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<Search><pages Count="34"><page Index="1"><![CDATA[10




                                                                                                                            EGB
                          Comunicacional                                         Socioemocional
                                                                                                                                                                                                                                         10    EGB
                                             Digital                 Matemática












                                                    COMPETENCIAS





                                                     INSERCIONES
                                                    CURRICULARES

                                                                                                                            Matemática











                                          Educación                    Cívica, Ética                                                                                                                                                           Matemática
                                        Socioemocional                 e Integridad

                            Desarrollo                 Seguridad Vial                Educación
                            Sostenible                  y Movilidad                  Financiera
                                                         Sostenible

























                   Contacto: 098 747 9990
               Correo: distribuidora_ra@hotmail.com
                Guayaquil: CC Albán Borja, Local 88]]></page><page Index="2"><![CDATA[Á
                                              Geometría y medida (I)








                      En esta cuarta unidad revisaremos lógica matemática, que es una rama de la lógica que utiliza símbolos
                      y reglas concretas para analizar y operar con proposiciones y argumentos. A la lógica matemática tam­
                      bién se la conoce como lógica formal o lógica simbólica y tiene múltiples aplicaciones, principalmente

                      en  computación, electrónica, filosofía, entre otras.
                      Observa y recuerda
                      •  ¿Qué  ves en la fotografía?
                      •  ¿Qué relación tiene con algún tema de esta unidad?

























































               132   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:00
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   132                                                                       22/11/24   17:00
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   132]]></page><page Index="3"><![CDATA[©shutterstock

















                                                                                                   Las compuertas lógicas son
                                                                                                   circuitos electrónicos que
                                                                                                   realizan operaciones lógicas
                                                                                                   básicas, como AND, OR y
                                                                                                   NOT. Estas compuertas
                                                                                                   se basan en la lógica
                                                                                                   proposicional, que es
                                                                                                   una rama de la lógica
                                                                                                   matemática que se utiliza
                                                                                                   para representar y
                                                                                                   manipular proposiciones
                                                                                                   lógicas.






























                  ¿Qué aprenderemos?
                                                          Lógica matemática




                                                                               Equivalencias lógicas: tautología,
                     Lógica matemática. Conjunción y disyunción
                                                                                contradicción y contingencia

                        Condicional, bicondicional y negación                 Leyes del álgebra de proposiciones




                                                                                                      Matemática  133
                                                                                                         10.º EGB





         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   133                                                                       22/11/24   17:01
                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   133]]></page><page Index="4"><![CDATA[163           1                                ©Shutterstock
                                                                              =
                                                                     326           2








                 1.  En esta unidad aprenderás
                     lógica matemática. Esta
                     sirve para decidir si un
                     enunciado es verdadero
                     o falso.





                                                                          Vaya, no encuentro fallas en su lógica.




                                                                       Mi inteligencia           Mi inteligencia
                                                                     lógico-matemática             emocional           ©Shutterstock

               ©Shutterstock









                     2.  Podrás determinar cuándo
                         un enunciado es una
                         proposición y cuándo no.
                         Además, encontrarás el
                         valor de verdad de una
                         proposición simple.
                                                                                                                       ©Shutterstock
                                                                      Proposición simple      Proposición compuesta




                       3.  Posteriormente, formarás
                           proposiciones compuestas
                           a partir de dos o más
                           proposiciones simples,
                           empleando los principales
                           conectores lógicos.


               134   Matemática
               134
                     10.º EGB




                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   134
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   134                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="5"><![CDATA[Y ahora, ¿qué hago si es
                    4.  Podrás determinar la                                                      una doble negación?
                        negación de una
                        proposición y también la
                        doble negación. Conocerás                                                                       ©Freepik
                        la conjunción, la disyunción
                        y la implicación lógica.






                                5.  Otro tema muy
                                                                    Si tienes proposiciones…
                                    importante es la                Si tienes proposiciones…
                                    construcción de
                                    tablas de verdad con
                                    varias operaciones              hay tabla.                                         https://www.youtube.com/watch?v=1sSXUJ0Cofc
                                                                    hay tabla.
                                    lógicas.













                                                                                              No entiendo a las personas
                                                                                                que al saludar con beso,
                                                                                             dicen:  –Mua
                  ©Shutterstock  6.  Aprenderás lo que es una                                con la mano, te diga:
                                                                                             Es como si yo, al saludarte

                             tautología, una                                                   –¡Apretón de manos!
                             contradicción y una
                             contingencia al construir
                                                                                        Tautologías lingüísticas      ©Shutterstock
                             las tablas de valores de
                             verdad.                                                        que caen mal…



                                                                           No lo digo yo,
                                                                          lo dice la lógica
                                                                           proposicional.



                                   7.  Por último, conocerás las
                                       leyes de la lógica
                                       proposicional y realizarás
                                       demostraciones de
                                                                                                                     ©Shutterstock
                                       equivalencias lógicas.



                                                                                                                 135
                                                                                                      Matemática  135
                                                                                                         10.º EGB




                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   135
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   135                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="6"><![CDATA[Lógica matemática.


                                         Conjunción y disyunción



               DUA. Representación

                                         La lógica matemática es una rama de la lógica que estudia los principios
                       Comunicacional    fundamentales del razonamiento matemático y de la argumentación; su objetivo es
                                         analizar y evaluar la validez de los razonamientos para demostrar teoremas
               El razonamiento lógico se   matemáticos.
                 emplea en matemática
               para demostrar teoremas.   Dentro de la lógica matemática está la lógica proposicional, que estudia las
                  Sin embargo, se usa de   proposiciones, sus valores de verdad y las operaciones lógicas que se pueden dar
                   forma constante para   entre ellas.
                      realizar cualquier
                    actividad en la vida.  La lógica proposicional sigue leyes y reglas fundamentales, y se aplica en la
                                         informática, la electrónica, la filosofía, entre otras áreas.

                      Ética e integridad  Definición de proposición: es una oración que puede ser verdadera o falsa pero
                                          no ambas a la vez, se representa con letras minúsculas p, q, r, s, t,…
                    Actuamos con ética
                     cuando evaluamos    Por ejemplo, de los siguientes enunciados determinemos cuáles son proposiciones:
                    cuidadosamente las
                      consecuencias de       p:  Ecuador se encuentra en América.
                    nuestras decisiones,
                 consideramos nuestros       q:  Nueve es un número par.
                      valores y los de la    r: 2x – 4 < 3 si x < 7/2
                sociedad, fomentamos el
                        diálogo crítico,     s:  Carlos estudia y trabaja.
                       mantenemos la         t: ¡Auxilio!                                            ©Shutterstock
                integridad y asumimos la
                     responsabilidad de      w:  ¿Cómo estás?
                     nuestras acciones.  Los enunciados p, q, r y s son proposiciones, porque pueden tomar un valor de

                                         verdad, sea verdadero o falso. Por su parte, los enunciados t y  w no son
                                         proposiciones, ya que no pueden tomar un valor de verdad, no se puede decir si
                                         son verdaderas o falsas.
               ©Shutterstock              Conectores lógicos


                                          Son  símbolos  que  enlazan  dos  o  más  proposiciones  simples  para  formar  una
                                          proposición compuesta.





                                                       Tipos de proposiciones

                    Tipo                     Definición                                 Ejemplos

                                                                       p:  Pitágoras fue un matemático.
                              Tienen un sujeto, un verbo y un complemento.
                Simples                                                r:  Claudia es mi hermana.
                              No hay términos de enlaces entre oraciones.
                                                                       t:  19 es un número primo.
                                                                       •  –3 no es un número mayor que 1.
                              Son proposiciones que tienen términos de enlace
                              entre oraciones o la palabra “no” (negación). Los   •  Mario come galletas y bebe leche.
                Compuestas                                             •  No todos los números primos son impares.
                              conectores de enlace entre oraciones son "y", "o",
                              "si... entonces", "si solo si", entre otros.  •   Si un número se multiplica por 2, entonces, la
                                                                          respuesta es un número par.

               136   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   136
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   136                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="7"><![CDATA[DUA. Representación

                  Principales conectores lógicos
                                                                                                       Digital

                   Disyunción. Utiliza el símbolo 'v' y significa 'o'. Dadas las proposiciones  p,  q,  Ingresa al video para
                   la disyunción p v q es aquella proposición compuesta que es verdadera cuando   conocer más acerca de
                   alguna de las  proposiciones  es verdadera. Si las dos  proposiciones son falsas,   los conectores lógicos:
                   entonces, el valor de verdad también es falso.                                lynk.ec/10mt20
                                                                                                 Elabora un cuadro con los
                  Ejemplo                                                                        conectores lógicos,
                                                                                                 adjuntando un ejemplo
                  Google es un buscador o una red social.                                        para cada uno

                  El conectivo lógico es la palabra 'o'.              Tabla para la conjunción
                  Tenemos las proposiciones:                            p      q     p v q
                     p:  Google es un buscador.                         V      V       V

                     q:  Es una red social.                             V      F       V
                                                                        F      V       V
                  La representación de la disyunción es: p v q.
                                                                        F      F       F
                  En la tabla tenemos que la proposición es verdadera,
                  ya que Google sí es un buscador.


                   Conjunción. Utiliza el símbolo ' ', que significa 'y'. Dada las proposiciones p, q, la
                   conjunción p   q es aquella proposición que solo es verdadera cuando ambas
                   proposiciones son verdaderas. En cualquier otro caso, es falsa.
                                                                                                        Matemática

                  Ejemplos
                                                                                                 Una forma sencilla de
                  a)  Tengo dinero y me voy de viaje.                                            escribir las combinaciones
                                                                      Tabla para la conjunción
                      p: Tengo dinero;                                                           lógicas para desarrollar
                                                                        p      q     p   q       una tabla de verdad es la
                      q:  Me voy de viaje.                                                       siguiente:
                                                                        V      V       V
                      La representación lógica del enunciado es: p q    V      F       F         Determina el número de
                                                                                                 filas de la tabla. Para una
                      Según la tabla de la conjunción, es verdadera     F      V       F         expresión de n
                      tengo dinero y me voy de viaje, en el resto de    F      F       F         proposiciones simples, se
                      alternativas es falso.                                                     necesitan 2  filas. En este
                                                                                                          n
                                                                                                      3
                                                                                                 caso 2  = 8, son 8 filas de
                   b)  Un pentágono tiene 5 lados o 5 es impar.  c)  2 + 1 = 3 y 4 es primo.     la tabla.
                      p:  Un pentágono tiene 5 lados.              p:  2 + 1 = 3                    p     q      r

                      q:  5 es impar.                              q:  4 es primo.                  V     V      V
                                                                                                    V     V      F
                      V(p): Verdadero                              V(p): Verdadero.
                                                                                                    V      F     V
                      V(q): Verdadero                              V(q): Falso.
                                                                                                    V      F     F
                      V(p v q):  Verdadero                         V(p  q): Falso.                  F     V      V
                      Porque en la disyunción basta con tener  Porque una de las proposiciones      F     V      F
                      una proposición verdadera.               es falsa.                            F      F     V
                                                                                                    F      F     F




                                                                                                      Matemática  137
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   137
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   137                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="8"><![CDATA[DUA
                Evaluación formativa                                                        Acción y expresión





               1.  Completa, la tabla con los valores de verdad correspondientes.

                       p          q         r        p v q     p   q     q v r     q   r      p v r     p   r
                       V          V         V
                       V          V         F
                       V          F         V
                       V          F         F
                       F          V         V
                       F          V         F
                       F          F         V
                       F          F         F



               2.  Indica cuáles de las siguientes proposiciones son   4.  Determina si las siguientes expresiones son o no
                   simples y cuáles son compuestas.                   pro posiciones. En caso de no serlo, escribe por qué.

                   a)  Está lloviendo.  _______________________________  a)  ¿Cuántos años tienes?
                                                                         _____________________________________________
                   b)  Está lloviendo y hay sol.  ______________________
                                                                      b)  Héctor vive cerca de Cuenca.
                   c)  Somos responsables del agujero en la capa de
                      ozono y del derretimiento de algunos glaciales.     _____________________________________________
                                                                      c)  Ordena la casa y limpia tu cuarto.
                      _____________________________________________
                                                                         _____________________________________________
                   d)  Hoy es lunes y voy a clases. __________________
                                                                   5.  Asumiendo que p y q son proposiciones verdaderas,
                   e)  El cambio climático es resultado de nuestras   escribe verdadero (V) o falso (F), según corresponda.
                      acciones. ____________________________________     p: estoy estudiando Matemática.
                                                                      q: me estoy divirtiendo.
                   f)  Estoy estudiando o me estoy divirtiendo.
                                                                      a)  Estoy estudiando Matemática o
                      _____________________________________________      me estoy divirtiendo.               ( ____ )

               3.  Expresa    simbólicamente    las   siguientes      b)  Estoy estudiando Matemática y
                   proposiciones compuestas. Sugerencia: simboliza       me estoy divirtiendo.               ( ____ )
                   primeramente las proposiciones simples y luego     c)  Estoy estudiando Matemática y
                   relaciónalas con el operador lógico.                  no me estoy divirtiendo.            ( ____ )

                   a)  Juanita estudia y trabaja.                  6.  Escribe (V) si los siguientes enunciados son
                                                                      verdaderos o (F) si son falsos. Justifica tu respuesta.
                                                                      a)  La conjunción es verdadera cuando los dos
                                                                         valores de las proposiciones son verdaderos.
                   b)  Toma un taxi o coge un bus para llegar a la oficina.      _____________________________________________
                                                                      b)  Una proposición simple tiene conectores lógicos.
                                                                         _____________________________________________






               138   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   138                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   138]]></page><page Index="9"><![CDATA[7.  Completa la tabla de verdad de las siguientes         iii)  VVF
                      expresiones:
                                                                            iv)  FFF
                          pq)∧
                      a)  ( ∨    p
                                                                         b)   5  32  = 2 y 2 > 10
                            p     q    (p ∨ q)   p      (p ∨ q) ∧ p         i)  VVV
                            V     V                                         ii)  VFF
                            V     F
                            F     V                                         iii)  VVF
                            F     F                                         iv)  FFF
                                                                             −
                                                                                            2
                      b)  [ p (∨∧   r                                    c)  ( ) > −3  3  25 o  − 5 =−5
                              q r)]∨
                          p   q    r  (q ∧ r) [p ∨ (q ∧ r)] [p ∨ (q ∧ r)] ∨ r   i)  VVV
                           V  V   V                                         ii)  VFF
                          V   V   F                                         iii)  VVF
                          V    F  V                                         iv)  FFF
                          V    F  F
                           F  V   V                                  Actividad cooperativa
                           F  V   F                                  Trabajen en equipo y resuelvan.
                           F   F  V                                  9.  Escriban  en lenguaje común, utilizando los
                           F   F  F                                      conectores lógicos.  Interpreten y  expresen
                                                                         verbalmente.
                           rp)∧
                      c)  [( ∧   q]∧ p
                                                                         a)  Sean p: Carla es deportista y q: Carla es bailarina.
                          p   q    r  [(r ∧ p) [(r∧p)∧q]  [(r∧p)∧q]∧ p      i) p   q              ii) p v q         iii) (p   q) v q
                           V  V   V
                           V  V   F                                      b)  Sean p: Miguel viaja a México y q: Miguel viaja a
                           V   F  V                                         Colombia.
                           V   F  F                                         i) p   q              ii) p v q         iii) (p v q)   q
                           F  V   V                                      c)  Sean p: Estudio matemática, q: Estudio inglés,
                           F  V   F                                         r: Estudio artes escénicas
                           F   F  V
                           F   F  F                                         i) p   r              ii) q v r         iii) (p v q)   r

                                                                                                   [(
                                                                                                    rp)∨
                                                                                                     ∧
                                                                                                          r]∧
                                                                                                             q
                  8.  Determina el valor de las proposiciones simples y   10. Realicen las siguientes operaciones, empleando
                      luego halla el valor de verdad de cada proposición   tablas de valores de verdad.  ( pr) ( qr)
                                                                                                           ∨
                                                                                                     ∨∧
                      compuesta. Guíate con el ejemplo.                  a)   [( rp)∨ r]∧      b)   r (∧∨
                                                                                                      q p)
                                                                                       q
                                                                               ∧
                     •     Madrid  está en España o Londres está en      c)   ( pr) ( qr)      d)   p ( p rq)
                                                                                                          ∧
                                                                                                    ∨
                                                                                                        ∧
                                                                                     ∨
                                                                               ∨∧
                         Francia.
                                                                                q p)
                                                                             r (∧∨
                                                                     Indaguemos
                         p v q          V V F                        11. Visita  ∨  p rq)
                                                                                  ∧
                                                                                    ∧
                                                                             p ( la  biblioteca  e  indaga  en  qué  consiste
                      En cada literal selecciona la respuesta correcta.  la disyunción inclusiva y exclusiva;  escribe dos
                                                                         ejemplos.
                      a)  Un cuadrado es un rombo y un cuadrilátero.  12. Indaga acerca de otros conectores lógicos y escribe
                         i)  VVV                                         dos  ejemplos  de  proposiciones  compuestas  que
                                                                         utilicen estos conectores.
                         ii)  VFV
                                                                                                      Matemática  139
                                                                                                         10.º EGB
                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   139
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   139                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="10"><![CDATA[Condicional, bicondicional


                                         y negación



               DUA. Representación

                                         El  condicional  y el  bicondicional  son  operaciones  fundamentales  en la lógica
                        Digital          matemática y en la teoría de proposiciones. Mediante el condicional se representan
                                         relaciones de implicación o secuencia lógica entre proposiciones; en cambio, el
                 En Ecuador, la velocidad   bicondicional se utiliza para expresar una relación de equivalencia entre dos
                   del Internet supera el   proposiciones en los dos sentidos.
                     promedio regional.
                        Existen más de    Condicional (   ). Una implicación o proposición condicional está formada por
                        15 millones de
                 conexiones móviles con   dos proposiciones de esta manera p → q. Se lee “Si p, entonces q”, y es falsa cuando
                     amplia cobertura y   la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa, en el resto de casos es
                         conectividad.    verdadera.


                                         Ejemplo
               ©Shutterstock             Analizamos el siguiente enunciado:  “Si se sigue trabajando en la conectividad,

                                         entonces la cobertura de Internet será mayor”. Las proposiciones son:
                                         p: Se sigue trabajando en la conectividad.
                                         q: La cobertura de Internet será mayor.

                                         De tal manera que el enunciado se puede expresar como: p  q (Tabla 1).

                  La velocidad del Internet   En todos los casos resulta la proposición verdadera, excepto si se trabaja en la
                depende de diversos factores.  conectividad y la cobertura de Internet no mejora.

                                          Bicondicional (   ). Es una doble implicación o proposición bicondicional. Está
                     Tabla para el
                     condicional          formada por dos proposiciones de esta manera p ↔ q. Se lee “p si y solo si q”, y es
                                          verdadera cuando p es verdadera si y solo si q también es verdadera. O bien p es
                  p       q    p   q      falsa si y solo si q también lo es.
                   V      V      V
                   V      F      F       Ejemplo
                   F      V      V       En el siguiente enunciado: “Una persona puede comprar un carro, si y solo si, es
                   F      F      V       mayor de edad”, las proposiciones son:
                                 Tabla 1
                                         p: Una persona puede comprar un carro.
                                         q: Es mayor de edad.
                                         Tenemos p   q, y su tabla de verdad esta en la tabla 2.
                      Tabla para
                    el bicondicional     Cuando p: V, significa que puede comprar el carro, y q: V significa que es mayor de

                  p       q    p   q     edad. Entonces, si p: V y q: V, la respuesta es verdadera.
                   V      V      V       Si p: V y q: F, significa que la persona puede comprar el carro pero no es mayor de
                   V      F      F       edad, por lo tanto el enunciado es falso.
                   F      V      F       Si p: F y q: V, significa que la persona no puede comprar el carro aunque sea mayor
                   F      F      V       de edad, por lo tanto el enunciado es falso.
                                 Tabla 2  Si p: F y q: F, se interpreta que no puede comprar el carro y tampoco es mayor de
                                         edad, por lo tanto, el enunciado es verdadero.





               140   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   140
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   140                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="11"><![CDATA[DUA. Representación


                   Negación (   ). Su función es negar la proposición. Sea p una proposición, la   Interdisciplinariedad
                   negación de p es la proposición ~ p, que se lee “no p”, lo que cambia el valor de
                   verdad de la proposición.                                                     Matemática
                                                                                                 y programación
                                                                                                 El sistema binario se ha
                  Ejemplo                                                                        utilizado desde la

                  Sea el siguiente enunciado: “Carlos nació en 1993”.                            antigüedad hasta
                                                                                                 nuestros días. Hoy se
                  La proposición es:                                                             utilizan circuitos lógicos
                                                                                                 aplicando lógica
                  p: Carlos nació en 1993, ~ p: Carlos no nació en 1993.
                                                                                                 matemática. Los valores
                  Su tabla de verdad es:                                                         de verdad V y F pueden
                                                                                                 ser reemplazados por los
                  Solución                                                                       valores binarios 1
                                                                                                 y 0, respectivamente.
                    Tabla de la negación                                           ©Shutterstock

                       p         ~p
                                            El valor de  p:  V, significa que Carlos nació en 1993, y                  ©Shutterstock
                       V         F        ~p: F, significa que no nació en ese año.
                       F         V

                                                                                                 Indaga: ¿por qué se utiliza
                  Ejemplos                                                                       el sistema binario en los
                  1.  Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones, luego anota la pro­  computadores?
                     posición compuesta y escribe su valor de verdad.
                     p: un paralelogramo tiene dos diagonales iguales.

                     q: todo cuadrilátero es un paralelogramo.
                     r: un triángulo no tiene diagonales.

                     a) p → q            b) ∼ p ↔ r             c) ∼ (p ↔ q)

                  Solución
                                                                                                         Socioemocional
                  a)  p → q: si un paralelogramo tiene dos diagonales iguales, entonces todo cuadrilá­
                     tero es un paralelogramo.                                                   Si has tenido experiencias
                                                                                                 positivas en tu actuar
                     v(p) = V; v(q) = F. Luego miramos en la tabla del condicional. Para la combinación   académico o personal,
                     V → F, resulta F, entonces v(p → q) = F                                     procura transmitirlas a tus
                                                                                                 compañeros sin
                  b)  ∼ p ↔ q: un paralelogramo no tiene dos diagonales iguales si y solo si un triángu­  menospreciar sus
                     lo no tiene diagonales.                                                     capacidades.

                     v(∼ p) = F; v(r) = V. Para F ↔ V, en la tabla del bicondicional tenemos F, v(∼ p ↔ r) = F

                  c)  ∼ (p ↔ q): no es cierto que si un paralelogramo tiene dos diagonales iguales si y
                     solo si todo cuadrilátero es un paralelogramo.                                                    ©Shutterstock

                     v(p) = V; v(q) = F. Para V ↔  F, en la tabla del bicondicional tenemos F, luego
                     hacemos la negación v [ ∼ (p ↔ q)] = V




                                                                                                      Matemática  141
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   141
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   141                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="12"><![CDATA[DUA
                Evaluación formativa                                                        Acción y expresión





               1.  Expresa simbólicamente las siguientes proposicio­  4.  Realiza la tabla de verdad de las siguientes fórmulas
                   nes compuestas. Sugerencia:  simboliza primera­    lógicas.
                   mente las proposiciones simples y luego relacióna­
                   las con el operador lógico.                        a)  p ( p   q)     p
                   a)  No es el  caso que estudies  licenciatura  y         P      q    [ p   (p   q)]       ~p
                      arquitectura.
                                                                            V      V
                                                                            V      F
                                                                             F     V
                                                                             F     F
                   b)  Samsung es una marca de celulares o es una
                      marca de televisores.
                                                                      b)  ( p  q) ( p   r) ( q    r)


                                                                           P  q   r  [(p q)   v  (p r)]    q ~r
                                                                           V  V   V
                   c)  Si Óscar realiza una recarga electrónica, en­       V  V   F
                      tonces, podrá realizar llamadas.
                                                                           V  F   V
                                                                           V  F   F
                                                                           F  V   V
                                                                           F  V   F
               2.   Niega verbalmente cada afirmación.                     F  F   V
                                                                           F  F   F
                   a)  No es cierto que –5 es mayor que –3.
                      _____________________________________________
                                                                      c)  (p q)      ( p q)
                   b)  Postulé a una maestría en Ciencias.
                      _____________________________________________         P     q   (p   q)            ~(p q)]
                                                                            V     V
                   c)  No es cierto que 4 sea un número primo.
                                                                            V     F
                      _____________________________________________
                                                                            F     V
                   d)   Yahoo es un buscador de información.                F     F
                      _____________________________________________
                                                                                   (
                                                                      d)  ( →p  q ) ↔ ¬∨pq )
               3.  Encuentra los valores de verdad correspondientes
                   para que se cumpla el valor indicado.
                                                                                                    (
                                                                            P     q         ( →p  q ) ↔ ¬∨pq )
                   a)  p  ∧  q       V                                      V     V

                   b)  ~p     ~q        F                                   V     F
                                                                            F     V
                   c)  p     q       V                                      F     F

                   d)  p     q       V



               142   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   142                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   142]]></page><page Index="13"><![CDATA[5.  Halla  los  valores  de  verdad  de  las  siguientes     i)  VV
                      fórmulas lógicas.
                                                                            ii)  VF
                      a)  ( p  q) r    r (  q) si los valores de verdad     iii)  FV
                         de las proposiciones p, q y r son V V F, respecti­
                         vamente.                                           iv)  FF
                                                                                    (
                                                                               ⎡
                                                                         b)  Si  ∼ p∧ p∨q)⎦ ⎤  es verdadera, determinar los
                                                                               ⎣
                         _____________________________________________      valores de verdad de p y q.
                         [
                      b)  (p q)   r]     p (   r s)  si los valores         i)  VV
                         de verdad de las proposiciones p, q, r y s son     ii)  VF
                         F V V F, respectivamente.
                                                                            iii)  FV
                         _____________________________________________
                                                                            iv)  FF
                      c)  ( p  q)    s    r [  s]  si los valores de ver­  c)  Si ( ∨p  ∼ ) →  ∼ ( p →  ) q  es falsa, determina los
                                                                                    q
                         dad de las proposiciones p, q, r y s son V F F V,   valores de verdad de p y q.
                         respectivamente.
                                                                            i)  VV
                         _____________________________________________      ii)  VF

                  6.  Evalúa estas proposiciones.                           iii)  FV
                                                                            iv)  FF
                      a)  Si te preparas para triunfar, entonces, triunfarás.
                         Sin embargo, no te preparas para triunfar.      d)  Si  ∨p  ( →q  ) r  es falsa, determinar los valores de
                                                                            verdad de p, q y r.
                         _____________________________________________
                                                                            i)  VVV
                      b)  Si mi archivo no abre, entonces volveré a mi      ii)  VFV
                         casa y mandaré la información por correo.
                                                                            iii)  FVV
                         _____________________________________________
                                                                            iv)  FFF
                      c)  Volveré a mi casa y mandaré la información por
                         correo porque mi archivo no abre.           Actividad cooperativa
                                                                     Trabajen en equipo y resuelvan.
                         _____________________________________________   9.  Evalúen las siguientes fórmulas lógicas mediante
                                                                         tablas de valores de verdad.
                  7.  Determina el valor de verdad de las proposiciones
                      compuestas,  dado el valor de verdad de cada       a)    p (  q) q   p
                      proposición.                                       b)  p ( p   q) ( p   q)


                      a) vp () =V; vq () =V    v (  p q)  =              c)  (  p   q) p (   q   p)
                                                                            p {
                                                                                                      r}
                      b) vp () =V; vq () =F    vp (   q)  =              d)  Trabajen con el recortable de la página 225.
                                                                                q (
                                                                                            r s)
                                                                                        q) (
                                                                                    p
                      c) vp () =F; vq () =F    v    p (  q)  =       Indaguemos
                      d) vp () =F; vq () =V    v (  p  q)  =         10. Indaga y resuelve.

                                                                         Un  letrero que  aparece  en  la  entrada  de  un
                      e) vp () =V; vq () =V    vp (   q)   p =           concierto  decía:  “Para  ingresar,  las  personas
                                                                         deben presentar su boleto y ser mayores de
                                                                         edad, o bien estar acompañadas de una persona
                  8.  Selecciona la respuesta correcta.                  adulta”.  Representa el enunciado mediante una
                      a)  Si  v  p (  q)  =F , determina los valores de   fórmula lógica y evalúa la tabla para identificar los
                         verdad de p y q.                                casos en los que una persona no podrá entrar al
                                                                         concierto.


                                                                                                      Matemática  143
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   143                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   143]]></page><page Index="14"><![CDATA[DUA
                                                                                             Participación




               Generador de tablas de verdad online

               Una tabla de verdad es una herramienta utilizada en   Con ayuda de los botones, introduce la proposición
               lógica proposicional para mostrar el valor de verdad de   compuesta  en  la  barra  en  blanco;  puedes  usar  el
               una  proposición  compuesta  para  cada  combinación   teclado de la computadora para borrar cualquier
               de  valores  de  verdad  que  se  pueda  asignar  a  las   entrada errónea.
               proposiciones simples.
               La tabla de verdad muestra todas las posibles
               combinaciones de valores de verdad de las
               proposiciones simples y el valor de verdad resultante   Una vez que hayas terminado de introducir la
               de la proposición compuesta para cada combinación.   proposición, elige 1/0 o  T/F (V/F) para las
               Como viste en esta unidad, las tablas de verdad son   combinaciones lógicas. Luego, haz clic en el botón
               útiles para demostrar las equivalencias lógicas entre   “Generar”
               proposiciones y para resolver problemas de lógica
               proposicional.                                      Enseguida aparecerá la tabla de verdad de la
                                                                   proposición ingresada.
               Las tablas de verdad se pueden generar de forma
               manual    o   mediante   programas   informáticos
               especializados. En la web puedes encontrar algunos de
               estos  programas  como  el  que  usaremos  en  este
               apartado.
               Ingresa en: lynk.ec/10mt21
               o escanea el código adjunto.








                                                                   Para ingresar una nueva proposición, debes hacer clic
                                                                   el ícono del basurero.





               Taller

               Realiza las tablas de verdad de las siguientes proposiciones y verifica el resultado con el generador de tablas.


               1.   [(p∧q)∨p] ↔ p                                  2. (∼p ∨ q) ↔ (p → q)















               144   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   144                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   144]]></page><page Index="15"><![CDATA[DUA
                                                                                                  Participación



                    Un huerto en casa


                    Un huerto doméstico es un espacio de cultivo de
                    plantas comestibles para el consumo familiar. Los
                    hay de diferentes tamaños y proporciones, desde                                                      ©Shutterstock
                    pequeñas macetas con hierbas aromáticas en un
                    balcón, hasta jardines grandes en un patio. Algunos
                    huertos caseros se centran en el cultivo de verduras,
                    frutas y hierbas, mientras que otros producen
                    alimentos en invernaderos o cultivos en interiores.
                    La ventaja de estos cultivos es que no necesitan
                    demasiado espacio. Una cama de siembra es un área
                    elevada y delimitada que se destina al cultivo. Estas
                    camas ofrecen ventajas sobre el cultivo en el suelo.
                    Se elevan por encima del suelo para evitar el
                    encharcamiento y proporcionar drenaje. Los        Huerto casero en un espacio pequeño
                    tamaños estándar son de 1 m de ancho por 2 m de
                    largo y entre 30 y 60 cm de alto.                  Calculo

                    Los huertos caseros permiten tener verduras y frutas   ¿Qué volumen de tierra se ocupa en una cama de siembra
                    frescas, ahorran dinero y nos conectan con la       de 1 × 2 × 0,5 metros?
                    naturaleza.


                  Taller


                  De acuerdo con la información presentada en el desarrollo de esta competencia responde las siguientes preguntas.
                  1.  ¿Sobre qué tema trata la lectura?
                      ___________________________________________________________________________________________________________

                  2.  ¿Cuál es una característica común de los huertos   d)  s: Una cama de siembra es un área elevada y
                      domésticos en cuanto a su tamaño y ubicación?          delimitada, destinada al cultivo de plantas.  ( ___ )
                      a)  Siempre son jardines grandes en patios traseros.
                      b)  Pueden variar en tamaño y pueden estar en bal­  4.  Simboliza las siguientes proposiciones y halla su
                                                                         valor de verdad.
                         cones, patios traseros o incluso en interiores.
                      c)  Son exclusivamente invernaderos.               a)  No todos los huertos son caseros. _____________
                      d)  Se encuentran únicamente en zonas rurales.     b)  Un huerto casero es un cultivo de plantas exó­
                                                                             ticas y verduras.  _____________________________
                  3.  Determina el valor de verdad de las siguientes     c)  Las camas de siembra evitan el encharcamiento o
                      proposiciones:                                         proporcionan un drenaje adecuado. ____________

                      a)  p: Los huertos caseros necesitan               d)  Un huerto casero es un jardín de flores en un
                         amplio espacio.                    ( ____ )         patio trasero o es una granja de productos or­
                      b)  q: Un huerto casero es un cultivo                  gánicos.  _____________________________________
                         de plantas exóticas.               ( ____ )     e)  Si un pequeño cultivo de plantas comestibles
                      c)  r: Algunos huertos caseros se centran              tiene camas de siembra, entonces es un huerto
                         en el cultivo de verduras.         ( ____ )         doméstico.___________________________________

                                                                                                      Matemática  145
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   145                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   145]]></page><page Index="16"><![CDATA[Equivalencias lógicas.


                                         Tautología y contradicción



               DUA. Representación

                                          En la lógica proposicional, la equivalencia lógica se refiere a la igualdad entre
                        Digital           proposiciones. Se utiliza el signo ≡, que se lee lógicamente equivalente.
                                          Dos proposiciones son lógicamente equivalentes cuando tienen el mismo valor de
                      Los algoritmos de   verdad en todas las combinaciones; es decir, sus columnas resultado son idénticas.
                  inteligencia artificial se
                      basan en la lógica   Mediante el reemplazo de una proposición por otra equivalente más simple, se
                          matemática.     pueden simplificar razonamientos y demostraciones, lo que facilita el análisis lógico
                                          y la resolución de problemas.


                                           Las proposiciones  p,  q son equivalentes cuando sus columnas resultado son
                                           idénticas. Se escribe  p ≡ q o p ⇔ q


                                          Ejemplos
                                          Verifica si las siguientes proposiciones son equivalentes.

                                          a)  p → q  y ∼ p ∨ q              b) p ∧ (q → r) y (p ∧ q) → (p ∧ r)

                                          Solución
                      Ética e integridad
                                          Elaboramos las tablas de verdad para cada proposición compuesta.
                      Si hay dificultades   a)  p → q  y ∼ p ∨ q
                   visuales, es necesario
                 ayudarnos unos a otros,                      p      q     ∼ p     p → q   ∼ p ∨ q
                        ya sea con una
               explicación de los sucesos                     V      V      F        V         V
                      visuales o con un                       V      F      F        F         F
                     resumen de lo que                        F      V      V        V         V
                      sucede alrededor.
                                                              F      F      V        V         V

                                               Las columnas resultado son idénticas, luego las proposiciones son equivalentes,
                                            es decir: p → q  ≡ ∼ p ∨ q
                                          b)  p ∧ (q → r) y (p ∧ q) → (p ∧ r)
                          Socioemocional        p      q      r        p ∧ (q → r)           (p ∧ q) → (p ∧ r)

                                                V      V      V        V        V         V         V        V
                    Procura fomentar la
                 auto­reflexión sobre tus       V      V      F        F         F        V         F        F
                 emociones y reacciones         V      F      V        V        V         F         V        V
                en diferentes situaciones.
               Lleva un diario emocional        V      F      F        V        V         F         V        F
               o participa en discusiones       F      V      V        F        V         F         V        F
                     grupales donde se
                   analicen experiencias        F      V      F        F        F         F         V        F
               emocionales para la toma         F      F      V        F        V         F         V        F
                         de decisiones.         F      F      F        F        V         F         V        F

                                               Las  columnas  resultado  no  son  iguales;  por  tanto,  las  proposiciones  no  son
                                            equivalentes.



               146   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   146
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   146                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="17"><![CDATA[DUA. Representación

                  Tautología, contradicción y contingencia                                              Matemática


                   Tautología. Es una proposición compuesta que es verdadera para cualquier      Una equivalencia lógica
                   combinación de valores de verdad de las proposiciones que la componen.        también se comprueba
                                                                                                 mediante el desarrollo de
                                                                                                 la tabla de verdad del
                  Ejemplo                                                                        bicondicional de las dos
                  Construye la tabla de verdad para la proposición compuesta [(p ∧ q)∧ p] → (p ∨ q)  proposiciones dadas. Si la
                                                                                                 columna resultado es una
                  Solución. Resolvemos aplicando el siguiente orden:                             tautología, entonces las
                                 1      3       2      5     4                                   proposiciones son
                                                                     1.  Conjunción              equivalentemente lógicas.
                     p     q    (p   q)         p          (p v q)   2.  Valores de p
                     V     V      V      V      V     V      V       3.  Conjunción               p  q   p ∨ q ↔ q ∨ p
                     V     F      F      F      V     V      V                                    V  V    V    V    V
                     F     V      F      F      F     V      V       4.  Disyunción               V  F    V    V    V
                     F     F      F      F      F     V      F       5.  Condicional              F  V    V    V    V
                                                                                                  F  F    F    V    F
                                                                                                 Luego p ∨ q ≡ q ∨ p

                  Como la columna principal tiene solo valores verdaderos, es una tautología.

                   Contradicción. Es una proposición compuesta si en todos los casos posibles de
                   su columna principal su valor de verdad es falso.                                  Comunicacional


                                                                                                 ≡ : lógicamente
                  Ejemplo                                                                        equivalente a
                  Construye la tabla de verdad para la proposición (∼ p ∧ ∼ q) ∧ (p ∨ q)         : equivale

                                    p     q    (∼ p ∧ ∼ q)  ∧       (p ∨ q)
                                    V     V        F        F         V
                                    V     F        F        F         V
                                    F     V        F        F         V                              Seguridad vial
                                    F     F        V        F         F
                                                                                                 La movilidad sostenible
                  La columna resultado tiene solamente valores falsos, por tanto, es una contradicción.
                                                                                                 busca satisfacer las
                                                                                                 necesidades de
                   Contingencia. Es una proposición compuesta cuya columna resultado contiene    transporte sin
                   verdaderos y falsos en sus combinaciones lógicas.                             comprometer el bienestar
                                                                                                 de las generaciones
                  Ejemplo. Construye la tabla de verdad para la proposición (p → q) ↔ (q → p)    futuras ni el medio
                                                                                                 ambiente. Implica
                                    p     q     (p → q)     ↔      (q → p)                       acciones para un uso
                                                                                                 racional y eficiente de los
                                    V     V        V        V         V
                                                                                                 medios de transporte
                                    V     F        F        F         V                          públicos y privados, y así
                                    F     V        V        F         F                          minimizar su impacto
                                    F     F        V        V         V                          ambiental y social.
                                                                                                 ¿Cómo podrías contribuir a
                  La columna resultado es una contingencia.                                      una movilidad sostenible

                                                                                                 en tu ciudad?

                                                                                                      Matemática  147
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   147
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   147                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="18"><![CDATA[DUA
                Evaluación formativa                                                        Acción y expresión





               1.  Responde con verdadero (V) o falso (F) a las       c)  Un rombo es un cuadrilátero y un paralelogramo.
                   siguientes afirmaciones.

                   a)  Dos proposiciones son lógicamente equivalen­
                      tes cuando tienen diferentes valores de verdad
                      en todas las combinaciones.         ( ____ )
                                                                      d)  No es cierto que un delfín es un mamífero
                   b)  Una tautología es una proposición compuesta       o vive en el agua.
                      que es verdadera para cualquier combinación
                      de valores de verdad de las proposiciones que
                      la componen.                        ( ____ )

                   c)  Las equivalencias lógicas permiten la simplifi­
                      cación de proposiciones compuestas comple­      e)  Un triángulo es equilátero si y solo si tiene sus
                      jas en otras más simples.           ( ____ )       tres lados iguales.

                   d)  Una contingencia es una proposición com­
                      puesta  cuya  columna  resultado  contiene  ex­
                      clusivamente verdaderos.            ( ____ )

               2.  Selecciona la proposición equivalente al siguiente   f)  Si Quito está en Ecuador y Ecuador está en Suda­
                   enunciado:  “Si apruebo  el año entonces iré de       mérica, entonces Quito está en Sudamérica.
                   vacaciones”.

                   a)  No es cierto que apruebe el año y no vaya de
                      vacaciones.

                   b)  Iré de vacaciones si y solo si apruebo el año.
                                                                   4.  Elabora las tablas de verdad de los siguientes pares
                   c)  Apruebo el año o iré de vacaciones.            de proposiciones compuestas y determina si son
                                                                      o no equivalentes.
                   d)  No iré de vacaciones y no apruebo el año.
                                                                      a)  p ∧ V   p ∨ F

               3.  Simboliza las siguientes proposiciones y escribe
                   una proposición equivalente.

                   a)  No es cierto que no me gusta bailar.





                                                                      b)  p ∧ F   p ∨ V



                   b)  Si un número no es par, entonces no es divisi­
                      ble entre 2.










               148   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   148                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   148]]></page><page Index="19"><![CDATA[5.  Completa las siguientes tablas de verdad y verifica   Actividad cooperativa
                      si las proposiciones son tautología, contradicción o   Trabajen en parejas y resuelvan.
                      contingencia.                                  6.  Verifiquen las siguientes equivalencias lógicas.
                                                                         Tu compañero realizará la primera parte y tú, la
                      a)  [(p ∨ q) ∧ ~p]  → q
                                                                         segunda; luego comparen las columnas resultado.
                           p    q   (p ∨ q)  ∧     ~p    →     q                 p ∧ (q ∨ r) ≡ ( p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
                           V    V
                           V    F                                                                      ∧
                           F    V                                           p      q      r      p            (q ∨ r)
                           F    F

                         _____________________________________________
                      b)  p → (q → r)
                            p       q        r       p → (q → r)
















                         _____________________________________________

                      c)  (p ∨ q) ∧ (∼p ∧ ∼q)                               p      q      r    (p ∧ q)  ∨     (p ∧ r)
                            p       q    (p ∨ q)  ∧     (~p ∧ ~q)








                         _____________________________________________

                      d)  (p ∧ q) → (p ∨ ~ r)

                           p    q    r    (p ∧ q)  →     (p ∨ ∼ r)






                                                                     Indaguemos
                                                                     7.  Pregunta a una persona adulta, lo siguiente, luego
                                                                         comenta en clases.

                                                                         a)  ¿Qué es un circuito eléctrico?

                                                                         b)  ¿Cómo se aplica la lógica matemática en los
                         _____________________________________________      circuitos electrónicos?




                                                                                                      Matemática  149
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   149
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   149                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="20"><![CDATA[DUA
                        á                                                                    Participación




               Estrategia: usar razonamiento directo


                 Si la proposición: (p ∧ q) → (∼ p ∨ r) es falsa, siendo p una proposición verdadera.              ©Shutterstock
                 Determina los valores de verdad de q y r.




                 1.  Comprende el problema y plantea una estrategia.
                    a)  ¿Qué pregunta el problema?

                        _____________________________________________________________________

                    b)  ¿Qué estrategia plantearías para la solución?
                        Aplicar lógica matemática. Primero identificar los valores de verdad de
                        la proposición dada, luego el de cada operación lógica, para finalmente
                        determinar los valores de verdad solicitados.


                                                                                No
                                       ¿Tienes clara la pregunta y la                  Vuelve a leer e interpretar el
                                         estrategia de solución?                       problema.

                                                         Sí

                 2.  Aplica la estrategia y resuelve.   (p ∧ q) → (∼ p ∨ r)

                    Colocamos los valores de verdad     (V _____ )  F   (F  _____ )
                    conocidos:
                                                        (p ∧ q) es verdadera solo si las dos
                    (p ∧ q) → (∼ p ∨ r)                 proposiciones son verdaderas,
                                                        entonces q es _______________ .
                     (V      )  F   (_______ )
                                                        También (∼ p ∨ r) es falsa solo
                    Para la operación →, se obtiene     para el caso FF, entonces r es
                    falso cuando la primera             ___________ .
                    proposición es verdadera y la
                    segunda falsa, entonces (p ∧ q) es   (p ∧ q) → (∼ p ∨ r)
                    verdadera y (∼ p ∨ r) es _________ .    V _____   F     F   _____



                                                                                No
                                       Tienes claro cómo obtienes                      Vuelve a leer la información
                                          los datos y el proceso.                      del problema.


                                                         Sí

                 3.  Verifica y responde la pregunta.                                                Fin

                                              v(q) = V; v(r) = F




               150   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   150                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   150]]></page><page Index="21"><![CDATA[1.  Si (p ∧ q) es verdadera y q es verdadera, determina   4.  Determina los valores de verdad de p, q, r y s en
                      el valor de p.                                     la proposición:  ∼[p∧∼(s→q)]∧[r∧∼(p→q)]si esta es
                                                                         verdadera.










                      a)  V
                                                                         a) VFVF                c) VFFV
                      b)  F
                                                                         b) VFVV                d) VFFF
                      c)  V o F

                      d)  No se puede determinar                     5.  Si la proposición (∼p→q)∨(r→∼s) es falsa. Deter­
                                                                         mina el valor de verdad de las siguientes propo­
                  2.  Los valores de verdad de las proposiciones p, q, r y s  siciones.
                      son respectivamente F, V, V y F. Obtén los valores de   i) (∼p∧∼q)∨∼q
                      verdad de:
                                                                         ii) (∼r∨q)↔[(∼q∨r)∧s]
                      i) [(p→q)∧r]∨s
                                                                         iii) (p→q)→[(p∨q)∧∼q]
                      ii) (s∧p)→r
                      iii) (∼p∧r)↔(∼r∨s)








                                                                         a) VVV                 c) VFF
                                                                         b) VVF                 d) FVV
                      a) VFF                 c) VVV
                                                                     6.  Selecciona de las siguientes proposiciones, aquella
                      b) FVV                 d) VVF
                                                                         que siempre es falsa.
                  3.  Si la proposición [(∼p∨q)→(q↔r)]∨(q∧s) es falsa, y p  i) [∼(p∧q)→p]∧∼p
                      es verdadera. Determina los valores de verdad de q,
                      r y s.                                             ii) (∼p→q)↔∼(p→q)

                                                                         iii) ∼[∼(p→q)→(p∨∼q)]








                      a) VVV                 c) VFF

                      b) VFV                 d) FFV                      a)  solo i             c)  solo iii

                                                                         b)  solo ii            d)  i y iii




                                                                                                      Matemática  151
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   151
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   151                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="22"><![CDATA[Leyes del álgebra de proposiciones







               DUA. Representación

                                         Las leyes del álgebra de proposiciones son un grupo de equivalencias lógicas que
                                         constituyen un conjunto de principios y reglas que se utilizan en lógica matemática
                          Matemática     y en el álgebra booleana, para operar y simplificar proposiciones lógicas complejas y
                                         así expresarlas en forma más sencilla. Estas leyes son fundamentales para el
                     Para simplificar una   razonamiento lógico y la demostración de teoremas.
                fórmula lógica podemos
                     seguir estos pasos:          Ley                               Símbolos
                  1. Analizar e identificar                    p ⇔p
                 conectores condicional   De equivalencia
                       y bicondicional,   De idempotencia      p∨p ⇔p                p∧p ⇔p
                    entonces, aplicar las
                                                                       (
                                                                                    (
                      respectivas leyes.                       p∨q∨r ⇔ p∨q)∨r ⇔p∨ q∨r)
                                          Asociativa
                 2. Asociar términos para                      p∧q∧r ⇔ p∧q)∧r ⇔p∧ q∧r)
                                                                       (
                                                                                    (
                poder aplicar las leyes del
                  álgebra proposicional.  Conmutativa          p∧q ⇔q∧p         p∨q ⇔q∨p
                                                               p ( q r) ( p q) ( p r)
                                          Distributiva
                                                               p ( q r) ( p q) ( p r)
                        Digital
                                                               p F   F         p V  p
                                          De identidad
                      Visita el siguiente                      p F   p         p V  V
                    enlace para conocer                        p   p   F           p  p  V
                         más del tema.
                        lynk.ec/10mt22    De complemento        (  p)  p            F  V
                                                                V   F
                   Realiza un cuadro que
                 contenga las operaciones                       ( p q)    p   q
                      lógicas y sus tablas   De Morgan
                            de verdad.                          ( p q)    p   q

                                                               p ( p q)  p
                                          De absorción
                                                               p ( p q)  p

                                          Condicional simple   p  q    p q
                                                               p  q    q    q
                                          Bicondicional        p  q (  p  q) ( q  p)


                           Cívica        Ejemplos
                                         a)  Usando el álgebra de proposiciones, simplifica la proposición.
                La etnomatemática es el
                                                     ∼ )∨(
                                                            q
                área de la educación que         ∼ ( p    ∼ ∨  ∼q)
                  aplica el conocimiento          ≅ ∼∼ ∨ (∼ ∨ ∼q )  As ociativa
                                                       p
                                                           q
                     matemático que se   Solución ∼ ( p    ∼ ∨  ∼q)
                                                             q
                                                    ∼ )∨(
                   genera a partir de un          ≅ ∼∼ [ p ∨ ∼ ] q  De idempotencia
                                                           ∼∼q )
                                                   ∼∼ ( p
                                                         (∼ ∨
                      grupo cultural en     1.° ≅ ≅ ∼∼p ) ∨ ∧ ( q  ∼q )  De Morgan
                                                                        ociativa
                                                                      As
                            particular.           ≅∧                De complemento
                                                   pq
               Explica por qué el amor a la   2.° ≅ ∼∼ [ p ∨ ∼ ] q    De idempotencia
                                                           ∼∼q )
               patria debe incluir el rescate   3.° ≅ ∼∼ ( p )  ∧ (   De Morgan
                     de nuestros saberes        ≅∧                    De complemento
                                                  pq
                           ancestrales.     4.°
               152   Matemática
                     10.º EGB
                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   152                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   152]]></page><page Index="23"><![CDATA[DUA. Representación

                  b)  Simplifica a una fórmula lógica más sencilla, utilizando las leyes de la lógica
                     proposicional.
                     (   ∧  ∧   pq) (  q∧  p)
                                                                                                Interdisciplinariedad
                  Solución
                                             Asociativa                                          Matemática y lógica
                                                                                                 proposicional
                                             De complemento                                      Augustus De Morgan y

                                             De complemento                                      George Boole
                                             De identidad                                        presentaron, a mediados
                                                                                                 del siglo XIX, un novedoso
                  c)  Simplifica la expresión aplicando las leyes de proposiciones.              sistema matemático para
                                                                                                 modelar operaciones
                         p (  q)    q (  p) ( p q)                                               lógicas. Obtuvieron una
                                                                                                 herramienta apropiada
                                        q p) (
                                                p q)     Condicional
                  Solución p (  (  p q)  q (  (  p) ( p q)                                       para la investigación de
                             q)
                        (p   q) ( q    p) ( p q)            De Morgan                            los fundamentos de la
                          (  p q)     (  q p) ( p q)     Condicional                             matemática.
                          (p   q) ( q   p) ( p q)           Condicional
                        (p   q) ( q    p) ( p q)            De Morgan
                        ( p q) ( q    p) ( p q)             De Morgan
                          (p   q) ( q   p) ( p q)           Condicional
                        (q   p) (  p q) (  p q)             Conmutativa
                        ( p q) ( q    p) ( p q)             De Morgan
                         (q [  p)  p] q (  p q)              Asociativa
                        (q   p) (  p q) (  p q)             Conmutativa
                       (  p q) ( p q)                                   De absorción
                         (q [  p)  p] q (  p q)              Asociativa
                       (q   p) ( q p)                                    Conmutativa
                       (  p q) ( p q)                                   De absorción
                         q (  p p)                                         Distributiva
                       (q   p) ( q p)                                    Conmutativa             George Boole
                          q  F                                                    De complemento
                         q (  p p)                                         Distributiva
                              q                                                       De identidad
                          q  F                                                    De complemento
                              q                                                       De identidad

                  d)  Emplea las leyes del álgebra proposicional y simplifica.
                       p (  q)   q

                  Solución p ( (  p q)  q q                                       Condicional
                            q)
                        ([  (  p q)  q []  q (  p q)      ]  Bicondicional
                           p q)
                                    q
                                                           Condicional
                                             q) (
                            p q)
                                                   p q)   Condicional
                         ([  (  p q)  q   ( q (  p q)      ]  Bicondicional                      Augustus De Morgan
                                    q []
                        (p [  (  q)  q] [ q q  (q  (  q) (  p q)   Condicional                   Indaga sobre Augustus
                                                          De Morgan  y conmutativa
                                               ) p ]
                             p q)
                                     p]
                         q [ (q q)  q] [ q  (q  ) p ]                   De absorción y asociativa  De Morgan y George
                         (p [
                                                                                                 Boole.
                              q)
                                                           De Morgan  y conmutativa
                         q [ q (q q)  p]                  De idempotencia
                                 p]
                          q [
                                                           De absorción y asociativa
                       (   q q) ( q     ) p               Distributiva
                                  p]
                          q [
                                                           De idempotencia
                             q
                            ( q
                       F (   q q) ( q                       De complemento
                                p)
                                                           Distributiva
                       ( q    p)         ) p              De identidad
                        F        p)                          De complemento
                             ( q
                        ( q    p)                          De identidad
                                                                                                      Matemática  153
                                                                                                         10.º EGB
                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   153
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   153                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="24"><![CDATA[DUA
                Evaluación formativa                                                        Acción y expresión





               1.  Determina si las siguientes afirmaciones son     4.  Niega verbalmente las siguientes proposiciones:
                   verdaderas (V) o falsas (F).
                                                                      a)  No es cierto que rojo es un color primario.
                   a)  El condicional es igual a la negación de la primera      _____________________________________________
                      proposición o la segunda proposición.   ( ____ )  b)  Fernando es diseñador y pintor.
                   b)  La ley de identidad es extraer la proposición      _____________________________________________
                      que se repite.                     ( ____ )
                                                                      c)  Pitágoras fue un reconocido filósofo.
                   c)  El valor de verdad falso y una proposición da      _____________________________________________
                      como resultado falso.              ( ____ )
                                                                      d)   Mi estatura es 1,50m o 1,60m.
                   d)  La negación de una negación de una proposi­
                      ción da como resultado la misma proposición        _____________________________________________
                      negada.                            ( ____ )
                                                                   5.  Selecciona la proposición equivalente a la
                   e)  “Si me pagan, entonces iremos a la playa”. Se sabe   siguiente: “no es cierto que, si  usted ve un  gato
                      que le pagaron, pero no fueron a la playa.  ( ____ )  negro, entonces, tendrá mala suerte”.
                                                                      a)  Usted no tiene mala suerte si ve un gato negro.
               2.  Completa el organizador gráfico con al menos
                   cinco leyes de proposiciones.                      b)  Usted ve un gato negro y tiene mala suerte.
                                                                      c)  Ve un gato negro si tiene mala suerte.
                                                                      d)  Ve un gato negro y no tiene mala suerte.

                                                                   6.  Determina la proposición equivalente a esta:
                                                                      “Si amo las matemáticas, pasaré este curso”.
                                     Leyes                            a)  Si no amo las matemáticas, no pasaré este curso.
                                     de las
                                  proposiciones
                                                                      b)  Pasaré este curso o no amo las matemáticas.
                                                                      c)  Pasaré este curso y amo las matemáticas.
                                                                      d)   No amo las matemáticas.
                                                                      e)  No  pasaré  este  curso,  luego,  no  amo  las
                                                                         matemáticas.
               3.  Dadas las proposiciones simples:
                                                                   7.  Sean las proposiciones p: Hace frío q: Estamos en
                   p: Jugué fútbol   q: Anoté varios goles            invierno, relaciona cada una con su simbolización.

                   Escribe en tu cuaderno, el enunciado de las        a)  Hace frío y no estamos en in­  1.  p
                   siguientes proposiciones compuestas.                  vierno.                        2. pq
                                                                                                            ∨
                   a)   p   ∧ q __________________________________  b)  Si no hace frío, entonces, esta­  3. pq
                                                                                                            ∧
                   b)  ( ∧pq )  __________________________________      mos en invierno.               4.  p ∧   q
                   c) p ∧   q  __________________________________    c)  Estamos en invierno si y solo si   5.   ( p )
                                                                         no hace frío.
                        pq
                   d)  ∧       __________________________________                                      6. q ↔  p
                                                                      d)  Hace frío y estamos en invierno.
                   e) p  → q    __________________________________    e)  Hace frío o estamos en invierno.  7.   → q
                                                                                                             p
                   f)   p   → q __________________________________  f)  No hace frío.
                   g) q ↔ p     __________________________________    g)  No es cierto que no hace frío.

                                                                         _____________________________________________



               154   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   154
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   154                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="25"><![CDATA[8.  Simplifica las siguientes fórmulas lógicas aplicando   d)  ¬(¬p ∧ ¬q) ≡
                      las leyes proposicionales.

                      a)    p (  q)    p (  q)


                                                                     11. Escribe la propiedad que se ha aplicado en la
                                                                         simplificación de la siguiente expresión.
                      b)  ( p  q) ( q  p)    p                           ∼ q∨∼ p)↔ p ⎤
                                                                           ⎡
                                                                            ( ⎣
                                                                                      ⎦
                                                                         ∼ ( ⎣ { ⎡  q∨∼ p)→ p ⎤ ∧p→ q∨∼ p)⎦}
                                                                                                     ⎤
                                                                                              (
                                                                                       ⎦
                                                                         ∼ ∼ q∨∼ p)∨p ⎤ ∧ ∼ p∨ q∨∼ p)⎦}
                                                                            ⎣ {
                                                                              (
                                                                                               (
                                                                                                      ⎤
                                                                                          ⎡
                                                                            ⎡
                                                                                        ⎦ ⎣
                      c)  ( p  q) (   q p)                               ∼ ∼ q∨∼ p)∨p ⎤ ∨∼ ∼ p∨ q∨∼ p)⎦ ⎤
                                                                                           ⎡
                                                                           ⎡
                                                                                                (
                                                                             (
                                                                           ⎣
                                                                                       ⎦
                                                                                           ⎣
                                                                           ⎡
                                                                                            ⎡
                                                                                                 (
                                                                                        ⎦
                                                                                            ⎣
                                                                            ( ⎣
                                                                         ∼ ∼ q∧∼∼ p)∨p ⎤ ∨∼ ∼ p∨ q∨∼ p)⎦ ⎤
                                                                           ⎡
                                                                                         ⎡
                                                                         ∼ ∼ q∧p)∨p ⎤ ∨∼ ∼ p∨ q∨∼ p)⎦
                                                                                     ⎦
                                                                            ( ⎣
                                                                                         ⎣
                                                                     Actividad cooperativa     (     ⎤
                                                                     Trabajen en equipo y resuelvan.  ⎦
                                                                           ⎡
                                                                         ∼ ∼ q∧p)∨p ⎤ ∨∼ ∼ p∨∼ p)∨q ⎤
                                                                                         ⎡
                                                                            ( ⎣
                                                                                     ⎦
                                                                                          ( ⎣
                      d)     ( p q)   q    p                         12. Escriban la ley que se aplicó en cada paso.
                                                                                 ⎡
                                                                         ∼ p [ ]∨∼ ∼ p∨∼ p)∨q ⎤
                                                                                 ( ⎣
                                                                                             ⎦
                                                                         a)   (  p q) ( r   r)    q
                                                                         ∼ p [ ]∨∼ ∼ p∨q]
                                                                                 [
                                                                             (
                                                                                p q)
                                                                              (
                                                                         ∼ p∨ ∼∼ p∧∼ q) F    q
                                                                              ( (
                                                                                  p q) F
                  9.  Identifica la ley en cada paso.                    ∼ p∨ p∧∼ q)         q
                                                                              p (
                                                                                  ( q) F
                      a)  ¬(¬q) = q   ___________________________________  ( ∼ p∨p)∧ ∼ p∨∼ q) q
                                                                                  q)
                                                                            ( p (
                                                                         V ∧ ∼ p∨∼ q)  q
                      b)  r   r   _________________________________________
                                                                              q
                                                                         ( ∼ p∨∼ q)
                      c)  (r ∧ q) ∨ (z ∧ q)   q ∧ (r ∨ z)   ___________________
                      d)  p ∧ (q ∨ ¬q) ≡ p ∧ V   __________________________  b) ( p q) ( p  q) (  p  q)
                                                                            [ p (q   q)] (  p    q)
                      e)  r ∨ (p → q) ≡ r ∨ (¬p ∨ q)   ____________________
                                                                            [ p V] (  p    q)
                  10. Calcula o  simplifica las siguientes expresiones        p (  p   q)
                      lógicas utilizando las leyes del cálculo proposicional.
                                                                            (p    p)   q
                      a)  ¬¬p ≡
                                                                            V    q
                                                                            V
                                                                     13. Simplifiquen  en su  cuaderno  las  siguientes  fór­
                                                                         mulas lógicas.
                      b)  ¬(p ∧ ¬q) ≡
                                                                         a)    pp(  ∨ ) ∧   ( pq q ) =   ______________________
                                                                                        ∨∨
                                                                         b)     ∧pq(  ∧ )  ( ∨pq) ∨ p )=   ______________________
                      c)  ¬(¬p ∨ q) ≡                                Indaguemos
                                                                     14. Indaga las leyes que puedes aplicar y resuelve.
                                                                         ( p q)   q    q
                                                                                                      Matemática  155
                                                                                                         10.º EGB
                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   155
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   155                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="26"><![CDATA[DUA
                    í    
 É                                                                   Participación




                 ¡Integremos a los estudiantes inmigrantes!



               ©Shutterstock




























                                         La inmigración es un tema complejo que afecta a muchos países, incluido Ecuador.
                                         Nuestro país ha experimentado un aumento en la inmigración en las últimas
                                         décadas, lo que ha generado una serie de desafíos y oportunidades. Según datos de
                                         la ONU, en Ecuador hay 784 787 inmigrantes, especialmente provienentes de Vene­
                                         zuela, Colombia y Estados Unidos.

                                         Los escolares inmigrantes en Ecuador enfrentan diversos problemas, como la
                                         precariedad económica, la falta de documentos de identidad, la xenofobia, el acoso
                                         en los centros educativos, las dificultades para encontrar cupos escolares y el
                 Calculo                 abandono escolar.

                                         Según el Ministerio de Educación, durante el período académico 2021­2022 el
                 Si consideramos que la
                 población del Ecuador es   sistema registró 87 262 alumnos de diferentes nacionalidades, sobre todo venezo­
                 de 17 900 000 habitantes,   lanos, colombianos y peruanos. Para el año lectivo 2022­2023 la cifra cayó a
                 ¿cuál es el porcentaje de   41 132. Es decir, una reducción del 52,8% que, en gran parte, se debe a la salida
                 ciudadanos inmigrantes?  de los migrantes.
                                         Otras razones para la deserción son las dificultades de adaptación y la discriminación.
                                         Estas afectan negativamente la autoestima y generan angustia ante el cambio de
                                         país y de sistema educativo.
                                         Para superar esto y ayudar a los escolares inmigrantes a tener éxito en el sistema
                                         educativo ecuatoriano, es necesario implementar medidas de orientación, apoyo
                                         psicológico y programas que promuevan la integración entre estudiantes locales e
                                         inmigrantes. También es importante capacitar a los docentes sobre la diversidad
                                         cultural y las necesidades específicas de los chicos inmigrantes.






               156   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   156                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   156]]></page><page Index="27"><![CDATA[Taller

                  De acuerdo con la información presentada, responde las siguientes preguntas.                       ©Shutterstock

                  1.  ¿Según los datos de la ONU, ¿qué porcentaje de la población total de Ecuador
                      está compuesto por inmigrantes?

                      a)  0,48%         b)  2,48%         c)  4,48%         d)  8,48%

                  2.  ¿Cuáles son algunos de los problemas que enfrentan los escolares inmigrantes en Ecuador, según el texto?

                      a)  Terrorismo y violencia paramilitar.

                      b)  Desnutrición, bajo peso y baja estatura.

                      c)  Precariedad económica, falta de documentos, xenofobia y dificultades de adaptación.

                      d)  Falta de cupos escolares, anorexia y bulimia.


                  3.  ¿Qué medidas se sugieren en el texto para ayudar a los escolares inmigrantes a tener éxito en el sistema
                      educativo ecuatoriano?

                      a)  Implementar más asignaturas de idiomas y valoración cultural.

                      b)  No realizar ninguna acción específica, ya que la adaptación es responsabilidad exclusiva del estudiante
                         inmigrante.


                      c)  Más educación religiosa y valores morales.
                      d)  Ofrecer orientación y apoyo psicológico, promover la interacción entre estudiantes locales e inmigrantes y
                         capacitar a maestros en diversidad cultural.


                  4.  ¿Cuáles son los principales países de procedencia de la inmigración en Ecuador, según el texto?

                      a)  Perú, Argentina y México.                  c)   Brasil, Chile y España.

                      b)  Venezuela, Colombia y Estados Unidos.      d)   China, India y Cuba


                  5.  Ubica en tu institución educativa o en tu vecindario a un estudiante de otro país. Realiza una entrevista con las
                      siguientes preguntas.
                      a)  Sexo y edad                                  e)  ¿Cómo se siente  en el colegio?

                      b)  País de procedencia                          f)  ¿Ha tenido problemas de rechazo con sus
                                                                          compañeros?
                      c)  ¿Es un migrante legal?
                                                                       g)  ¿Qué le gustaría cambiar?
                      d)  Motivo por el que la familia migró


                  La información recopilada anótala en tablas de frecuencias, emplea Excel, realiza diagramas estadísticos y presenta
                  en clases. Finalmente, obtén conclusiones  y recomendaciones para las personas que se  encuentran  en estas
                  condiciones.






                                                                                                      Matemática  157
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   157                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   157]]></page><page Index="28"><![CDATA[ó                                                                        DUA
                                                                                               Participación



                 Exige siempre tu factura


                                                                                                                       ©Shutterstock





























                                         Una factura de compra es un documento financiero que detalla la adquisición de
                        Factura de compra  bienes o servicios entre un vendedor y un comprador. Sirve como un registro legal
                                         de la transacción y es esencial para la contabilidad, la declaración de impuestos y el
                                         seguimiento de las finanzas del vendedor y del comprador. También se utiliza como
                                         prueba en disputas comerciales o reclamos de compra.

                                         En Ecuador, la facturación está regulada por el Servicio de Rentas Internas (SRI), el
                 Investigo               cual establece normativas específicas para la emisión de facturas en el país. Una
                                         factura contiene los siguientes elementos:
                 ¿Qué porcentaje se
                 detalla en la factura
                 para ciertos artículos
                 por concepto de IVA?
















                                                                                                                    https://n9.cl/y7snj





               158   Matemática
                     10.º EGB





         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   158
                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   158                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="29"><![CDATA[Taller

                  De acuerdo con la información, responde las siguientes   c)  Solo el monto total de la transacción.
                  preguntas.                                            d)  El  nombre  del  comprador  y  la  dirección  del
                  1.  ¿Por qué es importante mantener copias de las         vendedor.
                      facturas de compra?
                                                                     3.  Determina el valor de verdad de las siguientes
                      a)  Para tener un registro legal de la transacción.  proposiciones.

                      b)  Para realizar ventas adicionales.             a)  p: La factura comercial registra información
                      c)  Para evitar la emisión de facturas.               personal de compradores.            ( ____ )
                      d)  Para reducir los costos de contabilidad.      b)  q: La factura sirve como prueba en casos
                                                                            de disputas comerciales.            ( ____ )
                  2.  De lo que ves en la imagen,  ¿qué información
                      obligatoria debe incluir una factura de compra en   c)  r:  Es importante mantener las copias
                      Ecuador, según las regulaciones?                      de las facturas.                    ( ____ )
                                                                        d)  s: El SRI regula la facturación en Ecuador.  ( ____ )
                      a)  Solo la descripción de los productos o servicios.
                                                                        e)  t: Las facturas comerciales solo contienen
                      b)  El nombre del vendedor y del comprador, el nú­
                         mero de identificación fiscal, la descripción de   información de interés para el vendedor.  ( ____ )
                         los productos o servicios, la fecha de emisión y
                         el monto total.


                  4.  Halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. Para ello, primero simboliza las
                      proposiciones simples, luego escribe la proposición compuesta de acuerdo con la operación lógica.
                      a)  La factura comercial registra información personal de compradores y vendedores.
                         ______________________________________________________________________________________________________

                         ______________________________________________________________________________________________________
                         ______________________________________________________________________________________________________
                      b)  Un documento sirve como prueba en casos de disputas comerciales entonces si y solo si es una factura.
                         ______________________________________________________________________________________________________
                         ______________________________________________________________________________________________________
                         ______________________________________________________________________________________________________
                      c)  La factura contiene información del vendedor y no es regulada por el SRI.
                         ______________________________________________________________________________________________________
                         ______________________________________________________________________________________________________
                         ______________________________________________________________________________________________________
                      d)  Si el Banco Central regula las transacciones financieras, entonces regula la emisión de facturas.
                         ______________________________________________________________________________________________________

                         ______________________________________________________________________________________________________
                         ______________________________________________________________________________________________________
                      e)  La factura sirve como prueba en casos de disputas comerciales si y solo sí es importante mantener las
                         copias de las facturas.

                         ______________________________________________________________________________________________________
                         ______________________________________________________________________________________________________
                         ______________________________________________________________________________________________________


                                                                                                      Matemática  159
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   159
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   159                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="30"><![CDATA[DUA
                      	                          Textos y lecturas                            Participación
                                                 desde la Internet

               Un gran asteroide acompañará a la Tierra durante 4 000 años



               ©Shutterstock


















                                                                                              De 1 kilómetro de
                                                                                              diámetro, este troyano
                                                                                              es el segundo conocido
                                                                                              que escolta a nuestro
                                                                                              planeta.










               “La Tierra tiene un nuevo compañero en su camino. Un  predominantemente compuesto de carbono y, según
               equipo internacional de astrónomos, dirigido por el  los cálculos, este cuerpo fue capturado hace unos 600
               investigador Toni Santana­Ros, del Instituto de Ciencias  años y nos acompañará durante al menos 3 500 años
               del Cosmos de la Universidad de Barcelona (ICCUB),  más. No se sabe con seguridad su origen, pero se cree
               ha confirmado que un asteroide de más de 1 kilómetro  que podría provenir del cinturón de asteroides. El
               de diámetro comparte órbita con nuestro planeta  2020XL 5, situado a unos 150 000 000 km, en absoluto
               alrededor del Sol, una trayectoria que mantendrá  puede resultar peligroso.
               durante 4 000 años. Este troyano, como se denomina a   Por su tamaño, los investigadores creen que 2020 XL 5
               este tipo de objetos, es el segundo terrestre conocido.  y otros troyanos podrían convertirse en bases ideales
               Los asteroides troyanos, cuya existencia fue predicha  para una exploración avanzada del Sistema Solar,
               hace 200 años por el matemático Joseph­Louis  incluso podrían convertirse en una fuente de recursos.
               Lagrange, son cuerpos pequeños que se encuentran   Precisamente, el pasado  octubre,  la NASA  lanzó la
               en uno de los dos puntos estables en la órbita de un   misión Lucy mucho más lejos, hacia los asteroides
               planeta alrededor del Sol. Aunque estas rocas se   troyanos de Júpiter, adonde llegará dentro de doce
               conocen desde hace décadas en Venus, Marte, Júpiter,   años. Estas rocas tienen un gran interés científico, ya
               Urano y Neptuno, no fue hasta 2011 cuando se      que son un remanente de los comienzos de nuestro
               descubrió el primer troyano  terrestre,  2010  TK7.  De   Sistema Solar, hace unos 4 000 millones de años”.
               unos 300 metros de diámetro, se puede quedar dando
               vueltas junto a la Tierra unos largos 10 000 años.        Fuente: De Jorge, J. (02 de 01 de 2022). Un gran asteroide
                                                                           acompañará la Tierra durante 4 000 años. Obtenido de
               En diciembre de 2020, los astrónomos dieron con el    https://www.abc.es/ciencia/abci­gran­asteroide­acompanara­
               asteroide 2020 XL 5, un troyano tres veces más grande       tierra­durante­4000­anos­202202011736_noticia.html
               que el primero terrestre, es un asteroide de tipo C,


               160   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   160                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   160]]></page><page Index="31"><![CDATA[ó


                    Después de realizar la lectura de 'Un gran asteroide acompaña la Tierra', responde las siguientes preguntas.
                    1.  ¿Sobre qué trata el artículo?
                       _________________________________________________________________________________________________________


                    2.   ¿Cómo fue bautizado este asteroide y cuál es su diámetro?
                       _________________________________________________________________________________________________________


                    3.   ¿Durante cuánto tiempo se espera que este asteroide acompañe a la Tierra?
                                                                                                                       ©Shutterstock
                       __________________________________________________________________________


                    4.   ¿Cómo se llaman este tipo de asteroides y quién predijo su existencia?
                       _________________________________________________________________________________________________________


                    5.   ¿Cómo valoras este tipo de artículos?
                       _________________________________________________________________________________________________________


                    6.   ¿Cuáles son tus argumentos, a favor o en contra, acerca de lo que dice el autor que en lo absoluto puede
                       resultar peligroso este asteroide?
                       _________________________________________________________________________________________________________








                    Actividad personal

                    1.  Investiga en Internet acerca de los asteroides troyanos. Elabora una ficha técnica con los datos que puedas

                       obtener y compártela en clase.
                    2.  Averigua quién fue Joseph­Louis Lagrange. Anota aspectos relevantes acerca de su biografía. Conversa con
                       tus compañeros sobre sus aportes a la ciencia.

                    3.  Toma de la web diferentes imágenes sobre el tema y elabora un collage.
                    4.  Investiguen sobre los asteroides en general y, luego, realicen en clase un conversatorio. ¿Cuántos asteroides
                       han caído sobre el planeta? ¿Qué sucedería en un eventual impacto?

                    Actividad colaborativa
                    5.  Formen grupos y utilicen las TIC de su preferencia para crear una infografía
                       digital que resuma la lectura anterior. Presenten su trabajo ante el resto de
                       la clase. Tomen en cuenta las siguientes recomendaciones:                                       ©Shutterstock
                       •  Debe haber un organizador gráfico.
                       •  Hay que incluir imágenes.

                       •  Los textos deben ser concisos y precisos.
                       •   Hay que citar las fuentes de donde se obtuvieron textos e imágenes.  Planeta Tierra y asteroide


                                                                                                      Matemática  161
                                                                                                         10.º EGB





         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   161                                                                       22/11/24   17:01
                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   161]]></page><page Index="32"><![CDATA[DUA
                Evaluación sumativa                                                         Acción y expresión




               1.  Expresa    simbólicamente    las   siguientes   3.  Desarrolla las tablas de verdad de las siguientes
                   proposiciones compuestas. Sugerencia: simboliza    proposiciones compuestas y  determina si son
                   primero las proposiciones simples y luego          tautología, contradicción o contingencia.
                   relaciónalas con el operador lógico.               a)  (p ∧~q)   (~p ∨ q)
                   a)  Un cuadrado es un cuadrilátero y un paralelo­
                      gramo.                                                 p       q     p   ~q         ~p   q
                      _____________________________________________

                   b)  3 es un número primo e impar.

                      _____________________________________________
                                                                      Es una __________________________________
                   c)  Un triángulo equilátero es a la vez isósceles.
                      _____________________________________________   b)   (p   q)   (p ∧~ q)


                   d)  Quito es la capital del Ecuador o de Pichincha.        p       q    p    q          p  ~q
                      _____________________________________________

                   e)  36 es múltiplo de 4 o de 9.
                      _____________________________________________

                                                                      Es una __________________________________
                   f)  6 es divisor de 12 o de 60.
                      _____________________________________________
                                                                      c)   (¬p ∨ q) ↔ (p → q)
                   g)  Si no tienes el pasaporte vigente, entonces no         p       q   (¬p ∨ q)       (p → q)
                      podrás viajar.
                      _____________________________________________

                   h)  Si Mateo no aprueba o no resuelve este proble­
                      ma, entonces, es falso que haya estudiado o que
                      domine la deducción lógica.
                      _____________________________________________     Es una __________________________________

               2.  Lee y analiza.                                  4.  Si  ∨p  ( →q  ) r  es falsa,  determinar los valores de
                  Determina  la fórmula lógica de la proposición      verdad de p, q y r.
                   compuesta, si las simples son:
                                                                      a)  VVV
                  p: Pepe es hermano de Lali
                                                                      b)  VFV
                  q: Cecy es prima de Luis
                    Si Pepe no es hermano de Lali, entonces Cecy es   c)  FVV
                  prima de Luis.
                                                                      d)  FFF                                ©Shutterstock
                  Escoge la respuesta correcta.
                   a)  ⌐ (p → q)            c)  p → q
                   b)  ⌐ p → q              d)  ⌐ p → ⌐ q


               162   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   162                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   162]]></page><page Index="33"><![CDATA[5.  La proposición (p   q) es igual a:              8.   Identifica el valor de verdad de cada fórmula lógica.

                      a)  (p   q)                                        a)  ( ⎣  p↔q)∧r ⎤ → r → q) si los valores de vedad
                                                                            ⎡
                                                                                      ⎦ (
                      b)  (q   p)                                           de la preposiciones p, q y r son F F V respectiva­
                                                                            mente.
                      c)  (~p   q)
                      d)  (~p   q)

                  6.   Selecciona el valor de verdad correcto.
                                                                                        ⎦ (
                                                                         b)  ( ⎣ ⎡  p→∼ q)∨r ⎤ → ∼ r∨q) si los valores de ver­
                      a)  V   F = V
                                                                            dad de las proposiciones p, q y r son V F V, res­
                      b)  F   F = F                                         pectivamente.
                      c)  V   V = V
                      d)  F   V = F

                  7.   Simboliza la proposición compuesta para cada
                      enunciado y determina su valor de verdad.          Coevaluación
                                                                      9.  Determinen, sin realizar la tabla de verdad, el
                      a)  Si 4  = 16 y 4 · 4 = 16 entonces  16  = 4      valor de verdad de la siguiente fórmula lógica:
                            2
                                                                         si p, q, r y s son V, F, V, F, respectivamente.
                         _____________________________________________
                                                                          p (  q)    r    q
                      b)  No es cierto que si Guayaquil es la ciudad más
                         grande o la más poblada, entonces es la capital
                         del Ecuador.
                         _____________________________________________

                      c)  Un cuadrado es un cuadrilátero o un paralelo­
                         gramo si y solo si tiene sus diagonales iguales.
                                                                      10. Expreso  mis  emociones.  Si ves a un compañero
                         _____________________________________________   con problemas de sociabilidad, acércate a él e
                                                                         intégralo a tu grupo de amigos. ¿Qué otras
                      d)  Si la Luna es un satélite y gira alrededor de la   actividades puedes proponer para que se integre
                         Tierra, entonces gira alrededor del Sol.
                                                                         al grupo?
                         _____________________________________________



                    Metacognición para aprender a aprender        Responde en forma oral o escrita.
                                                               Contenido

                   ¿Cómo identificas las proposiciones en un enunciado dado?

                   ¿Qué estrategias utilizas para analizar y simplificar expresiones lógicas complejas?
                                                                                                                        ©Shutterstock
                   ¿Cómo sabes cuándo aplicar las leyes lógicas en un problema?
                   ¿Cuáles son las dificultades comunes que encuentras al resolver problemas de lógica
                   proposicional?
                   ¿Cuándo debes utilizar tablas de verdad y cuándo puedes simplificar una expresión
                   sin necesidad de recurrir a ellas?



                                                                                                      Matemática  163
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   163
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   163                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="34"/></pages></Search>
