2 ()] = x→ b) lim ffx()+gx()+ c[ [ffx c b) x→ lim ffx()+ gx()] = 5 5 gx()] = 5 _________ x x x→c→ c→ c 3 y 3 c) lim( [ lim( [ )( )( 2 )] = 6 6 6 3 3 3 3 fx gx)] = 6 3 3 3 c) fx gx)] = 6 x→ c) lim( [fx gxlim( [ c c) c[fx)( )] = c) x→ fx gxm( )( gx)( )] = _________ li c) 2 fx ()   x x x→c→ c→ c 3 2 2 2 2 fx ()  d) lim lim   fx = 3 1 = () 3 3  fx ()  fx ()   3 d) gx ()  d) c d)  x→ lim c      gx ()   d) x→ limd) lim 2  = = = _________ gx () 2 2 2 x→c→ c→ c  gx ()       2 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x x x gx ()      –1 3 1 3 5. 5. lim( )fx = ; lim( ) = 1 –2 gx 5. lim( ) = 3 3 3 ; lim( ) = 1 1 1 fx gx c 5. lim(fx) x→ 5. lim( )fx = = ; lim(fx 2)= x→ ; lim( )gx = = 2 2)= c ; lim(gx)gx 5. lim( 2 x→ x→ c c x x x x x→c→ c→ c ( )] ( )] a) lim fx = 6 2 2 2 x→c→ c→ c 2 2 2 a) a)lim f x() = 3 ___________ [4 [4 a) a) lim fx = 6 _________ ( )] x→ a) lim fx = 6 6 c a) lim[4 ( )fx ] = c[4 ( )fx ] =6 a) lim[4 x→ [ x→c→ c→ x x x→0 f xim () = 3 a)l c [ b) lim fx ()+ gx ()] = 2 a)l x→0f xim () = 3 b) lim fx ()+ gx ()] = 2 No existe b)lim c b) lim fx ()+ ()] = x→c b) lim fx ()+ gx ()+gx() ] = 2 2 b) b) lim c[ gx ()] = 2 _________ b) b)l x→0 f x() = No existe x→c[ [fx x→2f xim () = ___________ x→c x→c c c c 3 b)l x→2 f xim () = No existe x→c [ [ fx gx)] = c) lim( )( 3 cf)( ) = 32 →2 fx gx)] = 3 3 3 x lim( )( c) c) c) [ 4 = c) cf)( ) = 32 ___________ cf)( ) = 32 x→ fx gx)] c c) lim( [fx gxlim( )( )] = c[fx)( c) x→ lim( )( gx)] = _________ 4 4 4 x→ x→ c 4 x→c c  fx()  fx ()   = 3  d) lim  lim fx ()   = 3  fx () fx  () d)  = = gx() d) d) c d) lim c c gx ()  = 3 3 3 _________ Indaguemos x→ lim d) lim   gx ()    x→       gx () gx ()          x→ x x→c c→ 10. Indaga qué otras aplicaciones tienen los límites. Matemática 3.º BG 21/8/25 12:49 Matematica 3 BG Cultiva.indb 47 Matematica 3 BG Cultiva.indb 47 21/8/25 12:49]]> 2  determinemos los valores de a y b que aseguren la existencia de los límites: fx lim( ) y lim () Socioemocional fx x→−1 x→2 Paso 1. Para que lim( )fx exista, deben Paso 2. Para que lim( )fx exista, deben existir La constancia es como un x→−1 x→2 músculo que se fortalece existir los límites laterales y estos deben ser los límites laterales y estos deben ser iguales. con cada desafío iguales. superado. En cada paso fx fx lim( ) = lim () lim( ) = lim () x→2 − x→2 + persistente hacia nuestros fx fx ( ( 2 1 x→−1 − x→−1 + lim x + ) = lim bx + ) 6 objetivos, encontramos ( ( lim ax + ) = lim x + ) 1 x→2 − x→2 + el camino hacia el éxito 2 5 x→−1 − x→−1 + 41 b + 6;; b = −1 y la realización personal. += 2 a 5==+11; a −+ = 3 2 ¿Qué logros podrías alcanzar si mantuvieras la constancia incluso U nidad de conocimientos cuando no ves resultados inmediatos? Límites con indeterminaciones de la forma 0/0 0 Si al evaluar un límite obtenemos se trata de una forma indeterminada, la cual se 0 evita factorizando, racionalizando la expresión o efectuando operaciones algebraicas adecuadas. Resolvamos algunos ejemplos paso a paso. 2 2 x −25 x − 4 x + 4 3. lim 4. lim x→−5 x +5 x→2 x −2 Paso 1. Evaluamos el límite. Paso 1. Evaluamos el límite. Matemática −+ 4 2 (−5 ) −25 0 48 0 detminado er er detminado lim == in indeterminado lim == in indeterminado − ) 5 x→−5 (−+5 0 x→2 22 0 Una indeterminación es Paso 2. Factorizamos el numerador y Paso 2. Factorizamos el numerador una expresión que no se simpli camos. y simpli camos. puede evaluar directamente y cuyo valor ( x − ) ( x + ) 5 ( x − ) 2 2 no está definido. Son 5 lim lim = lim(x −2 ) x→−5 x +5 x→ x −2 x→2 2 indeterminaciones: ( 22 lim x − ) =−5 10 =−= 0 0 ∞ x→−5 , ,∞−∞ 0 ∞ 0., ∞ 0 1 ,,∞ 0 ∞ 0 x +−32 6. lim x racionalizamos y 5. lim racionalizamos y x→0 x x→1 x −1 1 +−1 evaluamos. evaluamos. x +−32 0 x 0 lim = = indeterminado lim = = indeterminado x x→1 x −1 0 x→0 1 +−1 0  x +−  x +332+   x   1 ++1 32 x lim    lim    x→   x −1  x ++   x→0   1 +−    1 + x +1   + x 1 32  1  x − 1  1  x ( ++ ) 1 x 1  lim   = lim   = 2 3 2) x x → 1 ( − ( 1)x ++  4 x →0  x      Matemática 3.º BG 21/8/25 12:49 Matematica 3 BG Cultiva.indb 49 Matematica 3 BG Cultiva.indb 49 21/8/25 12:49]]> 0 lim( ) = 5 )fx = 5 f x→2 5 2 ( ) = 5 f 5 2 fx ( ) = 5 lim( lim( ) x→2 f ( ) = 5 f ( ) = 5 ______ 5 2 2 5 lim( ______)fx x→2fx = 5 = 5 y x→2 x→2 6  4  4 c) cf x) =  x , si x < 1 )( 2  2  3 x +1 , si x ≥1 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x − = = = = = lim ()= 4 ____ = im ) fx l ) fx fx 4 fx ____ () m( ) l fxim fx 4 ) lim( )= −4 −4 li lim( ) no existe existe m( li m( fx li fx 4 fx e exist no –2 xlim( lim( )fx = xlimlim lim + =() x lim( li m( no ____ ++ ()fx ()fx()fx = x→−11 x→−1 )fx = )fx =4 lim( )fx =4 x→−11 x→−1 )fx = −4 −4 no exist no existe e →−lim( x→−11 x→−1 = 4 = no existe −− lim( )fx = −4 − →− →− = = x x lim( lim(fx4 ) x x()fx ()fx ()fx limlim lim lim( x x lim( )fx = −4 no x→−1→−1 →−1= 4 = 4 lim( no existe existe − + − − –4 x→−1→−1 →−1 )fx = −4 lim( )fx = −4 + + + x→−1→−1 →−1 )fx =)fx = no existe lim ()= 4 lim( =4fx= ) ()im lim( )= 4 4 x→−1 x→−1x→−1 + lim( )= 4 fxfx =() l im fxfx l ) m( li fxfx = 4fx m( ) − lim( )= 4 4fx= 4 x→−1 x→−1x→−1 − − + li x→−1 x→−1x→−1 x→11 ()= 4= 4 ____ lim fx = 4 x lim( ) fx fx lim( ++ fxfx() x limlim x→1() x→1fx 4 x→11fx = 4 )= 4 lim( )= ____ − → −− x→1 → –66 x→11 fx = 4 ____ lim( )= 4 lim( )= lim + + + li xm( ) fx 4 → lim ()()fx= lim(m( fx= = lim( lim( fxfx4 x→1x→1 x→1 )= 4 )= 4) 4 fxfx lim x→1x→1 x→1 )= 4 )= 4) 4 li lim( fxfx lim( fx x→1x→1 x→1= 4= () 4 − − + − fx fx no existe no existe fxfx lim () limm( fx limm( + − x + lim ()=13 lim( )=13 fx =13 →1x→1 x→1 − − limm( )=2 lim ()=2 )=2 →1 x→1 –8 x→1x→ fx)=fx x→1x 1 x→1 + lim( )=no existe fx lim( ) = no existe x→2= ++ fx ()=1 = x limm( ) fx → lim( ) fx −− fxfx = ) x→22 limm( )=2 2 lim fx=2 x lim( ) no existe x→22 lim ()=13 3 lim( )=13 x lim fx() → limm( x→22fxfx =no existe − + → x→2 x→2 limm( fxfx x→2x→2 x→2 ()=13 3 lim( ) limm( lim fx ()=1 ____ limm( )fx lim( )=no existe ____ x→2x→2 x→2 )=no existe fx=13 fx ____ lim fx= ) + − − –10 x→2x→2 x→2 )=2 2 =2 + lim () lim( fxfx =no existe − + = = = 4 4 1 4 ff ( =13 =13 ( 13 ( f −−= −1)−−= −1) ( f −−=1) 4 − − 4 x + 1) + = 4 f( f x→2 f f ) ) 2 2 + − − x→2 2 ( )) x→2 →2 1 ( ) ( x→2 x→2 ( f x→2x→2 x→2 = 4 f f =13 =2 13( )f 4 ( f −−= −1) ( f −−= −1) ( f −−= −1) 4 f 1 ( ) 1 4( )f 1 4( ) ( 1 = ) = 4 2 ( ) 2( )f =13 =13 =13 4 = = 4 f f ( ) 1 ( ) 1 4( )f − =13 4 f = 2 2 ( ) 2( )f 4 4 f ( f −−= −1) ( f −−= −1)( f −−=1) Determina: 4. A partir de la grá ca determina si existen o no los f x() = −5 f x() = _______ a a)lim a) a)lim f x)lim () = −5 −5 siguientes límites. x→−1 − − − i) y x→−1 x→−1 fx) = −5 −5 _______ fx) lim( lim( fxlim( ) = = −5 5 x→−1 + + + x→−1 x→−1 lim( _______ 4 lim( fxlim( ) = = fx) = −5 −5 −5 fx) x→−1 3 x→−1 x→−1 f x() = −6 _______ b) b)lim f x)lim () = −6 −6 2 f x() = b b)lim x→ −− − x→00 →0 1 x fx) = 3 = 3 _______ fx lim( lim( fxlim( )) = 3 x→ ++ + x x→00 →0 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x no existe no existe lim( fxlim( fxlim( no existe –1 fx) = ) = ) = ________ x→ x x→00 →0 –2 2. Gra ca la función por partes en GeoGebra y calcu- –3 3 3 la los límites. == = ____ lim= a a f x()x() = a f lim f xlim () = −3 f x() f x) = −3 im f x) = −3 −3 f x) −3 f a)a)lima)lim () f x)lim f x)lim () = −3 f x)lima)lim f x() = −3 lim(f x() = −3 lim(= −3 f x = ____ −3 lim( f xlim( ) = lim ()=xlim( ) −3 lim() () = −3 −3 f x() = −3 −3 = ) − x lim( 3 3 − − ____ 3 x l , 3 x +5 si x < −1 a x x→0 f xim () = −3 f xim () = −3 f xim () = −3 x→0x→0 f − − − x→ x→0 x0 f + + + x→ x→0 x→0 )l x→0f xim () = −3 f x() = −3 f xlim () = −3 a)l)l a x→0 f xlim( ) = −3 f xm( ) = −3 f xlim( ) = −3 0 l lim 0 li →0→ x→0→0 x x − − − →0 + + →0 + x→ x→0 x 0 x→00 f xim () = −3 f x() = −3 x→00 f xim () = −3 f x() = −3 −3 x a)lim − − − f x() = −3 + + + f x) = −3 )l x→00 f xlim( ) = −3 f xm( ) = −3 a)lim a  b)lim b)lim fx x lilim( 1 x→0x→0 →0 lim fxlim =1 xl lim f xlim () = → x → 0 → → → → x x 0 0 fx =1 im fx=1) fx =1) =1)fx) fx =1 =1() fx =1() =1()fx =1() b)lim fx =1()fx =1() fx =1() fx =1() =1()fx =1() xlim b)limim )l b lim(fxlim( x→0x→0 →0 lim( fxlim( xlim( limfx() ) b)lim lim( − − − + + + 2 , x→0 x→ x→0 0 fx () =  x +1 si -1 < x < 2 b) b)limb)limb)lim − − →2 − x→ x→2 x2 fx + ) = l lim () = 1 ____ lim x→2 fx =1m( )fx =1m( )fx =1lim( ) x x→2 fx =1()fx =1()fx =1() x→2fx =1im ()fx =1()fx =1lim () 2 l ____ + + − − + li li x→2 → ____ x→2x→2 − → x x x x →2x x→ x→2 x→2 x x x→ x→2 x2 x + + →2 x x→22fx =1()fx =1() =1() + + + fx) x x b)lim → fx() 2 im b)lim )l li im  6 − x, si x > 2 b c)l)l x x 2 → 2 − − − − fx x x→22 fx =1lim( )fx =1m( ) =1lim( l xl l x→22 fx =1im ()fx =1() =1im no existete → x → → 2 → 2 x c)lim fx()=fx() = 2fx() = 2fx() = 2fx()fx() x lim no existe t s t = 3 im lim x→2x→2 →2lim fxlim = 3 ximim fx()==fx() =fx() = no() =fx() c fx)== 3) = 3fx) = 3)fx) exi s 2 te exi lim( c)lim l no no existe t t fx t 3 = no existe − −  c)lim c)lim − = 2 lim(fxlim( x→2x→2 →2lim( fxlim( = 2 x lim( + ) = 3 x limfx() = no existete t + + + x x→ x→2 x x→2 2 = = t no s s x → →3x liml exi exi t t →3fx()=fx()fxim () te 3 no 3 xlim 2 c)limim 2 x→33 x→3 fx()=fx()fx() im )l = c →3 fxm( )=fx)fxm( ) + + − − − − →3→ x → →3x li lim(li x3x + → c x→3→3 → → )l x → x → x→3 + + →3 − → x→ → c)c)limc)lim − − − = 2 →3x xli →33 fxm( )=fx) = 3fxm( ) = 3 im 3 →3x3 = no existe 3 li t l t no no existe 3 x→3→3→3fx()=fx() = 2fx() 3 ____ 2 c)lim →33 fx()=fx() =fx() = 2 te xlim x t x→ lim x→ lim( exi s ____ ____ + + + → x → → → → 3 x x = x x → →3xlimlim b b)lim x→33 →3 f x f x= 5 f x () f x x () = 5() = 5 →3lim(=lim( f x= f x () = 5 () 5 d)lim () = 5 lim(= 5 d)lim () = 5 =5 5 = 5 f x() d)l f x() = 2 _______ d)lim fd)lim x→ xim f x) = 5 lim= 5 f x) = x) 5) = 5 f x() = 5 _______ f x() = a a)lim a) a)lim f x)lim () = 2 = 2 b) b)lim f x)lim () = 5 = 5 d)lim () lim(lim(f f x → →3xlim( f x) = 5 x) x lim () = 5 lim () f x () = x ()5 →3 f lim ff x = == = x x − − − + + + x → → 3 → x 3 = = x→ x→4 f x x→ x→4 xf x + lim(x) = 5 f x→4f x () = 5 () =lim () x→4 f x) = 5 f x) = 5 − f + + −− − x→4→4 f − − x x→2 x x→−1 x→ x→4 x4 d)lim)lim)l →4x→ x→4→ x→−1 − x→2 − − dd x x→4 f x () = 5 f x () = 5im () = 5 li 4 lim(m( + lim = = =5 5 4 limf x→4 − x4 x→2 − − →4 + + →4 x→−1 = 4 dd)lim =5 xlim x f x () x lim x→44 f x) = 5 f x) = 5 f x) = 5 x→44 f x () = 5 f x () = 5 f x () = 5 → lim x→44 f x () = 5 () = = 5 xlim(m( lilim( → − − − → → → x fx 4 x x 3 f x→4x→4 →4=2()−3 ____ f0 () f xx x 0()f 1 ____ 0 ()== −30 () →4→4 →4 =0f() = −3 f=0 () 3 3 3 =3 3 3 2 =2 () =2()____ − fx) = 4 = 4 _______ lim( lim( fxlim( ) = = 2 lim( lim( fxlim( )) = 4 d) f d)lim)lim → 4 = −3 f()=1 f () =−3 f 2 f() + + + =1 f()==1 f x→4x→4 →4 3 f() = 31 f()=1 f() 4f = 3 3 fx) = 2 2 _______ fx) 3 3 f () f () + + − + − − 2 x x = =1 f()== = − 0 ()= − 3 () () 0 2 3 3 f 3 2 2 f f f () 1 3 3 + ++ x→−1 + x→2 + + ff f 0()() = −3 f()=1 f f () 3 = 3 x→2 x→−1 x→2 x→−1 − = 3 3 f0() =1 f()= = 31 f() 0 ()= = −30 () = −3 f()=1 f 3 f() 3 f 2 3 2 =2 () () 3 no exist no existe fx) = ) = ) = ________ fx) lim( lim( fxlim( ) = lim( fxlim( fxlim( no existee fx) = 2 2 = 2 _______ x→−1 x x→−1 x→2 →2 ii) De acuerdo con el análisis de la grá ca y los x→−1 x→2 3. Dadas las siguientes funciones por partes, sin tra- límites calculados en el literal i) encuentra la zar la grá ca, determina los límites indicados. función por partes 2 3 x −1 , si x <2 )( a) af x) =   x +9 , si x ≥ 2 ___ = = = lim( ) =111111 ___ () lim( ) =11 l im fx fx = ___ li li fx fx ) = = 11 fx ) m( 11 m( 11 11 lim () =11 m( m( fx fx ) ) fx li im l () fx li − − − + + + x x x x x x→2→2→2 x→2→2→2 x→2→2 →2 x Matemática 3.º BG Matematica 3 BG Cultiva.indb 50 21/8/25 12:49 Matematica 3 BG Cultiva.indb 50 21/8/25 12:49]]> 2 c) lim =  2 x→0 x ++−5 1 c) lim x 5 = 25 x→0 x 25 determina los valores de a y b que aseguren la x +− 1 1 1 +− 12 12 x x +− 12 fx d) lim = = = existencia de los límites: lim( ) y lim ()fx d) lim d) lim x→2 x x x x→−1 →3 −3 3 3 x →3x →3x d) d) lim x − − +−12 = 4 4 4 1 _________________________________________________ −3 12 x →3 x x+− 4 1 d) lim = −3 12 x →3 x x +− 4 1 7. Resuelvan e interpreten la solución del siguiente d) lim = →3 x 12 −3 x d) lim x +− = 1 4 problema. x →3 x −3 4 La velocidad permitida v(x) en (km/h) en la función 1 1 1 − − − 1 1 1 + x x x 1 3 3 e) lim 3 + + 1 − 3 3 3 = = = −1 −1 −1 de la posición x (en km) a lo largo de una carretera e) lim e) lim está dada por: + x x →0x →0x →0 3 1 x x x 3 1 9 9 9 −1 e) lim − = x →0 3 + x 1 x 3 1 9 −1 80 , si x < 5 e) e) lim − =  , + x 1 x →0 3 1 x 3 9 −1 vx() =  60 si x = 5 e) lim − =  9 →0 x e) lim 3 + x x 3 = −1  40 , si x > 5 x →0 ( x ( x ( x 2 2 2 9 2 2 2 Analicen los límites laterales de v(x) cuando x se x x x f) lim f) lim x +∆ ) − x+∆ ) − x+∆ ) − x x 2 = = = x 2 x 2 x 2 acerca a 5 km, es decir calculen e interpreten el f) lim x ∆x→0( 2 ∆x→0 x +∆ ) − x x ∆x→0 x f) lim ( ∆ ∆ ∆ x x x 2 x 2 = x 2 resultado de: ∆x→0 x +∆ ) − ∆ x x x f) lim ( 2 x 2 = x 2 lim( ), lim( ), lim( ). vx vx vx ∆x→0 x +∆ ) − · + − x x→5 x→5 x→5 f) f) lim ∆ x x x 2 x 2 = x 2 _________________________________________________ x ( ∆x→0 x +∆ ) − f) lim ∆ x = x 2 ∆ x ∆x→0 ( x ( x ( x +∆ ) − x+∆ ) − x+∆ ) − x 3 3 3 _________________________________________________ x 3 3 3 g) lim g) lim x x x 3 x 3 = = = x 3 x 3 x 3 2 2 2 _________________________________________________ g) lim ∆→0( ∆→0 x +∆ ) − x ∆→0 xx x g) lim ( ∆ ∆ ∆ x x x 3 x 3 = x 3 2 ∆ x x) − ∆→0 x +∆ x g) lim ( x x) − x 3 = x 3 2 Indaguemos 3 ∆→0 x +∆ x g) lim ∆ x 3 x 3 = x 3 2 x ( ∆→0 x +∆ ) − g) g) lim ∆ x = x 3 2 8. Investiga si la siguiente a rmación es verdadera x ∆→0 ∆ x o falsa: “Si una función es continua en un valor c, entonces existe el límite de la función en ese valor c”. Analiza el signi cado de continuidad y relaciónalo con la existencia del límite para justi car tu respuesta. Matemática 3.º BG 21/8/25 12:49 Matematica 3 BG Cultiva.indb 51 Matematica 3 BG Cultiva.indb 51 21/8/25 12:49]]> 0 es un número fx x→−∞ x→∞ racional, tal que x está r Signi ca que los valores de f(x) pueden aproximarse a L tanto como x sea su ciente- definida para toda x, mente pequeño o grande en magnitud. entonces: 1 1 lim Definición de asíntota horizontal x→∞ x r = ∞ r = 0 La recta y = L se llama asíntota horizontal de la curva y = f(x) si y solo sí: lim 1 = 1 = 0 lim( ) L= o lim () x = L x→−∞ x r ( −∞) r fx f x→−∞ x→∞ A cción y expresión Ejemplos paso a paso 2 x −1 1. Determinemos las asíntotas horizontales de la función: fx() = 2 x +1 2 x −1 Paso 1. Para la función fx() = el Paso 2. Gra camos la función. 2 x +1 dominio es , no tiene asíntotas verticales. y 3 x f(x) 2 –3,000 0,800 1 y = 1 –2,000 0,600 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x –1,000 0,000 –1 1 0,000 –1,000 –2 1,000 0,000 –3 2,000 0,600 –4 3,000 0,800 Paso 3. Calculamos los límites cuando x tiende a ±∞ y determinamos la ecuación de la asíntota horizontal. Digital 2 2 x −1 ∞−1 ∞ lim = = para levantar la indeterminación dividimos numerador y En la actualidad existen 2 2 x→±∞ x +1 ∞+1 ∞ infinidad de calculadoras 2 denominador para la variable con exponente mayor en este caso para x . online gratuitas que te x 2 1 1 1 permiten analizar el tipo 2 − x −1 2 − 2 1 − 2 1 1− 2 10 de asíntotas que tiene lim = lim x x = lim x = ∞ = = 1 ; la asíntota horizontal es y = 1. + 2 x→±∞ x +1 x→±∞ x 2 + 1 x→±∞ 1 + 1 1+ 1 10 una función. x 2 x 2 x 2 ∞ 2 Para que puedas practicar La as ntota horizontal es y = 1. puedes ingresar al siguiente 2. Determinemos las asíntotas verticales y horizontales de la función: fx() = x 2 enlace: 3 − x lynk.ec/13mtc05 Asíntota vertical Dominio  −{}3 Asíntota horizontal () x 2 32 6 x 2 2 ∞ ∞ lim = = = +∞ ; lim = = ; indeterminado − x→3 3 − x 33 0 x→±∞ 3 − x 3 −∞ ∞ − () x 2 32 6 x 2 lim = = = −∞ − x→3 3 − x 33 0 lim x 2 = lim x = lim 2 = 2 = 2 − ; + 3 − asíntota vertical. x = 3 es as ntota vertical. x→± ∞ 3 − x x→ ±∞ 3 − x x→±∞ 3 − 1 01 x x x Asíntota horizontal y = –2 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:50 Matematica 3 BG Cultiva.indb 55 21/8/25 12:50 Matematica 3 BG Cultiva.indb 55]]> LL ≠⋅∞ ( Límite de la resta lim a − ) =− ⇔⋅ 2 0 * k⋅∞ = ∞ k 0 b L L 1 x→∞ n n 1 2 * k⋅∞ = −∞ ; < k 0 ⇔− L ≠∞ −∞ Límite del cociente lim   a   = L 1 * * 0⋅∞ = Ind. L n 2 1 x→∞  b n  L 2 * ∞⋅∞= ∞ L 0 ⇔ 1 ≠ * k ∞= 0 A cción y expresión L 2 0 * ∞∞ = Ind. * 00 = Ind. Ejemplos paso a paso 1. Sean a {} {} sucesiones de nidas como: b y n n 2 2 3 n +10 n n ++1 n ( a = y b = ; ∀∈ ; halla lim a + )  b n n 2 n +5 n+15 n 10 n +3 n+5 x x→∞ n n 2 Calculamos el límite de cada sucesión y sumamos. ( 2 2 b n 3 n +10 n n ++1 lim a + ) = lim = lim = x→∞ n n 2 2 x→∞ n +5 n+15 x→∞ 10 n +3 n+5 1 31 = n 3 2 + 10 n 3 + 10 n 2 + n + 1 1 + 1 1 + 1 3 + 10 10 lim n 2 n 2 = ∞ ∞ = 3 lim n 2 n 2 n 2 = ∞ ∞ 2 = 1 x→∞ n 2 + n 5 + 15 1 + 5 + 15 x→∞ 10 n 2 + n 3 + 5 10 + 3 + 5 10 n 2 n 2 n 2 ∞ ∞ 2 n 2 n 2 n 2 ∞ ∞ 2 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:50 Matematica 3 BG Cultiva.indb 61 Matematica 3 BG Cultiva.indb 61 21/8/25 12:50]]>1 Paso 1. Analizamos la continuidad en x = –2 Paso 2. Analizamos la continuidad en x = 1 + 2 ) n f 2 i)(−= 3 m(−+ =−6 m n i)( )13 m( )+ n 3 m n ) + = = f 1 + + ii) lim( xm) = lim (3 mxxn) ii) lim(3 mx n)lim(3 x 2 n) ) + = + x→−2 − x→−2 + x→ 1 − x→ 1 + + −+ m =−6 m n 3mn+= 3 2n 2 + −= 7 mn 2 3m− 3n = 3 ÷ ; 3 mn = 1 − Paso 3. Resolvemos el sistema de ecuaciones Paso 4. Escribimos la función con los valores que hacen que  7mn−= 2 sea continua.   1  mn−= 1  x + , si x < −2 −= 7mn 2 mn−=1  6  mn =− −+ 1 1 fx () =  2 1 x − 5 , si − ≤≤2 x 1 6 n 6m = 1 6 −=1  5  > 1 −5  3 x + , si x >1 m = n =  3 6 6 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:50 Matematica 3 BG Cultiva.indb 67 21/8/25 12:50 Matematica 3 BG Cultiva.indb 67]]> 0 ,  , fx () = 3 si x < 0    , 4 si x = 0 cuya grá ca es: y 7 3. Analiza la continuidad de la siguiente función. 6  x +8 3 5  , si x ≠−2 fx() =  x +2 4   3 3 3 3  , 2 si x =−2 2 a) Veri ca los tres pasos de continuidad para 1 x = –2. –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x a) Veri ca los tres pasos de continuidad para x = 0. b) La función f(x) es continua o discontinua en x = –2, en caso de discontinua diga de qué tipo. _____________________________________________ b) La función f(x) es continua o discontinua en _____________________________________________ x = 0, en caso de que sea discontinua expresa de qué tipo. c) En caso de que la discontinuidad sea removi- ble, rede ne la función original. _____________________________________________ _____________________________________________ c) En caso de que la discontinuidad sea removi- ble, rede ne la función original. 4. Para la función de nida como: 2  x +3 si x ≤1 ,  , fx() = 8  x −3 si 1< x < 2 realiza lo siguiente:   x +3 , si x ≥ 2 a)( f = =5 f ) 1 5 a)( f ) 1 = a)( ) 1 5 A) Usa GeoGebra y gra ca la función en tu 2. Sea la función de nida: b) b) lim( = = lim( fxlim( ) =5 fx) 5 5 fx) b) cuaderno. x→ 1→ 1→ 1 − − − x x x  , si x < 2 2 c) lim( fx) 5 5 lim( fxlim( ) =5 c) c) fx () =  , ¿es continua f(x) en x = 2? B) Completa los siguiente literales. + + + fx) = = x x  , 4 si x ≥ 2 x→ 1→ 1→ 1 x = x d) lim(x) ff f d) lim(x) = 5 5 x d) = = a) a)( ) 1 5 ______ d) lim(x) = 5 ______ a)( ) 1 5 f ) 5 f f a)(1 = x x a) Gra ca la función en tu cuaderno, usa x→ 1→ 1→ 1 = lim( fxm( ) = b) li b) b) fx) 5 5 = fx)) ) − fx) 5 ______ e) f(1) =e) f(1) ____ GeoGebra. b) lim( = e) e) f(1) = lim( fxlim( fxlim( x→− − x→ → x→1 x 1 1 1 x→1 x→1 = c) = 5 c) c) li lim( fxm( ) = f) g)( ) 2 = ______ f + fx) 5 lim( c) fx) 5 5 ______ x→+ + x x→ → 1 1 1 = lim( x d) lim(x) = x f f lim(x) = 5 5 d) d) lim(x) = 5 h) x→ 2 − fx) 13 f x x→ 1→ Matemática x→ 1 1 x fx) 5 fx) ) lim( fxm( = li e) f(1) e) f(1) = 3.º BG e) f(1) = lim( i) lim( = fx) + x→1 x→1 x→1 x→ 2 j) lim f(()x = no existe x→ 2 ≠ k) f(2) lim( ) fx x→2 21/8/25 12:50 Matematica 3 BG Cultiva.indb 68 Matematica 3 BG Cultiva.indb 68 21/8/25 12:50]]> 2 Actividad cooperativa Trabajen en equipo y resuelvan las siguientes actividades. 7. La función de costo de servicio de envíos por transfer se presenta por: x −3 6. Para cada una de las siguientes funciones encuen-  32 , si 0 <<   tra todos los puntos de discontinuidad si es el caso. cx() =  55 , si 1< x ≤ 2 2 x −3 2 2 2 x −3 2 x x − − x −3 3 3 x = af x) )( = )( af x) a) af x) = = = x +2 x −8  78 , si 2 < x ≤ 3 af af )( )( )( x) x) 2 2 2 2 2 x +2 x −8 x 4 − x x +2 x +2x+2x −8  101 , si 3 <≤ x −8 8  Donde c es el costo en dólares para enviar un paquete de peso 0 < x ≤ 4 en libras. x =−4 Discontinuidad en x =−4 y x = 2 a) Usen GeoGebra y gra quen la función. x = 2 y Discontinuidad en Discontinuidad en x =−4 x = 2 2 Discontinuidad en xDiscontinuidad en x =−4 x=−4 x y = 2 y y = x + 4 x + + bf x) = x + 4 x x + 4 4 4 )( bf x) = )( bf x) = = ) b) bf )( = x x + 4 )( x) x)( bf 2 2 2 2 2 x x + x x x x x x + 4+ 4+ 4 4 Continua en todos los nœmeros reales Continua en todos los nœmeros reales Continua en todos los nœmeros reales Continua en todos los nœmeros reales Continua en todos los nœmeros reales +  x 6 si x ≥ 3 x , + x  x 6 si x ≥ 3 , x x x ≥ ≥ x +  x + x 6 si x ≥ 3 3 3 x x  + 6 si , 6 si , )( , ) )  )( cf x =  c) cf x =  x, si x < 3 cf)( cf x =) x = )( ) ) )( cf x =   x, si x < 3  x x, si x <, si x, si x < 3 3    x < 3 b) ¿Para qué valores la función es discontinua? _____________________________________________ Continua en x = 3 Continua en x = 3 _____________________________________________ Continua en x = 3 Continua en x = 3 Continua en x = 3 2 x + 6 x +9 2 2 2 x + 6 2 x +9 x x + 6 + x +9 9 df x = ) )( d) df x =) x + 6x+ 6x +9 c) ¿Qué tipo de discontinuidad se presenta? )( df x = ) x = ) x = ) df )( df )( )( 2 x +2x − 2 2 2 2 2 x +2x − 2 15 x + + x +2x −15x −15x − 15 2 2 2 2 x 2 15 _____________________________________________ Nota: la grá ca que obtuviste se denomina función escalón, a causa de su forma. x =− Discontinuidad en x =− 5 x = y 3 3 3 Discontinuidad en y 5 x = 3 x =−5=−5x =− Discontinuidad en 5 x = 3x = y x = y Disc Discontinuidad en xontinuidad en y 3 x − x − − − 3 3 3 x x )( e) df x =) ) x − 3 Indaguemos df x = )( df df x) df x = = )(x = )( ) )( ) x + 2 x 2 2 2 2 x + x + x+ x+ x x 8. Son muchos los campos donde se aplica este tema. x x Investiga una situación real donde los límites o la continuidad se utilicen, como por ejemplo en me- dicina, en física o en economía. Comparte tus ha- llazgos con tus compañeros. Discontinuuidad en x = 0 y x = −1 Discontinuuidad en x = 0 y x = −1 Discontinuuidad en x = = Discontinuuidad en x = 0 0 0 Discontinuuidad en x y x = −1 y x = −1 y x = −1 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:50 Matematica 3 BG Cultiva.indb 69 Matematica 3 BG Cultiva.indb 69 21/8/25 12:50]]> 1 a) a)( f −= 0 _______ f) g)( ) 2 = _______ )(  ) 2 f 0 1 x, si > − 1 x g)( ) 2 = 0 a)( f ) 2) 2 g)( ) 2 = 0 g)( ) 2 = i)( ) =  a)( f −= 0 −= 0 a)( f f f f lim( f 0 11 a)( f −= 0 ) 2 fx) =1 f −= b) a)( f −= 0 = 0 0 h) g)( ) 2 = )2 fx) 0 lim( )2 = i)( 11 f ) = x→−2 fxlim( ) =1 ______ fx) =1 b) = 2 fx) 0 lim( h) − − x→−2 − fxlim( ) =1 = b) iii) lim( ) =1 ; lim( ) = 0 b) b) lim( g) h) x→ fxlim( ) 0 _______ h) fx fx x→ fxlim( ) 0 x→−2− fxlim( ) =1 − b) = − 2fx) =1 x→ − fxlim( ) 0 h)lim( b) 2 − fx = lim( lim( + →1 x iii) lim( ) =1 x→1 − − fx ; lim( ) = 0 c) x→−2 − fx) = 0 i) x→−2 + 2 2 − fx) 0 = x→ − x→ fxlim( ) 0 x→ i) x→−2 = fx) = + c) lim( i) x→1 2 fx) 0 _______ x→−2 fxlim( ) = 0 0 _______ x→1 + lim( ) = no existe c) c) x→−2 + fxlim( ) = 0 h) lim( = c) fx i) x→ fxlim( ) 0 = + x→ + fxlim( ) 0 0 2 fx) = i) lim( c) + 2 + lim( ) = no existe x→−2+ fxlim( ) = 0 c) lim(x) = 0 fx limfx() = x no existe j) x→ x→1 2 f + + x→−2 + lim(x) = 0 j) x→2 d) x→−2 2 no existe lim(x) = 0 j) x→1 d) d) limfx() = no() = no() = _______ i) j) x→− 2f f x x x existe d) limfx x→ x→ 2 d) limfx existe x→ flim(x) = 0 _______ limfx() = 2f x→ lim(x) = 0 no() = existe d) no existe 2 = fx) k) f(2) fx) 6. Halla los valores de a y b para que la función sea e) f(-2) 2 ≠ lim( d) j) limfx x li lim( x→ → 2 x x→ 2 2 2 x→ k) f(2) = x→2fxm( ) x→ x→ 2 x→ 2 fx) lim( k) f(2) = e) f(-2) e) f(-2) ≠ ≠e) f(-2) lim( fxm( fxm( x→− k) f(2) = continua en todos los reales, escribe la función de e) a)( f −= 0 ≠e) f(-2) ≠ li li x→− 2 2 2 2fx) ) ) j) k) f(2) = ____ x→2 fxlim( ) x→− fxlim( ) ≠ ) 2 ____ li x→2fxm( ) fxlim( ) e) f(-2) x→− x→2 x→− nuevo. b) lim( x→− 2 x→2 2 fx) =1 − x→−2  , 2 si x ≤−1 Contesta la rutina de pensamiento fx) = 0  c) lim( Veo 1 x 3 + fx () =  ax b,+ si − << x→−2 limfx() = d)  ¿Qué es lo que observas en la grá ca? no existe ≥  -2, si x3 x→ 2 lim( ≠ e) f(-2) fx) _____________________________________________________ x→− 2 a =−2 _____________________________________________________ b = 4 Pienso ¿Qué análisis puedes hacer de la grá ca? _____________________________________________________ _____________________________________________________ Coevaluación Me pregunto Trabajen en equipo la rutina de pensamiento ¿En qué puntos la función es continua? Veo – pienso – me pregunto. _____________________________________________________ 7. Sea la grá ca de una función dada como: _____________________________________________________ Metacognición para aprender Responde en forma oral o escrita. Observando la grá ca de una función, ¿puedo saber si el límite existe en un punto dado. Puedo decir con mis propias palabras: ¿qué signi ca que el límite de f(x) es L cuando x tiende a un valor a? Si un límite es de la forma indeterminada 0/0, ¿qué estrategias conozco para resolver estos casos? ¿Por qué es importante revisar si el límite existe antes de intentar calcularlo? ¿Qué errores pienso que son comunes al calcular límites y cómo puedo evitarlos? Matemática 3.º BG 21/8/25 12:50 Matematica 3 BG Cultiva.indb 73 21/8/25 12:50 Matematica 3 BG Cultiva.indb 73]]>