)(4–3) –2 –3 2,75 5 5 –4 –5 x = 2 x = 3 u(2,75) = ≈–14. u(5) = = , –6 (2,75–2)(2,75–3) (5–2)(5–3) 3 –7 –8 –9 asíntota V 1 asíntota V 2 6 u(6) = = 0,5. –10 p Figura 2.4. –11 (6–2)(6–3) 60 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 60 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 60 21/1/25 16:08]]> 0 4 1 2 3 2 + 1 2 2(–2) + 1 9 1 4 9 2 f(–2) = = – , f ( ) = = , 1 –2 2 4 1 2 4 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x –1 1 2 –2 2 + 1 –3 1 2(–1) + 1 2 2 f(–1) = = –3, f ( ) = = 3, –1 2 1 –4 2 –5 1 2 –6 2 – + 1 1 2 2 × 1 + 1 p Figura 2.5. 2 f(– ) = = –3, f(1) = = 3, 2 1 1 – 2 1 2 2 – + 1 2 1 9 2 × 2 + 1 9 4 f(– ) = = – , f(2) = = . 4 1 2 2 2 – 4 Para trazar la gráfica de la función f, se toman en consideración las asíntotas horizontal y oblicua, y algunos de los valores calculados. 61 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 61 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 61 21/1/25 16:08]]> 0, de 0,012 0,000 144 –0,059 8 x = 3,1 + h y la distancia d(3,2; 3,2 + h). 0,001 2 0,000 001 4 –0,000 59 0,000 03 0,000 000 000 9 –0,000 014 9 h x = 3,2 + h d(3,2; 3,2 + h) Para |h| suficientemente pequeño, ¿son h 2 0,1 3,3 0,1 1 y h² – h suficientemente pequeños? 0,01 3,21 0,01 2 0,001 3,201 0,001 Justifica tu respuesta. Sí son suficientemente pequeños. 0,000 2 3,200 2 0,000 2 0,000 04 3,200 04 0,000 04 5 0,000 000 1 3,200 000 1 0,000 000 1 Supón que para todo δ, 0 < δ < 1 se veri- fican las condiciones que en cada caso se indican. ¿Qué significa cada una de estas a) Observamos que para valores de h > 0 que tienden a cero, x = 3,2 + h tiende a 3,2. condiciones? Escribimos 3,2 + h → 3,2 o también, lím (3,2 + h) = 3,2. a) x > 25,32 y d(x; 25,32) < δ. 25,32 – x < δ h → 0 + h → 0 + b) x < 1,95 y d(x; 1,95) < δ. 1,95 – x < δ Nota que para valores de h > 0 cada vez 1 1 más pequeños, d(3,2; 3,2 + h) son igual- c) x > 2 y d(x; 2) < δ. 2 – x < δ 2 2 mente cada vez más pequeños. 6 En cada ítem, indica el significado del lí- 2 Sea x = –3,33. Calcula x – h y x + h mite que se da. 0 0 0 para los valores de h que se dan a con- tinuación. a) lím (10 – h) = 10. El límite de 10 – h cuando h tiende a cero por la derecha es 10. h → 0 + a) h = –0,002 5. 3,202 5; 3,197 5 1 1 El límite de –1/2 – h cuando h b) lím (– – h) = – . tiende a cero por la izquierda es h → 0 – 2 2 –1/2. b) h = 0,002 5. 3,197 5; 3,202 5 c) lím (–3 + h) = –3 El límite de –3 + h cuando h tiende a cero por la izquierda es –3. h → 0 – c) Para h suficientemente pequeño, ¿hacia qué valor tiende –3,33 –h y –3,33 + h? Justifica la respuesta. Tiende a –3,33. 7 En cada ítem se define una función ra- cional. Precisa su dominio y asíntotas. 3 Halla los límites que a continuación se Traza la gráfica de la función. indican. Justifica el resultado explicando 5 la distancia entre dos puntos. a) f(x) = , x ≠ 0. Dom  – {2}; asíntota vertical: x = 2; asíntota horizontal: y = 0 x – 2 a) lím (1,5 – h). b) lím (1,5 + h). Dom  – {0}; asíntota vertical 2 h → 0 + 1,5 h → 0 – 1,5 b) g(x) = , x ≠ 0. x = 0; asíntota horizontal: y = 0 x 62 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 62 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 62 21/1/25 16:08]]> 0 que se indican en la tabla. ¿Qué pue- {} den decir acerca de los resultados? b) Halla las asíntotas. Asíntota vertical x = 0 Asíntota oblicua y = x c) Para x < 0 calcula los valores de f(x) que se h x = 5 – 10h² plantean a continuación. 0,1 4,9 f(–1), f(–3), f(–5) () =–1 1,f f ( ) =–3 – ,– – 23 0,02 4,996 7 ( ) =5 f 3 5 d) Para x > 0 calcula los valores de f(x) que se 0,003 4,999 91 plantean a continuación. 0,000 4 4,999 998 4 f(1), f(3), f(5) f –1,f 7 ,5 23 0,000 05 4,999 997 5 () =1 () =3 f 3 () = 5 11 En la imagen se muestra la gráfica de una b) Encuentren el lím(5 – 10h ). 5 2 h → 0 + función racional. Observa, analiza y res- c) Calculen x para cada uno de los valores ponde las siguientes preguntas: h < 0 que se indican en la tabla. ¿Qué pue- den decir acerca de los resultados? y 3 h x = 5 – 10h² 2 x = –1 x = 2 –0,3 4,9 1 y = 0 –0,02 4,996 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 –0,001 4,999 91 –1 –0,000 5 4,999 998 4 –2 –0,000 008 4,999 997 5 –3 2 d) Hallen lím(5 – 10h ). 5 h → 0 – 63 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 63 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 63 21/1/25 16:08]]> –2. Veamos algunos valores que toma la Responde: ¿qué es una función función f en cada una de estas regiones. racional?, ¿qué es una asíntota? 3 Para x < –2: f(–5) = = –1, –5 + 2 3 3 f(–4) = = – , –4 + 2 2 3 f(–3) = = –3, –3 + 2 3 f(–2,5) = = –6, –2,5 + 2 66 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 66 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 66]]> –2: y 3 7 Interdisciplinariedad f(–1,5) = = 6, 6 –1,5 + 2 asíntota V 5 4 Matemática y Física 3 f(–1) = = 3, 3 2 Las mayores aplicaciones de la –1 + 2 asíntota H 1 matemática se dan en la física. 3 f(0) = = 1,5, –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x 0 + 2 –2 La matriz energética está 3 –3 vinculada con la producción y f(1) = = 1, –4 1 + 2 –5 consumo de energía que puede 3 –6 ser de índole eólica, térmica, f(2) = = 0,75. –7 p Figura 2.8. hidráulica, química y nuclear. 2 + 2 Esta matriz se analiza y estudia ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción En la región (ver Figura 2.8.), en la que x > –2, tenemos que la en mayor profundidad con mé- función f es estrictamente decreciente al igual que en la región todos matemáticos de modelos en que x < –2. Así, f es decreciente en el conjunto  \ {–2}. previamente elaborados, en los cuales intervienen, por ejemplo, funciones racionales. Producto de números reales por funciones racionales Sean p, q polinomios reales de grado ≤ 2, c   y f una función racio- nal definida como: Competencia comunicacional p(x) f(x) = , ∀x  Dom(f). q(x) Medioambiente La matemática contribuye con los estudios que se realizan Definición. Se define la función cf como sigue: para optimizar los recursos de p(x) energía renovables. Estos no son (cf)(x) = cf(x) = c , ∀x  Dom(f). q(x) más que recursos abundantes y limpios que no producen Si existe peligro de confusión se escribe c × f en vez de cf. gases de efecto invernadero ni otras emisiones dañinas para el Ejercicios resueltos medioambiente. 3 1. Sea f la función racional definida como f(x) = , ∀x  \{–2}. x + 2 Entonces, las funciones –3f, –1 × f, 0 × f, 10f están definidas como sigue: 3 –9 Shutterstock, 150408947 (–3f) = –3f(x) = –3 = , ∀x   \ {–2}. x + 2 x + 2 3 p Fuente de energía renovable (–1 × f)(x) = –1 × f(x) = –f(x) = – , ∀x   \ {–2}. x + 2 (0 × f)(x) = 0 × f(x) = 0, ∀x   \ {–2}. Competencia digital 3 30 (10f)(x) = 10f(x) = 10 = , ∀x   \ {–2}. Para conocer más sobre x + 2 x + 2 funciones racionales, visita esta página: lynk.ec/12m04 x 2. Sea f la función racional definida como f(x) = , ∀x   \ {–1}. 4 x + 1 Entonces, las funciones –2f, f están definidas como sigue: 5 x –2x (–2f) = –2f(x) = –2 = . x + 1 x + 1 4 4 4 x 4x f = f(x) = = . 5 5 5 x + 1 5(x + 1) 67 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 67 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 67 21/1/25 16:08]]> 0. Entonces, la s + 9s + 2 2 3 1 2 p = + – , ∀s   \ {–3,1}. función racional se (s – 1) (s + 3) s – 1 (s – 1) 2 s + 3 2 q descompone en fracciones parciales como: Para demostrar se puede partir del lado derecho y obtener el lado izquierdo que requiere de un procedimiento. Mientras que, partiendo p(x) = A + B , q(x) x – a x – b del lado izquierdo, se puede obtener el lado derecho con otro tipo de con x ≠ a y x ≠ b. procedimiento. 1 1 Siendo A, B constantes reales Supongamos que s   con s ≠ –3, s ≠ 1. Entonces, ,  . a determinar. Por la definición s–1 s+3 de igualdad de funciones racionales y, en consecuencia Partimos del lado derecho y, aplicando las propiedades algebraicas de de polinomios, se obtiene un los números reales, obtenemos el siguiente desarrollo: sistema de ecuaciones lineales 2 3 1 2(s – 1)(s + 3) + 3(s + 3) – (s – 1) 2 con incógnitas A, B. + – = (s – 1) (s + 3) 2 2 s + 3 s – 1 (s – 1) 2 2(s + 2s – 3) + 3(s + 3) – (s – 2s + 1) s + 9s + 2 2 2 = = . 2 2 (s – 1) (s + 3) (s – 1) (s + 3) M.5.1.46. Resolver aplicaciones, problemas o situaciones que pueden ser modelizados con funciones racionales, identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas, y juzgar la validez y pertinencia de los resultados obtenidos con apoyo de las TIC. M.5.1.12. Descomponer funciones racionales en fracciones parciales resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes. 70 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 70 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 70]]> 0 A ≠ 0. y satisface las propiedades del    teorema adyacente. Demostración. Sean A = (a , b ), B = (a , b ), y C = (a , b ) tres elemen- 2 1 1 3 3 2 2 tos de  . i) De la definición de producto escalar, se tiene: Competencia     comunicacional A · B = a a + b b = a a + b b = B · A. 1 2 1 2 2 1 2 1 Aprende la siguiente ii) Primeramente, A + B = (a , b ) + (a , b ) = (a + a , b + b ).   1 1 1 2 2 2 2 1 simbología matemática: Luego, por la definición del producto escalar en  , obtenemos 2   A un producto escalar de A  con A · C = a a + b b , B · C = a a + b b , entonces   B  lo denotamos por A  · B  . 1 3 1 3 2 3 2 3    (A + B) · C = (a + a )a + (b + b )b = a a + a a + b b + b b Sea A = (a, b)   . La longitud 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 2 o norma de A  se denota || A  ||. = a a + b b + a a + b b = A · C + B · C.     1 3 1 3 2 3 2 3        Después, (A + B) · C = A · C + B · C. Interculturalidad Las otras propiedades se proponen al estudiante para que investiguen Una de las mayores ma- y demuestren. nifestaciones de la cultura de un pueblo está en la música y la danza. Ecuador tiene una rique- Longitud o norma de un vector za cultural muy diversa en cada En el caso del producto escalar habitual, esta norma coincide con la una de sus regiones. Así, en longitud del vector. Esmeraldas y el Carchi, existen  asentamientos afroecuatorianos Definición. Sea A = (a, b)   . La longitud o norma de A, que se 2 que hacen música con la ma-     2 2 rimba, un instrumento traído denota ||A||, se define como ||A|| = (A · A) = a + a . del África por los esclavos, que 2 utiliza una escala pentatónica. Para todo A = (a, b)   , por la propiedad iv) de la definición de pro-    ducto escalar, se tiene A · A ≥ 0, con lo cual ||A|| está bien definido. M.5.2.15. Aplicar el producto escalar entre dos vectores, la norma de un vector, la distancia entre dos puntos, el ángulo entre dos vectores y la proyección ortogonal de un vector sobre otro, para resolver problemas geométricos, reales o hipotéticos en R . 2 74 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 74 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 74]]> 0. i. Al círculo cerrado de centro a y radio r se denota B(a, r) y se   define como el conjunto: B(a, r) = {x = (x, y)   | ||x – a|| ≤ r}.  2 Competencia comunicacional ii. La circunferencia de centro a y radio r se le denota C(a, r) y el   Históricamente, el des- conjunto es definido como sigue: cubrimiento de las secciones C(a, r) = {x = (x, y)   | ||x – a|| = r}.  2 cónicas, comúnmente llamadas cónicas, data del siglo IV a. C,   gracias al matemático griego El conjunto B(a, r) se denomina también disco cerrado de centro a y  Menecmo, quien estudió las radio r. Al conjunto B(a, r) se llama disco abierto o círculo abierto de  propiedades de las cónicas a centro a y radio r > 0. partir de su generación en el   espacio como la intersección de De la definición de los conjuntos B(a, r) y C(a, r) se tiene: un cono circular recto con un B(a, r)   , C(a, r)   . Además, C(a, r)  B(a, r), más precisamente 2 2  plano. C(a, r), es la frontera de B(a, r), y B(a, r)  B(a, r).    Las cónicas surgen a partir de la generación en el espacio como En lo sucesivo prestaremos mayor atención al conjunto C(a, r). Se  la intersección de un cono tienen la siguientes equivalencias: circular recto con un plano variablemente inclinado con el eje del cono. x = (x, y)  C(a, r) ||x – a|| = r, x = (x, y)  C(a, r) ||x – a|| ≠ r,   Responde: ¿qué es una sección x = (x, y)  B(a, r) ||x – a|| < r.   cónica? Sea x = (x, y)  C(a, r). Se tiene x – a = (x, y) – (a, b) = (x – a, y – b); luego, r = ||x – a|| = (x – a) + (y – b) , de modo que la circunferen- 2 2 2 2  cia C(a, r) es el conjunto de puntos del plano que se expresa así:  A A plano C(a, r) = {x = (x, y)   | (x – a) + (y – b) = r }. 2 2 2 2  plano A la ecuación definida como: eje eje 2 2 (x, y)   , tal que (x – a) + (y – b) = r , 2 2 O O se le conoce como ecuación cartesiana de la circunferencia de Circunferencia Elipse centro (a, b) y radio r. p Figura 2.10. M.5.2.16. Describir la circunferencia como lugares geométricos en el plano. M.5.2.17. Escribir y reconocer las ecuaciones cartesianas de la circunferencia con centro en el origen y con centro fuera del origen para resolver y plantear problemas (por ejemplo, en física: órbitas planetarias, tiro parabólico, etc.), identificando la validez y pertinencia de los resultados obtenidos. 78 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 78 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 78]]> 0. Además, da lugar a las siguientes propo- matemática siciones: Al cortar un cono con un plano también se puede 2 2 (x, y)  C(a, r) (x – a) + (y – b) = r , 2 generar una parábola o una hipérbola. 2 2 (x, y)  C(a, r) (x – a) + (y – b) ≠ r , 2 (x, y)  B(a, r) (x – a) + (y – b) > r , 2 2 2 2 2 2 (x, y)  B(a, r) (x – a) + (y – b) < r . A eje plano Los conjuntos B(a, r) y C(a, r) se representan, geométricamente en el   sistema de coordenadas rectangulares. En la Figura 2.12. a la izquierda, eje ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción se muestra el conjunto B(a, r) y, a la derecha se muestra el conjunto A plano  C(a, r) y un punto (x, y)  C(a, r).  O y y x(x, y) r x – a  C(a, r) p Figura 2.11.  a  a  r 0 x 0 x B(a, r) y  p Figura 2.12. C(0 , r) r  En el caso particular a = (0, 0), la circunferencia de centro 0 y radio r   se escribe C(0, r), y la ecuación cartesiana de la circunferencia de 0 x  centro 0 y radio r > 0 se expresa como: (x, y)   , tal que x + y = r . 2 2 2 2  Tenemos C(0, r) = {x   | ||x|| = r} = {(x, y)   | x + y = r }. y 2 2 2 2 2  En la Figura 2.13. en los dos gráficos se muestran los conjuntos C(0, r) C(0 , 1)   y C(0, 1), que representan las circunferencias de centro 0 y radios r > 0 r=1 y r = 1, respectivamente. 0 x Ejercicio resuelto p Figura 2.13. 1. Considera el conjunto  C(0, 1) = {(x, y)   | x + y = 1}. 2 2 2 3 1  El punto , pertenece a C(0, 1), pues 2 2 3 1 3 2 1 2 x = , y = , x + y = + = 1 2 2 2 2 2 2 3 1  Así, ,  C(0, 1). 2 2 y  El punto (1, 1) no pertenece a C(0, 1), pues x = 1, y = 1, C(0 , 1)  x + y = 2 >1, con lo que (1, 1)  C(0, 1). r=1 2 2 0 x 2. Una circunferencia tiene radio 2 y su centro en el punto a = (1, 2). Hallemos la ecuación de esta circunferencia. p Figura 2.14. Sea C(a, 2) entonces:  2 2 (x, y)  C(a, 2) (x – 1) + (y – 2) = 4. 79 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 79 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 79 21/1/25 16:08]]> 0. Así: 0 circunferencia (x, y)   tal que (x – x ) + (y – y ) = r . 2 2 2 2 0 0 La ecuación cartesiana de la recta tangente L a una circun- Determinemos la ecuación cartesiana de la circunferencia que pasa 2 ferencia C(x , r) en un punto por tres puntos dados u = (x , y ), v = (x , y ), w = (x , y )   no 3 3 2 1 1 2 0 dado u  C(x , r). colineales. Para el efecto, denotamos con x = (a, b) el centro de la 0 0 Sea r > 0. Consideremos circunferencia, cuyas coordenadas son desconocidas y deberán cal-  la circunferencia C(0  , r), cuya cularse en términos de los datos u, v, w. Como la circunferencia debe  ecuación cartesiana es: pasar por u, v, w, denotamos con r el radio de la circunferencia que (x, y)   , x + y = r . 2 es la distancia del centro x a cualquier punto u, v, w. Elegimos u y 2 2 2 0 calculamos r = ||u – x || o bien, Sea u = (a, b)  C(0  , r), se tiene 0  2 2 a + b = r . El vector v = (–b, a) r = ||u – x || = (x – a) + (y – b) . 2 2 2 2 2 es ortogonal a u. En efecto, 0 1 1  u · v = –ab + ab = 0. La ecuación cartesiana de la circunferencia que pasa por u, v, w es:   La ecuación cartesiana de la (x, y)   tal que (x – a) + (y – b) = r = (x – a) + (y – b) , 2 2 2 2 2 2 recta tangente L que pasa por 1 1 u = (a, b)  C(0  , r) es: en la que (a, b)   es desconocido. Simplificamos la escritura de 2  x = (x, y)   , u · (x – u) = 0. esta ecuación: 2   Como x – 2ax + a + y – 2by + b = x – 2ax + a + y – 2by + b , 2 2 2 2 2 2 2 2 u · (x – u) = u · x – u · u, 1 1 1 1      y u  C(0, r), entonces, donde: ||u|| = u · u = r . Además, –2ax + 2ax – 2by + 2by = x + y – x – y 2   2  2 2 2 2 u · x = x x + y y. 1 1 1 1  2 2 2 2 1 1 2(x – x)a + 2(y – y)b = x + y – x – y . La ecuación de la recta tangen- 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 te L a la circunferencia C(0  , r) en Ponemos ||u|| = x + y , ||x|| = x + y con x = (x, y)   . La ecua- 1 1 el punto u = (a, b) está definida ción precedente se expresa como: como: 1 2 2 (x, y)   , ax + by = r . (x – x)a + (y – y)b = (||u|| – ||x|| ). 2 2 2 1 1 Observemos que Para calcular las coordenadas a, b de x , utilizamos los puntos v y w. 0 u = (a, b)  L, pues haciendo Escribimos x = v = (x , y ) en la ecuación precedente y obtenemos:  x = a, y = b, obtenemos 2 2 1 2 2 ax + by = a + b = r . (x – x )a + (y – y )b = (||u|| – ||v|| ). 2 2 2 1 2 1 2 2 En la Figura 2.15. se muestra la  circunferencia C(0  , r), el vector De manera similar, si x = w = (x , y ), se tiene: 3 3 1 u  C(0  , r), u  v y la recta L (x – x )a + (y – y )b = (||u|| – ||w|| ).   2 2 que pasa por u. 1 3 1 3 2  Así, el sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas a, b   y se escribe: 1 2 2 v (x – x )a + (y – y )b = (||u|| – ||v|| ). 1 2 1 2 b 2 v 1 u  (x – x )a + (y – y )b = (||u|| – ||w|| ). 2 2 0 a x 1 3 1 3 2   L Como los vectores u, v, w no son colineales, los vectores p, q, defini- p Figura 2.15. dos como: p = u – v = (x – x , y – y ), q = u – w = (x – x , y – y ),  1 2 1 2 1 3 1 3 80 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 80 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 80 21/1/25 16:08]]> 0, r > 0, w = (1 – 2 , 2 – 2 ). Hallamos la ecuación cartesiana de la circunfe- C(a, r ), C(b , r ) 1 2  1 2 rencia que pasa por u, v, w. Denotamos con x = (a, b) el centro de la dos circunferencias de centros  0 2 2 circunferencia y con r > 0, su radio. Calculemos ||u|| , ||v|| , ||w|| . 2 a, b  y radios r y r , respecti-  2 1 vamente. Consideramos el ||u|| = 17, ||v|| = 4 + (2 + 3 ) = 11 + 4 3 , conjunto C(a, r )  C(b , r ). 2 2 2 2 1 2 2 2 ||w|| = (1 – 2 ) + (2 – 2 ) = 9 – 6 2 . Este conjunto puede ser vacío,  puede estar constituido por Sean: un punto, por dos puntos, o p = u – v = (1, 4) – (2, 2 + 3 ) = (–1, 2 – 3 ). puede ser C(a, r ) cuando a = b   1 q = u – w = (1, 4) – (1 – 2 , 2 – 2 ) = ( 2 , 2 + 2 ). y r = r . 2  1 1 1 En la Figura 2.17. se ilustra cada b = (||u|| – ||v|| ) = (17 – 11 – 4 3 ) = 3 – 2 3 . 2 2 1 2 2 una de estas situaciones: 1 1 2 2 b = (||u|| – ||w|| ) = (17 – 9 + 6 2 ) = 4 + 3 2 .  2 2 2 T  El sistema de ecuaciones lineales: p x = b , y 1 0 q x = b , T 0 2  se expresa como el siguiente sistema: C(a, r 1 ) C(b , r 2 ) a r 1 (–1, 2 – 3 ) = 3 – 2 3 a  r 2 b  b –a + (2 – 3 ) b = 3 – 2 3 0 a 2a + (2 + 2 ) b = 4 + 3 2 . x ( 2 , 2 + 2 ) = 4 + 3 2 b C(a, r 1 )  C(b , r 2 ) =   Resolvemos este sistema de ecuaciones. De la primera ecuación obte- nemos a = (2 – 3 )b = 3 + 2 3 y reemplazamos en la segunda, por lo y que se deduce 2((2 – 3 )b – 3 + 2 3 ) + (2 + 2 )b = 4 + 3 2, donde (2 + 3 2 – 6 )b = 2(2 + 3 2 – 6 ) b = 2. C(b , r 2 ) C(a, r 1 ) p   Luego, a = (2 – 3 )b – 3 + 2 3 = 2(2 – 3 ) – 3 + 2 3 = 1. r 1 r 2 x a  b  El centro de la circunferencia es x = (1, 2). Calculemos su radio 0 r = ||u – x ||. Tenemos q  0 r = ||u – x || = (1 – 1) + (4 – 2) = 4 = 2. 2 2 0 C(a, r 1 )  C(b , r 2 ) = {p , q }  La ecuación cartesiana de la circunferencia que pasa por u, v, w está p Figura 2.17.  definida como (x, y)   (x – 1) + (y – 2) = 4. 2 2 2 81 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 81 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 81]]> 0. Escribe la     r · C(0, 1)  C(0, r), y C(0, r)  r · C(0, 1). ecuación cartesiana de la circunferencia y representa gráficamente el conjun- Comencemos con la inclusión to C(a, r) en el sistema de coordenadas     r · C(0, 1)  C(0, r). Sea u = (x , y )  r · C(0, 1). rectangulares. 1 1  Por la definición del conjunto r · C(0, 1), existe  2  v = (x , y )  C(0, 1), tal que u = r v . a) a = (1, 0), r = 2. x + y – 2x – 3 = 0 2 2 2 1 Esto es, (x , y ) = r(x , y ). b) a = (0, 2), r = 1. x + y – 4y + 3 = 0 2 2 1 1 2 2  Considerando la definición del producto de nú- x + y + 6x + 8 = 0  2 2 meros reales por vectores y la de igualdad de ele- c) a = (–3, 0), r = 1. mentos de  , se tienen las siguientes igualdades: 2 3 x En cada ítem indica si el punto x = 1 x = rx , 2 (x , y ) = r(x , y ) 2 r v = (a, b)   que se da pertenece o 2 1 1 1 2 2 y = ry , x  1 2 y = . 1 no al conjunto C(0, 2 ). 2 r  Puesto que v = (x , y )  C(0, 1), por a) v = (1, 1). x + y = 2 2 2 2 2 Sí pertenece.  la definición del conjunto C(0, 1) se tiene b) v = (2, 0). x + y = 2 2 2 x 2 y 2 x + y = 1 y, en consecuencia, + = 1, No pertenece. 2 2 1 1 2 2 r r de donde x + y = r , o sea, 4 2 2 2 1 1  u = (x , y )  C(0, r). En cada literal, encuentra la ecuación  1 1 cartesiana de la circunferencia que pasa   Así, u  r · C(0, 1) u  C(0, 1). Es decir, por los tres puntos que se dan.    r · C(0, 1)  C(0, r). a) u = (–1, –1 – 2 ), v = (–1, –1 + 2 ),    Probemos que C(0, r)  r · C(0, 1). w = (–2, –1 – 3 ). (x + 2) + (y + 1) = 3  2 2  Sea v = (a, b)  C(0, r), por lo que v satisface la ecuación cartesiana de la circunferencia b) u = (–1, –4), v = (–1, 0), w = (2, –3). x + (y + 2) = 5   2 2 a b 2 2 2 a + b = r . Se definen x = , y = . r r Entonces, a = rx, b = ry. Reemplazando en la 5 Encuentra la ecuación cartesiana de la ecuación precedente, se obtiene circunferencia con centro en C y radio r. 2 2 2 2 2 2 (rx) + (ry) = r r (x + y ) = r , y como r > 0, 2 la aplicación de la ley cancelativa da lugar a la a) C = (0, 0) y r = 4 x + y – 16 = 0 2 2 ecuación cartesiana de la circunferencia x + y = 1. Consecuentemente, b) C = (–2, 3), r = 4 x + y + 4x – 6y – 3 = 0 2 2 2 2  v = (a, b) = (rx, ry) = r(x, y)  r · C(0, 1), c) C = (2, 0), r = 1 2 2 ya que x + y = 1. x + y – 4x + 3 = 0 2 2 d) C = (0, 3), r = 3 x + y – 6y = 0 2 2 82 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 82 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 82 21/1/25 16:08]]> 0, y ≥ 0, ∀y  , la igualdad y = 4cx tiene sentido, si y solo en día utilizamos los CD; en las si, x ≥ 0. La ecuación cartesiana (x, y)   , tal que y = 4cx, se llama canchas de fútbol, los relojes; 2 2 ecuación canónica de la parábola de directriz paralela al eje Y y foco en el básquetbol, en el centro  localizado en el eje X. El punto v = (0, 0)  (0, c) se llama vértice de de la cancha, está dibujada una circunferencia; entre otros. En la parábola. consecuencia, es importante es- tudiarla con mayor formalidad. Ejercicio resuelto La ecuación (x, y)   , tal que y = x, representa a una parábola de y 2 2 2 vértice v = (0, 0). Nota que la igualdad y = x tiene sentido en el con- L 1 y = x 2 junto de los números reales si y solo si x ≥ 0. F  –1 1 0 1 1 x  Determinemos las coordenadas del foco F = (c, 0). Se tiene 1 = 4c, – 4 4 1 donde c = . La ecuación cartesiana de la directriz de la parábola –1 4 1 1   (0, ) es x = . En la Figura 2.24. se muestran la recta L, el foco F p Figura 2.24. 4 4 y y una porción de la parábola. L Si la recta L es paralela al eje Y, y tiene como ecuación cartesiana x = c con c   , se deduce inmediatamente que la ecuación canónica de F  +  la parábola es y = 4cx. Así, (0, –c) = {(x, y)   | y = –4cx}. –c x – F  0 c x 2 2 2 Como c > 0, la ecuación (x, y)   , tal que y = –4cx, tiene sentido en x = (x, y) x � 2 2   si y solo si x ≤ 0. En la Figura 2.25. se muestra el conjunto (0, –c). p Figura 2.25. 85 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 85 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 85 21/1/25 16:08]]> 0. Se tiene la siguiente  2 equivalencia: (x, y)  (0, c) y = 4cx.  Sea (x , y )  (0, c), es decir, y = 4cx . Determinemos una recta L 2 0 0 0 0  que pasa por (x , y ) y es tangente a (0, c) en dicho punto. 0 0 y Si x = y = 0, esto es, (x , y ) es el vértice de la parábola, el eje Y es la 0 0 0 0  j  = (0, 1) recta tangente a (0, c) en (0, 0) cuya ecuación vectorial está definida como y(t) = t(0, 1), ∀t  . En la Figura 2.26. se muestran la parábola  (0, c) y la recta tangente en (0, 0). 0  = (0, 0) x 2 y = 4cx Supongamos que x ≠ 0, y ≠ 0 y L la recta tangente a la parábola 0 0   (0, c) en el punto (x , y )  (0, c), la ecuación cartesiana es: 0 0 p Figura 2.26. (x, y)   tal que y – y = m(x – x ), 2 0 0 donde m ≠ 0 es la pendiente. De la ecuación cartesiana de L se obtiene y = y + m(x – x ). Reempla- 0 0 zando en la ecuación cartesiana de la parábola, resulta: [y + m(x – x )] = 4cx (mx + y – mx ) – 4cx = 0 2 2 0 0 0 0 2 2 2 y m x + 2m(y – mx )x + (y – mx ) – 4cx = 0. 0 0 0 0 L 2 L 1 El discriminante de esta ecuación debe ser cero: (x , y ) 0 0 [2m(y – mx ) – 4c] – 4m (y – mx ) = 0. 2 2 2 0 0 0 0 L 0 x y La pendiente de la recta tangente L es m = . La ecuación cartesia- 0 L y = 4cx na de la recta tangente L es: 2x 0 2 3 y 2 (x, y)   tal que y – y = (x – x ). 0 p Figura 2.27. 0 2x 0 0  En la Figura 2.27. se muestran la parábola (0, c), y las rectas L, L , L , L 1 3 2  del haz de rectas que pasan por el punto (x , y )  (0, c). 0 0 Ejercicio resuelto  2 2 Si (0, 2) = {(x, y)   | y = 8x} y x = 2, entonces, y = 8x = 16. Elegi- 2 0 0 0  y mos y = –4. La pendiente de la recta tangente L a la parábola (0, 2) 0 y 5 y = 8x en el punto (2, –4) es m = = –1. 0 2 4 2x 0 3  y = –x+2 2 La ecuación cartesiana de la recta tangente a la parábola (0, 2) en el 2 1 punto (2, –4) es: (x, y)   tal que y + 4 = –x + 2, o bien, y = –x – 2. –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x  –1 En la Figura 2.28. se muestran la parábola (0, 2), el punto (2, –4) y la –2 recta L que pasa por (2, –4) y es tangente a (0, 2).  –3 –4 u = (2, –4) –5 Problema 2. Consideremos la parábola  (0, c) = {(x, y)   | y = 4cx}, donde c > 0, y (x , y )   , tal que 2 2 2 p Figura 2.28. 0 0  2 (x , y )  (0, c) y si x > 0, y > 4cx . En la Figura 2.29. se muestran la 0 0 0 0 0  parábola (0, c), el punto (x , y ) y L, L , L que son tres rectas de un 86 0 0 1 2 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 86 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 86]]> 0 y y > 4cx . Un punto 1 1 1 1 1 como este se denomina interior a la parábola. (x , y ) (x , y ) 0 0 L 1 1 Determinemos, si existe, una recta L que pasa por el punto (x , y ) y 2 0 x 0 0  es tangente a la parábola (0, c). Para el efecto, supongamos que la 2 ecuación cartesiana de la recta está definida como (x, y)   , así, L y = 4cx 2 y – y = m(x – x ), donde m   es la pendiente. Entonces, 1 L 0 0 y = m(x – x ) + y , y reemplazando en la ecuación de la parábola p Figura 2.29. 0 0 2 2 y = 4cx, se tiene (y + m(x – x )) – 4cx = 0. ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción 0 0 Procediendo en forma similar al desarrollo realizado en el problema 1, se obtiene la ecuación siguiente que permite hallar m. 2 x m – y m + c = 0, 0 0 Competencia y como el discriminante de esta ecuación es positivo, es decir matemática  2 d = (–y ) – 4cx > 0, pues, por hipótesis, el punto (x , y )  (0, c) y Otra forma de presen- 0 0 0 0 si x > 0, y > 4cx . Las raíces de la ecuación de segundo grado son: tar la ecuación canónica de la 2 0 0 0 y – y – 4cx y + y – 4cx parábola es: 2 2 0 0 0 0 m = , m = . 0 0 2x 2x 1 2 0 0 Ecuación canónica de la Debemos probar que las rectas L , L de las siguientes ecuaciones car- parábola 1 2 tesianas que se definen a continuación: La ecuación de la parábola de vértice V = (0, 0) y eje focal L : (x, y)   tal que y – y = m (x – x ), y = 0, (eje x) es: y = 4cx donde: 2 2 0 1 1 0 L : (x, y)   tal que y – y = m (x – x ), 2 2 0 2 0 c > ⇒ Las ramas de la pará- 0  son tangentes a la parábola (0, c). Para el efecto, debemos mostrar bola apuntan hacia la derecha. que el sistema de ecuaciones c < ⇒ Las ramas de la pará- 0 bola apuntan hacia la izquierda. (x, y)   tal que y – y = m (x – x ), 2 0 0 1 y – 4cx = 0, La expresión canónica de la 2 parábola vertical con V (0, 0) y tiene una única solución (x, y)   . 2 eje focal x = 0 (eje y) es: 2 y De la segunda ecuación, se obtiene x = . Reemplazando en la pri- x = 4cy. 2 4c mera, se tiene: Donde: y 2 2 y – y = m – x m y – 4cy + 4cy – 4cx m = 0. c > ⇒ Las ramas de la pará- 0 0 1 4c 0 1 0 0 1 bola apuntan hacia la arriba. Esta última ecuación de segundo grado con incógnita y tiene solu- c < ⇒ Las ramas de la pará- 0 ción en  si y solo si su discriminante es no negativo, es decir, bola apuntan hacia la abajo. 2 d = 16c – 4m (4cy – 4cx m ) = 16c(x m – m y + c). Coordenadas del foco: F(0, c) 2 1 0 0 1 0 1 1 0 y la ecuación de la directriz y Pero m es solución de la segunda ecuación x m – my + c = 0, en- = –c. 2 1 0 0 tonces d = 0. Consecuentemente, La ecuación de la parábola con 4c c y = = 2 . vértice fuera del origen es: 2m 1 m 1 2 y 2 1 c 2 c Horizontal: (y – k) = ±4p(x – h) Luego, x = = 2 = . El punto de tangencia es 4c 4c m 1 m 1 2 Vertical: (x – h) = ±4p(y – k) 2 c c c 1 , 2 = , 2 . En forma similar se procede con m . m 1 2 m 1 m 1 m 1 2 87 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 87 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 87 21/1/25 16:08]]> c y b = a – c , F = (–c, 0), 2 2 Desequilibrio cognitivo 1   F = (c, 0). La elipse de centro 0 y de eje transverso al eje x se denota 2  Además de la circun- con E(0, a, b) y se define como el conjunto ferencia, ¿qué otras curvas    2 reconoces? E(0, a, b) = {x   | ||x – F || + ||x – F || = 2a}. 1 2   Los puntos fijos F = (–c, 0) y F = (c, 0) se llaman focos de la elipse, y 2 1   la recta que pasa por F y F se llama eje transverso. 1 2   De la definición del conjunto E(0, a, b) es claro que E(0, a, b)   2  y E(0, a, b) ≠ Ø, como se mostrará más adelante. 2 Sea x = (x, y)   . Entonces,   x – F = (x, y) – (–c, 0) = (x + c, y), x – F = (x, y) – (c, 0) = (x – c, y). 1 2 Competencia comunicacional Luego,   ||x – F || = (x + c) + y , ||x – F || = (x – c) + y . 2 2 2 2 Aprende este sinónimo: 1 2 A la ecuación cartesiana de la Tenemos la siguiente equivalencia: elipse    x = (x, y)  E(0, a, b) ||x – F || + ||x – F || = 2a 2 x = (x, y)   tal que 1 2 (x + c) + y + (x – c) + y = 2a. 2 2 2 2 x 2 + y 2 = 1. a b se la conoce como ecuación Para obtener la ecuación cartesiana de la elipse, consideramos la canónica. ecuación: 2 2 2 x = (x, y)   tal que (x + c) + y + (x – c) + y = 2a, 2 2 de donde (x + c) + y = 2a – (x – c) + y . Elevando al cuadrado 2 2 2 2 ambos miembros, obtenemos: (x + c) + y = 4a – 4a (x – c) + y + (x – c) + y , 2 2 2 2 2 2 2 x + 2cx + c + y = 4a – 4a (x – c) + y + x – 2cx + c + y , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y luego de simplificar x + y + c , se deducen las igualdades siguientes: 2 Competencia comunicacional 2 2 2 2cx = 4a – 4a (x – c) + y – 2cx, Aprende la siguiente 4cx – 4a = – 4a (x – c) + y , 2 2 2 simbología matemática: cx a – = – (x – c) + y . 2 2 • A la elipse de centro 0  y de a eje transverso al eje x se la Nuevamente, elevamos al cuadrado en ambos miembros de esta denota con E(0  , a, b). última igualdad: x ≠ (x, y)  E(0  , a, b) ⇔ a – = (x – c) + y , 2 cx 2 2 x 2 y 2 a + = 1. a b c x 2 2 2 a – 2cx + = x – 2cx + c + y , 2 2 2 a 2 M.5.2.16. Describir la elipse como lugares geométricos en el plano. M.5.2.17. Escribir y reconocer las ecuaciones cartesianas de la elipse con centro en el origen y con centro fuera del origen para resolver y plantear problemas (por ejemplo, en física: órbitas planetarias, tiro parabólico, etc.), identificando la validez y pertinencia de los resultados obtenidos. 90 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 90 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 90]]> c, entonces, a – c > 0. Ponemos b = a – c y reem- 2 2 2 2 plazamos en la última ecuación: y b x b 2 x 2 y 2 – x – y = –b , de donde + = 1, 2 2 2 a 2 a 2 b 2 x 2 y 2 o también, + = 1. –a F  = (–c, 0) F  = (c, 0) a x 1 a b 2 2 ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción x y 2  Así, x = (x, y)  E(0, a, b) + = 1. –b a b X  = (x, y) es un punto de la A esta última ecuación se la conoce como ecuación cartesiana de la elipse.  elipse de centro 0 y eje transverso al eje X. F  y F  son los focos de la elipse. 1 2  El conjunto E(0, a, b) puede ser expresado así: 0  es el centro de la elipse. x 2 y 2 La suma de las distancias desde  2 E(0, a, b) = x = (x, y)   | + = 1 . a b un punto X  a los puntos fijos llamados focos es siempre   Dados a, b   , las coordenadas de los focos F y F se obtienen de la constante e igual a 2a con a > 0. + 2 1 ecuación c = a – b . Nota que a > b. La ecuación cartesiana de la 2 2 2 elipse con centro en el origen Definición. La excentricidad de la elipse se designa con e y se define 0  es: y x 2 2 como: + = 1, c a – b 2 b 2 a b 2 e = = = 1 – . donde a > 0 y b > 0. a a a c Como a > c, se sigue que e = < 1; es decir que la elipse es una a sección cónica que tiene excentricidad menor que 1. En la Figura 2.30.     se muestran el conjunto E(0, a, b), los focos F y F , así y un punto X = 2 1 (x, y) de la elipse. Con la ecuación de la elipse podemos determinar las intersecciones de la elipse con los ejes coordenados, del siguiente modo: y 2 si x = 0, obtenemos = 1, de donde y = ±b; cuando y = 0, y b x 2 b obtenemos = 1, con lo que x = ±a. Así, la intersección x a de la elipse con el eje X es conformada por los puntos v = (–a, 0) y 1 v = (a, 0), que se conocen como vértices de la elipse. La intersección –a F  = (–c, 0) F  = (c, 0) a x 2 2 1 de la elipse con el eje Y es conformada por los puntos u = (0, –b) y 1 u = (0, b). La distancia d(v , v ) = ||v – v || = 2a se llama eje ma- –b 1 2 2 2 1 yor de la elipse; y la distancia d(u , u ) = ||u – u || = 2b se llama eje p Figura 2.30. 2 1 2 1 menor de la elipse. En los ejercicios se propone obtener la ecuación cartesiana de la elipse    + E(0, a, b), donde a, b, c   , y los puntos F = (0, –c) y F = (0, c) fijos 1 1 están localizados en el eje Y. 91 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 91 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 91 21/1/25 16:08]]> c y, b = a – c , + 2 2 2   F = (0, –c), F = (0, c). 1 2 1 Considera la elipse: La elipse de centro 0 y de eje transverso el  x y 2 2  E(0, 5, 3) = x = (x, y)   | + = 1 . eje y se denota con E y se define como el 2 5 3 conjunto   E = x   | ||x – F || + ||x – F || = 2a . 2 1 2 6 6 a) Verifica que los puntos 1, – , (–5, 0),   5 Los puntos fijos F = (0, –c), F = (0, c) se 2 1  (0, –3) pertenecen a E(0, 5, 3). llaman focos de la elipse y la recta que pasa   ) – 66 ( –5,0 ;sípertenece. por F y F se llama eje transverso. Obtén: 2 1 c , 1 5 m ; íspertenece ( ) 2 y 2 2 x 0,3; sí pertenece.  50 (, ); íspertenece – b) Verifica que los puntos (2, 1), (1, 3), (0, –4) E(0, a, b) = x = (x, y)   | + = 1 . b a (, ); íspertenece 03  no pertenecen a E(0, 5, 3). y (2, 1); no pertenece: (1, 3); no pertenece: (0, –4); no pertenece. E 0 a x b j 2 + a k 2 = 1 (, ,)bes ` a c) Escribe los vértices de esta elipse, obtén los 50 , ) ( V ! focos y calcula la excentricidad. 5 La elipse ) 3 V (, ! 0 ( V ! 50 , ) ( F ! 40 , ) x 2 y 2 2 V (, ! ) 3 e = 4 5 < 1 E = x = (x, y)   | + = 1 0 ( F ! 40 , ) 5 2  d) Representa gráficamente E(0, 5, 3). se traslada al centro c = (–1, 2). 4 < 1 e = 5 2 Considera la elipse: a) Muestra que: E(c, 5, 2), 2 y – 2 2 x + 1 2 x 2 y 2 E = x = (x, y)   | + = 1. 2 5 E = x = (x, y)   | + = 1 . 2 5 3 Obtén los focos de E(c, 5, 2) y sus vértices. Obtén las coordenadas de los focos y calcula la excentricidad. Compara su resultado con b) En el mismo sistema de coordenadas rec- 2   F = (– 2 , 0), F = ( 2 , 0), e = . tangulares, traza las gráficas de las elipses E. 1 2 5 , ), , ), e = F1 = (– 20 F2 = ( 20 2 5 6 La elipse 3 Obtén la elipse E que pasa por los puntos E = x = (x, y)   | + = 1 2 2 x y 2 3 3 3 6 – , 2 , , 2 . se traslada al centro c = (4, –1). 2 2 Para el efecto, considera que x 2 y 2 a) Muestra que: E(c, 3 , 6) = x = (x, y)  E + = 1. a b 2 x – 4 2 y + 1 2 Comprueba: x = (x, y)   | + = 1 . 6 3 y 2 2 2 E = x = (x, y)   | x + = 1 . Obtén los focos de E(c, 3 , 6) y sus vértices. 4 Obtén los focos, calcula la excentricidad y 2 x 2 y representa gráficamente esta elipse. b) En el mismo sistema de coordenadas rec- + 1 = 1 16 F (, 0 ! ) 3 tangulares, traza las gráficas de las elipses E x 2 y 2 3 1 + 16 = 1 e = 4 < 1 y E(c, 3 , 6). F (, 0 ! ) 3 3 e = 4 < 1 94 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 94 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 94]]> a, se tiene que 1 2 c Por otro lado, de la propiedad de la norma siguiente: e = > 1. | ||x|| – ||y|| | ≤ ||x – y|| ∀x, y   , así:  2  a       2a = | ||x – F || – ||x – F || | = | ||F – x|| – ||x – F || | ≤ ||F – F || = 2c, 2 2 1 2 1 1  con lo que si x  ℋ(0, a, b), resulta:     2a = | ||x – F || – ||x – F || | ≤ ||F – F ||. 1 2 1 2   y En la Figura 2.35. se muestran los focos F , F y un punto 2 1  x = (x,y)   que pertenece a la hipérbola ℋ(0, a, b). 2 x – F  2 b x Obtengamos la ecuación cartesiana de la hipérbola. De la definición –c c x – F  1  F  2 –a 0 F  1 x del conjunto ℋ(0, a, b) se sigue que: –b a    x = (x, y)  ℋ(0, a, b) | ||x – F || – ||x – F || | = 2a 1 2 2 2 2 2 | (x + c) + y – (x – c) + y | = 2a. p Figura 2.35. M.5.2.16. Describir la hipérbola como lugares geométricos en el plano. M.5.2.17. Escribir y reconocer las ecuaciones cartesianas de la hipérbola con centro en el origen y con centro fuera del origen para resolver y plantear problemas (por ejemplo, en física: órbitas planetarias, tiro parabólico, etc.), identificando la validez y pertinencia de los resultados obtenidos. 96 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 96 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 96 21/1/25 16:08]]> 0. Multiplicando por la igualdad anterior, Competencia 2 2 b 2 2 2 matemática y x se obtiene la ecuación (x, y)   tal que – = 1, 2 a b Los puntos v = (–a, 0), 1 v = (a, 0) se llaman vértices de a la cual se le conoce como ecuación cartesiana de la hipérbola con la hipérbola. 2 eje X como eje principal. De la ecuación (x, y)   tal que 2 x y 2 2 Si se considera la ecuación: – = 1, se sigue que a b 2 2 2 2 2 (x, y)   , tal que (x + c) + y – (x – c) + y = 2a y 2 x 2 y 2 = – 1, y como ≥ 0, b a y procediendo como en el caso previo, se obtiene la ecuación: resulta que – 1 ≥ 0, b 2 x 2 x y 2 (x, y)   tal que – = 1, a 2 a b de donde ≥ 1, con lo que x 2 que es exactamente la misma obtenida anteriormente. De estos resul- a  tados, el conjunto ℋ(0, a, b) se escribe como: x  ]–∞, –a] < [a, ∞[. y x 2 2  ℋ(0, a, b) = (x, y)   | – = 1 , 2 a b donde 0 < a < c y b = c – a . 2 2 2 97 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 97 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 97]]> 1 2 4 5 –5 Asíntotas y = 4 ; x y = 4 x 5 Sigue paso a paso la solución del ejercicio 8 Sea la hipérbola (0,1,3. ) H y, al final, traza en tu cuaderno las gráficas de la hipérbola y de la recta tangente T. a) Identifica la ecuación de la hipérbola con eje x como eje principal. Considera la hipérbola siguiente: H (  0,3,3) ⎧ ⎪ , ( =⎨ xy ) ∈  x 2 ⎛ ⎞ y 3⎠ 2 1 . ⎫ ⎪ 2 –⎜ ⎟ = ⎬ ⎝ ⎩ ⎪ 2 2 x y –10,0) 1 (  F = 2 ℋ(0, 3, 4) = (x, y)   | – =1 . b) Obtén los focos de la hipérbola. ⎭ ⎪ 3 4 F 1 ( –10,0) F 2 ( 10,0) = = : = Halla la recta tangente c) Calcula las asíntotas. Ry 3x 1 Ry 3x 10,0) 2 ( = F : = –3x : = 2 Ry 16 1 a la hipérbola en el punto 5, . 2 Ry –3x : = 3 Trabajo colaborativo  De la definición ℋ(0, 3, 4), se tiene a = 3, b = 4. Diversidad funcional Por otro lado, se verifica inmediatamente que en el aula 16  5,  ℋ(0, 3, 4). La pendiente de esta 3 Si tienes compañeros que tienen dificultades recta está definida como: con el cálculo de los elementos de la hipérbola, 2 b x 4 2 5 5 procura ayudarlos mediante gráficos que permi- m = = = . 0 2 a a 2 3 16 3 tan interpretar y visualizar el problema. 3 La recta tangente T a la hipérbola en el punto Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan. 16 5, está definida como 3 9 5 16 T = x = (x, y)   | y = + (x – 5) . Obtengan la hipérbola ℋ que pasa por 2 3 3 los puntos (2, 3 2 ), (4, 3 5 ) y tiene y = 5 3 x 3 como eje principal el eje y. – 6 La hipérbola a) Comprueben que: y x 2 2 x 2 y 2 ℋ = x = (x, y)   | – = 1 . 2 2 ℋ = x = (x, y)   | – = –1 8 6 5 2 se traslada al centro c = (–1, 2). b) Obtengan los focos. c) Calculen la excentricidad. Trabaja en tu cuaderno. d) Representen gráficamente esta hipérbola. 101 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 101 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 101 21/1/25 16:08]]> 0. camina a x kilómetros por hora está Observamos que esta función tiene dos asíntotas: dada por la función 5 5 V = {(0, y) | y  }, V = {(x, x) | x  }, f(x) = x + x + 10; mientras que 2 1 2 3 3 con V que coincide con el eje y, y V que se iden- el consumo de oxígeno para una persona que 1 2 tifica con la recta de ecuación cartesiana y = x. corre a x kilómetros por hora está dada por En la figura que sigue se muestran varias gráficas g(x) = 11x + 10. Shutterstock, 604824566 para valores distintos del área A. a) ¿Cuáles son los gráficos de x y de y, trazados y en un mismo plano? b) ¿A qué velocidad es idéntico el consumo de oxígeno para una persona que camina y para otra que corre? c) ¿Qué sucede con el consumo de oxígeno para ambas personas a velocidades mayores que la A 3 A 2 determinada en b? A 1 Tomado de: http://netlizama.usach.cl/ Apuntes%20Medicina%20(Veronica).pdf y = x 0 x 4. Investiga en Internet, plantea y resuelve proble- mas relacionados con la aplicación de la circun- Cuando x = 2A , se tiene el valor mínimo por ferencia, parábola, elipse e hipérbola. Realiza un cercar L( 2A ) = 2 2A . El costo a pagar es gráfico en cada caso. 2 2A C$. 102 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 102 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 102]]> –2 la función es estrictamente decreciente. a) Dom(f) =  \ {1}. b) En la región x > –2 la función es b) Dom(f) =  \ {–1}. estrictamente creciente. c) Dom(f) =  \ {0}. c) En la región x > 2 la función es d) Dom(f) =  \ {2}. estrictamente creciente. c) d) En la región x < –2 la función es 10 Una asíntota vertical de la función racional estrictamente creciente. a) 2 2x + 1 p(x) f(x) = = q(x) x 12 La ecuación cartesiana de la recta L, tan- es el conjunto: gente a la circunferencia C(0, 2) de centro 0   y radio 2, en el punto u = (0, 2), es:  a) R = {(0, y) | y  }. b) R = {(0, y) | x  }. a) y = 2. b) y = –2. c) y = 4. d) y = –42. c) R = {(x, 0) | x  }. a) d) R = {(0, 0) | y  }. a) Autoevaluación Siempre A veces Nunca Grafico sin dificultad funciones racionales. Determino fácilmente las ecuaciones de las asíntotas de una función racional. Identifico la monotonía de una función racional. Reconozco las diferentes cónicas y su ecuación. Coevaluación Siempre A veces Nunca Al trabajar en equipo aportamos para resolver problemas relacionados con las cónicas. Trabajar en equipo favorece el aprendizaje colaborativo. Metacognición a) ¿Qué es lo que más recuerdas de esta unidad? b) ¿Qué ejemplo de aplicación puedes mencionar de las cónicas? 109 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 109 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 109]]> 0, ∀n  N, a = αa + donde a , a  R dados, conociendo los precedentes. n n+1 n a 0 1 + α, β  R constantes y n  Z . n–1 113 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 113 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 113]]> 0, ∀n  N que muestra que (u ) es una suce- n+1 n n sión estrictamente creciente. Ejercicio resuelto a b Glosario Los cuatro primeros términos de una progresión aritmética son: 15; 12,5; c progresión. Sucesión de 10; 7,5. Determinemos el término general de la progresión aritmética. números o términos algebraicos entre los cuales hay una ley de Ponemos u = 15, u = 12,5. 0 1 formación constante. Luego, u = u + d ⇔ 12,5 = 15 + d ⇔ d = –2,5. 1 0 u = u + d = 12,5 – 2,5 = 10, 1 2 u = u + d = 10 – 2,5 = 7,5, 3 2  u = u + d = u + (n + 1)d = 15 – 2,5(n + 1), n  N. n+1 n 0 Como u – u = –2,5 < 0, ∀n  N, se sigue que (u ) es una sucesión n n n+1 estrictamente decreciente. El recorrido de esta sucesión es el conjunto {15 – 2,5n | n  N}. M.5.1.54. Reconocer y calcular uno o varios parámetros de una progresión (aritmética o geométrica), conocidos otros parámetros. M.5.1.56. Resolver ejercicios numéricos y problemas con la aplicación de las progresiones aritméticas, geométricas y sumas parciales finitas de sucesiones numéricas. 118 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 118 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 118]]> 0, ∀n  N, se sigue n+1 n n n+1 n que (u ) es una sucesión estrictamente creciente. El recorrido de esta n sucesión es el conjunto {3 × 2 | n  N}. n M.5.1.54. Reconocer y calcular uno o varios parámetros de una progresión (aritmética o geométrica) conocidos otros parámetros. M.5.1.56. Resolver ejercicios numéricos y problemas con la aplicación de las progresiones aritméticas, geométricas y sumas parciales finitas de sucesiones numéricas. M.5.1.55. Aplicar los conocimientos sobre progresiones aritméticas, progresiones geométricas y sumas parciales finitas de sucesiones numéricas para resolver aplicaciones, en general y de manera especial en el ámbito financiero, de las sucesiones numéricas M.5.1.57. Reconocer las aplicaciones de las sucesiones numéricas reales en el ámbito financiero y resolver problemas, juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema. M.5.1.58. Emplear progresiones aritméticas, geométricas y sumas parciales finitas de sucesiones numéricas en el planteamiento y resolución de problemas de diferentes ámbitos. 122 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 122 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 122]]> 1, la progre- n+1 n sión es creciente, y decreciente Si d = 1, entonces (u ) es la sucesión constante a, en cuyo caso cuando 0 < r < 1. n S = (n + 1)a. Si d ≠ 1, entonces • Se calcula dividiendo un tér- n n mino por el que le precede. d – 1 1 – d n+1 n+1 ∑ S = a d = a = a . • La razón puede ser un núme- k n d – 1 1 – d k=0 ro positivo o negativo. Particularmente, si a = 1, obtenemos: Notación y término n-ésimo. n d – 1 n+1 ∑ 2 S = 1 + d + d + … + d = d = , si d ≠ 1. a = primer término; r = razón n j n d – 1 o diferencia; n = número de j=0 términos n – 1 Ejercicios resueltos Término n-ésimo Un = a • r , 1. De una progresión geométrica (g ) se conocen los términos el último término: l = ar n–1 n 9 243 Suma de los primeros g = , y g = . 2 8 5 64 términos. Obtén el término general de esta progresión, así como la suma de ⎛ r n –1 ⎞ lr – a los n primeros términos. S n = ⋅ a ⎜ ⎝ –1 ⎟ ⎠ ;,S = r –1 r Se ha visto que el término general de una progresión geométrica Aplicación de progresiones (g ) está definido como g = ad , n  N. Con la información dada, en finanzas: Valor futuro. n n n obtenemos las constantes a y d. Tenemos el siguiente par de ecua- VF n =VF n–1 +int =VF n–1 ( ) =r1 + VP ( ) r1 + n ciones: VF 9 243 VP = n n g = = ad , g = = ad . ( +r ) 1 5 2 8 64 5 2 Donde: 9 De la primera ecuación se obtiene a = , y se reemplaza en VP = Valor..presente..o..actual 8d 2 243 9 9 VF = Valor..final..o..futuro la segunda ecuación, = d = d , 3 5 64 8d 2 8 Define con tus palabras qué es 27 3 una progresión geométrica. de donde d = , y en consecuencia, d = . Calculamos a: 3 8 2 9 9 1 a = = = . 8d 2 3 2 2 8 2 Así, el término general de la progresión geométrica está dado 1 3 n como = , … n  N. g n 2 2 Nota que esta sucesión es estrictamente creciente. 123 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 123 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 123 21/1/25 16:08]]> 0 i i Probabilidad P[X = x] 1/4 1/2 1/4 n i ∑ p[X = x] = 1; i i=1 La interpretación que damos a la función de probabilidad es la es decir, siguiente: p[X = x ] + p[X = x ] +… 1 2 + p[X = x ] = 1. n ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción p[x = 0] = 1/4; es la probabilidad de obtener cero caras. p[x = 1] = 1/2; es la probabilidad de obtener una cara. Las propiedades de la función de p[x = 2] = 1/4; es la probabilidad de obtener dos caras. distribución son las siguientes: • La función es creciente, con Función de distribución lím F(x) = 0 y lím F(x) = 1 Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores x , x ,… x , x→–∞ x→∞ n 1 2 se define la función de distribución de X como: • p[a < x ≤ b] = p[x ≤ b] – p[x ≤ a] ∑ F(x) = p(X ≤ x) = p[X = x]. • p[x > a] = 1 – p[x ≤ a]. x i 2] = 0 b) p[x < 1] = 0,2 c) p[1 < x ≤ 2] = 0,6 3 Analiza y responde. Se desea realizar un estudio sobre el número de crías en una camada. Se define la variable aleatoria dis- 5 La función de distribución de una varia- creta X = “número de crías de una cama- ble aleatoria discreta X se define así: da”; x toma los valores 0, 1, 2, 3, con las pro- i babilidades que se muestran en la tabla. 0, si x < –4. F(x) = 2/5, si –4 ≤ x < 0. x 0 1 2 3 3/5, si 0 ≤ x < 4. i P[X = x] 0,2 0,3 0,3 0,2 1, si x ≥ 4. i Elabora el gráfico de la función de dis- tribución. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una cama- da tenga dos crías? 30 % 6 Se desea realizar un estudio sobre el nú- b) Efectúa el gráfico de la función de probabi- mero de estudiantes varones en un aula; lidad. x toma los valores de 0, 1, 2, 3, 4, 5; con i las probabilidades de 0,05; 0,15; 0,20; 0,15; 0,25; 0,20. 130 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 130 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 130]]> 40]. 0,4 menos dos estudiantes varones. p[X ≥ 2] = 80 % e) p[30 ≤ x ≤ 60]. 1 c) Calcula la probabilidad de que en el aula haya tres estudiantes varones o menos. f) p[30 ≤ x < 60]. 0,7 p[X ≤ 3] = 55 % d) Halla la probabilidad de que haya menos de g) p[30 < x ≤ 60]. 0,6 ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción tres estudiantes varones. p[X < 3] = 40 % h) p[30 < x < 60]. 0,3 e) Determina la probabilidad de que en el aula no haya ni un estudiante varón. i) Dibujen en su cuaderno los gráficos de la p[X = 0] = 5 % función de probabilidad y de la función de f) Determina la probabilidad de que en distribución. el aula haya más de tres estudiantes varones. 8 Problema-decisión p[X > 3] = 45 % Analiza y decide los procedimientos para resolver el siguiente ejercicio. Trabajo colaborativo Se define la variable aleatoria discreta X = “número de caras que se obtiene al Diversidad funcional lanzar tres monedas al aire”. en el aula a) Realicen un diagrama de árbol y determi- Cuando trabajamos en grupos, es necesario que nen el espacio muestral. cada uno tenga una responsabilidad individual; de tal manera que todos participemos y valore- b) ¿Cuál es la función de probabilidad? ¿Qué mos el el trabajo que estamos realizando. significa? c) Elaboren en su cuaderno el gráfico de la Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan. función de probabilidad. 7 Una variable aleatoria X puede tomar d) Determinen la función de distribución. los valores 30, 40, 50 y 60 con probabi- lidad de: 0,4; 0,2; 0,1 y 0,3. Representen e) Dibujen en su cuaderno el diagrama de la en una tabla la función de probabilidad función de distribución. p(X = x), y la función de distribución de probabilidad F(X) = p(X ≤ x). Determi- 9 nen las siguientes probabilidades: Una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X está determi- nada por la siguiente tabla: a) p[x ≤ 25]. 0 x 1 2 3 4 5 i b) p[x ≥ 60]. 0,3 p i 0,1 0,3 0,2 0,3 • ¿Cuál es el valor de p[x = 3]? 0,1 131 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 131 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 131]]> 0, L medido en metros o en centímetros, consi- 2 4 (2 ) deremos un cubo de lado L. El área de la superficie Se tiene 64 cubos. El área total de las superficies 2 del cubo es A = 6L y su volumen es V = L . 3 de todos los cubos contenidos es: 0 0 1 2 Dividamos el cubo en 8 partes iguales, como se  = 64A = 64 A = 2 A . 0 (2 ) 2 2 2 0 2 muestra en la Figura 3.5. El volumen de cada cubo es : L L 2 3 L 1 1 2 V = = = V = V , L 2 (2 ) (2 ) 0 2 6 0 3 2 2 3 2 y el volumen total de todos los cubos es: 1 V = 64V = 2 V = V . � 6 2 2 2 6 0 0 Continuando con este procedimiento, en la k-ési- ma etapa se obtienen las siguientes progresiones L geométricas: k número total de cubos: (2 ) , k = 0,1… 3 área de superficie de cada cubo: L 1 2  = A , k = 0,1… L k 2 2 k 0 2 � k L área total de todos los cubos: A = 2 A , k = 0,1… k 0 2 1 p Figura 3.5. volumen de cada cubo: V = V , k = 0,1… k 2 3 k 0 Practica en tu cuaderno L 3 1 2. Una persona decide invertir una suma de dólares El volumen de cada cubo es V = = V , S a una tasa nominal % anual, en un tiempo de 1 2 2 3 0 y el área de la superficie de cada uno de los cubos años. El interés se capitaliza 4 veces al año. resultantes es a) Prueba que el monto compuesto al final L 2 1 1 del primer año es 2 A = 6 = (6L ) = A . 0 1 4 2 4 4 M = S 1 + . El área total de la superficie de todos los cubos es 1 4 Demostración la suma de las áreas de las superficies de cada uno b) Supón que = 0,06 % y S = $ 1 000,00. de los cubos; esto es, Calcula M . $ 1 061,36 1 1 � A = 8A = 8 × A = 2A ; 1 1 4 0 0 c) Supón que = 0,05 % y S = $ 8 000,00. Calcula M . $ 8 407,56 1 136 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 136 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 136]]> 0. Entonces, como 0 < |h | < h ≤ |h|, y por Los primeros trabajos en esta dirección fueron realizados por la desigualdad triangular, se tiene: Fermat, Newton, Leibniz entre d(10, Q(h)) = | 6h + 2h + h ≤ 6|h| + 2h + |h| < |h| < ε, otros, pero, fue Fermat quien | 1 33 1 2 2 3 3 4 4 4 obtuvo un método para hallar 4ε 4ε de donde 0 < |h| < . Así, 0 < |h| < d(10, Q(h)) < ε, la ecuación de la recta tangente a una curva definida por una 33 33 función polinomial mediante el que significa que: análisis del cociente incremental. 1 p(2 + h) – p(2) lím = lím (32 + 24h + 8h + h ) + 2 = 10. 2 3 h→0 h h→0 4 A este número real se le llama derivada de la función p en el punto Wikimedia Commons dp x = 2. Se escribe (2) = 10. dx Reglas básicas de derivación de funciones algebráicas La derivada de una función se puede obtener directamente utilizando ciertas reglas básicas de derivación. Estas nos ayudan a simplificar el proceso de derivación, ahorrar tiempo al derivar y disminuir el riesgo de equivocarnos cuando se trata de funciones largas. Nombre Regla Ejemplos Sea c una constante, fx 9 () = Derivada de una constante x = f () cf x 0 f '( ) = 0 ; '() = x Sea y ()fx = x n fx x 5 + () = nÎ! Derivada de una potencia 1 f '( ) = nx n- fx = 4 x '( ) 5x Sea c una constante: Sea c una constante Derivada del producto de una fx = 5 () 2x x x = constante por una función g () cf () fx = x 4 fx = 4 '( ) 2.5 ; '( ) 10x x g '( ) cf '( ) x = Sean f, g dos funciones y h definida por: 2 () x - Derivada de la suma o diferencia hx f () g () hx = 3 2x + 3 x x () = ± de funciones hx = 2 4x '( ) 3x - ± hx f '( ) g '(x ) x '( ) = Sean f, g dos funciones y h definida por: hx x 5 (x - 2) 2 ( ) = Derivada del producto de dos hx f () g () 5 2 4 × x () = x + '( ) = x funciones hx x (2 ) (x - 2)5x x x x h '() = f () g '() gx × '() hx = 6 10x 4 x () f × + '( ) 7x - Sean f, g dos funciones y h definida por: x + 2 2 () = hx , fx x - 1 () hx ; g(x) 0. 2 ( ) = ¹ ( ) (x - Derivada del cociente de dos gx hx ( x 1) 2 x - + 2) ( ) 1 , () '( ) = funciones g () fx - × '() f ()xg '() ( x - ) 1 2 × x x '( ) = hx gx [ ( )] 2 2 2 x - 2x - hx 2 '( ) = ( x - ) 1 149 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 149 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 149 21/1/25 16:08]]> 0 que tienden o L (1) h problema de esta naturaleza se aproximan a 0. También se f(a+h ) P 4 P 3 P 2 L L L (2) (3) h h Ministerio de Agricultura y Ganaderia Ecuador. www.flirck.com implica el uso de la derivada por el punto P y por cada uno 1 2 0 3 4 P 0 a+h 4 p Figura 4.1. muestran las posiciones de las para su solución. (1) (2) (3) rectas L , L , L , …, que pasan 4 h h h f(a) 0 de los puntos P , P , P , …, res- x a+h 2 4 3 1 pectivamente, y la recta tangen- te L a la gráfica de la función f. Para |h| que tiende a 0, los puntos P , P , P , P , … se aproximan cada (3) (1) (2) 0 h h h se aproximan cada vez más a la pendiente m de la recta L. En tal caso se escribe f(a + h) – f(a) ¿Valoras el estudio de la mate- vez más a P = (a, f(a)), y las pendientes de las rectas L , L , L , … df(a) mática? Justifica tu respuesta. m = lím Q(h) = lím = . h dx h→0 h→0 Así, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función df polinomial f en el punto x = a es (a). La ecuación cartesiana de la dx recta tangente a la gráfica de la función f está definida como: df(a) (x, y)   , tal que y – f(a) = (x – a). 2 dx M.5.1.48. Interpretar de manera geométrica (pendiente de la secante) y física el cociente incremental (velocidad media) de funciones polinomiales de grado ≤4, con apoyo de las TIC. M.5.1.51. Calcular de manera intuitiva la derivada de funciones racionales cuyos numeradores y denominadores sean polinomios de grado ≤2, para analizar la monotonía, determinar los máximos y mínimos de estas funciones y graficarlas con apoyo de las TIC (calculadora gráfica, software, applets). 152 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 152 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 152]]> p(v). en el ámbito de la óptica, utili- zamos el cálculo de derivadas y iv) Se dice que p es decreciente en el conjunto A si y solo si se verifi- los valores máximos y mínimos ca la condición: de una función. ∀u, v  A, u < v ⇒ p(u) ≥ p(v). v) Se dice que p es monótona en el conjunto A si allí p es creciente o decreciente. En cursos más avanzados se demuestra que una función p es estric- Shutterstock, 377986132 df(x) tamente creciente en el conjunto A si y solo si > 0, ∀x  A. dx De manera similar, p es estrictamente decreciente en el conjunto A Responde: ¿cómo se puede df(x) interpretar geométricamente y si y solo si < 0, ∀x  A. físicamente la derivada de una dx función? La función p es creciente en el conjunto A si y solo si df(x) ≥ 0, ∀x  A; y, p es decreciente en el conjunto A si y solo si dx df(x) ≤ 0, ∀x  A. dx 153 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 153 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 153 21/1/25 16:08]]> 0. diciones para obtener máximos dx y mínimos, la velocidad de los ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción dp(x) Entonces, > 0 ⇔ 6(x + 3)(x – 2) > 0 ⇔ x  ]–∞, –3[  ]2, ∞[, cuerpos en movimiento, entre dx otros. dp(x) y la función es estrictamente decreciente si y solo si < 0, luego dx dp(x) < 0 ⇔ 6(x + 3)(x – 2) < 0 ⇔ x  ]–3, 2[. dx Estos resultados se resumen a continuación: Flavio Muñoz M. Colección Rally p estrictamente creciente en el intervalo ]–∞, –3[  ]2, ∞[, p estrictamente decreciente en el intervalo ]–3, 2[. En el punto x = –3, la función p tiene un máximo local, mientras que Indaga y escribe otras aplica- ciones del cálculo diferencial en en x = 2, la función tiene un mínimo local. la vida cotidiana. Por otro lado, p(0) = 1, es decir que la gráfica de la función p corta al eje y en el punto (0, 1). Para hallar los puntos de corte de la gráfica de p con el eje x, se debe resolver la ecuación en el conjunto : p(x) = 0 ⇔ 2x + 3x – 36x + 1 = 0, a b Glosario 2 3 lo cual no es tarea fácil. c diferencial. Diferencia infinitamente pequeña de una La función p no es par, pues p(–x) ≠ p(x), ∀x  ; tampoco es impar, variable. ya que p(–x) ≠ –p(x), ∀x  . Al emplear un programa para graficar, podemos apreciar los resulta- dos obtenidos y Competencia digital 100 (–3 , 82) 80 Para conocer más sobre derivadas, visita esta página: 60 lynk.ec/12m09 40 20 x –6 –4 –2 0 2 4 6 -20 -40 (2 , – 43) -60 155 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 155 21/1/25 16:08 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 155]]> 0 ; –3x 2 2 2 6 Sea p(x) = 2x + 5. Para ello, justifiquen que la distancia 2 dp(x) d Q(h)), es suficientemente dx a) Encuentra el punto x ∈ en el que pequeña para |h| suficientemente pequeño. dp () x = 0. dx b) Prueben que la función es decreciente y la x = 0 función no es par o impar. 2 x f > b) Indica cuándo p tiene un máximo local. 1 x < 2 x ⇒ f 1 x () ( ) No tiene máximo local. c) Demuestren que la función es biyectiva. 157 21/1/25 16:09 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 157 21/1/25 16:09 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 157]]> 0. Calculamos los desplazamientos en los cinco primeros segundos: Para funciones polino- miales de grado 2, la derivada S(1) = 17,475 m, S(2) = 30,6 m, S(3) = 41,475 m, S(4) = 48,6 m, de esta función se aplicó a la S(5) = 49,875 m. obtención de la pendiente de la recta tangente a la gráfica del Calculamos la velocidad v(t) en cada uno de estos instantes. Para el polinomio en un punto asigna- efecto, calculamos la derivada de la función S. Se tiene: do, al cálculo de velocidades, S(t + h) – S(t) aceleraciones de cuerpos así, v(t) = lím = 15 – t – 0,1t , t > 0. 3 si p es un polinomio de grado 2, h→0 h a  , se tiene: dp Desde el punto de vista físico, la velocidad mide el cambio de despla- m = (a) pendiente, zamiento instantáneo. Notemos que la velocidad se mide en dx dp metros m kilómetros v(t) = (t) velocidad, , lo que se abrevia (también en , que se dt segundos s horas d p km 2 a(t) = (t) aceleración. escribe ). En los automotores se tiene un dispositivo que mide dt 2 h la velocidad, llamado velocímetro. En el panel de los automotores, la Nota que: km d velocidad a la que este se mueve se marca en . Calculamos a(t) = (v(t)) h dt m m 2 d dp d p algunos valores de velocidades v(1) = 13,9 , v(2) = 12,2 , = = . s s dt dt dt 2 m m m v(3) = 9,3 , v(4) = 4,6 , v(5) = 2,5 . s s s Observamos que la velocidad decrece, y que, en casi cinco segundos, el automóvil se detiene, habiendo recorrido aproximadamente 49 m. La aceleración se denota con a(t) y se define como: dv v(t + h) – v(t) a(t) = (t) = lím . dt h→0 h Pixabay.com Desde el punto de vista físico, la aceleración mide el cambio de velo- cidad instantáneo. Dado que Sin la matemática es imposible el desarrollo S(t + h) – S(t) d S 2 de la cinemática. v(t) = lím , tenemos que a(t) = (t). 2 h→0 h dt M.5.1.49. Interpretar de manera geométrica y física la primera derivada (pendiente de la tangente, velocidad instantánea) de funciones polinomiales de grado ≤ 4, con apoyo de las TIC. M.5.1.50. Interpretar de manera física la segunda derivada (aceleración media, aceleración instantánea) de una función polinomial de grado ≤4, para analizar la monotonía, determinar los máximos y mínimos de estas funciones y graficarlas con apoyo de las TIC (calculadora gráfica, software, applets). 158 21/1/25 16:09 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 158 21/1/25 16:09 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 158]]> 0. "medida de tierras". 2 Los babilonios utilizaron el siste- ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción ma de numeración sexagesimal, Calculamos la aceleración en los primeros cinco segundos: basado en el número 60. m m m m a(1) = –1,3 , a(2) = –2,2 , a(3) = –3,7 , a(4) = –5,8 , s 2 s 2 s 2 s 2 m a(5) = –8,5 . s 2 El signo negativo de la aceleración significa que la velocidad decrece. Ejercicios resueltos Este ejercicio requiere el uso de una calculadora científica. 1. En una pista larga y recta, un automóvil parte del reposo. m Su velocidad, en , está dada por: s Pixabay.com 1 t , si t ≤ 8, Indaga y elabora un corto 2 V(t) = 2 ensayo acerca de la historia de 33,6 – 0,2t, si t > 8. la geometría en Babilonia. a) Calculamos la velocidad y la aceleración en t = 5 s. Para calcular la velocidad en t = 5 s, reemplazamos este valor en la Interdisciplinariedad primera función. Matemática y Física 1 V(5) = t ; Muchos fenómenos físicos que 2 2 implican cantidades variables 1 25 m 2 V(5) = (5) = = 12,5 . (por ejemplo, la velocidad de 2 2 s un cohete, la devaluación de la Determinamos la aceleración en t = 5 s. moneda por la inflación, el nú- mero de bacterias de un cultivo, 1 la intensidad de un movimiento La función V(t) = t , t ≤ 8 es una función polinómica; por lo 2 2 telúrico, el voltaje de una señal tanto, es derivable en t = 5s. eléctrica, entre otras), se estu- dian en la asignatura de Física dv v(t + h) – v(t) 1 (t + h) – t 2 2 a(t) = (t) = lím , a(t) = lím mediante derivadas. dt h→0 h 2 h→0 h m 1 2 t + 2th + h – t 2 2 a(t) = lím ; a(t) = t; a(5) = 5 . 2 h→0 h s 2 b) Constatamos si existe aceleración al instante t = 8. Shutterstock, 458325136 Para ello, se verifica si la función es continua y derivable en 8. Se comprueba, entonces, que en t = 8 la función es continua pero no derivable. 159 21/1/25 16:09 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 159 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 159 21/1/25 16:09]]> 0 Cuando trabajes con compañeros que tienen 2 3 (t medido en segundos). dificultades para comprender los temas rela- cionados con aplicaciones de las derivadas, ten paciencia: recuerda que todos aprendemos a a) Encuentra el tiempo en el que el automóvil ritmos y niveles diferentes. superará una velocidad de 100 km/h. ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción km Aproximadamente a los 4 segundos 129,6. . Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan. h b) Escribe la distancia que ha recorrido el 8 automóvil a los 10 segundos. En el mismo aeropuerto del ejercicio anterior, un avión de carga debe alcanzar S(10) = 843 m km una velocidad mínima de 216 . c) Indaga la aceleración a los 2 segundos. h La función de posición está dada por m 2 a() =8. 2 S(t) = 0,05t + 0,2t + 0,008t , t  [0, 60], 3 2 S medida en metros. 6 Responde verdadero (V) o falso (F) a las a) Calculen el tiempo t en el que km siguientes afirmaciones. el avión alcanza la velocidad de 216 . h t = 86,8 s b) Calculen la distancia recorrida en ese tiem- La aceleración es la derivada de la fun- po y su aceleración. ción de la velocidad respecto al tiempo: S(t) = 6 742,96 m () vt ) –v t V ( +h () =lim at h →0 h c) Calculen la distancia recorrida, y la velocidad y aceleración alcanzada al instante t = 60 s. La aceleración es la derivada de la función S(t) = 2 451; V(t) = 110,45; a(t) = 3,28 del desplazamiento respecto al tiempo: F () ( +h St ) – S t () =lim at 9 h →0 h Sea p la función polinomial definida como p(x) = ax + bx + cx , ∀x  , 3 5 La velocidad es la derivada de la función donde a, b, c   fijos y no todos nulos. del desplazamiento respecto al tiempo: V () ( +h St ) – S t () =lim vt a) Prueben que p es una función impar. h →0 h f(–x) = –f(x) b) Demuestren que: dp(x) 7 Un cohete despega. La función de despla- = a + 3bx + 5cx , ∀x  . a + 3bx + 5cx 4 4 2 2 dx zamiento del cohete (en metros) está defi- nida de la siguiente forma: c) Supongan a > 0, b > 0, c > 0. Prueben que 3 2 S(t) = t + 2t – t + 10, t > 0; (t en segundos) p es estrictamente creciente en todo . x1 < x2 ; f(x1) < f(x2) d p(x) 2 Halla la aceleración al primer segundo. d) Demuestren que = 6bx + 20cx , 3 dx 2 ∀ x  . m a() =110. S 2 6bx + 20cx 3 161 21/1/25 16:09 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 161 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 161 21/1/25 16:09]]> 0 designa la longitud del lado. Se definen dos h h funciones: una del área de la superficie lateral del h ≠ 0. cubo y la función volumen del cubo. Las dos fun- De manera similar con la función V: ciones son estrictamente crecientes. V(t + h) – V(t) V(l(t + h)) – V(l(t)) ]0, ∞[ → ]0, ∞[ ]0, ∞[ → ]0, ∞[ h S: , V: . = h l → S(t) = 6l 2 l → V(t) = l 3 l(t + h) – l(t) 2 2 = [k + 3kl(t) + 3l (t)] , h ≠ 0. Supongamos que la longitud del lado del cubo es h una función del tiempo, esto es, ii. Calculamos la derivada de la función S. Toman- [0, T] → [0, ∞[ l: , donde t denota el tiempo. do límites en el cociente incremental, se tiene: t → l(t) dS(t) S(t + h) – S(t) = lím Se asume que esta función es derivable en cada dt h→0 h dl l(t + h) – l(t) l(t + h) – l(t) t  ]0, T[, esto es, (t) = lím . = lím 6[k + 2l(t)] = dt h→0 h h→0 h Nos interesa calcular las tasas de variación (co- = 12l(t) . dl(t) cientes incrementales) de las funciones S, y V, así dt como sus derivadas: Nota que la existencia de una derivada implica dS dV la existencia de la otra. Calculamos la derivada (t) = (t), de modo que, conociendo una dt dt de la función V. dV(t) de estas tres derivadas, puedan calcularse las otras = lím V(t + h) – V(t) dos. Es claro que podemos definir las funciones dt h→0 h compuestas (Sol)(t), (Vol)(t) como sigue: = lím[k + 3kl(t) + 3l (t)] l(t + h) – l(t) 2 2 h→0 h S(t) = (Sol)(t) = S(l(t)) = 6l (t), ∀t  [0, T], 2 dl(t) 2 3 V(t) = (Vol)(t) = V(l(t)) = l (t), ∀t  [0, T]. = 3l (t) = . dt i. Calculamos los cocientes incrementales de las Las relaciones buscadas son: funciones S y V. dS(t) dl(t) Sea t  [0, T], h   con h ≠ 0, tal que = 12l(t) , ∀t  [0, T], dt dt x + h  [0, T]. dV(t) dl(t) = 3l (t) , ∀t  [0, T]. 2 Como la función l es derivable, entonces, dt dt l(t + h) – l(t) → 0. Supón que el volumen del cubo está aumentando h→0 a razón de 10 cm /s cuando l(t) = 20 cm. Calcula- 3 Ponemos k = l(t + h) – l(t) ≠ 0, luego mos la razón de cambio del área de la super- l(t + h) = k + l(t), dV cm 3 ficie del cubo. Se tiene = 10 , entonces: S(t + h) – S(t) = S(l(t + h)) – S(l(t)) dt s dl(t) h h 10 = 3 × (20 ) = , dl(t) 1 cm 2 = S(k + l(t)) – S(l(t)) dt dt 120 s h dS(t) dl(t) 1 cm 2 2 2 s 120 dt dt = S(k + l(t)) – 6l (t)) = 12l(t) = 12 × 20 × = 2 . h k + 2kl(t) + l (t) – l (t) k Este es un ejemplo de derivación de funciones 2 2 2 = 6 h k compuestas, conocido como regla de la cadena. 162 21/1/25 16:09 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 162 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 162 21/1/25 16:09]]> 0, c > 0. Prueba que p es 1 estrictamente decreciente en ]–∞, 0[ y 4 como p(x) = 4 + x – x , ∀x  . estrictamente creciente en ]0, ∞[. Además, 4 demuestra que p(0) es mínimo global. 2 d p(x) a) Calcula el cociente incremental Q(h) con d) Muestra que = 2b + 12cx , ∀x  . 2 h   \ 0, y prueba que la derivada dx 2 dp e) Mediante cálculo del cociente incremental, 3 es (x) = 1 – x , ∀x  . d(x) d p(x) 3 Para ello, muestra que la distancia obtén = 24cx, ∀x  . dx 3 dp(x) d(Q(h), es suficientemente pequeña 6 dx Un objeto se mueve en línea recta de para | h | suficientemente pequeño. acuerdo con la ecuación s(t) = 2t – 6t + 4, 2 b) Prueba que la función es decreciente en t ≥ 0, donde s(t) representa el desplaza- el intervalo ]1, ∞[ y creciente en el intervalo miento del objeto medido en metros, y t ]–∞, 1[. es el tiempo medido en segundos. 19 a) ¿Cuál es la velocidad del objeto al cabo de c) Muestra que máx p(x) = . dS(t) 4 2s y 5s? a) v(t) = = 4t – 6, t > 0. dt v(2) = 2 m/s, v(5) = 14 m/s. d) Prueba que la función no es par ni impar. b) ¿En qué instante el objeto se encuentra en reposo? b) v(t) = 0 ⇔ 2t – 6t + 4 = 0 2 ⇔ (t = 1 ∨ t = 2). 3 Calcula la primera derivada de las c) ¿Cuál es la aceleración del objeto al cabo de siguientes funciones polinómicas de 2s y 5s? c) a(t) = = 4, t > 0, d²S(t) d(t) grado ≤ 4. aceleración constante. a(2) = 4, a(5) = 4. 7 2 3 df a) f(x) = 4 – 5x + 7x , x  . a) (x) = –10 + 21x , ∀x  . Se observa el movimiento que describe 2 dx b) f(x) = –x + 3x , x  . b) (x) = –1 + 6x, ∀x  . una partícula determinada por la expre- df 2 2 dx sión S(t) = 2t – 6t + 28t – 10, donde S(t) 3 c) f(x) = –5x + 2, x  . c) df (x) = –5, ∀x  . representa la distancia recorrida por la dx d) f(x) = x – 2x + 4, x  . d) df (x) = 4x – 2, ∀x  . partícula medida en metros, y t represen- 4 3 dx ta el tiempo transcurrido en segundos. 168 21/1/25 16:09 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 168 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 168 21/1/25 16:09]]> 0 y f una función real definida en todo R. Se lado negativo de los números dice que f es periódica de período 2T si y solo si f verifica la siguiente reales? condición: f(x + 2T) = f(x), ∀x  R. En la Figura 5.1., se representa una función periódica de período 2T. y y = f(x) a b Glosario –3T –2T –T 0 T 2T 3T 4T 5T x c p Figura 5.1. amplitud. Distancia o valor máximo de una cantidad La característica fundamental de las funciones periódicas es que bas- variable, de su valor medio o ta conocer la función en un intervalo de longitud 2T, por ejemplo valor base, o la mitad del valor [–T, T], y luego reproducir esta porción de función del lado positi- máximo pico a pico de una vo de los números reales a intervalos de la formas [T, 3T], [3T, 5T], función periódica, como un [5T, 7T] y así sucesivamente; a continuación , del lado negativo a movimiento armónico simple. intervalos de la formas [–3T, –T], [–5T, –3T], y así sucesivamente. La periódicos. Dicho de un fenó- gráfica de la función periódica en el intervalo [–T, T] se reproduce meno de fases que se repiten sucesivamente a cada uno de los intervalos de los tipos antes indica- con regularidad. dos. Las funciones trigonométricas son funciones periódicas. Función seno, gráfico y características Esta función se designa con Sen y se define como sigue: R → R, Sen: x → sen(x) . Competencia Observa que sen(x)  R denota el valor de la función sen en x  R. matemática Se tiene así Dom(Sen) = R. Basta conocer la gráfica He aquí algunos valores típicos de sen(x) para x  R que han sido de la función en el intervalo obtenidos como relación trigonométrica en el círculo trigonométrico: [–π, π] y luego reproducir en 3 π π π 1 π 2 forma idéntica al lado izquierdo sen(0) = 0, sen = , sen = , sen = , sen = 1, y al lado derecho en intervalos 6 2 4 2 3 2 2 de longitud 2π. 2 π 3 π π 1 π sen – = – , sen – = – , sen – = – , sen – = –1. 6 2 4 2 3 2 2 M.5.1.70. Definir las funciones seno y coseno a partir de las relaciones trigonométricas en el círculo trigonométrico (unidad) e identificar sus respectivas gráficas a partir del análisis de sus características particulares. M.5.1.71. Reconocer y graficar funciones periódicas determinando el período y amplitud de estas, su dominio y recorrido, monotonía y paridad. 172 21/1/25 16:09 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 172 21/1/25 16:09 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 172]]> 1 o si A < –1, la función sufre un proceso de dilatación. • Si –1 < A < 1, la función se contrae. Competencia comunicacional Período (T). Establece cuánto se requiere del dominio para que 2π Salud la función describa un ciclo completo, T = . B Las funciones trigonométricas Ejemplo: y = 3cos(2x) + 1. T = π. Hasta π se completa un ciclo. son un grupo de funciones reales muy importantes en ma- Frecuencia. Se relaciona con las veces que se repite el ciclo. Está de- temática. Estas tienen muchas terminada por el valor de B. aplicaciones en física, química, economía, en las distintas Ejemplo: y = 3cos(2x) + 1. Como B es 2, el ciclo se repite 2 veces. ramas de la ingeniería, entre otras áreas. Desplazamiento vertical. Traslación vertical en D unidades. Por ejemplo, las funciones trigo- nométricas son muy utilizadas en • Si D > 0, la gráfica se desplaza hacia arriba D unidades. la lectura de electrocardiogramas. • Si D < 0, la gráfica se desplaza hacia abajo D unidades. –C –C Desfase: , desplazamiento horizontal de unidades a B B la derecha o a la izquierda, según si C es negativo o positivo. Shutterstock,1791139382 Ejemplo: y = 4sen x – ; la gráfica de la función se desplaza π/2 π 2 unidades a la derecha con relación al sen(x). p Aplicaciones de las funciones trigonométricas en electrocardiogramas. Ejercicio resuelto π Grafiquemos la función f(x) = –3sen 2x – , ∀x  R. Indaga y responde: ¿cuál es la 3 función trigonométrica que se 2π 2π relaciona con los catetos? Amplitud = |A| = |–3| = 3. Período = T = = = π. 2 B π – – π 3 –C Desfase = = = . Vamos a graficar cada función. B 2 6 2 2 1 1 0 0 –3π –2π –π π 2π 3π –3π –2π –π π 2π 3π –1 –1 –2 –2 p Figura 5.4. y = sen(x) p Figura 5.5. y = sen(2x) 174 21/1/25 16:09 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 174 21/1/25 16:09 Matematica 2 BG Plus+ MinEduc.indb 174]]>