4 d) x −1 − 3 ≤ x + 9 x ≤ 75 5 10 2 2 − 3 ≤ 3 3 + 9 5. Reduce términos semejantes en los siguientes polinomios. a) 3xy – 5x + 2y – 7xy + 3x R. –4xy – 2x + 2y b) 2a + 5b – 8a + 7b – 6a R. –12a + 12b c) 2(x – y) –[ 3x + 4(x + y)] R. –5x – 6y ( 3 2 2 2 2 2 2 ( – d) 4aa b 2 ) –6a 3 –2ab +ba 2 – ) b R. –2a – 5a b – b 3 8 8 21/1/25 15:30 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 8 21/1/25 15:30 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 8]]>”, “menor o a b Glosario igual que ≤” y “mayor o igual que ≥”, en el conjunto de los números c inconmensurable. Enor- reales R se procederá de forma similar. A esta estructura resultante se me que por su gran magnitud la denominará cuerpo ordenado de los números reales. Entonces, no puede medirse. en este apartado, nos proponemos estudiar propiedades básicas de esta estructura, para que podamos realizar cálculos en una variedad permeabilidad. Que puede ser inconmensurable de situaciones, como, por ejemplo, construir otras penetrado o traspasado por el agua u otro fluido. estructuras algebraicas que serán tratadas más adelante. Para indicar que x es un número real, escribimos x  R, y para expresar revoluciones. Rotación de una su negación, empleamos x  R, que se lee “x no es un número real”. figura alrededor de un eje, Sean x, y  R, para indicar la igualdad de x y de y se escribe x = y, que configura un sólido o una superficie. y su negación x ≠ y. 12 M.5.1.1. Aplicar las propiedades algebraicas de los números reales en la resolución de productos notables y en la factorización de expresiones algebraicas. 21/1/25 15:30 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 12 21/1/25 15:30 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 12]]> 0 se llama constante de permeabilidad hidráulica que simplifican nuestras tareas 1 2 del suelo. En esta fórmula observamos que se deben realizar dos res- y nos ahorran esfuerzos. tas, una división y una multiplicación de números reales. Este es otro ejemplo en el que se deben realizar cálculos con números reales. Ejemplo: La velocidad específica v de una turbina está definida como: e 1 w p 2 v = 0 . e 5 h 4 En este ejemplo, w es la velocidad angular de operación de la turbina 0 (medida en revoluciones por minuto r. p. m.), p es la potencia de sali- Shutterstock, 426197734 da de la turbina (medida en kilovatios kw) y h es la altura de la cabeza (medida en metros m). p Robot para operaciones controladas por el cirujano. Para el cálculo de v , debemos calcular dos potencias con exponen- e ¿Qué aplicación científica te 1 5 1 tes racionales, p , h , realizar una multiplicación w p y una división parece la que más ha salvado 2 4 2 1 0 vidas? w p 2 de números reales 0 . El resultado es un número real. 5 h 4 13 21/1/25 15:30 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 13 21/1/25 15:30 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 13]]> y”, si y solo si + y < x; o sea, x – y  R . Competencia comunicacional Ejercicio resuelto Aprende la siguiente Si x = 1 + 2, y = 3 – 1, entonces x > 0, y > 0 y, en consecuencia, simbología: x + y = 1 + 2 + 3 – 1 = 2 + 3 > 0. + Z : enteros positivos Asimismo, xy = (1 + 2) ( 3 – 1) >0. Q : racionales positivos + + R : reales positivos Teorema. Sean x, y, z  R. + + + Z ⊂ Q ⊂ R i) Si x < y, y < z entonces x < z. ii) x < y, si y solo si x + z < y + z. Ejercicio resuelto Competencia Sea x  R. Se tiene x < x + 1 y x + 1 < x + 2, entonces, x < x + 2. matemática Teorema. Sean a, b, c  R. Se verifican las siguientes propiedades: x > 0, y > 0, entonces x + y > 0; i) Si a < b y c > 0, entonces ac < bc. ii) Si a < b y c < 0, entonces ac > bc. x > 0, y > 0, entonces xy > 0; iii) Si a < 0 y b > 0, entonces ab < 0. x < 0, y < 0, entonces x + y < 0. iv) Si a < 0 y b < 0, entonces ab > 0. Sean x, y  R. El par v) Si a ≠ 0, entonces a > 0. 2 de desigualdades x < y; y < z da lugar a la desigualdad Ejercicio resuelto compuesta x < y < z, que se lee “y es mayor que x y menor que Sea x  R. Entonces, x – 3 < x, y como –2 < 0, entonces, z”. Igualmente, la desigualdad –2 (x – 3) > –2x, de donde 6 – 2x > –2x. compuesta x > y > z se lee “y es mayor que z y menor que Intervalos x”, que corresponde a las dos Los intervalos son conjuntos (subconjuntos de R), por lo tanto, desigualdades x > y; y > z. podemos realizar las operaciones de unión, intersección, diferencia, Practica y escribe un ejemplo. complemento y diferencia simétrica. Teorema Intervalos acotados Sean a, b  R. Definición. Sean a, b  R con a 0 a > 0. i) Se llama intervalo cerrado de extremos a y b al subconjunto de R, ii) a < 0 a < 0. designado con [a, b] y definido como: –1 –1 iii) 0 < a < b 0 < b < a . –1 [a, b] = {x  R|a ≤ x ≤ b} a [a, b] b M.5.1.7. Aplicar las propiedades de orden de los números reales para realizar operaciones con intervalos (unión, intersección, diferencia y complemento), de manera gráfica 26 (en la recta numérica) y de manera analítica. 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 26 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 26 21/1/25 15:31]]> x} se llama intervalo ^ infinito abierto a derecha, y se denota con ]–∞, a[ ; esto es, Diferencia A\B La diferencia de A y B se denota ]–∞, a[ = {x  R|x < a} = {x  R|a > x}. 0 a A\B. Es el subconjunto de E, ]–∞, a[ constituido por los elementos ii) El conjunto {x  R|x ≤ a} = {x  R|a ≥ x} se llama intervalo que pertenecen a A pero no a B. infinito cerrado a la derecha, y se denota ]–∞, a]. Así: AB = {x  E|x  A ^ x  B}. ]–∞, a] = {x  R|x ≤ a} = {x  R|a ≥ x}. 0 a Complementario A c ]–∞, a] El complemento de A, que se iii) Se llama intervalo infinito abierto a la izquierda al conjunto denota A , es el subconjunto de c {x  R|x > b} = {x  R|b < x}, y se denota ]b, ∞[ ; esto es, E, constituido por los elementos de E que no pertenecen a A. ]b, ∞[ = {x  R|x > b} = {x  R|b ≤ x} b 0 c ]b, ∞[ A = {x  E|x  A} = E  A. iv) Se llama intervalo cerrado a la izquierda al conjunto Diferencia simétrica A Δ B {x  R|x ≥ b} = {x  R|b ≤ x}, y se lo denota [b, ∞[ ; es decir, La diferencia simétrica de A y B, que se nota A ∆ B, es el conjunto [b, ∞[ = {x  R|x ≥ b} = {x  R|b ≤ x} 0 b [b, ∞[ (A\B) ∪ (B\A). A ∆ B = (A\B) ∪ (B\A). Operaciones con intervalos Las operaciones conjuntistas de unión, intersección, diferencia, com- plemento y diferencia simétrica las haremos mediante ejemplos. Sean I = ]–3, 4], J = [–1, 5]. Entonces I ∪ J = {x  R|x  I ∨ x  J} = ]–3, 4] ∪ [–1, 5] = ]–3, 5]. En la figura se han representado los conjuntos I y J. I –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 J Determinamos a continuación los conjuntos I ∩ J, I \ J, J \ I, I  J. a b Glosario I ∩ J = {x  R|x  I ^ x  J} = ]–3, 4] ∩ [–1, 5] = [–1, 4], c subconjunto. Conjunto I \ J = {x  R|x  I ^ x  J} = ]–3, 4]  [–1, 5] = ]–3, –1[, de elementos que pertenecen J \ I = {x  R|x  J ^ x  I} = [–1, 5]  ]–3, 4] = ]4, 5], a otro conjunto. I J = (I \ J) ∪ (J \ I) = ]–3, –1[∪]4, 5]. 27 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 27 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 27]]> 0, b < 0, c < 0, entonces abc > 0. Acude a la biblioteca e indaga y escribe abc > 0 las definiciones de los conectivos lógicos: c) Si a < 0, b > 0, c < 0, entonces abc > 0. negación, conjunción, disyunción, impli- abc > 0 cación y equivalencia. Compara tus defi- 2 d) Si 0 < a < b < c, entonces a < b < c . niciones con las de tus compañeros. 2 2 a < b < c 2 2 2 29 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 29 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 29]]> 0. = . Luego, (xy) = a b = a 2 b = ab = z . 2 2 2 b b 1 a Así, z = a b es tal que z = ab, y como z = ab, se sigue que ab = a b. 2 iii) Si a > 0. = . a a iv) Si 0 < a < b, entonces Observación a < b . Sean a, b  R. Si a < 0, b < 0, entonces ab > 0 y, en consecuencia, ab está bien definida. Por otro lado, a , b no están definidas en el conjunto R. En este caso, la igualdad ab = a b es absurda. Ejercicios resueltos 1. Si a = –9, b = –25, entonces ab = (–9)(–25) = 225 y 225 = 15, pero –9 y –25 no están definidas en el conjunto R. La igual- Pixabay.com dad (–9) × (–25) = –9 –25 es absurda, pues no tiene sentido en el conjunto de los números reales. M.5.1.3. Transformar raíces n-ésimas de un número real en potencias con exponentes racionales para simplificar expresiones numéricas y algebraicas. 30 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 30 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 30 21/1/25 15:31]]> 0. Por lo tanto, está bien definida. b b matemática a a La idea principal del La igualdad b = b es absurda, ya que a y b no están definidas término racionalización es la en R. de expresar el número real de Ejercicios resueltos modo que en el denominador 1. Sean x = (2 – 3)(3 – 3) –4 3. Simplifica la escritura de x. no figuren raíces cuadradas de Aplicando la propiedad distributiva, se tiene: números reales. 2 x = (2 – 3)(3 – 3) – 4 3 = 6 – 2 3 – 3 3 + ( 3) – 4 3 Sean a, b, c  R con b > 0, = 6 – 5 3 + 3 – 4 3 = 9 – 9 3 = 9(1 – 3). a ≠ 0, c ≠ a b y a b + c ≠ 0. ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción 1 + 2 1 – 2 Al número real a b – c se lo 2. Calcula: t = – . llama conjugado de a b + c 2 – 2 2 + 2 y viceversa. u x Aplicando la propiedad – = xv – yu para x, y, u, v  R con Practica. y ≠ 0, v ≠ 0, resulta: y v yu Escribe el conjugado de 1 + 2 1 – 2 (1 + 2 )(2 + 2 ) – (1 – 2 )(2 – 2 ) t = – = 3 2 – 5. 2 – 2 2 + 2 (2 – 2)(2 + 2) 2 2 + 3 2 + ( 2) – (2 – 3 2 + ( 2) ) 2 + 3 2 + 2 – 2 + 3 2 – 2 2 = 2 = 4 – ( 2) 4 – 2 = 3 2 + 3 2 6 2 = 3 2. = 2 2 1 + 2 1 – 2 Conclusión: t = – = 3 2 . 2 – 2 2 + 2 3. Sea y = 2 20 + 3 5 –2 45 . Simplifica la escritura de y. Puesto que 20 = 4 × 5 = 4 5 = 2 5, y, 45 = 9 × 5 = 9 5 = 3 5, entonces y = 2 20 + 3 5 – 2 Pixabay.com 45 = 2(2 5) + 3 5 – 2(3 5) = En la práctica, sin embargo, la raíz cuadrada 4 5 + 3 5 – 6 5 = 5. sirve para hallar el lado de una figura geomé- trica cuadrada o para explicar y realizar el 2 + 5 Teorema de Pitágoras. Del mismo modo, 4. Sea z = . Expresa z de modo que el denominador no permite resolver ecuaciones cuadráticas, des- 2 2 – 3 pejar fórmulas físicas, químicas, estadísticas, contenga raíces cuadradas. El número real 2 2 + 3 se denomina y muchas otras aplicaciones. conjugado de 2 2 – 3. Se tiene: (2 2 + 3)(2 2 – 3) = (2 2 ) – (3) = 4( 2 ) – 9 = 8 – 9 – = –1. 2 2 2 Entonces, 2 + 5 2 + 5 2 2 + 3 ( 2 + 5)(2 2 + 3) z = = . = 2 2 – 3 2 2 – 3 2 2 + 3 (2 2 – 3)(2 2 + 3) 4 + 13 2 + 15 = = –19 – 13 2 . –1 31 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 31 21/1/25 15:31]]>0 no está definido 6 3 Simplifica la escritura del número real r Supón a > 0, b > 0 y a > b. Se define 1 1 1 1 que se define en cada ítem. ( )( ) a – b a + b 2 2 2 2 a + b a) r = 10 2 – 7 8 + 2 32. r = 11 2 Simplifica la escritura de x y muestra 1 1 que x = 1. x = 1 1 4 2 2 b) r = (75) + (125) – 6 5 . r = – 22 5 + 3 7 5 7 20 – 5 7 c) r = . r = 1 En cada ítem, racionaliza x. 5 7 – 11 a) x = 1 – 2 . b) x = 1 . d) r = ( 11 – 7) – 38 . r = 0 2 7 + 11 1 + 2 3 – 2 x = – 32 2 x = 3 + 2 + 32 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 32 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 32]]> a. Se define: + 10 Simplifica a su mínima expresión los a – b 2 a + b siguientes radicales. x = a b , y = b – a . + En cada ítem se define w. Calculen, racio- 1 a) 3 128 = 22 nalicen y simplifiquen, si es necesario. 3 2 a) w = x – y. − a 3 − − ab +− b 2 3 4a 2 a ab − b) = y 3 2 a 5 ) 2 27y 3 y 3 2 ( + ab 2 b) w = (x + y) . 2 2 a ( + b) ( b − a) 81a 2 2 2 2 2 c) 2xy 4 3 = 34 axy 3 c) w = x – y . a 5 + 19 ab 8+ a ab 2+ bab 2+ b 2 4 4xy a ( + b) ( b − a) 2 2 y b ( a)( b) ( b) 2 d) 50ab = a 5 b 2 d) w = . − ( − a − ab) 2 a − 2 x ab 4 )( − 33 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 33 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 33]]> 0; entonces |3| = 3. Competencia comunicacional 2. Si a = –3 < 0; entonces |–3| = –(–3) = 3. Aprende esta simbología: –3 –3 –3 3 |x| valor absoluto 3. Si a = 2 <0, entonces 2 = – 2 = 2 ≥ mayor o igual que 4. Si a = 0; entonces |0| = 0. ≤ menor o igual que ≠ no es igual Propiedades del valor absoluto ⇔ si solamente si Teorema. Sean a, b  R. Se verifican las siguientes propiedades:  pertenece a i) |a| ≥ 0. ii) |a| = 0 a = 0. iii) |ab| = |a| |b|. Competencia 1 1 matemática iv) Si a ≠ 0, = . a |a| Para comprender mejor v) a ≤ |a|, y, –a ≤ |a|. la resolución de las ecuaciones e inecuaciones, es preciso recor- vi) |a + b| ≤ |a| + |b|. (desigualdad triangular) dar las propiedades de orden vii) a = |a|. 2 de los números reales, los intervalos y las propiedades del valor absoluto. En muchos cálculos, aparece el valor absoluto de productos o cocien- tes de números reales. En tal caso, se debe determinar las condiciones que han de verificar cada uno de los términos que figuran en el valor absoluto para precisar cuándo son positivos, y cuándo son negativos y, con esta información, decidir el signo de todo el término que se encuentra en el interior del valor absoluto. Ejercicio resuelto Pixabay.com 1. Para todo x  R , |–x| = |x|. En efecto, como –1 × x = –x, se sigue que |–x| = |–1| × |x| = |–1| |x| = |x|. Nótese que hemos utilizado la propiedad |ab| = |a||b|, a, b  R y |–1| = 1. Escribe en el cuaderno un ejemplo de ecuación y otro de 2. Supón que x < –2. Sumando –3 en ambos miembros, obtenemos inecuación de primer grado. x – 3 < –5 y, en consecuencia, |x – 3| = –(x – 3) = 3 – x. Nótese Luego, identifica sus elementos que x – 3 es negativo. Si x > 10, entonces x + 1 > 11. Luego, y resuélvelas. | x + 1| = x + 1. Observa que x + 1 es positivo. M.5.1.8. Aplicar las propiedades de orden de los números reales para resolver ecuaciones e inecuaciones de primer grado con una incógnita y con valor absoluto. 34 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 34 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 34]]> a x  ] –∞, –a[ ∪ ]a, ∞[ . Los intervalos y las inecuaciones en música miden la distancia Ejercicios resueltos entre dos notas musicales. 1. Consideremos la inecuación |x| < 5. Al aplicar el teorema prece- Conocer los intervalos permite dente, tenemos: construir notas musicales. |x| < 5 x  ]–5, 5[ –5 < x < 5. 2. Halla el conjunto solución de la inecuación |3x – 8| < 2. Por el teorema precedente, obtenemos: |3x – 8| < 2 –2 < 3x– 8 < 2 6 < 3x < 10 10 10 2 < x < x  ]2, [. 3 3 3. Consideremos la ecuación |x| > 2. Por el teorema precedente, Shutterstock, 24971728 tenemos: |x| > 2 x < – 2 o x > 2 x  ]–∞, –2[ ∪ ]2, ∞[ . 35 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 35 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 35 21/1/25 15:31]]> 1,5. En cada literal se da un número real a. Indica si la ecuación en dicho conjunto. este cumple con la desigualdad propuesta. a) | 2x + 1| = 3, x  [0, ∞[. x = 0 a) a = 0,2 No cumple. b) ||x| – 10| = 5, x  [–10, 10]. x = 5 o x = –5 b) a = –2,02 Sí cumple. c) a = 1,6 Sí cumple. c) ||20 – 2x| + 3x| = 100, x  ]–∞, 0]. x = –120 d) a = –2,55 Sí cumple. d) |x – 2| – |2x + 2| = 1, x  [–2, 2]. – 1 3 e) a = –5,005 Sí cumple. 36 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 36 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 36]]> 0,5. x < –0,5 ∪ > 0,5 e) 3 – 7 ≤2 – 5 ≤≤ 5 x x – c) x ≤ 0,02. –0,1 ≤ x ≤ 0,1 f) x +7 3–7 ≥3 x ≤9.ó.x ≥33 5 2 4 ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción x d) x ≥ 0,1. x ≤ –0,4 ∪ ≥ 0,4 g) x –2 <+ 4 x > –1 x 4 25 e) |x| > 0,1. x < –0,1 ∪x > 0,1 h) x +≥ x ≤ –7.ó.x ≥3 Diversidad funcional 8 Resuelve las siguientes inecuaciones: en el aula La discapacidad intelectual no es sinónimo de a) x >3 d) x ≤ 0,2 – 3 ≤≤ 3 incapacidad. Cada compañero puede realizar actividades a su medida. x 3 5 5 x < –3.ó.x >3 x Trabajo colaborativo b) x <1 e) >10 x < –70.ó.x >70 7 –1 <<1 Indaguen, analicen y resuelvan en equipo. x 2x c) x ≥0,1 f) <5 – 15 << 15 11 x 1 1 3 2 2 Indaguen. Sean a, b, c  R. Escriban x ≤ – .ó.x ≥ 10 10 todas las condiciones que han de verifi- car a, b, c, para que |abc| = abc. Resu- 9 En el conjunto R, resuelve las inecuacio- man los resultados en una tabla. nes siguientes: 12 + a) |x – 2| < 1. 1 < x < 3 Resuelvan en R las inecuaciones siguientes: b) |3x + 1| > 2. x < –1 ∪ > 1 a) x + 8 > |x|. d) 5|x| < 1 + 4x. x 3 x ≥ 0 0 ≤ x < 1 x b) |2x – 5| > 1 + 2x. e) |10 – x| ≥ 2 + 3x. c) 1 – ≤ 0. x = 5 5 0 ≤ x < 1 0 ≤ x ≤ 2 c) 5x + 3 ≤ |x – 1|. Sin solución en R + 10 Resuelve las siguientes inecuaciones: 13 Resuelvan en el conjunto R las inecua- ciones siguientes: a) x +>36 x < –9.ó.x >3 a) ||x| – 1| > 2. c) ||x – 1| – 1| > 5. x x < –3 ∪ > 3 R –" , 57, b) 2–55 0 <<5 b) ||x| – 1| < 1. d) ||2x – 1| – 1|> 4. x < x – ^ – , 20 , ^h , 02h ^ –3 , 2 , ^h , 3 3h 37 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 37 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 37 21/1/25 15:31]]> 0. Además, si m < 0, existe un C A B nN con n ≥ 1, tales que m = –n y –m = n. Luego: Ω 1 1 –n m 2 C a = a = = . a n a –m A B Propiedades Dr. Benálcazar H. A B Teorema. Sean a, b  R no nulos, m, nZ. Se verifican las siguientes propiedades: m –n –m n m n p Figura 1.8. i) a a = a m+n y iv) (a ) = (a ) = a –mn . –n –m a a = a –(m + n) . Indaga sobre Wacław Franciszek m v) (ab) = a b . m m m Sierpiński, luego confecciona ii) a n = a m–n . m una ficha bibliográfica. a vi) a m = a . m n iii) (a ) = a . b a n mn M.5.1.2. Deducir propiedades algebraicas de la potenciación de números reales con exponentes enteros y fraccionarios en la simplificación de expresiones numéricas y 38 algebraicas. 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 38 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 38]]> 0. Se supone que estos ele- identidad y fórmula? Explica. mentos están relacionados como: d ( 1 c) 1– b . =+ a Competencia A esta igualdad la llamamos fórmula. Nótese que esta fórmula tiene comunicacional cuatro datos. Para calcular uno de ellos, es preciso conocer los otros tres. En cada ítem se dan tres datos. Mediante la aplicación de las pro- Desde el punto de vista matemático, la palabra identi- piedades algebraicas de los números reales, se obtiene el dato faltante. dad se comprende como una i) Si se conocen los datos a, b, c  R, d se calcula directamente. Por igualdad definida en un con- 1,5 ) =+ junto, la cual se verifica en cada ejemplo, si a = 4, b = 1,5 y c = 3, resulta d ( 13 1– 4 = 2,5. uno de los puntos del conjunto. ii) Se conocen a, c, d, y se desea obtener b. En primer lugar, por la hi- La palabra fórmula se com- pótesis c > 0, se tiene 1 + c > 0. Multiplicando miembro a miembro prende como una igualdad por 1/(1 + c) que es el opuesto multiplicativo de 1 + c, se obtiene o desigualdad notable que b define una identidad, una d = 1– . + relación o un algoritmo. 1 c a A continuación, se suma –1 en cada lado de esta última igual- La palabra ecuación se com- b b d prende como una igualdad dad (pues 1 + (–1) = 0). Resulta d d –1= = –. b –1 –. Como a > 0, a = a + + 1 c condicional propuesta en un 1 c –1 –. 1 c a + conjunto, la cual es verificada d d d –1 . –b = a por la especificación de pará- multiplicando por a se obtiene –b = a 1 c –1 . Finalmente, –1 . –b = a + 1 c + 1 c + metros indeterminados multiplicando por –1 en ambos miembros de esta última igual- o incógnitas del conjunto. d b = a 1– d d . b = a 1– . dad, resulta b = a 1– . Estos últimos cuatro pasos son una + 1 c Escribe en el cuaderno un 1 c 1 c + + ejemplo de identidad, de fór- aplicación de la propiedad cancelativa con las operaciones de adi- mula y de ecuación. ción y producto en el conjunto R. Todos estos pasos se resumen en: b d b b d 2,5 d ( 1 c) 1– = 1– = 1– b = a 1– = 1,5. =+ a 1 c a a 1 c 13 + + + Competencia 2,5 comunicacional Si a = 4, d = 2,5, c = 3, obtenemos b = 41– = 1,5. + 13 El término ecuación viene 2. En el ámbito de la electricidad, comenzamos con algunos concep- del latín aequatio, que significa: “nivelar, igualar o repartir algo tos: la corriente eléctrica I se define como la tasa de movimiento de igual”. cargas eléctricas o flujo de cargas eléctricas. Esto es, =I q , siendo q t la carga eléctrica medida en Columbios C y t el tiempo medido en segundos s; I se mide en amperios A = C/s. M.5.1.4. Aplicar las propiedades algebraicas de los números reales para resolver fórmulas (Física, Química, Biología) y ecuaciones que se deriven de dichas fórmulas. 42 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 42 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 42]]> 0 es la estatura de la perso- de una fórmula muy conocida (talla ) h 2 por los médicos y nutricionis- na medida en metros y su masa m es medida en kg. El Imc se mide tas, que se denomina Índice de 70 Imc = en kg/m . Si: 2 27,3. masa corporal (Imc). 2 1,6 ( ) Imc < 19, hay peso bajo (problema de desnutrición), 19 ≤ Imc < 25, hay peso normal (felicitaciones), 25 ≤ Imc < 30, hay sobrepeso (o sea, gordo), Imc ≥ 0, hay obesidad (mucho sobrepeso). Shutterstock, 179509586 Una persona tiene una estatura o talla de h = 1,6 m y una masa m masa corporal de m = 70 kg. ¿Qué sucede con el índice de masa p Control de masa corporal Imc = = corporal? ) 2 h 2 (talla 70 Imc = 2 27,3. 1,6 ( ) Esto significa que esta persona tiene sobrepeso. Conclusión: debe hacer mucho ejercicio. 43 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 43 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 43]]> 0. Se supone siguientes problemas. que estos elementos están relacionados 3a + 5,5b Problema-decisión como sigue: d = . En cada ítem 8 + 3,2c 5 El choque eléctrico sufrido por una se dan tres datos de esta fórmula. Me- persona puede ser letal, si la intensidad diante la aplicación de las propiedades al- eléctrica I > 100 mA (miliamperios). Su gebraicas de los números reales, obtén el efecto es conocido, en medicina, como dato faltante y muestra que es el indicado. fibrilación ventricular y consiste en una sobrecarga del nervio responsable de ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción a) Se conocen a, c, d. Obtén regular el funcionamiento del corazón. (8 + 3,2c) d – 3a Por otro lado, si una persona sufre de b = . Respuesta en el texto. 5,5 un shock eléctrico, puede experimen- tar también una parálisis respiratoria. b) Se conocen a, b, d. Obtén En nuestro país, el voltaje es de 120 V; 1 3a+ 5,5b si una persona tiene contacto con la c = 3,2 d –8 . Respuesta en el texto. red eléctrica y esta tiene una resistencia R = 800 Ω, ¿cuál es la intensidad eléctri- c) Si b = 12, c = 1, d = 2, obtén ca que recibe? ¿Qué se puede concluir? 1 a = (d(8 + 3,2c) – 5,5b). Luego, 3 Si debes ayudar a un amigo a decidir si a = –14,5333... Respuesta en el texto. hace o no una reparación sencilla que implica trabajar con la electrici- 4 Desarrolla: dad doméstica, ¿qué le aconsejarías? Justifica. a) Halla el área de un cuadrado cuya diagonal mide 8 m. d 2 A= A = 32 m 2 6 En un modelo sencillo de rendimiento de 2 la inversión en la asignación de recursos a b) La hipotenusa de un triángulo rectángulo la investigación y desarrollo, consideren mide 13 m y uno de sus catetos 5 m. Halla los siguientes elementos: inversión total I , el valor del otro cateto. medida en dólares; tasa de rentabilidad R; Recuerda el teorema de Pitágoras: utilidad esperada antes de invertir en la c 2 = a 2 +b 2 12 m investigación; y desarrollo U. Los costes de investigación y desarrollo C están rela- c) Halla la suma de los ángulos interiores de cionados como C = U – RI . un hexágono regular. N es el número de la- Un ejemplo hipotético de la industria dos del polígono. del cuero requiere de innovación per- S = 180°(N – 2) S = 720° manente de sus productos (similar a lo que sucede en otros sectores indus- Trabajo colaborativo triales). Supongan que, en las condi- Competencia ciones actuales, una pequeña empre- socioemocional sa del cuero tiene una utilidad anual Sin importar las diferencias o similitudes U = $ 40 000,00, una tasa de rentabi- que podamos tener unos con otros, siempre lidad R = 0,25 $/año y una inversión debemos tener en cuenta que los comentarios I = $100 000,00. Entonces, ¿cuáles son los y las visiones positivas nos estimulan y favorecen costes de investigación y desarrollo? nuestro aprendizaje. 45 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 45 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 45]]> 2). 1 n i) La varianza de la población X se denota σ (que se lee sigma al 2 n 2 ∑ x − i cuadrado) y se define como: 2 = i= 1 , donde μ es la media n de la población. n 2 ∑ ( i x ) x − M.5.3.1 Calcular e interpretar el rango, varianza y desviación estándar, para datos no agrupados y agrupados con apoyo de las TIC. 2 , = i= 1 M.5.3.3. Juzgar la validez de las soluciones obtenidas en los problemas de aplicación de las medidas de tendencia central y de dispersión para datos agrupados dentro del 50 contexto del problema, con apoyo de las TIC. n− 1 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 50 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 50]]> 2). sección expuesta de la muralla 1 n que estuviera lo suficientemen- te cerca como para contarlos. i) La desviación estándar de la población X se denota σ (que se lee El conteo era repetido varias sigma) y se define como: veces por diferentes soldados. n 2 El valor más frecuente (la moda ∑ x − en términos más modernos) era i = i= 1 , donde μ es la media de la población. tomado como el valor del nú- n n ∑ x − 2 mero de ladrillos más probable. i ii) La desviación estándar de la muestra X se denota σ, y se define Multiplicando este valor por , 1 i= = n 2 como: ∑( x − x) n la altura de los ladrillos usados i = i= 1 , n 2 en la muralla les permitía a los n− 1 ∑( x − x) atenienses determinar la altura i = i= 1 , de las escaleras necesarias para n− 1 trepar las murallas. donde x denota la media aritmética de la muestra. 51 21/1/25 15:31 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 51 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 51 21/1/25 15:31]]> 0 α u α < 0 formando un paralelogramo cuya diagonal es la suma. p Figura 2.22. a ab + Obsérvese que si α > 0, los vectores u y αu tienen la misma dirección b y sentido. Además, si 0 < α < 1, αu es un vector más pequeño que u, mientras que si α > 1, el vector αu es más grande que u (ver figura Practica en tu cuaderno. 2.22.). Dados los vectores ,,pq en- cuentra el vector suma +pq . Si α < 0, los vectores u y αu tienen la misma dirección, pero son de sentidos opuestos. En la gráfica se muestra el caso α<0. Competencia comunicacional Aprende la siguiente Definición simbología matemática: • Denotamos los vectores con Sean ,uv ∈V con ≠ 0u . Se dice que u y v son colineales si y solo 2 letras latinas, como u, v , a , b . si existe α ∈ , tal que =v αu. Mientras que a las magnitudes Nótese que los vectores u y αu son paralelos; son del mismo senti- escalares con letras griegas, do si α > 0, y son de sentidos opuestos si α < 0. como α, β. • Al producto de α por u lo denotamos con αu. M.5.2.3. Multiplicar un escalar por un vector de forma geométrica y de forma analítica, aplicando propiedades de los números reales y de los vectores en el plano. 80 21/1/25 15:32 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 80 21/1/25 15:32 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 80]]> 0 con el nivel del suelo, lo que facilita la movilidad. Las fuerzas sobre este sistema son el peso P (persona + silla de rue- das), fuerza normal N en el punto de contacto de la rampa con las ruedas, fuerza de fricción f entre la rampa y las ruedas, y fuerza de r tracción sobre las ruedas F, ejercida por la persona. Para mantener un movimiento uniforme, la suma total de fuerzas es 0 (tercera ley de F Newton). Esto es, ++PN f r += 0. p Figura 2.39. N En la figura 2.40. se ilustran las fuerzas que actúan sobre este sistema. Para fa- F cilitar el estudio, se considera el sistema x de referencia ortogonal de modo que el eje x coincide con la rampa, y el eje y 0 rampa f r es perpendicular a esta. En este sistema p de coordenadas, se muestran las fuerzas nivel del suelo que obran sobre el sistema (figura 2.41.). p Figura 2.40. p Figura 2.41. 87 21/1/25 15:32 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 87 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 87 21/1/25 15:32]]> f x ( ). 1 1 2 1 M.5.1.20. Graficar y analizar el dominio, el recorrido, la monotonía, ceros, extremos y paridad de las diferentes funciones reales (función afín a trozos, función potencia entera negativa con = –1, n = –2, función raíz cuadrada, función valor absoluto de la función afín) utilizando TIC. 90 21/1/25 15:32 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 90 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 90 21/1/25 15:32]]> f x ( ) , 1 3 1 y a < a 2 f a ( ) = f a ( ). 1 2 1 A la gráfica de una función como esta la llamaremos también curva decreciente. y = f(x) La figura 2.53. muestra la gráfica de una función estrictamente x decreciente. 0 1 x a a x x x x 2 1 2 3 4 5 Pon atención en la forma de la gráfica y observa que para todo par p Figura 2.52. de puntos xx ∈, 2 Domf () , tal que x < x , se tiene siempre f(x ) > 1 2 1 1 f(x ). A la gráfica de una función como esta la denominaremos curva 2 decreciente. y y= f(x ) Función afín 1 y = f(x) Definición Una función f de  en  definida como f (x) = ax + b, ∀ x  , donde y= f(x ) 2 a, b  fijos, se llama función afín. 0 x x 2 x 1 En el caso en que b = 0, la función afín se llama función lineal. p Figura 2.53. Función nula: si a = b = 0, la función afín es la función nula a la que escribimos f . Esta función está definida como () =fx 0, ∀ ∈ . x 0 0 y Función constante: si a = 0 y b ≠ 0, la función afín es la función cons- x tante no nula () =fx b, ∀ ∈ . G(f) b De la definición de la función afín f, se tiene que el dominio o con- y = ax + b junto de salida de f es todo , a lo cual lo escribimos Dom(f) = . El conjunto de llegada es . Si a = 0, el recorrido Rec f () {} . 0 − b x b = Supongamos a ≠ 0. Por definición, Rec () =f { () xx| ∈ }. a f La figura 2.54. representa una función afín. p Figura 2.54. 91 21/1/25 15:32 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 91 21/1/25 15:32 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 91]]> x , + 2 2 0 se dice afín a trozos, donde a , a , b , b  son constantes, no todas 1 2 1 2 Desequilibrio cognitivo nulas, x  fijo. 0 ¿Qué tipo de función Sea v la función real, definida como: real se tiene al modelar la va- 1 riación de temperatura en una 2 x −1, si x <2, cámara refrigerada? () = x x vx −2, si 2 ≤ ≤ 4, 1 x +2, si x > 4. 10 Esta es una función afín a trozos. En cada intervalo, v es estric- 1 y y = x + 2 tamente creciente. Para x < 2, la semirrecta tiene una pendiente 10 4 m = 1 ,para x [ ∈ 2,4], la porción de recta tiene una pendiente 3 1 2 2 m = 1 y para x ] ∞ 1 . ∈ 4, [, la semirrecta tiene una pendiente m = 1 2 3 10 y = x – 2 En la figura 2.55. se muestra la gráfica de esta función. –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x –1 1 –2 y = x − 1 Función potencia entera negativa con n = –1, n = –2 2 p Figura 2.55. Sea v la función de ]0, ∞[ en ]0, ∞[, definida como: 1 ] ∞ . vx ∀ ∈ 0, [ () = ; x Competencia x 1 matemática En primer lugar, = x está definido si x ≠ 0. Como x]0, ∞[, enton- 1 − x En la vida, nos encontra- ces x > 0, con lo que x existe y v(x) está bien definido. –1 mos frecuentemente con fenó- 0, [ 0, [ () = () = menos que se comportan todo Obviamente, Dom v ] ∞ , Rec v ] ∞ y el grafo de la fun- el tiempo o por momentos de ción v, G(v) es el conjunto definido como: manera lineal. Estos fenómenos , x vx ) 0, [ 0, } [ se pueden graficar mediante G v {( () | x ] ∞= , x 1 | x ] ∞ . ∈ ∈ () = funciones definidas por tramos, x que corresponden a gráficos de funciones afines, llamadas A continuación, se obtienen algunos puntos de G(v): funciones reales a trozos. 1 1 1 1 1 1 v == 4, ,4 ∈ G () ,v v ==2, ,2 ∈ G v () , 4 4 1 4 2 2 1 2 y 1 1 1 v () ==1 1, () ∈1,1 G () ,v v () =2 ,2, ∈ G () ,v 5 1 2 2 4 1 1 v () =4 ,4, ∈ G ().v 3 4 4 2 1 y = Mantener el régimen pronominal: observa que para valores de x > 0 1 x muy cercanos de 0, v(x) toma valores muy grandes. Por ejemplo: 0 1 2 3 4 5 6 x v( 10 ) = 1 = 10 , (10 −10 ) = 1 =10 . 10 5 5 − v p Figura 2.56. 10 5 − 10 −10 92 21/1/25 15:32 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 92 21/1/25 15:32 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 92]]> 0 es muy cercano de cero. Por ejemplo: Interdisciplinariedad v( 10 ) = 1 = 10 , v 10 ( ) = 1 = 10 − 10 Matemática y Física 10 5 5 − 10 5 10 10 La función raíz cuadrada se (la función v es estrictamente decreciente.) encuentra vinculada a la teoría La figura 2.56. muestra la gráfica de la función v. lineal de las olas. Esta teoría indica que la raíz cuadrada del producto de la profundidad Función raíz cuadrada del agua por la aceleración de La función real f de [0, ∞[ en [0, ∞[, definida como la gravedad es la celeridad o () = x ; x fx ∀ ∈ [ ∞0, [ , velocidad de la onda que se ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción se llama función raíz cuadrada. Usando la notación habitual acerca a la costa, en aguas poco de función, se tiene: profundas. [ 0, [ ∞→ 0, [ ∞ , [ C = f () =h × g h . f : Indaga y responde: ¿qué x → f x () = x. importancia tiene el estudio de La definición de raíz cuadrada involucra tres argumentos: las condiciones de oleaje en las actividades humanas relaciona- x ≥ 0, x ≥ 0y ( ) 2 = x. De estos argumentos y de la definición de das con el mar? x la función raíz cuadrada, se tiene: Dom(f) = [0, ∞[, Rec(f) = [0, ∞[. La función f es estrictamente creciente; es decir que f satisface la siguiente propiedad: () < fx . ∀ ,xx 2 ∈ [ ∞0, [; x 1 < x 2 fx 1 () 2 1 Competencia En efecto, sean x , x  [0, ∞[, tales que x < x . comunicacional 1 2 1 2 Entonces: x − x > 0, x ≥ 0, x > 0 y Aprende la siguiente 1 1 2 2 simbología matemática: 2 2 − x x − x x ( ) ( ) x − x 1 2 ∞ , ∀ , x − x = 2 1 x ( 2 + x ) = = 2 1 > 0, • xx [ ∈ 0, [ se lee: "para 2 1 1 x + x x + x x + x 1 2 2 1 2 1 2 1 todo equis uno, equis dos que pertenecen al intervalo fx > de donde x − x > 0, que implica x > x , o sea, fx () () semiabierto a la derecha, 1 2 1 2 1 2 o lo que es lo mismo, fx () < fx () desde cero al infinito". 2 . 1 ∀ ∞ () < fx Así, xx [ ∈ 0, [ , x 1 < x 2 fx 1 (), que prueba que la fun- • x ≥ se lee: "la raíz cuadra- , 0 1 2 2 1 ción raíz cuadrada es estrictamente creciente en el intervalo [0, ∞[. da de equis uno es mayor o Calculamos algunos valores de esta función: igual a cero". 1 1 1 f 0 () = 0, f = f , () = 1, f 2 () = 2 , 4 2 f 3 () = 3, f() = 2, f() = . 9 4 3 Además, considerando que la función raíz cuadrada es y estrictamente creciente, podemos construir su gráfica, 3 que se muestra en la figura 2.57. 2 y = x Observemos que, por ser la función raíz cuadrada estric- 1 tamente creciente, esta se inicia en el origen y se extien- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 de a la derecha y hacia arriba. Además, para x, tan grande 1 x 4 como se quiera, x es igualmente grande. p Figura 2.57. 93 21/1/25 15:32 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 93 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 93 21/1/25 15:32]]> 0 en un sistema, nos interesa el valor de esta medida en otro sistema. Muchas magnitudes físicas (como la masa, temperatura, presión y otras) o de origen económico (como la cotización de una moneda Juan Páez frente a otra) se expresan en dos o más sistemas de medida y tienen un comportamiento lineal. M.5.1.22. Resolver (con o sin el uso de la tecnología) problemas o situaciones, reales o hipotéticas, con el empleo de la modelización con funciones reales (función afín a trozos, función potencia entera negativa con n = –1, –2, función raíz cuadrada, función valor absoluto de la función afín), identificando las variables significativas presentes y las 100 relaciones entre ellas; juzgar la pertinencia y validez de los resultados obtenidos. 21/1/25 15:32 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 100 21/1/25 15:32 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 100]]> 0. por ciento, el número real p se ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción 0 0 De la definición de f tenemos el siguiente sistema de ecuaciones llama porcentaje y el conjunto lineales: A se llama conjunto de porcen- tajes. Escribimos a %, que se lee M = f(L ) = aL + b, “a de 100”. Nótese que p  [0, 1]. 0 0 0 M = f(L) = aL+ b. Además, p es adimensional. De este sistema de ecuaciones, obtenemos las constantes a y b: La palabra porcentaje proviene MM del latín per centum que significa − MM = (aL − ) a= 0 , L ≠ , L ‘tanto por ciento’. Por ejemplo: L − 0 0 LL 0 0 5 − MM 5 % significa 5 de 100, = 0,05. − bM aL M− 0 . L 100 = − = LL 11,2 % significa 11,2 de 100, − 0 Por lo tanto, para x se tiene: 11,2 = 0,112. − MM MM 100 − + fx () = ax b = 0 xM+− 0 . L Dada la cantidad C ≥ 0 y el tanto LL 0 LL 0 a − − Así, la función afín está definida como: por ciento a % o p = 100 , MM entonces V = pC es la cantidad − fx 0 ( −+xL ) Mx; ∈ . () = LL que corresponde al porcentaje p − 0 de la cantidad C. Esta fórmula nos Particularmente, si M = 0; L = 0, se tiene: permite definir la función V del 0 0 p M M siguiente modo: ; fx ( − +xL ) M = xx ∈ . () = L L V :   M p u V (u) = pu. p Es decir que f es la función lineal. Para M > 0, L > 0, ponemos C = , L Tanto el dominio como el recorri- de donde M = CL. En este caso, C > 0 es la constante de conver- do de V es . Claramente V es p p sión de una unidad a otra y la función lineal queda definida como una función lineal estrictamente f(x) = Cx; x. creciente; el grafo de V es el p conjunto Consideremos, como ejemplo, la temperatura T y las escalas Celsius y G(V ) = {(u, pu)  |u  }. 2 p Fahrenheit. A 0 ºC se tiene 32 ºF y los 25 ºC corresponden a 77 ºF. De- Este conjunto representa una terminemos una función afín f que permita calcular temperaturas en recta con pendiente p, que se grados centígrados (ºC) a temperaturas en grados Fahrenheit (ºF). muestra en la figura 2.64. Ponemos C = 0, F = 32, C = 25 y F = 77. Entonces, V 0 0 p FF 77 −32 − fT 0 ( − )+ =F ( −T 25 )+77, V V = pC TC () = CC 0 25 −0 p p − 9 0 C C () = T fT +32 T ≥273 °C. 5 p Figura 2.64. 101 21/1/25 15:32 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 101 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 101 21/1/25 15:32]]>100. ta horizontal, ángulos que, en el sentido C 0 x 0,15x si x >100. 2x, si 0< x 50, antihorario, miden  = 30o, 7 2x, si 0< x 50, C(x)= 2x 0,01x, si 50< x 100, u 2x 0,15x si x >100.  = 90o,  = 150o. Grafica estos vecto- Resuelve. Un producto se vende a C dó- 0 C(x)= 2x 0,01x, si 50< x 100, v w res y calcula. lares por cada kilogramo, que se escribe 2x 0,15x si x >100. $ C , si su masa varía entre 0 kg y 50 kg; 15 0 kg ( + ( + uv wu wv w a) uv w )⋅ +⋅w 15 . . . ) ⋅ =⋅ +⋅ = 15 = 2 uv wu ) ⋅ =⋅wv ( + ( +uv ) ⋅ =⋅ +⋅ =wu wv w . −10,5 tiene un descuento de 0,01 dólares en 2 15 ( − vv −10,5 . ) ⋅ =⋅ −⋅w uw vu 2 = ( + b) uw v )⋅ ( − ) ⋅ =⋅ −⋅w . 2 . cada kilogramo si su masa es mayor a . ) ⋅ =⋅wv w uv wu ( − +⋅ = . uw vu vv −10,5 = 2 ) ⋅ =⋅ −⋅ =vu vv w ( −uw 2 uu ww uw − ) = ⋅− ⋅=−22,75. ( + ) ( ⋅ uw 2 −10,5 ) ( ⋅ uw ) =uu ww 50 kg y menor o igual a 100 kg. Para ma- uw ⋅− ⋅=−22,75. − ( + . ) ⋅ =⋅ −⋅ = uw vu vv w ( − c) uw) ( ⋅ ( +uw 2 ( + w − u 2 ) = vv 22,75. 6 . ( + ⋅+ vw 4 uw). ) = ⋅− ⋅=−uw ) ( ⋅ u 3 ⋅− uv ⋅ v 2 − uw 67,5. = 3 uu ww 2 − ) ( ⋅ − ⋅− uv 6 . 3 ( + w − uw 67,5. v 2 ) ( ⋅ u 3 − u 2 ) = vv 2 ⋅+ vw 4 ⋅ = sas mayores a 100 kg, tiene un descuen- − ( +v 2⋅=−22,75. ( + ) ( ⋅ uw ) = ⋅−ww ) ( ⋅ u 3 − u 2 ) = vv 2 ⋅+ vw 4 ⋅ = uu uw 3 ⋅− uv 6 . w − uw 67,5. to fijo de 0,15 dólares por kilogramo. 3v − vw 4 2u). − uw 67,5. 3 ( + w ) ( ⋅ u 3 − u 2 2w) ( ⋅ ⋅− uv 6 . ⋅ = v 2 d) v ( + ) = vv 2 ⋅+ a) Define una función C que permita calcular 3 Responde la siguiente pregunta. el costo en términos de la masa del producto. Sean ,uv V . ¿Cómo se define uv? Analiza la función y representa gráfica- ∈ − 2 mente. Emplea las TIC.. −= +−v(). uv u $ b) Suponiendo que C = 2 , escribe explíci- 4 0 kg Escribe V si es verdadero o F si es falso, tamente C(x) y calcula C(48), C(51), C(100), según tu análisis. C(150), C(200). $ 96; $101,49; $ 199; $ $ 277,5; $ 370 La adición de vectores cumple con la pro- V piedad conmutativa. 8 Expreso mis emociones El producto de un escalar por un vector da F Cuando hablas, comunicas cosas de forma como resultado un escalar. consciente e inconsciente, con el cuerpo y Dos vectores son ortogonales si y solo si el rostro. ¿Cómo te sentirías si, mientras le forman un ángulo de 180°. F cuentas algo a alguien, ella mira para otro El producto escalar o producto punto de lado o bosteza? dos vectores da como resultado otro escalar. V 112 21/1/25 15:33 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 112 21/1/25 15:33 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 112]]> 0 y a < 0. Comencemos con el caso a > 0. contexto que te rodea. 2 2 2 2 4ac b − − Puesto que para todo x R, =a x + b + ≥ 0, entonce =ax + b + 4ac b , s 2a 4a 2 2a 4a b −b − 4ac b− 2 b b 22 4ac b 2 4ac 2 2 4ac b 2 − . =ax , y− = = ax+ +a x , x ∈+ ≥ 0, de donde ≥y + +, con lo cual el 4a 2a 2a 4a 2 2a 4a 4a 4ac b 2 − () . recorrido de f es el conjunto Rec(f) = =Recf ,∞ 4a M.5.3.2. Representa gráficamente funciones cuadráticas; halla las intersecciones con los ejes, el dominio, rango, vértice y monotonía; emplea sistemas de ecuaciones para 116 calcular la intersección entre una recta y una parábola. Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 116 21/1/25 15:33 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 116 21/1/25 15:33]]>0. En conclusión, Rec f ( ) = 4a [ ∞,p [ : intervalo cerrado a 4ac b 2 , , si a>0. izquierda 4a En un capítulo posterior se estudiarán las cónicas. Allí se verá que la gráfica de la función cuadrática representa a una parábola que se abre − b 4ac b 2 hacia arriba, si a > 0, y hacia abajo, si a < 0. El punto − , se llama vértice de la parábola. 2a 4a Competencia Máximos y mínimos de las funciones cuadráticas matemática Mínimo de la función cuadrática • El mínimo global de la función cuadrática es el mínimo − 4ac b 2 de la función que se representa Sea a > 0. Puesto que para todo x  R, () ≥fx , el número como: 4ac b 2 4a m = mín f (x) − ( real m = se llama mínimo global de la función cuadrática. mín x ∈ fx) 4a xR m ≤ f x(), ∀ ∈ . x Escribiremos: 4ac −b 2 • Si a < 0, y la función cuadrá- mín f (x), ( ), m = =mín x ∈ fx tica f no tiene mínimo global, 4a xR escribiremos: que se lee "m es el mínimo de la función f en todo R". mín f (x) = – ∞, o simple mente, xR mín f (x) no existe. xR Máximo de la función cuadrática • El máximo global de la fun- 4ac b 2 ción cuadrática es el máximo − Sea a < 0. Como para todo x R, () ≤fx , el número real de la función que se representa 4a 4ac b 2 como: − M = se llama máximo global de la función cuadrática. M = máx f (x) ( ) 4a máx x ∈ fx xR x Escribiremos: ()fx ≤ ,M ∀ ∈ . 4ac −b 2 máx f (x), (), M = =máx x ∈ fx • Si a > 0, y la función cuadrá- 4a xR tica f no tiene máximo global, que se lee “M es el máximo de la función f en todo R". escribiremos: máx f (x) = ∞, o simple mente, ,si> ma ,si> ,si>0, 0, 0, ma 4ac b b b 4ac − − − 2 2 2 ma xR 4ac b b b Nótese que: f −f −f −f = = = = = = máx f (x) no existe. 2a 2a 4a 4a 2a 4a Ma xR ,si<0. 0. 0. ,si< Ma Ma ,si< 117 21/1/25 15:33 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 117 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 117 21/1/25 15:33]]>0, la función cuadrática es estrictamente decreciente en el b b 0 b x intervalo , 2a y creciente en el intervalo 2a , . 2a Este resultado lo interpretamos en el diagrama siguiente (figura 3.1.): p Figura 3.1. b Si a<0, la función cuadrática es estrictamente creciente en el intervalo , b 2a b , y decreciente en el intervalo , . crece decrece 2a 2a La figura 3.2. interpreta se interpreta este resultado. b , 0 b x Ejercicios resueltos 2a 2a 1. Consideremos la función cuadrática f, definida por p Figura 3.2. 2 x ∈ fx()= x ++1, ∀xR. Se tiene Dom(f) = R. Como: x 1 2 3 1 2 2 f(x)= x +x+1= x+ + x , y dado que x+ 0 2 4 2 1 2 3 3 ∀xR, entonces f (x)= x+ + , ∀xR, y se sigue que 3 2 4 4 Rec( f)= , . 4 Para calcular algunos valores de la función f, se procede así: 1 1 1 2 3 3 3 3 1 2 3 7 f = + + = f = + + = 2 2 2 4 4 2 2 2 4 4 1 1 1 2 3 7 f = + + = 2 2 2 4 4 En la figura se muestra la gráfica de f . Esta es una parábola que se 1 3 abre hacia arriba (a = 1) y su vértice es el punto , . 2 4 y 3 1 7 5 3 19 2 y = x + x + 1 Obsérvese que f = f = , f = f = , 5 2 2 4 2 2 4 1 2 3 2 3 y en general f x 0 = x + , f x 1 = x + . Luego, 0 4 2 4 0 2 0 4 1 1 2 3 f x = f x = x + , x R. 3 0 0 0 0 2 2 4 2 3 1 f(x). Se tiene = f = mín f (x). Por otro lado, la función f =mín x 4 2 xR 1 1 es estrictamente decreciente sobre el intervalo , y 2 1 –3 –2 –1 1 0 1 1 2 x estrictamente creciente sobre el intervalo 2 , . 2 2 1 En efecto, sean x , x , con x < x . p Figura 3.3. 1 2 2 1 2 118 21/1/25 15:33 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 118 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 118 21/1/25 15:33]]> x + 0 , y 1 2 1 2 2 2 2 2 x 3 1 0 sumando en esta última desigualdad, se deduce 2 4 p Figura 3.4. 1 2 3 1 2 3 3 3 x + + > x + + , es decir que ()>( ) ≥fx fx . 1 2 4 2 2 4 4 1 2 4 Interdisciplinariedad 1 De modo similar, se muestra que si x ,x 2 , , tal que x < x , Matemática 1 2 1 3 2 ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción entonces < fx fx e Ingeniería ()<( ). La prueba se propone como ejercicio. 4 1 2 En la gráfica se interpretan estos dos resultados (figura 3.4.). Las funciones cuadráticas son ampliamente usadas en la cien- cia, los negocios y la ingeniería. 2. Consideremos la función g, definida como La parábola puede describir 2 x x () = gx −+4x −4, ∀ ∈ . trayectorias de chorros de agua Puesto que en una fuente y el botar una 2 x x −−2) , x gx −+4x −4= −(x 2 −4x +4)=(x 2 ∀∈ , y pelota o definir la curvatura en ()= estructuras como reflectores y 2 x tomando en consideración que (x− 2) ≥ 0, ∀∈ , resulta antenas parabólicas que forman, gx ≤ x , es decir que el recorrido de g es el conjunto respectivamente, los faros de () 0, ∀ ∈ Recg()=] −∞,0]. El dominio de g es obviamente el conjunto R. los carros y la base de los platos satelitales. Calculemos algunos valores de la función g. 2 2 2 (3 −− −− − − g (2)= (2 2) =0, g (1)=(12)= 1, g(3)= −−2) =1. En la figura 3.5. se muestra la gráfica de la función g. Esta es una parábola que se abre hacia abajo, 2 x () =( gx −−2) , ∀∈ , y su vértice es el punto (2, 0). x Se tiene 0 = g(2) = máx g(x). Shutterstock, 368766932 xR Esta función es estrictamente creciente en el intervalo ]–∞, 2] y estric- Responde: ¿qué otro tipo de tamente decreciente sobre el intervalo [2, ∞[ . aplicaciones tienen las funcio- nes cuadráticas? Probemos que es estrictamente creciente en el intervalo ]–∞, 2]. y Sean x , x ]–∞, 2], tal que x < x ≤ 2. Sumando –2 en la desigual- 1 2 1 2 2 dad, obtenemos x –2 < x –2 ≤ 0, de donde x − ( 1 2 x −2)>( 2 2) , 2 1 y multiplicando por –1, en esta última desigualdad, se deduce 0 1 2 3 4 x 2 − x −( 1 2 − 2)< x −( 2 2), es decir que ()<( ).gx 1 gx 2 –1 y = –(x–2)² ,2 ], ] ] ( Así, ,xx,xx 22 ∈−∞,2], x f(x ) 2 1 10 ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción b) f es creciente sobre el intervalo – , . Indaguen, analicen y resuelvan en equipo. x < x 2 5 1 f(x ) < f(x ) 2 La función es creciente. 9 Sea f la función cuadrática, definida por 1 8 2 x () =3x 7 Dada la función cuadrática h, definida fx +4x + , ∀∈ . Prueben 9 2 4 1 1 que f es creciente en el intervalo , 2 por () =hx x + x+ , x ∈ , 3 9 3 16 2 demuestra que: y decreciente en el conjunto , 3 . Determinen el mínimo global de f . 3 a) h es decreciente en el conjunto , . La función es decreciente. 8 3 10 b) h es creciente en el conjunto , . Consideren la función cuadrática f, La función es creciente. 8 definida por ()=fx x 2 ++1, ∀∈ . x x Demuestren que f es estrictamente 8 1 Sea la función cuadrática representada creciente en el intervalo , , es a continuación. Determina el vértice 1 2 y los intervalos donde es creciente y decir que si x ,x 2 2 , con x 0, 2 2 2 t + t + 1 > 0, t – t + 2 > 0. Así, P(t) ≠ 0, Q(t) ≠ 0, R(t) ≠ 0, para todo tR. Resolvemos en R la ecuación ax + bx + c = 0, donde a, b, c R, 2 a ≠ 0, significa hallar, si existe, al menos, un elemento x ∈ que + ˆ satisface la ecuación. Si existe x ∈ , tal que ax + ˆ 2 bx c =0, ˆ es x una raíz de la ecuación de segundo grado y diremos que la ecua- ción de segundo grado tiene solución en R. Si no existe un núme- ro real que satisfaga la ecuación de segundo grado, se dirá que esta no tiene solución en R. Competencia Definición comunicacional i) Se dice que r  R es una raíz simple de f si para todo x ∈ , Aprende la siguiente fx()=( xr Qx), donde Q es un polinomio de grado 1 y Q(r) ≠ 0. )( − simbología matemática: ii) Se dice que r  R es una raíz doble o de multiplicidad 2 si existe i) Un número real r se dice una una constante α  R, α ≠ 0, tal que () =(fx α xr ), ∀ ∈ . 2 x − raíz de la función f si satisface la condición f(r)=0. Ejercicio resuelto ii) Se dice que la función f no 1. Sea ()=2ft t 2 +16t +32, ∀∈ . Entonces r = –4 es una raíz de t tiene raíces en R si f(x)≠0 para f, pues f(–4) = 0, luego, () =(ft t− (–4))( )=(t+ 4)( ), ∀∈  , t Qt t Q todo ×R. donde Q(t) = at + b, ∀tR, a, bR con a ≠ 0. Estudiemos si r = –4 es una raíz doble. Puesto que a t +( + 4)( ft()=( t + atb)= at + 2 b+ 4) b 4=2 t + 2 16 t +32, y, por la igualdad de polinomios, tenemos a = 2, b + 4a = 16, 4b = 32, con lo 2 cual a = 2 y b = 8. Luego, ft() =( t + 4)(2 t +8) =2( t + 4), ∀ ∈ . t Es decir que r = –4 es una raíz doble o de multiplicidad 2. La escri- 2 t tura de la función f, en la forma ()=2(ft t +4), ∀ ∈ , se cono- ce como factorización del polinomio f. M.5.1.26. Aplicar las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado en la factorización de la función cuadrática. 122 21/1/25 15:33 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 122 21/1/25 15:33 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 122]]>0 = Nótese en este caso que para x  R, x+ +x b b 2 2 = − b d 4ac . , con + x + x+ 2 a 4a 2 2 a 4a 2 2a 2a 4a 4a 2 y b d lo cual f(x)=ax+ y, en consecuencia, para todo 2a 4a 2 f(x)>0,sia>0,o x  R se tienen las desigualdades siguientes: f(x)<0,sia<0. Esto se representa gráficamente en la figura 3.6. y = ax 2 + bx + c 2 b b 2 c b 2 b 2 b 2 4ac b . = + x + x+ ii) Si d = 0 se tiene x+ = = 0, con lo cual +x =0, de donde 0 x a 4a 2 a 4a 2 2a 4a 2 b 2a a > 0, f(x) > 0 b x =− . Por lo tanto, si d = 0, =− es una raíz doble de la x 2a 2a p Figura 3.6. ecuación de segundo grado. Es decir que f (x) se expresa en la 2 2 b b forma f(x)=ax =ax+ , x . 2a 2a b 2 El conjunto solución es S={x |ax +bx+c =0}= . 2a b La ecuación de segundo grado Tenemos que r =− es una raíz doble de la ecuación f (x) = 0. tiene una raíz doble. a 2 y Esto se representa gráficamente en la figura 3.7. b 2 d – b iii) Si d > 0, la ecuación x+ = y, por tanto, la ecuación de 2a 0 2a 4a 2 x b y = a x + 2 segundo grado tiene solución en R. Calculemos la solución. Los 2a d d números reales − y son tales que su cuadrado es 4a 2 4a 2 2 d , esto es d = d = d . a < 0 4a 2 4a 2 4a 2 4a 2 p Figura 3.7. 123 21/1/25 15:33 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 123 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 123 21/1/25 15:33]]> 0, |a| = a, entonces =x − ± = . 2a 2a 2a b d b d − b d Si a < 0, |a| = –a, luego =x − ± =− = . La ecuación de segundo grado tiene dos 2a − 2a 2a 2a 2a soluciones reales y distintas. En cualquiera de los casos anteriores, indicamos con x , x las dos 1 2 y raíces dadas por: b b 4 −− d −− b 2 − ac 2 y = ax +bx+c x = a 2 = a 2 , 1 x 0 x x 2 1 2 −+ d −+ b − 4ac b b x = = . 2 2a 2a Los números reales x , x son soluciones de la ecuación de segun- 2 1 do grado, pues ()=( )=0.fx 1 fx 2 Además x ≠ x . Por lo tanto, si 1 2 2 ac = db − 4 >0, el conjunto solución S está definido como: =0 = x x } 2 S = x { ∈ |ax + bx c } { , . + y 1 2 2 b y = ax +bx+c −± b − 4ac 2 Por comodidad, se utiliza la fórmula =x , para pos- 2a teriormente determinar si la ecuación de segundo grado tiene o no solución en R, según d ≥ 0 o d < 0. Para su representación gráfica, observa la figura 3.8. x 0 x x 1 2 Ejercicios resueltos 2 a > 0 1. Considera la ecuación x + x + 1 = 0 en el conjunto R. Puesto que Observa que, en el caso de que la ecuación 1 1 b 2 d 2 −+ ⇔ x+ x x x − de segundo grado no tenga raíces reales, x 2 ++1= 0 ⇔ +x 2 x =1 ⇔ ++ =1 = 2 la gráfica de f no corta al eje x (primer 4 4 2a 4a caso). En los casos en los que la ecuación El primer miembro de la última igualdad es no negativo, mientras de segundo grado tiene solución en R, la gráfica de la función cuadrática f corta que el segundo miembro es negativo. Por tanto, la ecuación no tiene al eje x en un punto o en dos puntos solución en R o, lo que es lo mismo, el conjunto solución S = 0, pues distintos (segundo y tercer casos). 3 no existe un número real cuyo cuadrado sea − . Nótese que ∀xR, p Figura 3.8. 1 2 3 4 2 x x+ + >0 , con lo cual ()=fx x ++ 1>0 , ∀xR. 2 2 En este caso, la gráfica de f no corta al eje x. 124 21/1/25 15:33 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 124 21/1/25 15:33 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 124]]> 0. 2 las siguientes ecuaciones: Demuestren que esta ecuación tiene exactamente dos raíces reales y distintas. x =0 Para el efecto, asuman que la ecuación 1 2 a) x – 3x = 3x – 4x 1 2 x = tiene tres raíces reales y distintas entre sí: 2 2 x , x , x . Obtengan una contradicción. x =0 1 2 3 1 b) (4x – 1)(2x + 3) = (x + 3)(x – 1) x = – 8 7 Demostración. 2 12 x 2 x –9 3 x =0 Los números reales r , r que se dan en 2 1 1 c) – = 1 cada caso son raíces de un polinomio de 3 6 2 x = 2 2 la forma P(t) = t + at + b, ∀tR, donde 2 a, b R son constantes elegidas apro- x+1 x+ 4 x =0 piadamente. Encuentren ese polinomio. d) – =1 1 x –1 x –2 x = –1 Tracen la gráfica de P e indiquen dónde 2 es creciente y dónde decreciente. x =0 1 ) 2 2 e) x ( –3 – x (2 +5 ) =–16 x = – 26 a) r = –1, r = 0. b) r = 1, r = –3. 2 3 1 2 1 2 127 21/1/25 15:34 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 127 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 127 21/1/25 15:34]]> 0 y 2 2 1 x < 0, x < 0, entonces S ≠ 0, en Nótese que: 1 1 2 cuyo caso, para todo tR, 2 37 2 1297 2 37 35 2 37 35 2 t – x > 0, t – x > 0, de donde 4t 4 37t +9= 0 t = t t + =0 2 2 1 2 8 64 8 8 8 8 2 Pt = 4 bt +> 0, 1 1 () at + c − t =3 v=3v = − v= . t t t t ∀∈ , sia> 0, 2 2 2 2 4 () at + c Pt = 4 bt +< 0, Además, () =4t − 37t + 9, t ∈ se factoriza en la forma Pt t ∀∈ , sia< 0. 1 1 ( ( P(t)=4 t+3) t 3) t+ t , t . 2 2 M.5.1.27. Resolver ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones de segundo grado con una incógnita. 128 21/1/25 15:34 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 128 21/1/25 15:34 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 128]]> 0, α > 0. Analicemos tres casos. 1. En la figura 3.11. se muestran las gráficas de esta parábola P y de la recta L. Se observa que estas dos gráficas se cortan en dos puntos P ( , L, , Competencia digital distintos, de abscisas x y x . Es decir que xy ) ( , xy )∈∩ 2 2 1 1 1 2 , L {( , más aún, P∩= xy ) ( , xy } ) . 2 2 1 1 Para ampliar tus cono- cimientos sobre la intersección de una recta y una parábola, y visita el siguiente enlace: y = ax²+bx+c lynk.ec/11m07 y = αx + β β c x 0 x x p Figura 3.11. Este par de puntos son solución del par de ecuaciones + , = a b Glosario yax 2 +bxc c y = x β α + . intersección. Lugar en que se cortan o se encuentran Al igualar miembro a miembro, se tiene: dos líneas, dos superficies o dos sólidos. α + β ax 2 +bxc ax 2 ( + b − α) +− =0 +x 2 b − a α x + c − a β =0 β x = c x + parábola. Curva abierta formada ( b − α ( b − α c − β =0 x +( b α =( b α c β − − − por dos líneas o ramas simétricas + x a 2 2( − a 2 2( + a 2( 2( − . respecto de un eje y en que to- a 2 a 2 a dos sus puntos están a la misma De esta última igualdad, para que existan estos dos puntos de corte distancia del foco (un punto) y distintos, se debe verificar que: de la directriz (recta perpendicu- ( − b α) − lar al eje). ( b− − c − β = ( − 2 4a c β) >0. 2a 2( a 4a 2 M.5.1.28. Identificar la intersección gráfica de una recta y una parábola como solución de un sistema de dos ecuaciones: una cuadrática y otra lineal. M.5.1.29. Identificar la intersección gráfica de dos parábolas como solución de un sistema de dos ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas. 132 21/1/25 15:34 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 132 21/1/25 15:34 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 132]]> 0, α > 0. Se observa que estas dos gráficas se cortan en dos puntos distintos, de abs- cisas x y x . Es decir que xy ) ( , xy )∈∩ , más aún, P P ( , , 1 2 1 1 2 2 1 2 P {( , , y= αx²+βx+λ P ∩ = xy ) ( , xy } ) . 1 2 2 2 1 1 λ Este par de puntos son solución del par de ecuaciones = + , yax 2 +bxc x y = αx 2 + β + λ. Procediendo en forma similar al caso de intersección de una recta con una parábola, al igualar miembro a miembro, se tiene: y = ax²+bx+c 2 2 2 x + x+ =ax +bx+c ( a ) x + b ( ) x+c =0. x 0 x x Si a ≠ α, a – α ≠ 0, y podemos dividir la última ecuación para a – α, resulta: p Figura 3.14. 2 2 2 b c b b c x + x+ =0 x+ + =0 a a 2 a ( ) 2 a ( ) a 2 2 b b c x+ = . 2 a ( ) 2 a ( ) a De esta última igualdad, para que existan dos puntos de corte distintos, se debe verificar que: 2 2 b c b ( ) 4 a ( ) c ( ) y = >0. 2 a ( ) a 4 a ( ) 2 y = ax²+bx+c En el caso a = α, a – α = 0, resulta: (b – β) x + c – λ = 0. Si b – β = 0, se tiene b = β, con lo que c = λ contradice el supuesto de que P ≠ P . En consecuencia, b – β ≠ 0, en cuyo 1 2 c − λ caso, la solución de la ecuación precedente es ˆ = , x y= αx²+βx+λ b − β ( b ≠ β, de donde ˆ = ˆ +yax 2 ˆ +bxc , luego ˆ, ˆ)∈∩xy P 1 P . 2 Se deja como ejercicio trazar las gráficas de las parábolas que satisfacen esta condición. 0 x En la figura 3.15. se muestran las gráficas de las parábo- las P y P . Se observa que estas dos gráficas no se cortan. 1 2 Se ha supuesto que a > 0, α < 0. El análisis matemático res- pectivo se deja como ejercicio. p Figura 3.15. 134 21/1/25 15:34 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 134 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 134 21/1/25 15:34]]> 500, p, r R , 0 ≤ r < 20. mas siguientes: t t , + α ≤≤ 2 si 0 t , 0 El comprador dispone solo billetes de st ()= α 1 ( − ( − 2 = st t < t t ≤ , () tt )+α tt ) +α veinte dólares. La cajera tiene únicamen- 1 0 2 0 3 2 0 1 te billetes de cinco dólares y tres billetes at, ,si 0 ≤≤ 0 at si 0 ≤≤ , tt tt , () vt = = de un dólar. ¿Es posible disponer de m vt () 0 at t )+ v , si tt , > 1( − t )+ billetes de veinte dólares para el pago y at ( − 0 0 v ,si tt > , 0 0 1 0 0 n billetes de cinco dólares para el vuelto donde: () v t =10 m v 0=0, () que arregle la compra del equipo? Mues- 0 s y ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción , tra las soluciones gráficamente. st ()= 400 ms t () = 800 m , cuando v(t ) = 0. 1 1 0 s (m) Shutterstock, 343819217 800 s = s (t) Comentario. Se debe resolver una ecuación 400 de la forma 20m – 5n –3 = v, con m, n  Z , + conocida como ecuación diofantina (en s = α t² honor al matemático Diofante). En este problema se requieren conocimientos del 0 t t m 2, espacio vectorial R y subespacios de R s 2 de la ecuación vectorial y cartesiana de una v recta, la representación gráfica, así como m de la divisibilidad en Z. Es obvio que se s requieren propiedades algebraicas y de or- den en el conjunto R. Para el pago: 30 billetes de $ 20. Para el vuelto: 20 billetes de $ 5. Trabajo colaborativo 10 v = a (t–t )–v Diversidad funcional v = at en el aula Es importante que haya tiempo suficiente para que realicen su trabajo personas que puedan 0 t(s) tener dificultades en su motricidad; deben tener t t paciencia e incorporarlos al trabajo. a) Calculen las constantes t , a, α . 0 1 b) Calculen las constantes a , v , β , β , β y t . 0 1 1 1 3 2 Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan. Para el efecto, asuman que () = 400st 0 m 2 () v y vt =. 0 0 4 Resuelvan. La distancia entre dos paradas c) Escriban en forma explícita las funciones de buses es 800 m. Una unidad de trans- S y V. porte público debe recorrer esta distancia d) Muestren que V es creciente en [0, t ] siguiendo dos criterios: acelerar en una y decreciente en [t , t ] 0 primera etapa y, luego, desacelerar. 0 1 145 21/1/25 15:35 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 145 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 145 21/1/25 15:35]]>0, λ=0, λ<0. Si λ>0, el vector λ A y tiene la misma dirección y sentido que el vector A . Si λ = 0, λ A = 0, b A = 0 es el origen del sistema de coordenadas rectangulares. Si λ<0, el vector λ A tiene la misma dirección que A , pero es de sentido b + b B opuesto a A . En los tres casos, λ A = (λa, λb). En la figura 3.19. se muestran el caso λ<0 y el caso λ>0. B + A A + B y y 0 a a a + a x λb λa a A λ A x b A b a λA A λa x λb p Figura 3.18. b λ > 0 λ < 0 p Figura 3.19. M.5.2.6. Reconocer los vectores como elementos geométricos de R . 2 152 21/1/25 15:35 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 152 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 152 21/1/25 15:35]]> 0, los vectores u y v tienen la mis- 0 x ma dirección y sentido. También, si λ < 0, los vectores u y v tienen la –4 –3 –2 –1 –1 1 2 3 misma dirección, pero son de sentidos opuestos. En la figura 3.22. se α u muestran dos vectores colineales a u para los dos casos λ > 0 y λ < 0. p Figura 3.21. Ejercicio resuelto y ( = 1. Sea =3,1) y λ ∈ . Entonces =λ =v u λ( 3,1) ( 3,λλ) es coli- v = λu u neal a u . Para λ = 2, se obtiene v 1 = ( 6,2) y para λ = –1, se tiene λ > 0 ( v =− − y v 3, 1. ) En la figura 3.23. se muestran los vectores v 2 1 2 u colineales a . u 0 λ < 0 x y v = (6, 2) v = λu 2 1 u = (3, 1) 1 p Figura 3.22. –3 –2 –1 a Glosario 0 1 2 3 4 5 6 x c b –1 absurdo. Contrario y v = (–3, –1) opuesto a la razón, que no tiene 2 p Figura 3.23. sentido. 2. Los vectores =(1, 2),(1, 3)u v no son colineales. Sin embargo, Competencia supongamos que lo son. Entonces, existe x  R tal que =v xu . matemática 1== 1= x, x, x 1 , Puesto que u 0 , el 0 = 1, 2) (, 1, = xx 2) 2) 2) xx (, xx = Luego, v = v v = = (1,3) = (1,3) = xu (1,3) = xu xu x( x( x (1, 2) (, 2) = = = 32x 32x= x. . vector nulo es colineal a todo 32 . vector de R . 2 De la primera igualdad, se obtiene x = 1. Al reemplazar x = 1 en la Dos vectores no nulos de R 2 segunda igualdad, resulta 3 = 2, lo que es un absurdo. Este hecho se se dicen linealmente indepen- produce por haber supuesto que los vectores ,uv son colineales. dientes si no son colineales. Lo correcto es que ,uv no son colineales. Los vectores colineales se dicen Teorema también linealmente depen- dientes. cd 2 Sean = u (, ), = a bv (, ) dos vectores de R con ≠u 0. Entonces, 2 y son colineales si y solo si ac bd uv − = 0. Tres vectores no nulos de R son linealmente dependientes. La Demostración. se deja como investigación para el estudiante. Investiga por qué. 153 21/1/25 15:35 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 153 21/1/25 15:35 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 153]]> 0 y xu yv =0. ¿Este caso –1 c) w = λ +u αv y tiene una sola solución, dos soluciones o x infinitas soluciones? –2 –1 0 1 2 3 4 1/2v –2u –1 w Infinitas soluciones ≠ con x ≠ 0; y 0 –2 13 –3 Sea =(1, 2).u 10 Sea =(2, 8). u − a) Determinen la condición que debe verifi- car xR para que =(10,) sea colineal v x a) Muestra que =(1, 2)−v no es colineal con con u. x = 2 u . b) Determinen la condición que debe verifi- b) Prueba que =(–1,4)w es colineal con u . car y  R para que =( ,20)w y sea colineal ) ) au ≠ ( 2 1,–2 no es colineal con u . y = 1 (− b) u =−21,4 ) colineal c) Determinen la condición que debe verifi- car a  R para que =(3z a +2,2) no sea 11 colineal con u . a  R v a b Sea =−u (1,1), = (0,1)y w = (, )∈ 2 . 14 − v Los vectores =u (1,1), = (1,1) no son a) Halla a, b  R tal que +10=0.u w colineales. 1 1 1 1 a) a = = 10 10 ; b = – 10 10 ; b = – a) a 1 v b) a = ; b = 0 0 1 b) a = ; b = 5 5 1 b) Halla a, b  R tal que 10 − w = 0 a) a = ; b = – c) a = 1 c) a = – 10 1 – ; b = 0 10 5 a) Muestren que =(4,w −12) es colineal ; b = 0 0 b) a = 1 ; b = 5 1 u v a) a = 10 ; b = – 10 con + 2. m = 4 – es colineal . c) a = ; b = 1 – 0 b u c) Halla a, b  R tal que ( + 1) + av w . = 0 5 ; b = b) a = c) a = 1 – ; b = 0 1 1 b) Verifiquen que =1,w=1,w − − es colineal con v d) Encuentra a, b tal que 2u + 5v = w 2 − 3 . m = 1 5 es colineal. 5 5 u a= –2, b= 7 2u + 5v = w 0,5u + 2,5v = 0,5w c) Determinen xR, si existe, para que e) Encuentra a, b tal que 0,5u + 2,5v = 0,5w w = (2,1) sea colineal con 3 +uxv . a= –1, b= 6 x = 1 o x = 2 – 155 21/1/25 15:35 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 155 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 155 21/1/25 15:35]]>0 A ≠ 0. 2 por elementos de R , satisface las mismas propiedades del espacio vectorial R . 2 Ejemplo: 2 V = {t(a, b)|t  R}, donde (a, b)  R no nulo, es un subespacio vectorial de R . 2 M.5.2.7. Calcular el producto escalar entre dos vectores y la norma de un vector para determinar la distancia entre dos puntos A y B en R como la norma del vector AB. M.5.2.8. 2 156 Reconocer que dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero y aplicar el teorema de Pitágoras para resolver y plantear aplicaciones geométricas con operaciones y 2 elementos en R , apoyándose en el uso de las TIC (software como GeoGebra, calculadora gráfica, applets e Internet). 21/1/25 15:36 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 156 21/1/25 15:36 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 156]]> 0, la recta tiene un inclinación hacia la derecha, y x ( así en honor a René Descartes, 2 + 1 1 x– x x– x x,y) 2 2x,y) y ) x 1 1 , ( x – x,y) x 1 1 ( ( y – 1 1 x – x 1 ( 1 x– x ) , x x – x 2 2 1 1 y = y + 1 2 x – x y = y + x – x 1 x– x x . 2 2 , x – x ) x 1 1 2 1 2 x si la pendiente m < 0, la recta tiene una inclinación h 1acia la izquierda. 1 filósofo y matemático que, , 2 1 1 , x 1 1 1 2 2 x , y – y x x – x 2 ( 2 x,y) L= ( 2 x = como matemático, creó la y – y y + y – y x– x ) , x y – y 1 1 2 2 1 y 2 2 , 1 ( ( , ( y = y + x – x ) x,y) x,y) y y 1 + 1 x , x,y) y y 1 + 1 L 1 x– x ) L ( L , x 2 ( x De la definición de L se tienen las dos equivalencias siguientes: 1 2 x , 1 ( x– x ) 1 x 1 – x geometría analítica. Las coorde- x 1 1 x 1 x , x – x 1 x – x 2 1 2 1 y – y x , x – x 1 y – y 1 ( x– x ) 2 2 ( 2 y – y 1 2 2 x,y) x ( ( y y 1 +nadas cartesianas incorporan el L 2 2 1 x , ) x 1 2 y = y + , ( x x,y) x , L y = y + L= ( x– x 1 1 x , x , x 1 2 2 x,y) x– x ) , x 1 x , 1 2 1 1 1 x – x 1 x 2 , x ( x,y) , x – x y y 1 + y – y x 1 ( x– x ) x,y) L y y 1 + x – x 1 1 ( x– x ) 1 2 trazo de dos rectas perpendi- y – y 2 , 1 ( 2 1 2 1 L 2 2 y – y 2 x,y) x– x ) ( culares entre sí, con un punto 1 ( 1 y – y x – x y – y 2 + x – x L 2 , ( x x,y) x . L x y y 1 + y – y 1 ( ( x– x , L ( 1 x,y) x . L y y 1 xy y 1 + ( – x x– x ) 1 ( 1 x– x ) 2 1 1 2 x y y 1 + , 2 1 x , x,y) ) x de intersección denominado x 1 1 1 x – x 1 1 2 2 2 1 2 2 , x x – x 1 x x – x 1 , 2 1 origen. 2 x x . x y – yA= –1,1) ,B= 2,3) ( ,( Ejercicio resuelto ) ,B= 2,3) y y 1 + x 2 x 1 ( , x– x ) , 1 ( 2 x , A= –1,1 x,y) ( 1 ( 2 x L x , x 1 x . x . 1 = –1,1) ,B= 2,3) x A ( x – x Sean A = (–1, 1), B = (2, 3). Determina la ecuación cartesiana de la ( 2 1 y – y 2 2 1 x ( x,y) 2 3–1 y – y x . y – y recta L que pasa por A y B. + x – x x– 1 x 1 1 x x . ) x 2 1= x . 1 = A= –1,1) ,B= 2,3) 3–1 2 2 L 2 1 = ( x m= x . = . 2 m = . 2 1 y y 1 ( A= –1,1) ,B= 2,3) 2 2 ( ( 2 1 x ( , x – x x – x 2– –1) 3 ( – –1) 3 2 y – y ( 1 2 ( A= –1,1) ,B= 2,3) Comenzamos con el cálculo de la pendiente. Tenemos x = –1, y = 1 , 3–1 = . 1 = ( 1 1 (m= ( 2 1 A= –1,1) ,B= 2,3) 2 A= –1,1) ,B= 2,3) ( A= –1,1) ,B= 2,3) 1 ( 2 ( ( ( , 2– –1) 3 x x . ( 2 x,y) y – y 2 x 2 1 x = 2, y = 3, luego m= 2 y – y 1 = 3–1 = . ( 2 x,y) 2 m= x – x 1 1 = 3–1 = . Wikimedia Commons 2 2 y – y ( 2 2 y – y 3–1 2– –1) 3 – y 1 y – y 3–1 3–1 2 2 2– –1) 3 3–1 y x – x 2 2 = ( m= 2 x,y) ( = ( x 1 m= x . 2 2 1 A= –1,1) ,B= 2,3)m= 2 m= = 2 = 2– –1) 3 = . 2 x – x . 2 1 ( = = = . (. 1 1 1 2 x – x ( 2 2 2– –1 2– –1) 3 ( ) 3 1 x – x x – x 2– –1) 3 2 y–1= ( x – x 2 En la figura 4.13. se muestran los puntos A, B, y la recta L que pasa por x+1). x+1). 2 (1 ( x,y) x,y) y–1= ( 1 1 2 3) ,B ( ( = 2,3) ( 2 2 2 2 A y B. A= –1,1 y – y 1 3–1 = . x,y) 2 3 y–1= ( ( x,y) 2 ( x,y) 2 m= = ( ( x,y) ( 2 3 x+1). y L 2 2– –1) 3 x – x 5 5 2 La ecuación cartesiana de la recta L se escribe como: y–1= ( x+1). 3 B 3–1 y – y 2 2 21 y = , x+1). m= = 1 y = , 2 y–1= (= . 2 ( 2 3 2 3 2 x+1). ( x – x y–1= ( 1 ( x+1 2– –1 3 2 ) 3 y–1= ( x+1). x+1 5 3 y–1= y = , ). x,y) ). 2 tal que y–1= ( 3 3 3 3 3 x x 5 5 ( x,y) 2 y = , Si en la ecuación cartesiana hacemos x = 0, obtenemos y = , y para A 2 2 5 5 y–1= ( 5 3 x 5 y = , 3 x+1). y = , 5 5 y = , 2 2 y = , 3 x = 2, tenemos y = 3. El punto de corte de L con el eje x se obtiene ha- 1 3 3 + = 0, x x+ = 0, 3 2 3 y–1= ( x 3 3 3 2 x 5 3 x+1). 5 3 ciendo y = 0 y resolviendo la ecuación: x x tal que x+ = 0, de 0 x x 5 y = , 5 x 5 3 2 3 5 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 2 3 x =– x+ = 0, L. donde x =– . El punto (–5/2, 0) es el punto de corte del eje x con p Figura 4.13. x+ = 0, 5 5 2 2 y = 2 , 5 3 3 2 x+ = 0, 5 2 3 5 3 181 2 5 x+ = 0, x+ = 0, x 3 3 3 + = 0, x 5 3 3 3 3 3 3 x =– 2 5 x 2 x =– 5 5 x =– 5 x x =– 5 3 x+ 3 2 = 0, x =– 5 =– x =– 2 2 2 5 2 2 2 x+ = 0, Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 181 21/1/25 15:37 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 181 21/1/25 15:37 3 3 5 x =– 5 2 x =– 2]]> 0. 2 2 2 > 0, 2 2 2 2 a x+b y+c = 0. 2 1 1 2 En la sección precedente se ha visto que cada conjunto, 2 2 { 2 2 L = x,y) ( 2 a x+b y+c = 0, y, 1 1 1 L = x,y) 2 a x+b y+c = 0} , a x+b y+c = 0} , 2 2 2 2 1 ( { b L = x,y) 0, 2 1 ( { 1 1 1 1 1 ( { L = x,y) a x+b y+c = 0} , 1 1 1 a x+b y+c = 0} , a x+b y+c = 0. 1 L = x,y) 1 2 a x+b y+c = 0} , 2 > 0. 1 1 a + b > 0, a + b 2 2 { 2 2 2 ( a 1 2 1 2 2 { m = 2 { , L = x,y) – 2 1 ( { 2 a x+b y+c = 0} , 2 2 L = x,y) ( ( 1 ba x+b a x+b y+c = 0} , 0, 2 2 L = x,y) 2 2 y+c = 0} , 2 2 b 1 1 1 1 x t ( ) =u+tv, 1 > 0, a + b > a + b > 0. a + b Competencia representa una recta si y solo si . 0. > 0, a + b 1 2 2 1 2 2 > 0. 1 1 > 0, a + b b 2 y) matemática L = x, ( { a + b 0, 2 a x+b y+c = 0} , a 2 2 1 1 t Si b  0, la pendiente de L está definida como m =– 1 , y si b 0, 2 2 2 2 0, b x t ( ) =u+tv, 2 1 b 1 1 0, 1 a 2 . 1 1 b 1 2 b Las ecuaciones de la 0, 2 0, a + b > x,y) ( recta son: b 2 1 2 1 a t x t ( ) =u+tv, x t ( ) =u+tv, la pendiente de L es m =– a + b 2 > 0. a 1 , b 0, 2 m =– a , m =– 1 Vectorial x t ( ) =u+tv, ( Condición de paralelismo 1 b 1 2 1 , 1 b m =– b 0, y– y = m x– x ) , 1 t 1 b 1 x,y) 2 t t . 0 0 Se establece la siguiente condición de paralelismo: m =– a 2 . ( x t ( ) =u+tv, , x t ( ) =u+tv 1 b ( x,y) 2 y = y 2 2 – bx 0 + x = y –mx +mx. m = b a 0, b 2 0, 2 b 2 0, , b – 2 1 t y– y = m x– x ) , t Cartesiana ( (x, ( 0 x,y) y) 0 a a 0 0 1 si m 2 = m entonces L es paralela a L . 2 b 1 1 2 0 a 1 a 2 ( y– y = m x– x ) , 1 m =– 2 . m =– a . ( ( x,y) 0 bx tal que y– y = m x– x ) , Si L es paralela a L , escrib 2imos L ⎥⎥ L . Nota que L es paralela a L si y– y = m x– x ) , 0 2 2 1 1 2 ( x,y) 2 b 2 ( , b x 2 . 0 2 0 m =– b b 0, 2sma inclinación. A su vez, y solo si tienen la mi 0 y = y – + x = y –mx +mx. 0 0 2 2 b bx b 0 y = y – a 0 + a 0 0 0 bx 0 2 m = m a b – a b = 0. ( y– y = m x– x ) , x = y –mx +mx. b 2 0 0 0 y = y – bx + x = y –mx +mx. y– y = ( a 0 0 y = y – 0 a + x = y –mx +mx. a 2 1 1 2 2 1 a m x– x ) , x = x +ta, b 0 0 0 0 a 0 , m =– . x 2 0 0 Paramétrica b y = y +tb, a 0 Por lo tanto, a b – a b = 0 L ⎥⎥ L . bx a 2 x , b 2 1 1 2 2 1 0 + x = y –mx +mx. y = y – b 0 x 0 , 0 a 0 y = y – bx + x = y –mx +mx. 2 a 0 0 = x +ta, x 0 , x = x +ta, a a x 0 Se identifican dos casos: 0 0 . t x 0 , x = x +ta, y = y +tb, x y = y +tb, x = x +ta, 1. L = L si y solo si existe λ ∈ R, tal que c = λ c . En este caso se dice 0 , 0 0 1 2 x = x +ta, y = y +tb, que las rectas L y L son coincidentes. 1 2 0 0 t t x = x +ta, y = y +tb, 1 2 y = y +tb, t 0 0 0 2 y = y +tb, t En efecto, supongamos b ≠ 0, de la condición de paralelismo pre- t 0 a b a b cedente obtenemos a = 2 1 . Sea (x, y) ∈ L entonces (x, y) ∈ L , t a = b 2 1 1 . b 2 a = a b . 1 2 2 1 1 1 2 por lo tanto, a x + b y + c = 0. Luego, b 2 2 2 2 Competencia 0 = a x+b y+c = a b x+b y+c a b 2 1 1 1 comunicacional 0 = a x+b y+c = 2 1 1 x+b y+c , 1 1 a b 2 x+b y+c = 2 1 b 1 1 1 1 1 b 0 = a 1 1 1 x+b y+c 1 1 b 2 Aprende la siguiente 0 = a b x + b b y + b c = b (a x + b y) + b c = b (–c ) + b c , 2 2 1 1 simbología matemática: 2 1 2 1 c = b 1 c = 1 b 2 c . 2 b 2 1 1 2 2 1 c . 1 2 b • Para indicar que L no es y de esta última igualdad obtenemos: c = 1 c . 1 2 b 2 2 1 1 paralela a L , escribimos 2 b 2 2 L L . 2. L ⎥⎥ L y L ≠L . a a 1 2 1 2 1 2 m =– 1 = m =– 2 , 2 1 a a b b • Si L es perpendicular a L , Supongamos b ≠ 0 y b ≠ 0. De la definición de los conjuntos L y L = m m =– 1 =– 2, 2 1 1 2 1 2 escribimos L  L . Diremos 1 b 2 a b a 1 2 1 2 2 1 también L ortogonal a L . tenemos m =– 1 = m =– 2 , . Luego, a x+c 1 2 = ( 1 2 b 1 L { x, b 2 y) 2 a x+b y+c = 0} = x,– 1 1 x 1 1 1 1 L 1 = ( { x,y) 2 a x+b y+c = 0} = x,– a x+c 1 x b 1 1 1 1 1 L 1 = ( { x,y) 2 a x+b y+c = 0} = b 1 x,– a x+c 1 x 1 c 1 1 1 = x, m x– 1 x . b 1 c 1 b = x, m x– 1 x . 1 1 c b 182 M.5.2.11. Determinar la posición relativa de dos rectas en R (rectas paralelas, que se cortan, perpendiculares) en la resolución de problemas (por ejemplo: trayectoria de aviones 2 1 o de barcos para determinar si se interceptan). = x, m x– 1 x . 1 b 1 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 182 21/1/25 15:37 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 182 21/1/25 15:37]]> 0, se tiene a ≠ 0 y 1 1 1 1 1 1 q+v)+c = 0, 1 1 a x + b y + c = 0 p= q 1 1 c 1 2 a 1 2 p+b q= 0, 2 p= q= 0, = 0, 0 1 0 1 1 p= q= 0, 2 ( ( 2 ( , consecuentemente, 2 a p+b q= 0, 2 ( a p+ a p+u)u)+b q+v)+c a x + c = 0, con lo que x =– +b q+v)+c = 0, = 0, a p+b q= 0, 1 y x y t 1 t 2L1 L2 a p+u)+b q+v) 2 ( 2 ( 2 2 2 2 2 2 a p+b q= 0, 2 2 2 a +c = 0, 2 2 0 x x 2 x 0 a x+c x+c 2 a x + b y + c = 0 2 1 a 1 a x+b y+c . . a x+b y+c = 0 = 0 a x+c a x + b y + c = 0 1 1 y = y = – 1 1 1 y = 0,5t + 4,9t² y = 0,5t + 9,8t 1 1 1 a x+b y+c = 0 y = 1 1 . b b 3 3 1 1 1 b 1 1 1 c c a x +c +c 4 p Figura 4.20. 4 1 0 a x 0 x , y =– =– 0 , y . . 2 2 c x =– =– a x +c 1 0 1 1 0 Ponemos x =– 2 , y = a a – 1 0 0 1 . . Tenemos L ∩ L ={(x , y )}. 5 5 b b 0 0 1 1 2 2 a 2 b 1 1 2 0 0 Nota que la pendiente de la recta L no está definida. 6 6 2 7 7 y v 185 21/1/25 15:37 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 185 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 185 21/1/25 15:37]]> 0, resulta, d (x, y) = |x – y| = y – x. d(x, , Competencia d(x,y)= x– y ,y)= x– y si x ≥ y, matemática Así, d(x,y)= y– y– , x ,x si x < y. d(x,y)= Si u = x – y, v = y – z, se tiene u + v = x – y + (y –z) = x – z, A la distancia entre dos números reales la denominaremos métrica y la desigualdad usual en R y, como se dijo, esta nos permite medir la proximidad |u + v| ≤ |u| + |v| o lejanía entre dos números reales. se transforma en |x – z| ≤ |x – y| + |y –z|; Ejercicios resueltos esto, en términos de la distancia 1. Para x = –3, y = 1, se tiene d (–3, 1) = |–3 –1| = |–4| = 4. entre dos números reales, se 2. Si x = 4,6 = y, entonces d (4,6; 4,6) = |4,6 – 4,6| = 0. expresa como 3. d (–8, –2) = |–8 –(–2)| = |–8 + 2| = |–6| = 6. d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z). que hemos obtenido en la Propiedades de la métrica usual en R demostración iv. Teorema. Sean x, y, z R. Se verifican las siguientes propiedades. i) d(x, y) ≥ 0. ii) d(x, y) = 0 ⇔ x = y. iii) d(x, y) ≥ d (y, x). iv) d(x, z) ≤ d (x, y) + d (y,z) (desigualdad triangular). Competencia Demostración. Estas propiedades resultan inmediatamente de las comunicacional propiedades del valor absoluto. i) Puesto que |x – y| ≥ 0, se sigue que d (x, y) = |x – y| ≥ 0. Aprende la siguiente simbología matemática: ii) De la definición de distancia entre dos números reales, se tiene A la distancia entre dos d(x, y) = |x – y|, luego, números reales la denomina- d(x, y) = 0 ⇔ |x – y| = 0 ⇔ x – y = 0 ⇔ x = y. mos métrica usual en R y se Por lo tanto, d (x, y) = 0 ⇔ x = y. representa por iii) Tenemos d(x, y) = |– 1(y – x)| = |–1||y – x| = d(y, x). Así, d (x, y) = |x – y|, x, y ∈ R. d (x, y) = d (y, x). iv) Por la desigualdad triangular del valor absoluto, se tiene d(x, y) = |x – y|, d(y, z) = |y – z|. Luego, d(x, z) = |x – z|=|x – y + y – z| ≤ |x – y|+|y – z| = d(x, y) + d(y, z). Conclusión: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). M.5.1.32. Calcular, de manera intuitiva, el límite cuando h→0 de una función cuadrática con el uso de la calculadora como una distancia entre dos número reales. 188 21/1/25 15:37 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 188 21/1/25 15:37 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 188]]> 0 y x = –2,5 + h, 0,000 000 1 3,2000001 0,000 001 se tiene d (–2,5; x) = d (–2,5; –2,5 + h) = |–2,5 + h – (–2,5)| p Tabla 2 = –2,5 + h –(–2,5) = h. h y = 0,3 + h d (0,3; y)= –h Si asignamos valores a h > 0 cada vez más próximos a cero, ten- –0,2 0,1 0,2 dremos que x = – 2,5 + h se aproxima cada vez más a x = –2,5. 0 En la tabla 1 se muestran algunos de estos valores y –0,05 0,25 0,05 d (–2,5, x) = |–2,5 –(–2,5 + h) | = h. –0,001 0,299 0,001 –0,000 025 0,299 995 0,000 025 2. Sean x = 3,2; y = 3,2 + h, h ∈ R. En la tabla 2 se muestran algunos –0,000 0001 0,299 999 9 0,000 0001 0 valores de h > 0, de y = 3,2 + h y la distancia d (3,2; y) = |3,2 – (3,2 + h) | = h. p Tabla 3 Observamos que para valores de h > 0 que tienden a cero, Competencia digital y = 3,2 + h tiende a 3,2. Nota que para valores de h > 0 cada vez más pequeños, se tiene que d (3,2; y) = d (3,2; 3,2 + h) = h son Para profundizar sobre igualmente cada vez más pequeños. el estudio de valor absoluto y distancia entre dos puntos, visita la siguiente página: 3. Sea x = 0,3. Consideramos y = 0,3 + h, h ∈ R. En la tabla 3 se 0 muestran algunos valores de h < 0, de y = 0,3 + h y la distancia lynk.ec/11m09 d (0,3; y) = d (0,3; 0,3 + h) =| 0,3 – (0,3 + h)|= –h. Los resultados de la tabla muestran que para h < 0 y h que se aproxima a cero, y = 0,3 + h se aproxima cada vez a 0,3. Sean h < 0, y x = x + h, entonces x < x , y 0 0 d (x, x ) = d (x + h, x ) = x – (x + h) = x –x – h = –h > 0. 0 0 0 0 0 0 0 Para valores de h < 0 y h cada vez más próximos de cero, x + h 0 es cada vez más próximo de x . 0 189 21/1/25 15:37 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 189 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 189 21/1/25 15:37]]>” dad o condición de las funciones en el siguiente sentido: sea 0 < < 1, diremos que x ∈ R con x ≠ 0 es o transformaciones continuas”. pequeño (suficientemente pequeño) con respecto de , si se verifica que |x| < . Indaga y menciona dos figuras que contribuyeron al desarrollo Ejercicio resuelto del concepto de límite. 1. Sea = 0,1. Todo número real x ≠ 0 tal que |x| < 0,1 es pequeño con respecto de = 0,1. Así, si x = –0,05, se tiene |–0,05|= 0,05 < 0,1; con lo que x = –0,05 es pequeño respecto de = 0,1. Por el contrario, x = 0,15 no es pequeño respecto de = 0,1, pues x = 0,15 > 0,1 = . Competencia comunicacional Notación Escribiremos x → 0, que se lee “x tiende a cero” o también “x se apro- Conoce algunas letras del xima a cero”, para indicar que |x| puede hacerse tan pequeño como alfabeto griego. se quiera. Es decir que para cada > 0, se tiene |x|< . alfa  eta e beta b theta (tita) t También se dice “|x| es suficientemente pequeño”. Damos a continua- gamma g iota i ción una interpretación de esta formulación. delta d kappa k épsilon e lambda l Sea x ∈ R fijo. Dado x ∈ R con x ≠ x , por la propiedad de trico- 0 0 zeta z mu m tomía, se verifica una y solo una de las dos condiciones siguientes: i) x < x ; ii) x > x . 0 0 Para precisar la notación x → x que se lee “x tiende a x ”o también 0 0 “x se aproxima a x ”, veamos algunos ejemplos que nos permitan 0 comprender este significado. 190 21/1/25 15:38 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 190 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 190 21/1/25 15:38]]> x . Se tiene d(x , x) = |x –x| = x– x >0. Competencia 0 0 0 0 Sea x = –2,5. Consideremos la función real f, definida como comunicacional 0 f(h) = –2,5 + h, h ∈ R. Primeramente, calculemos las distancias Aprende la siguiente que se muestran en la tabla 4: simbología matemática: d (–2,5; –2,49) = |–2,5 – f(0,01)|= 2,5 –2,49 = 0,01; x → 0 se lee “x tiende a cero” o d (–2,5; –2,495) = |–2,5 – f(0,001)|= 2,5 –2,499 = 0,001; también “x se aproxima a cero”. x → x que se lee “x tiende a x ” d (–2,5; –2,499 9) = |–2,5 – f(0,000 1)|= 2,5 –2,499 9 = 0,000 1; 0 0 o también “x se aproxima a x ”. d (–2,5; –2,499 998) = |–2,5 – f(0,000 002)|= 2,5 –2,499 998 = 0,000 002. 0 Se observa que los números reales –2,49; –2,495; –2,499 98 se apro- ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción ximan cada vez más a –2,5. Para h > 0 y x = f(h) = 2,5 + h, se tiene d (–2,5; f(h)) = d (–2,5; –2,5 + h) =| –2,5 + h – (–2,5) |= –2,5 + h –(2,5) = h. Si asignamos valores a h > 0 cada vez más próximos a cero, tendremos que x = f(h) = –2,5 + h se aproxima cada vez más a x = f(0) = –2,5. 0 En la tabla 4 se muestran algunos de estos valores y h f (h) = –2,5 + h d (–2,5; f (h)) d (–2,5; f(h)) = |–2,5– (–2,5 + h)|= h. 0,1 –2,4 0,1 0,01 –2,49 0,01 Noción de límite de una función real La noción de límite se limita al tipo de funciones afines, cuadráticas, 0,001 –2,499 0,001 ya tratadas. 0,000 1 –2,499 9 0,0001 Definición 0,000 01 –2,499 99 0,000 01 Sea f una función real definida en todo , ∈L . Se dice que f(x) 0,000 002 –2,499 998 0,000 002 tiende a L cuando x tiende a x₀, si y solo si se verifica la condición: p Tabla 4 ∀ε ∀ε> > > 0, 0, 0, δ > 0tal que0<( ,)<δ > 0tal que0<(δ > 0tal que0<( ,)<δ δdx x ,)<δdx x d ( (),)<.εd fx L L ε ∀ε fx (),)<.εfx ( (),)<. ( d x L dx 0 0 0 Se escribe lím (x)=L . f x → 0 L 0, ∀ε> fx ε 0tal que0<( ,)<δ 0tal que0<( ∀ε> 0, δ > Así, para cada ε> tal que ( (),)<.δdx 0 ,) dx x 0 d ( (),)<. de modo que si h = x – x , 0tal que0<( ,)<∀ε> 0, δ > < ε siempre se verifica ( (),)<.δdx x 0 d fx L ε 0 0 < h Ejercicio resuelto Competencia 2 1. Sea la función real f definida como f(h) = L + 2h , h ∈ R. Tenemos matemática 2 lím f(h) = lím (L +2h ) = L , pues si e > 0, y tomando en considera- Del punto de vista h → 0 h → 0 ción que si |h| < 1, se tiene h ≤ |h|, entonces intuitivo, a medida que |h| se 2 hace cada vez más pequeño ε e 2 2 2 d(f (h), L) = d(L + 2h , L) = |L + 2h – L| = 2h ≤ 2|h| < e ⇒ |h| < . o próximo a cero, la distancia δ= . 2 2 ε de f(h) a L es también muy Elegimos δ= . Luego 0 < h <δ d ( (),)<εfh x . pequeña. 2 0 ( (),)<ε <δ 0 < h Esta última implicación significa que lím f (h) = lím (L + 2h ) = L. 2 . d fh x 0 h → 0 h → 0 En otras palabras, f(h) = L + 2h se aproxima a |L|, conforme h se 2 aproxima a cero, o lo que es lo mismo, la distancia de f(h) = L + 2h 2 a L es suficientemente pequeña conforme h es suficientemente pequeño. 191 21/1/25 15:38 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 191 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 191 21/1/25 15:38]]> 25,32 y d (x; 25,32) < . 0 < d (x; 25,32) < d –0,025 0,499 375 0,500 625 4 Para los valores de h > 0 que se dan en la 0,001 5 0,499 997 75 0,500 002 25 tabla, calcula u(h) = 1,5 – h, v(h) =1,5 + h, –0,000 05 0,499 999 998 0,500 000 003 w(h) =1,5 – 1 h. 0,000 002 0,5 0,5 4 a) Para h suficientemente pequeño, ¿a qué 1 h u(h) = 1,5 – h v(h) = 1,5 + h w(h) = 1,5 – h número real tiende A(h) = 0,5 – h , 2 1 4 2 0,3 1,2 1,8 1,425 B(h) = 0,5 + h ? Tienden a 0,5. 0,025 1,475 1,525 1,493 75 b) Para los valores de |h| > 0 que se dan en la 0,001 5 1,498 5 1,501 5 1,499 625 tabla, calcular p(h) = 2 –2h, q(h) = 2 +4h, 2 0,000 05 1,499 95 1,500 05 1,499 987 5 r(h) = 2 + h + 10h . 0,000 002 1,499 998 1,500 002 1,499 999 5 192 21/1/25 15:38 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 192 21/1/25 15:38 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 192]]> 0 que se indican en la tabla. 0 h x = 5 – 10h 2 0 0 h x – h x + h 0,1 4,9 –0,1 –2,65 –2,67 0,02 4,996 –0,0025 –2,657 5 –2,662 5 0,003 4,999 91 –0,000125 –2,659 875 –2,660 125 0,000 4 4,999 998 4 –0,0000001 –2,659 999 9 –2,660 000 1 0,000 05 4,999 999 975 –0,01 –2,65 –2,67 –0,001 –2,659 –2,661 ¿Qué pueden decir acerca de los resultados? 2 b) Encuentren lím (5 – 10h ). 5 7 h→0 + Para los valores de h ≥0,3 que se dan c) Calculen x para cada uno de los valores en la tabla. Calcula y responde: h < 0 que se indican en la tabla. ¿Qué pue- Para h suficientemente pequeño. ¿A qué den decir acerca de los resultados? 2 número real tienden A(h) = 075 – h y 2 2 B(h) = 075 + h ? Los dos tienden a 0,75. h x = 5 – 10h –0,3 4,1 h A(h) = 0,75 – h 2 B(h) = 0,75 + h 2 –0,02 4,996 0,3 0,66 0,84 –0,00 1 4,999 99 –0,025 0,749 375 0,750 625 –0,000 5 4,999 997 5 0,001 5 0,749 997 75 0,750 00225 –0,000 08 4,999 999 936 –0,000 05 0,749 999 997 5 0,750 000 002 5 2 d) Hallen lím (5 – 10h ). 5 0,001 0,749 999 0,750 001 h→0 0,000 000 2 0,75 0,75 193 21/1/25 15:38 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 193 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 193 21/1/25 15:38]]> 0. Entonces, como h ≤ | h|, y por la desigualdad ciones nos interesa analizar las h + h = h < , 2 h ( )) = h+ h 4 6 4 2 2 4 4 2 7 4 1 2 2 3 ( triangular, se tiene: 1 2 3 h + h = h < , 4 6 tasas de variación de las funcio- d 3,Q h ( )) = h+ h 6 3 2 1 6 4 . 2 < h d 3,Q h ( )) = h+ h . 1 4 2 2 3 3 6 1 1 7 7 nes, las cuales se facilitan con el ( 3 h + h = h < , 6 h < ( 7 h + h = h < , d 3,Q h ( )) = h+ h . < h 7 6 2 2 4 7 4 2 2 4 4 6 6 cociente incremental: h < . 6 6 h ( )) ( h 6 < < , ( 7 ( 6 d 3,Q h ( )) de donde h h < < h .< 6 d 3,Q d 3,Q h ( )) < , < , lo que significa que : fx h)+ − f x () , h ≠ 0. < . Así, h 7 ( 6 7 7 7 7 h ( < , h < d 3,Q h ( ))h)– f 2 ( ) 1 ( f 2+ ( =lím ( f 2+h)– f 2 ( ) 12+6h+h ) =3. 7 lím 6 6 f 2+h)– f 2) 1 1 2 2 < , 0 ( (lím ( d 3,Q h ( )) h =lím ( h h h < 0 < lím d 3,Q h ( )) h h < , 4 =lím ( 12+6h+h ) =3. El siguiente paso es el cálculo 2 h 0 12+6h+h ) =3. 7 4 h ( 0 ( 1 h 4 f 2+h)– f 2 ( ) 7 h 0 ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción h 0 A este número real se le llama derivada de la función f en el punto del límite del cociente. Con él =lím ( 2 12+6h+h ) =3. lím df (2 ( ) =3. h 0 h f 2+h)– f ( df 42) 1 1 2 obtenemos su derivada. h 0 f 2+h)– f 2 ( ) =lím ( (df lím dx =lím ( 2 ( ) =3. líme x = 2. Se escrib h dx 2 ( ) =3. 4 12+6h+h ) 2=3. 12+6h+h ) =3. h 0 h 0 df 2 ( ) =3. h 0 dx h h 0 4 3. Sean P la función real definida como P(x) = 8x + 35x , x ∈ R con 3 df dx df 2 ( ) =3. ( dx 2 ( ) =3. P a+h)–P a ( ) dx a, h ∈ R con h ≠ 0. Calcula el cociente incremental . h Para x = a + h, se tiene: P a+h)–P a ( ) Interdisciplinariedad ( 2 2 , Q h ( ) = =8+105a +105ah+35h h 0.≠ 3 P(a + h) = 8 (a + h) + 35 (a + h) h Matemática 3 2 = 8a + 35a + h (8 +105a + 105 ah + 35h ). P 2+h)–P 2 ( ) y Agricultura 2 ( 2 2 ≠ Q h ( ) = = 428+210h +35h h 0. , Luego, h Con mucha frecuencia el ( P a+h)–P 3 a ( ) problema de encontrar la 2 P(a + h) – P(a) = 8a + 35a + h(8 + 105a + 105ah + 35h ) –8a – 35a 3 =lím 428+210h+35h ) = 428. 2 P 2+h) –P 2 ( ) ( . P a+h)–P a ( ) ( 2 (mejor manera de aprovechar lím h . = h(8 + 105a + 105ah + 35h ), h 0 h h 0 la materia prima o los recursos 2 2 h P a+h)–P a ( ) 2 dP 2 ( ) = 428. con los que vamos a producir ( 2 , Q h) = ( de donde ( P a+h)–P a ( ) =8+105a +105ah dx +35h h 0.≠ algo conlleva a considerar el 2 2 Q h ( ) = h =8+105a +105ah+35h h 0.≠ cociente incremental para, con , h Por ejemplo, si a = 2, tenemos: la aplicación de la derivada, ( P 2+h)–P 2 ( ) 2 2 ≠ Q h ( ) = ( = 428+210h +35h h 0. determinar la mayor superficie , P 2+h)–P 2 ( ) 2 2 ≠ Q h ( ) = h = 428+210h +35h h 0. que se debe cultivar, a fin de , h P 2+h)–P 2 ( ) obtener los máximos recursos ( ( ) 2 lím =lím 428+210h+35h = 428. Nota que fijado a, el cociente incremental se transforma en una económicos de producción. P 2+h)–P 2 ( ) ( h ( ) 2 h 0 h 0 =lím 428+210h+35h = 428. lím función dependiente de h ≠ 0. En general, |h| es no nulo y suficien- h 0 h h 0 temente pequeño. Calculemos algunos valores de Q(h). dP dP 2 ( ) = 428. dx Q(0,1) = 428 + 210 × 0,1 + 35 (0,1) = 449,35; 2 2 ( ) = 428. dx Q(–0,1) = 428 – 210 × 0,1 + 35 (–0,1) = 407,35; 2 Q(0,001) = 428 + 210 × 0,001 + 35 (0,001) = 428,210 000 4; 2 Q(–0,001) = 428 – 210 × 0,001 + 35 (–0,001) = 427,790 035; 2 ( ( P a+h)–P a ( ) P a+h)–P a ( ) . . Calculemos la distancia de 428 a Q(h), esto es, d(428, Q(h)), h ≠ 0. h h Tenemos ( P a+h)–P a ( ) P a+h)–P a ( ) ( d(428, Q(h)) |=| Q(h) – 428 |=| 428 + 210h + 35h – 428 |=| 210h + 35h | , h ≠ 0. +35h h 0.≠ 2 2 2 =8+105a Q h ( ) = 2 2 =8+105a +105ah+35h h 0.≠ +105ah 2 , Q h ( ) = , h h Observamos que para |h| no nulo y suficientemente pequeño, 22 ( ) P 2+h) ( 2 –P 2 ( ) ( P 2+h)–P d(428, Q(h)) =| 210h + 35h | es también suficientemente pequeño. 2 2 2 Q h ( ) = = 428+210h +35h h 0. ≠ , Q h ( ) = ,= ≠ 428+210h +35h h 0. Se demuestra que: h h ( P 2+h)–P 2 ( ) P 2+h)–P 2 ( ) 2 Shutterstock, 28418635 / 510566239 ( ( ( lím =lím 428+210h+35h ) = 428. 2 ) =lím 428+210h+35h = 428. lím h 0 h 0 h h 0 h h 0 Al resultado de este límite se lo llama derivada de la función P en dP dP 2 ( ) = 428. 2) el punto x = 2. Se escribe ( = 428. dx dx 195 21/1/25 15:38 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 195 21/1/25 15:38 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 195]]> 0 cada vez más pequeños. También m= ( a) 3 ( ) 1 ( ) 2 dx 2 Si se conoce la pendien- y = 0,5t + 9,8t se muestran las posiciones de las rectas L ,L ,L ,… que pasan por P 0 2 df h h h y = 0,5t + 4,9t² m= ( , P , P , ..., respectivamente, y la recta te de una recta y el punto y por cada uno de los puntos P 2 a) 4 3 3 dx 3 m= f ' a ( ). P = (x 0 0 4 tangente L a la gráfica de la función f. 4 , y ), la ecuación carte- f a+h)– f a ( ) ( 0 ( siana de la recta que pasa por y– f a ( ) = f a+h)– f a ( ) m= f ' a ( ). ( x–a) y– f a ( ) = x–a) ( 5 5 h (x , y ) y tiene pendiente m está Desde el punto de vista intuitivo, podemos observar que para h > 0 h 6 0 6 0 f a+h)– f a ( ) ( dada por (x, y) ∈ R tal que cada vez más pequeño, la recta L se acerca cada vez más a la recta L, f a+h) ( y– f a ( ) = – f a ( ) ( ( 7 7 f a+h)– f a ( ) ( x–a) y – y y = m(x – x ). v y– f a ( ) = ( f a+h) h – f a ( ) x–a) h Q h ( ) = 0 0 lo que implica que el cociente incremental Q (h) se aproxima cada vez Q h ( ) = h h h Por otro lado, la ecuación carte- más a la pendiente m de la recta tangente L que tiene como ecuación f a+h)– f a ( ) ( ( 2 f a ( ) f a+h) siana de la recta L que pasa por cartesiana (x, y) ∈ R tal que y – f (a) = m (x –a). Q h ( ) = – f a+h)– f a ( ) ( f a+h)– f a ( ) los puntos P = (x , y ), y Q h ( ) = ( h m=lím h m=lím 0 0 0 P = (x , y ) con x ≠ x está h 0 h h 0 h 1 ( 0 1 1 f a+h)– f a ( ) 1 definida como sigue: Se escribirá m=lím f a ( ) siempre que el límite exista y se le ( f a+h)– df df a ( (x, y) ∈ R tal que m=lím h 0 a ( ) , h 2 h 0 ) , h dx dx y – y y – y 0 llamará derivada de f con respecto de x en el punto x = a, que se nota: ( , 1 y–y = 1 0 ( y–y 0 0 , = 1 ≠ x . x– x ) x 1 ≠ x . df x– x ) x 0 0 0 0 df a ( ) , df df 1 x – x 0 x – x 0 m= ( a) dx m= ( a) . 1 a ( ) , esto es, y – y y – y dx dx dx 0 1 El número real 1 0 En muchos libros se nota también: df x – x 0 x – x 0 m= f ' a ( ). m= ( = f ' a ( ). df a) m 1 1 es la pendiente de la recta. m= ( a) dx dx m = df m = df dx dx m= f ' a ( ). m= f ' a ( ). M.5.1.34. Interpretar de manera geométrica (pendiente de la secante) y física el cociente incremental (velocidad media) de funciones cuadráticas, con apoyo de las TIC. 196 21/1/25 15:38 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 196 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 196 21/1/25 15:38]]> 0. Si S(t) S: v = m t y S(t + Δt) son los desplazamientos a los instantes t y t + Δt, la veloci- S t+ ( )–S t ( ) S t ( ). t t dad media se expresa como: t ≠ 0. v = , m Interdisciplinariedad S t+ ( t )–S t ( ) t v = , t ≠ 0. m Matemática y Física t La mecánica es la más antigua de , t ≠ 0. las ciencias físicas. En ella se estu- Ejercicios resueltos dian los problemas de movimien- Una porción de ruta para atletas tiene una configuración recta que to de los cuerpos, las relaciones se extiende de izquierda a derecha y que mide 2 400 m. Al extremo de las fuerzas que intervienen izquierdo de esta ruta se le asigna el valor cero y al extremo derecho con el movimiento y las propiedades de los cuerpos. se le asigna el valor 2 400 m. Una atleta que se entrena en esta pista La cinemática se encarga del recorre según la siguiente función medida en metros: estudio del movimiento de los S(t) = 4t, t ≥ 0. cuerpos y la dinámica se encarga S 50 ( )–S 0 ( ) 4 50–0 m del estudio de las relaciones v = = = 4 , 1 de las fuerzas, con movimientos 50–0 50 s y propiedades de los cuerpos. S 100)–S 20 ( ) S 100)–S 20 ( ) 400–80 m ( ( v = = = = 4 , 2 100–20 100–20 80 s ( ( S 200)–S 150) 800–600 m v = = = 4 . 3 200–150 50 s Calculemos algunas velocidades medias: Un ciclista se desplaza en esta pista obedeciendo a la siguiente Shutterstock, 484184218 Calculemos algunas velocidades medias: m 2 función: S(t) = 0,012t , t ≥ 0. 2 ( S 400)–S 0 ( ) ( 0,012× 400) –0 v = 1 400–0 = 400 = 4,8 s , p Motor de combustión interna S 400)–S 300) 1920–1080 840 m ( ( Indaga y escribe un párrafo sobre v = 400–300 = 100 = 100 =8,4 s , 2 la aplicación la matemática en la ( ( mecánica. S 400)–S 399,9) 1920–1919,040 12 0,959 88 m v = = = = 9,588 . 3 400–399,9 0,1 0,1 s M.5.1.35. Interpretar de manera geométrica y física la primera derivada (pendiente de la tangente, velocidad instantánea) de funciones cuadráticas, con apoyo de las TIC. M.5.1.36. Interpretar de manera física la segunda derivada (aceleración media, aceleración instantánea) de una función cuadrática, con apoyo de las TIC (calculadora gráfica, software, applets). 200 M.5.1.37. Resolver y plantear problemas, reales o hipotéticos, que pueden ser modelizados con derivadas de funciones cuadráticas, identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas; juzgar la pertinencia y validez de los resultados obtenidos. 21/1/25 15:38 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 200 21/1/25 15:38 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 200]]> 0; y el tiempo en segundos (s). S t+ t)–S t ( ) ( ds m ds ds ds m ds m ds ds t ( ) = lím t ( ) . = 4 , t ( ) S t+ ( t ( ) ds . S t+ t)–S t) dt dt es decir, V t ( ) = ( t) tdt = lím dt sds t )–S t ( ) t ( ) = 4 ( , t) dt ( t ( ) = 4 s , La aceleración media se mide (dt t 0 dt s dt t 0 dt t t ( ) = lím t . t 0 ds m S( ds t+ t)–S t ( ) dstantánea de la atleta es + t)–S t ( ) ds S( Para el ejemplo anterior, la velocidad ins t+ t)–S t ( ) ds S t ( en metros por segundo al ds ds t ( ) = 4 , t ( ) = 0,024t, t ≥ 0. t ( ) = lím . . t ( ) = lím t)–V t ( ) t ( ) = lím . dt dt a = V t+ ( t 0 dt V(t) = ( = 4 t ( ) = 0,024t, t ≥ 0. t ( ) = 0,024t, t ≥ 0. m 2 . s dt m t cuadrado dt dt t 0. t ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción t 0 dt t t) , ds t 0 , s m t ds ds m ds dt ds s ds m m m m ds ds m ( t ( ) = 0,024t, t ≥ 0. 400) = 0,024 400 =9,6 . t ( ) = 4 , 400) t ( ( 400) = 0,024 400 =9,6 = 0,024 400 =9,6 es decir que la atleta corre a una velocidad constante de ) = 4 ( , , mientras . . t ( ) = 4 , m dt s dt ds s 1 dt dt dt dt que el ciclista corre a una velocidad s t ( ) = 0,024t, t ≥ 0. dt s s s s ds ds m dt ds ( ds 400) = 0,024 400 =9,6 t) V(t) = ( = 0,024t, t ≥ 0. t) . t ( ) = 0,024t, t ≥ 0. s –V t ( ) ( dt dt a t ( ) = lím V t+ t) ( = 0,024t, t ≥ 0. dt m ds , dt ( 400) = 0,024 400 =9,6 . En el instante t = 400s, la velocidad instantánea es, por lo tanto, t dt s t 0 ds ( 400) = 0,024 400 =9,6 m . ds 400) = 0,024 400 =9,6 m . Competencia ds m comunicacional dt V(400) = ( 400) = 0,024 400 =9 (,6 s . s s dt dt )–S t ( ) S t+ ( t ds V t ( ) t) 2 = ( = lím Recorre S(400) = 0,012 (400) = 1 920 m. t . El deporte y una apro- dt t 0 ds S t+ ( t )–S t ( ) piada nutrición permiten que t) Aceleración media e instantánea lím t . tengamos una buena calidad V t ( ) = ( = t)–V t ( ) dt t+ ( V t 0 La aceleración media se define como , t 0. de vida. En nuestro país existen a = m t V t+ ( t)–V t ( ) parques y áreas verdes donde las a = , t 0. personas pueden correr, trotar, m 1 m t montar bicicleta, caminar, entre s La aceleración instantánea, o aceleración, se define como otras muchas actividades más. m 1 ( s V t+ t)–V t ( ) a t ( ) = lím , t t 0 V t+ t)–V t ( ) ( siempre que el límite exista. , a t ( ) = lím t 0 t Ejercicios resueltos Tomemos el ejemplo anterior. La atleta se desplaza según la función S(t) = 4t, t ≥ 0. ds ds t) La velocidad (velocidad instantánea) V t ( ) = ( = 4. t) V t ( ) = ( = 4. dt La aceleración media es: dt ds t) V t ( ) = ( = 4. V t+ t)–V t ( ) V t+ t)–V t ( ) a = ( dt = 4–4 ( 0 = 0, . = 4–4 = 0 = 0, Shutterstock, 437486203 a = = m m t t ds V t+ t)–V t ( ) 4–4 t 0 t t V t ( ) = ( = 4. t ( t) ds = V t ( ) = ( =4. a = V t+ t)–V t ( ) t = t = 0, V t+ t)–V t ( ) Simplemente la atleta no acelera o no cambia su velocidad. Resulta dt t) ( m ( t = lím0 dt que: a t ( ) = lím a t ( ) = lím = 0. = lím0 = 0. Escribe tu opinión acerca de la ( 0 0 t 0 0 t V t+ t)–V t ( ) 4–4 0 ( = 0, = = ( V t+ t)–V t ( ) 4–4 V t+ t)–V t ( ) a = necesidad de practicar deportes 0 m t t =0, a = t a t ( ) = lím 0 = V t+ t)–V t ( ) = lím0 = 0. V t+ t)–V t ( ) t y tener una nutrición adecuada, = ( 0,024( 0,024 t+ t)–0,024t ( ( t+ t)–0,024t t m 0 t t a t ( lím = ) a t ( = ) = lím lím = lím = lím0,024 = 0,024. preséntala a la clase. t V t t t t 0 La aceleración de la atleta es siempre cero. La velocidad del ciclista, ( 0 + t)–V t ( ) = lím0 = 0. = lím0,024 = 0,024. 0 0 0 0 ( a t ( ) = lím V t+ t)–V t ( ) ( V t+ t)–V t ( ) 0,024 t+ t)–0,024t ( a t ( ) = lím a t ( = ) lím = lím0 =0. = lím m 0 = lím0,024 = 0,024. t por su parte, está dada por V (t) = 0,024t, t ≥ 0. 0 t 0 0 0,024 La aceleración es: m0 . 0 t 0,024 0 s 2 . t V t+ t)–V t ( ) 0,024 t+ t)–0,024t s 2 ( ( m ( ( V t+ t)–V t) 0,024 t+ t)–0,024t a t ( = ) lím = lím = lím0,024 = 0,024. ( a t ( = ) lím 0,024 . = lím = lím0,024 =0,024. 0 t 0 t 0 0 t s 2 0 t 0 m El ciclista se mueve con una aceleración siempre constante de 0,024 . m 0,024 . s 2 201 s 2 21/1/25 15:38 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 201 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 201 21/1/25 15:38]]> 0, tal que S(t) = 100 m. t = 11,1 S 2 Y t ( ) =v t + gt t ≥ 0, , m 0 20,1 2 0 2 Primeramente, la velocidad viene dada por : b) Calcula el desplazamiento, la velocidad y la s dY dY V t ( ) = m t ( ) = t ( ) = 0,5+9,8t, t ≥ 0, t ≥ 0, aceleración en los tiempos que se indican V t ( ) = 0,5+9,8t, 9,8 dt . dt en la tabla: s 2 m V 2 ( ) = 0,5+9,8 2 =20,1 . m V 2 ( ) = 0,5+9,8 2 = s 20,1 s . t S(t) V(t) a(t) Luego, la aceleración a (t) se calcula como: 2 16,012 728 8,36 0,18 dV m dV a t ( ) = dt ( = t ( ) = 9,8 2 9,8 . m . 4 32,018 8,72 0,18 a t) t ( ) = dt s s 2 6 48,022 045 9,08 0,18 m m m 20,1 Para t = 2, a (2) = 9,8 . 8 64,025 456 9,44 0,18 20,1 s s s 2 10 80,028 46 9,8 0,18 m En conclusión, el cuerpo ha caído en 2 11 88,029 85 9,98 0,18 . m 9,8 . 2 9,8 s segundos una altura de Y (2) = 20,6 m; s 2 m ¿Podrías correr más rápido que este atleta? tiene una velocidad de 20,1 s y una Si conoces que practicar un deporte podría ha- m aceleración constante de 9,8 . certe más fuerte en caso de contagiarte con co- s 2 ronavirus y debes decidir entre realizar ejercicios En la figura 4.22. se muestra la gráfica de o no hacerlo, ¿cuál sería tu decisión? Justifica. la función Y, y a la derecha se muestra la Respuesta personal gráfica de la función V. 3 Desarrolla los siguientes ejercicios y pro- blemas. Los sistemas de referencia, como por ejem- Un colectivo transporta a los trabaja- plo, el sistema de coordenadas rectangulares, dores de una planta textil desde una se utilizan para facilitar la comprensión de lo ciudad A hasta la ciudad B. El desplaza- que ocurre en la caída libre de los cuerpos. miento, medido en metros y el tiempo La parte positiva apunta hacia abajo, como se en minutos, están dados por la siguiente indica en la gráfica. función: S(t) = t + 0,0045t2; t ≥ 0 202 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 202 21/1/25 15:38 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 202 21/1/25 15:38]]> 0 medida en 2 metros, t =10 s y t = 20 s. Decide e indi- 8 Un automóvil se mueve de acuerdo a la 2 1 ca cuáles de las proposiciones siguientes siguiente ecuación: S(t) = 5t2 son ciertas. a) Calcula la velocidad media entre ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción a) S(t ) es el doble de S(t ). Falso t = 2 y t = 5 segundos. 2 1 b) S(t ) es cuatro veces S(t ). Verdadero b) Calcula su velocidad y aceleración a los m ) =35. ... av 2 1 3 segundos de iniciado su recorrido. m c) V(t ) es cuatro veces V(t ). Falso s 2 1 m m m () =10. () =30. )... ) ... av m =35. bv 3 ;... a 3 2 d) V(t ) es la mitad de V(t ). Falso s s s 1 2 m m )... e) a(t ) es el doble de a(t ). Falso bv () =3 30. ;... a () =3 10. 2 s 2 1 Trabajo colaborativo s 5 Los registros de un atleta lo conducen a Diversidad funcional en el aula establecer la siguiente función de posición medida en metros: S(t) = 3,9t; t ≥ 0. Es importante recordar que las personas que tienen dificultad al expresarse oralmente no a) Determina t, tal que S(t) = 20 000 m. deben ser interrumpidas. Tampoco necesitan t = 5 128,2 s que alguien más termine sus oraciones. b) Calcula la velocidad media para los tiem- Trabajen en sus cuadernos. pos t = 1 000 y t = 1 500. vm = 3,9 m/s 9 La pista de un aeropuerto tiene una lon- 6 Un automóvil parte del reposo y recorre gitud de 3 000 m. Para despegar, debe la distancia medida en metros alcanzar una velocidad de al menos S(t) = 0,4t en los 10 primeros segundos. 280 km/h en los primeros segundos. 2 Luego, mantiene la velocidad constante La función de posición viene dada por 2 3 durante los 100 segundos siguientes. S (t) = 2t + 0,95t + 0,11t , t ∈ [0, 60] medida en metros. a) Calcula la velocidad y la aceleración a los a) Analicen si en 30 segundos alcanza el avión 10 segundos. a(t) = 0,8 m/s 2 la velocidad mínima requerida. b) Calcula la distancia total recorrida. s(10) = 40 m b) Calculen la distancia recorrida en 30 segun- dos. c) Calculen la aceleración que alcanza el avión 7 En una pista larga y recta, un automóvil en 30 segundos. d) Encuentren qué distancia ha recorrido y parte del reposo. Su velocidad, en m/s, qué velocidad tiene el avión en 40 segundos. está dada por: 1 2 e) Investiguen a qué distancia del extremo del t , si t  8, V t ( ) = 2 si t  8. aeropuerto se encuentra el avión al minuto de haber iniciado el despegue. 33,6–0,2 t, . 203 21/1/25 15:38 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 203 21/1/25 15:38 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 203]]> 0, O=(0,0), A=(3a,0), B=4a, a , C = a, a 3 3 2 2 O=(0,0), A=(3a,0), B=4a, a , C = a, a los vértices de 4 3 3 3 Sean >0,=(0,0), =(2,0),=(, a a 2 2 O=(0,0), a A=(3a,0), B=4a, aa , C = a, ) A O B a un paralelogramo que se muestra en la 2 2 2 siguiente figura junto con sus bisectrices. los vértices del triángulo isósceles que se muestra en la siguiente figura. y y C B S S B S₂ S₁ D A x p Figura 5.9. 0 A x a) Determina las ecuaciones cartesianas de p Figura 5.11. las rectas S y S . 1 2 b) Determina las ecuaciones cartesianas de las bisectrices S y S , mediante el procedimiento Halla las ecuaciones de las bisectrices 2 1 descrito en esta sección y compara con los de sus ángulos internos y prueba que se resultados obtenidos en el literal a anterior. cortan en un punto. 221 21/1/25 15:38 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 221 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 221 21/1/25 15:38]]>0 ⇔ ≠A 0. ⋅ ⋅ A Si son perpendiculares, iii)     el ángulo forma 90° y el Demostración.. = 0, = 0 ⇔ A ⋅ A A producto es cero.     2 , ) Sean A >0 ⇔ ≠A ,=(ab 2 , =(a b tres elementos de  . ⋅ A A =(a b , ) C , 0. ) B 3 2 3 1 1 Las propiedades i) y iii) son inmediatas, y se dejan como ejercicio. 2 , ) , ) A , ) B ,=(ab =(a b , =(a b , Interculturalidad Probamos las propiedades ii) y iv). ) C , ) 1 B A ,=(ab 1 , ) C =(a b 2 , =(a b A + B =(ab 1 2 2 , (ab 3 2 = ) 3 ( +a 3 1 3 a 2 , b 1 + b 2 . ) 2 , ) + 1 1 1 Las matemáticas están ii) En primer lugar, presentes en todas las civiliza- A + B =(ab , (ab = ) + a b a , b + b . ) ( +a , ) + 1 (ab , ) + ciones antiguas, en Mesoaméri- A + B =(ab 1 + bb 1 , ) 2 = (a 2 1 2 , 1 + b 2 . ) 1 2 =aa , ⋅ AC 1 2 2 2 1 13 13 ca, en Egipto, la India, Babilonia, Luego, por la definición del producto escalar en  , obtenemos 2 .=aa China, Grecia, India. Se cree que BC 23 + bb , 23 =aa los primeros números datan ⋅ AC =aa ⋅ AC + bb 13 , + bb , 13 13 13 de la primera dinastía egipcia, BC BC + bb + bb , .=aa .=aa 23, aproximadamente por el año 23 23 23 ( + )⋅ a aa ) + b ( + b b ) AB C =( + 7000 a. C. Se han encontrado entonces, 1 2 3 1 2 3 a aa ) + )⋅ AB C =( + b b ) AB C =( + = papiros con jeroglíficos que ( AB)⋅ )⋅=( a a + ( + aa aa b ( + b b ) 23 2 + 3 3 13 b ( + b b ) 3 b a AB C =( + aa ) + ) + )⋅ ( + aa ) + b ( +( + aa+1 bb 2 ( + C+ bb +1 3 13 23 2 b b )2 3 2 3 1 1 2 2 3 representan cantidades o ideas 1 1 2 1 aa + aa + 1 bb + 3 bb bb = bb + aa + aa + bb aa + = aa + bb + = 23 13 de números. = = aa aa + aa+ 13 23 23 13 13 23 23 13 13 23 23 23 13 bb + bb+ 13 bb 23 aa + bb+ 23 13 13 = bb + aa + aa + AC BC. bb + bb ⋅+ ⋅ = aa + 13 23 = = aa aa + bb+ 13 bb + aa+ 13 23 23 23 23 aa + bb 23 = 13 bb 23 aa + bb+ 23 13 13 13 13 AC BC. ( + AB CA CB C. AC BC. = ⋅+ ⋅ AC BC. AC BC. = ⋅+ ⋅ = ⋅+ ⋅ )⋅ = ⋅+ ⋅ = ⋅+ ⋅ AB CA CB C. ( + = ⋅+ ⋅ A ( AB CA CB C. =0,0) )⋅ ( + AB CA CB C. ( + CA CB C. = ⋅+ ⋅ Conclusión: AB)⋅ )⋅= ⋅+ ⋅ )⋅ = ⋅+ ⋅ ( + A=0,0) ( ( A=0,0) A=0,0) ( ( ⋅ iv) Es claro que si A=0,0), se tiene AA=0. Supongamos que entonces AA=0. 0= AA a + AA a0= ⋅ b , = 1 2 + b , ⋅ 2 2 = ⋅ 2 2 2 AA=0 a=⋅ b , ⋅ AA + 0= AA AA=0 ⋅=0 ⋅ 1 1 1 1 1 2 2 b , = ⋅ 2 2 2 2 b , Pixabay.com De la definición del producto escalar se tiene 0= AA a + 2 1 a + b0 ≤ b = 0 a≤ 1 2 2 + b = 0 0 ≤ 1 a ≤ AA a + 2 2 AA 2 2 2 2 2 0= 2 1 a + a0 ≤ 0= a= a0 ≤ ⋅ 1 b = 0+ = b , a ⋅ +≤ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 0 ≤ a ≤ b = 0 2 2 2 a + 2 2 b = 0 que implica a = 0; de manera simi- b0 ≤ 2 2 2 a + 1 b = a ≤ b = 0+ b = 2 a ≤0 2 2 1 b =0 2 2 2 b =0 =0 a= + 1 ≤ 1 a + de donde 0 ≤ a0 ≤ 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ( 2 2 2 Analiza y escribe tu opinión lar, 0 ≤ b = 0 ≤ a A 1 2 b = b =0+ =0,0) 1 b =0 1 0 ≤ b = a + 1 b =0 ( 1 1 1 1 a + que implica b = 0, con lo cual 2 1 A =0,0). A =0,0) 1( 2 1 1 1 1 1 1 ( sobre cómo sería la vida sin las 1 A =0,0) 1 A =0,0) ( A =( A =0,0) A =( a b ) ( a b=( , A , , ) ≠ ≠ matemáticas. Además (, si a b ) ( 0, 0) , al menos un componente de 0, 0) ≠ 0, 0) ( 0, 0) 1 1 1 1 1 1 A =( a b ) ( , ≠ a b ) ( A =( a b , es no nulo. A =( ) ≠ 1( , 0, 0) ≠ 0, 0) 1 1 1 1 1 M.5.2.8. Reconocer que dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero, y aplicar el teorema de Pitágoras para resolver y plantear aplicaciones geométricas 2 222 con elementos de  apoyándose con el uso de las TIC. Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 222 21/1/25 15:38 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 222 21/1/25 15:38]]>0. Interdisciplinariedad 2 2 2 AA a⋅ 1 2 b ≥ = AA a + 2a >0. 2 1 2 2 ⋅ ⋅ >0. AA a + b ≥ a ⋅ 1 2 AA a + 1 2 b ≥ 1 a >0. 1 1 = = 1 1 1 1 1 1 A ≠0 ⋅ Matemática e Historia A ≠0 ⋅ ⋅ Así, A ≠0 A A>0. A ≠0 A A>0. 2 A A>0. Pitágoras es muy conocido, a A A>0. ⋅ 2 = 2 ⋅ + Recíprocamente, si AA a= = 1 2 AA a⋅ b >0, + b >0, pesar de que no publicó ningún 2 b >0, al menos uno de los números 1 1 2 2 ⋅ 2 = b >0, AA a + ⋅ AA a + 1 1 1 1 1 reales a o b es no nulo. Luego A ≠0. escrito durante su vida. Lo que A ≠0. 1 1 A ≠0. A ≠0. La propiedad i) muestra que el producto escalar en  es conmutativo. sabemos de él ha llegado a 2 Las propiedades ii), iii) pueden escribirse en una sola. Así, sean través de otros filósofos e historiadores. Pitágoras fue 2 ,, , αλ ∈ , AB C ∈ , αλ ∈ AB,, ∈ . 2 B∈ 2 . un filósofo y matemático griego 2 . Entonces, C, B∈ B C). ( ) A C)+λ ⋅ A λ⋅ ⋅ (α+ B C =( α (α+ . B C =( A C)+λ ( B C). AB .=0 2 . conocido por introducir el teo- 2 A λ⋅ AB .= ⋅ α B∈ ⋅0 ) B∈ rema que lleva su nombre. Este ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción 2 , A∈ La propiedad iv) es la no negatividad del producto escalar. En lo suce- teorema indica que el cuadrado 2 AB .=0 2, A∈ . AB .=0 B∈ B∈ sivo, haremos referencia a las propiedades i) a iv) del teorema como 2 . de la hipotenusa de un triángu- B=0. 2 B=0. , A∈ , AB .=0 propiedades de la definición del producto escalar. A∈ 2 AB .=0 lo rectángulo es igual a la suma 2 . B∈ 2 B=0. 2 A∈ 2 2 , A∈ B=0. 2 del cuadrado de los catetos. A∈ AB .=0 Ejercicios resueltos B∈ 2 . AB .=0, AB .=0, 2 A∈ , Este no es solo un postulado A∈ B=0. A∈ 1. Sea B∈ 2 . Si AB .=0 para todo A∈ 2 , , demostrar que B=0. . geométrico; también tiene apli- AB caciones en el mundo real. = AB .=0, AB = 2 Supongamos que para todo A∈ B=0. A∈ 2 se verifica que AB .=0, en 2 AB .=0 A∈ 2 , 2 ⋅ AB ,, C ∈ ,,AB C ∈ BB=0 ,,AB C ∈ particular. Si AB, se tiene BB=0 y por la propiedad iv) de la 2 = ⋅ AB . AB .=0, = 2 2 B∈ AB .=0, 2 , B=0. A∈ A∈ AB AC ⋅ =AB AC ⋅ = ⋅ = 2 ,, C ∈ ⋅ ,, C ∈ AB ⋅ AB AB ,, C ∈ definición de producto escalar, se concluye que B=0. 2 AB AC ⋅ 2 2 B=0 . BB=0 ⋅ B∈ = BB=0 AB .=0 ⋅ = =. AB = AC ⋅ = ⋅ AB ⋅ B=0. ⋅ =.BC =.BC 2 ,, B∈ AB 2 AB .=0, AB AC ⋅ BC AB ⋅ = AC A∈ AB C ∈ 2 . , 2. Sean ,,ABAB AC ⋅ =AB AC ⋅ = , AB .=0 AB 2 , , entonce = ⋅ B=0 2 BB=0 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ para todo A∈ =.BC B=0s =.BC ,AB AC ⋅ ⋅ =. 2C ∈ . Si AB AC ⋅ BC AB .=0, = BB=0 A∈ AB .= ) =0 = AC ⋅ (AB C(AB Supong AC ⋅ ⋅− ⋅− BC )C =. =0 B=0 2 0 , , se tiene AB AC ⋅ AB AB ⋅ ) =0C = AC ⋅ , = AB ⋅amos que para todo A∈ , entonces, AB ⋅ ⋅ , = ( ⋅− B=0. = B=0 ⋅ BB=0 2 ,, 2 BC=0 para todo A∈ AB C ∈ =. )C AB C =AB C AB C ( ⋅− , = − ) =0 =AB C AB ⋅ AB AB .=0, AB − = AC ⋅ , , . En particular para AB C ) =0 Raphael. Wikimedia Commons − ( ⋅− ( ⋅− B=0. 2 A∈ BB=0 = ( ⋅− y por iv) AC ⋅ AB (BC ⋅ −)BC ⋅ − se tiene = AC ⋅ ) (BC(BC ) =0 2 B=0 del teorema precedente, AB C ) =0 =AB ⋅ ) =0 ⋅ ( − − ) ( = − ) =0BC , AB C (BC ⋅ − AB ⋅C − = − = AB C AB− B=0. A∈ se deduce que BC =0, o sea, =.BC AB .=0, ) =0 − =0 ) (BC ) =0 BB=0 ) =0AB C) =0BC =0BC − (BC ⋅ −BC ⋅ ( ⋅− − − − (BC ⋅ − = − ) (BC− ) ( B=0 AB C − (BC ⋅ 2 A∈ AB .=0, =AB AC ⋅ =0 − ) (BC BC AB C (BC ⋅ − ⋅ ) =0 , AB =0BC BC =0 p Pitágoras − = − = − − B=0 Ley del paralelogramo − AB .=0, ⋅− ) =0 ( AB C =0 = ) =0 BC AB − ) (BC (BC ⋅ − ⋅ Teorema AB C BB=0 Indaga sobre Pitágoras, luego = − = =0 − BC 2 R ⋅ BB=0 2 Sean AB , ∈ . Se verifica AB B=0 confecciona una ficha biblio- R AB , ∈ (BC ⋅ − 2 2 2 BB=0 − 2 ) (BC ) =0 gráfica. 2 2 2 ⋅ 2 − AB =2 AB+ + AB + AB+ A − B=0 B+ =2 .A + B . − BC =0 2 2 2 AB , ∈ R B=0 + AB) AB =( + ⋅ AB) )( + 2 2 2 AB AB)( + AB=( + ⋅ + 2 − AB + Demostración.. De la definición de norma, se tiene: B+ 2 AB =2 A + . = ⋅+ = AB, BB AB2( ⋅+ ⋅ ⋅ AA 2( ⋅+ ⋅+ R∈ ) BB AB) AA 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = A + 2( ⋅AB B , + A B)+ AB=( B , )(+ ⋅ A=2 AB)B+ . + A B)+ AB+ AB+ 2( ⋅ − = A + 2 2 ⋅ ⋅+ AB) AB =( − ⋅ = 2 AA 2( AB)⋅+ BB 2 − AB)( − AB) − AB)( − AB =( − ⋅ + + AB)( + AB =( ⋅ AB) 2 2= 2 = A − 2( ⋅ A − B , 2 A + 2( ) A⋅ B , 2 B)+ B , A B)+ A B)+ BB( ⋅+ ⋅ 2( ⋅ AB2 = AA= ⋅+ 2 2 2 2 2 2 AB =(− 2 2 2 AB)(− ⋅ 2 AB)− A + B)⋅ + B , AB + AB =2 A B= − A + 2( AB =2 . A + B 2 . + AB + − + 2 2( ⋅ AB)( AB) ⋅ − AB =(− = 2 A − − A B)+ B , 2 2 2 2 2 2 AB =2 B 2 . + − A + AB + y sumando miembro a miembro estos dos resultados se obtiene: B , = 2( ⋅ A B)+ A − 2 2 2 2 AB + AB =2 A + B . − + 223 21/1/25 15:39 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 223 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 223 21/1/25 15:39]]> n. Podemos asumir que los coeficientes del polinomio 4. Existencia de opuestos Q(t) de los términos de mayor grado que n hasta m inclusive son aditivos: para todo nulos, es decir que b = 0, b = 0, ..., b = 0. Entonces, ,= a + a t +⋅⋅⋅+ a t , ∀ ∈ Pt () m t P elemento de los polino- n+1 n+2 0 1 m m Qt () n+1 n mios con coeficiente real, Q(t) = b + b t + ... + b t + 0t + ... + 0t , ,= b + b t +⋅⋅⋅+ b t n n t ∀ ∈ . n n 0 1 1 0 existe Q elemento de los polinomios con coeficiente La suma de los polinomios P(t) y Q(t) se realiza del mismo modo que real, tal que P + Q = 0. en el caso I. Ejercicios resueltos 1. Sean P, Q los polinomios siguientes: 2 t t Pt () = 2–5 t 8 , ∀∈ , + 4 2 t Qt () = –5+ t 7 + t , ∀ ∈ . Entonces, Pt () = a + a t +⋅⋅⋅+ a t , ∀ ∈ , m t 0 1 m 3 2 Pt () =Qt () 4 (P + Q)(t) = P(t) + Q(t) = –3 – 5t + 15 t 0t + t , t, ∀ ∈ 4 2 2–5 + n . t 0 + b t+⋅⋅⋅+ t b + t 8 + b t= 0 1 n 2 3 4 Qt () = –5+ t 0 + t 7 + t 0 + t . 230 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 230 21/1/25 15:39 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 230 21/1/25 15:39]]>T ≥0, cuaderno. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ dt ⎪ A(T )= A . 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ 0 0 donde el término atracciones se refiere a factores que motivan la mo- Interdisciplinariedad Matemática ! vilización de las personas a esas nuevas zonas urbanas Ω(t) que se y Economía Ω(t) ponen adherentes a Ω(t) como, por ejemplo, la calidad de servicios Los economistas utilizan de ! (agua potable, electricidad, alcantarillado, vías de acceso, transportes, ! manera frecuente las funciones, Ω(t)=Ω(t)∪Ω(t), escuelas, centros médicos, supermercados, etc.). El término resisten- sobre todo sus gráficas, para visualizar el comportamiento, t∈T ,T] cias se refiere a las limitaciones de acceso debido a factores geográ- por ejemplo, de la oferta y la 0 ficos como quebradas, parques, carencia de vías de comunicación, ! demanda, con el fin de deter- ! ! ! Ω(t) A(t)=a(Ω(t))+a(Ω(t)). Ω(t) carencia de agua potable, etc. Todos estos elementos deben cuanti- minar los puntos de equilibrio ! ! entre las dos variables. Ω(t) Ω(t) ficarse para construir la función (t, A(t), atracciones, resistencias) y la !! ! ! nueva región Ω(t) = Ω(t)∪ Ω(t), donde t  [T , T] Ω t ( Ω(t)=Ω(t)∪Ω(t),)=Ω(t)∪Ω(t), 0 ! ! ! tienen una área A(t) = a(Ω(t)) + a(Ω(t)). ! Ω(t)=Ω(t)∪Ω(t), Ω(t)=Ω(t)∪Ω(t), t∈T ,T] t∈T ,T] Como se puede apreciar, las dificultades aparecen por doquier y este Shutterstock, 192800075 0 0 t∈T ,T] t∈T ,T] es, aún, un modelo simplificado a regiones planas. 0 0 ! ! ! ! Son desafíos a superar por inve tstigadores, científicos y por ustedes. ) = ( A(t)=a(Ω(t))+a(Ω(t)).Ω(t))+a(Ω(t)). A a ( ! !! ! A(t)=a(Ω(t))+a(Ω(t)).=a(Ω(t))+a(Ω(t)). ) ( A t 263 21/1/25 15:40 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 263 21/1/25 15:40 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 263]]> 15}, res obtenidos difieran en una cantidad 1 mayor de dos? P = 3 b) B = {(i; j) ∈ S | 2 < i < 5; 8 < j <12}, 14 En una baraja de 40 cartas, ¿cuál es la pro- c) C = {(i; j) ∈ S | i + j = 12}, babilidad de que salga un as o una carta de diamante? P = 2 5 d) D = {(i; j) ∈ S | i + j < 10}, e) E = {(i; j) ∈ S | 2i + j > 10}. 269 21/1/25 15:40 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 269 Matematica 1 BG Plus+ MinEduc.indb 269 21/1/25 15:40]]>