0 x a) Evalúa la función para f(−2) y f(1). b) Traza la gráfica de f. x x c) Sean fx() =−2 y gx() =+ 4, halla ⋅ ( fg x )() . 2. Encuentra el dominio de las siguientes funciones: ( a) Encuentra gf x()) si fx() = x y g x() = + . x 5 b) Dominio de la función: fx() = x −5 5. Simpli ca las siguientes expresiones racionales. 2 x + x 3 + 2 a) x −− 2 x 2 2 x +3 c) Dominio de la función: fx() = 2 x −9 x 2 2x −− 1 x + 3 b) ⋅ 2 x − 9 2x + 1 3. Para las siguientes funciones racionales, encuen- tra las asíntotas verticales y horizontales. 3 x +1 a) Sea fx() = x 2 x 1 + x −2 c) − x − 4 x 2 + 2 8 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:48 Matematica 3 BG Cultiva.indb 8 21/8/25 12:48 Matematica 3 BG Cultiva.indb 8]]> 0 y a ≠1, la función exponencial con base a está defi nida por: fx () = a . x Comunicacional La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a se llama función exponencial de base a y exponente x. El número ‘e’, también Gráficas de la función exponencial. Propiedades conocido como ‘número de Euler o constante de y y Napier’ es uno de los a > 1 0 < a < 1 números reales más relevantes, considerado como el número del y = a x cálculo por excelencia. 1 1 y = a x Su valor aproximado es: x x e ≈ 2,718 281 828 459 045 0 0 235 360 287 471 352 662 • El dominio de f(x) son los números • La función fx () = a . para 0 < a <1 x 497 757 247 093 699 95 reales. es decreciente. ] • El rango o recorrido es de 0,+∞[ . • La asíntota horizontal es y = 0. x Digital • La función fx () = a . para a >1 es cre- • La intersección con el eje y es en ciente. el punto (0, 1), no corta al eje x. Para que puedas graficar sin ningún problema, Función exponencial natural puedes utilizar el y x programa GeoGebra y Es la función exponencial: fx () = e , 6 trabajar de forma online: con base e. 5 lynk.ec/13mtc01 La función exponencial es conocida 4 formalmente como la función real 3 x e , donde e es el número de Euler, g: y = e –x 2 f: y = e x aproximadamente 2, 718 28… 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x 12 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:48 Matematica 3 BG Cultiva.indb 12 21/8/25 12:48 Matematica 3 BG Cultiva.indb 12]]> 0 y a ≠1 es biyectiva, es decir, tiene función in- versa. Para calcularla, intercambiamos x por y, e y por x; se obtiene: xa= y , o sea, Para graficar funciones y es el exponente al que hay que elevar una base a para obtener x. Si reemplazamos logarítmicas, puedes la palabra ‘exponente’ por la palabra ‘logaritmo’ se obtiene: emplear el programa GeoGebra online clásico. y =log x () si y solo sí x = a y En la entrada coloca a la función y = log(x), La función logarítmica con base a es la función inversa de la función exponencial puedes ingresar a través del siguiente enlace: con base a. lynk.ec/13mtc02 Gráficas de la función logarítmica y exponencial • El dominio de la función logaritmo son los reales positivos, es decir, no existen y y = a x logaritmos de números negativos. = = = 6 y y y = x • El rango o recorrido es el conjunto de los números reales. 4 • La función y =log x () corta al eje x en el punto (0, 1); no corta al eje y. 2 y = log (x) a (0, 1) a (1, 0) • La asíntota vertical es x = 0, es decir, el eje y es asíntota vertical. –2 0 0 2 4 6 8 10 12 x ] a > 1 y decre- –2 • La función y =log x () es creciente en el intervalo de 0,+∞[ con a >1 h a ] a < 1. ciente en el intervalo de 0,+∞[ si 0 < a >1 a > 1 Propiedades y y = x + = y y 6 Para cualquier par de números reales positivos mn, ∈ se cumplen las siguientes y = a x propiedades: 4 2 2 2 2 1.1)log 1 () = 0 4. 4) log ( mn) = log m () + log n () (0, 1) (1, 0) a a a a –4 –2 0 0 2 2 2 2 4 6 8 10 x –2 y = log (x)  m  log n () h a 2. 2)log a a () = 1 5. 5) log a   = log m () − a a  n  0 < a < 1 k x m 3. 3) log a ( ) = x 6. 5) log a ( ) = k log m () a a 18 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:48 Matematica 3 BG Cultiva.indb 18 21/8/25 12:48 Matematica 3 BG Cultiva.indb 18]]> 0 entonces log x () es creciente. es creciente. –1 a b) Si a > 1 entonces log x () es decreciente. es decreciente. a y c) 4 c) Para fx () log= a x () el dominio es 3 ] 0,+∞[ . 2 d) El logaritmo de la base siempre es 1. 1 e) El logaritmo de 1 es siempre cero, –1 0 1 2 2 2 2 3 3 4 5 6 7 8 9 x independientemente de la base. –1 f) La base de un logaritmo puede ser d) y un número negativo. 5 4 4. Escribe en forma exponencial o logarítmica. 3 Forma logarítmica Forma exponencial 2 2 1 1 log () = 3 27 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 3 3 2. Completa las tablas de valores. Usa una calculado- 4 = 64 ra y luego gra ca. 2 a) af x)( )log = x () log () = 2 2 x 1/4 1/2 3/4 1 3/2 bc x f(x) a = d log 5 () + log(20 ) 2= 81 = log (2x+ ) 3 () 2 20 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:48 Matematica 3 BG Cultiva.indb 20 Matematica 3 BG Cultiva.indb 20 21/8/25 12:48]]> 0 y a ≠1 x y a > 0 y a ≠1 entonces x = y. En el análisis de bacterias Además, se puede aplicar uno de estos casos: igualar bases, tomar logaritmos a los están presentes las dos miembros de la igualdad o cambio de variable. ecuaciones exponenciales. A cción y expresión Ejemplos paso a paso 1. Regresemos a nuestro problema inicial y respondamos las preguntas. Paso 1. Construimos una tabla para Paso 2. Si la población de bacterias es de determinar el modelo de crecimiento 64 000 reemplazamos en la ecuación exponencial. 64 000 1000 2 t = × Tiempo (h) 0 1 2 3 Dividimos para mil y descomponemos 64 en base 2. N.° bact. 1 000 2 000 4 000 8 000 t 6 t = 64 2 ; 2 = 2 × Pt() =1 000 2 t Como las bases son iguales, entonces igualamos los exponentes: t = 6 Matemática Paso 3. Respondemos la pregunta: para que el cultivo alcance las 64 000 bacterias, pasarán 6 h. Cambio de base 2. Resolvemos las siguientes ecuaciones exponenciales por diferentes métodos. Si u > 0 y a y b son números reales diferentes a) Por igualación de bases b) Aplicando logaritmos de 1, entonces se puede 5 ( x+ 1) = 21, tomamos logaritmos realizar un cambio 2x− 1 3 x− 3 = 27 , a exponentes () de base: fraccionarios log 5  ( x+ 1)  = log 21 , por propiedades log u x− 3 3   log u = a 3 2x− 1 = 3 , igualamos 2 b 21 log b ( x + ) 1 log () =5 log (), despejamos a los exponentes () () x −3 = 3 ( x + ) = log 21 ; x = log 21 −1; 1 2 x −1 2 log () 5 log () 5 , −3 x = 0 8917 2 x −=6 6 x −3; x = 4 24 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:49 Matematica 3 BG Cultiva.indb 24 21/8/25 12:49 Matematica 3 BG Cultiva.indb 24]]> 0. debemos celebrar los pequeños logros y A cción y expresión avances, además darles a conocer que cada paso Ejemplos paso a paso hacia adelante, por pequeño que sea, es un 1. Resolvamos la ecuación logarítmica. progreso significativo. ( log x + 3) + lo ( 1) 2 g x − = 3 3 Paso 1. Aplicamos propiedades de logaritmo. log x + )( 1) 2 3 ( 3 x − = Paso 2. Escribimos en forma exponencial, ( x + )( x − ) = 3 2 1 3 y multiplicamos. ©Shutterstock 2 = x +2 x −120 Paso 3. Resolvemos la ecuación de −± b − 4 ac −± 4 48 + 2 2 b segundo grado; empleamos la fórmula x = ; x = El trabajo en parejas coadyuva general. a 2 2 a solventar dificultades. x =− + 13; x = −− 13 1 1 1 2 Paso 4. Verificamos las soluciones x =− 1+ 133 49 ≈ , obtenidas en la ecuación original; log(x) 1 está definido para x > 0. x =− 1− 13 ≈ − 3 71,, no cumple 2 S =− { 1+ 133 49} ≈ , Interdisciplinariedad 2. Resolvemos la ecuación: ( − ) ln −− ) +4 x ln() =3 ln(2 x Matemática y Música Aplicamos propiedades de los logaritmos, escribimos en notación exponencial, ¿Qué tiene que ver igualamos bases y resolvemos la ecuación resultante. la matemática con la música? ) = 2 x) ( ; ) −− ) x − ln −− ) =4 x 3 ln(2 x e ( 34 = e (2 − ) x ; 3 (− −4 x ( ( − Pues en realidad, mucho. −12 3x =− x; 2x =−14; x =−7; ==− {} 7 El uso de logaritmos en la − 2 S música permite hallar las 3. Resolvemos la ecuación logarítmica. vibraciones de las tonalidades musicales, 2( x log 4 + 4) =+ log 2 ( x+ 1 − 3) pero para hallar estas x 2 Paso 1. Aplicamos propiedades de logaritmo. ( x 4) = log 2 + log 2 ( x+ 1 − 3) vibraciones, siempre tiene x log 4 + que estar el logaritmo en 2 2 2 2 ) 2(  3) ; log 4 + 3 2+= x log 4 + 4) = log 2 + log 2 ( x+ 1 − 4 x 4 2( 2 x 2x+ 1 − 4) = ( log 22 ( x+ 1 − 3)    base dos. x x x  2 2 2( log 22 ( 3) x 2x+ +× 3 2 = 2 +− 1 2x  4 2 Paso 2. Escribimos en forma exponencial, igualamos bases, operamos. 0  − x 1 x+ log 4 + 4) = x    2 2 2 +× 4 0 4 += 2x+ 1 − 3 2 ( ) 2 −× 2x 3 2 += x 2x x 4 2 x 2 x 4 0 3 2x 4 2 2x 3 2 = 2 +− 2x+ 1 +× x 0 2 −×2 −= , z = 2 : entonces: Seaz = 2 x 2 x 2 Paso 3. Resolvemos la ecuación de segundo grado, con cambio de variable. ©Shutterstock 2 2 +× 2 −× 3 2 += 2x 2x x 4 0 Seaz = 2 x , entonces: z = 2 x 2 z −3 z − = 0 x : 2 2 4 2x 2 −×2 −= 4 0 2 3 x 2 4 z −3 z − =4 0 ( z − )( z + ) =1 0 ; z = 4 z ; Como: z = 2 , entonces: Altavoces y sonido. = =−1 2 1 x x = entonces: 42 ; x 2 Como: z = 2 , z − )( ( Paso 4. Volvemos a la variable original y verifi camos las soluciones. 2 2 = 2 x ⇒= z ; ; z = 4 0 4 = =−1 z + ) =1 1 2 x = x x Como: z = 2 , entonces: 42 ; 2 2 = 2 x ⇒= −=12 ; no existe x 2 x 12 ; = x 2 42 ; 2 2 = 2 x ⇒= −= x no existe S={2} } } x −=12 ; no existe S={2} } S={2} Matemática 25 3.º BG 21/8/25 12:49 Matematica 3 BG Cultiva.indb 25 Matematica 3 BG Cultiva.indb 25 21/8/25 12:49]]> a gx() ∨ a fx() < a gx() Donde f(x) y g(x) son expresiones en x, a∈ + ∧ a ≠1. Caso 1: si a > 1, entonces los exponentes Caso 2: si 0 < a < 1, entonces los exponen- de la inecuación dada son desigualda- tes de la inecuación dada son desigualda- des en el mismo sentido, es decir: des en sentido contrario, es decir: a fx() > a gx() ⇔ f(x) > g(x) a fx() > a gx() ⇔ f(x) < g(x) a fx() < a gx() ⇔ f(x) < g(x) a fx() < a gx() ⇔ f(x) > g(x) Parque de las iguanas, Guayaquil A cción y expresión Ejemplos paso a paso 1. Regresemos a nuestro problema inicial y respondamos la pregunta. Paso 1. Como la población debe ser de al Paso 2. Dividimos la desigualdad para 2 000; Desarrollo menos 10 000 habitantes, planteamos la tomamos logaritmos y despejamos. sostenible inecuación. 2 005t ≥ 5 ; log( 2 ) ≥ log() , 0 05t , 5 Pt() = 2 000 ×2 , 005 t Los logaritmos no solo 0,05t × log() log() 5 2 ≥ son herramientas 2 000 ×2 , 005 t ≥10 000 . l og 5 () 5 matemáticas abstractas. t ≥ ; t ≥ 46,43 2 , Su aplicación práctica en 005log() . modelos de crecimiento Paso 3. Respondemos la pregunta: para que la población sea de al menos 10 000 poblacional y sostenibilidad permite habitantes, deben pasar más de 46 años. tomar decisiones informadas para garantizar 2. Resolvemos las siguientes inecuaciones exponenciales. un equilibrio entre a) Ejemplo caso 1: a > 1. b) Ejemplo caso 2: 0 < a < 1 las necesidades humanas 4 − 3 3 − 2 x x x , ( 2 >( x 2 >( y la preservación del 6x+ 3 x+ 6 2 05) 4 − 3 0 0625) 3 − 2 05) , , ( 0 0625) , 5 5 10 medioambiente. 3 > 27 3 − 2 x x x ( x 4 − , ( ¿Por qué es importante 6x+ 3 3 x+ 2) 05) 4 − 3 3   05, ( 05) 4   ) 3 − 2 4 2 > 2 > ( , ( 05) 5 5 10 6 contar con modelos 3 > 3   ,   matemáticos en el 6x + 3 x + 2 4 −3 3 3 12 − 8 8 x x 12 − x 05) , ( 4 −3 x , ( 05) 05) 2 >( , crecimiento poblacional? > 05) 2 >( , 5 5 10 2 8 3 12 −x 4 −x 6x +> 10 4 −x 3 12 −x 8 3 5x + < < 2 5 x > 7 2 5 1 < 20 − 15 24 − 16 − x 1 > 1 x 4 <− ; x ; x < > 1 x 4 <− ;x 15 24 −x 20 −x 16 −; 4 4 30 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:49 Matematica 3 BG Cultiva.indb 30 21/8/25 12:49 Matematica 3 BG Cultiva.indb 30]]> 1. a >1 y n∈⇒ log x () >⇔ xa> xa n n Puedes emplear una x () >⇔ > x n  ; a) Si > 0 ;> n x a) Si > 0 a;> 0 n a) Si a >1 n ∈⇒1 n∈⇒ log () >⇔ y xa y n x  n∈⇒ n > a) Si > 0 y x a >1  n x () >⇔ > n xa x log x a  a) Si > 0 y x () >⇔ n∈⇒ log a > x a) a) Si > 0 ; ; ; a >1 y n∈⇒ loga a x () >⇔ xa > n n n calculadora online como  n xa a >1 a loga  llog x () n∈⇒llog x () <⇔ ; x b) Si > 0 y n a >1  xa n n∈⇒llog x () <⇔ xa<⇔ < ;> x x b) Si > 0 a;> 0 n y  a >1 n ∈⇒1 n b) Si < xa < b) Si > 0 xa x y a >1 n  < n∈⇒llog x () <⇔  a xa x n b) b) Si > 0 ; ; ; a >1 y n∈⇒llog x () <⇔ xa < n n n n Symbolab, que es una y a n∈⇒llog x () <⇔ < a y n b) Si > 0 x a >1  a a a ) c ; log g x ; () es equivalente a f(x) < g(x) f x ) c log f x () < () < log log g x ) c log f x () < () < log g x () es equivalente a f(x) < g(x) inteligencia artificial, la ; f x ; () es equivalente a f(x) < g(x) log g x () es equivalente a f(x) < g(x) ; a a a c) ) c loga f x () < log g x () es equivalente a f(x) < g(x) cuál te permitirá verificar f x () < a ; a log g x () es equivalente a f(x) < g(x) a ) c log a a ) c log a g x ( ) >∧0 Solf x) >∧0 f x ( )< a a g x ( ) :( Solf x) g x ( ) >∧0 f x ( )< g x ( ) si tus resultados son f x ( )< g x ( )< g x ( ) >∧0 f x ( )>∧0 :( Solf x) >∧0 g x ( )>∧0 g x ( ) :( g x ( ) >∧0 Solf x) >∧0 :( g x ( ) f x ( )< :( Solf x) >∧0 g x ( ) Solf x) >∧0 g x ( ) >∧0 f x ( )< :( log () d) f x () > () > log f x () > () > g() g x ; d) ess equivalente a f(x) > g(x) log f x ess equivalente a f(x) > g(x) g x ; () ex ; ss equivalente a f(x) > g(x) log f x log g x ; log () d) logd) log f x () > log () ess equivalente a f(x) > g(x) correctos, aquí el enlace. log () d) ess equivalente a f(x) > g(x) a d) g x ; loga a lynk.ec/13mtc03 log f x () > a ess equivalente a f(x) > g(x) d) a g x ; a a a a a g x) >∧ Solf x) >∧ f x) > a ( ( a :( g x). f x) > g x) > 0 ( g x) >∧ f x) >∧0 ( 0 ( Solf x) >∧ g x:( Solf x) 0 0 g x) >∧ 0 f x) > g x) ( ) ( :(>∧0 g x) ( ( g x) >∧ Solf x) >∧ ( g x) ( :( 0 0 ( ( 0 :( 0 ( f x) > ( g x) Solf x) >∧ g x) >∧ f x) > Solf x) >∧ ( ( :( ( 0 Caso 2: si 0 < a < 1. y y  n ∈⇒ log x () >⇔ ng () n n n n < n n > x () >⇔ xa⇔ ; 0<  log lo y a) Si a) Si x a <1 n ∈⇒1 a <1 x 0 a; 0< <0 x 0 > x log x () n a) Si xa > x () >⇔ xa>⇔ < y n n n y x 0 ;0 ; 0< a 0< <1 a a) Si x) Si n∈⇒ log∈⇒ < > a <1 a xa  > n < n∈⇒ a a) a) Si x 0 > ; 0< y n∈⇒ loga a a x () >⇔ xa < n n a ; 0< a <1  x () n <⇔ n x > > log x () <⇔ n n n a x a a <1 y n∈⇒ ; 0< a <1 y n∈⇒ log log b) Si b b) Si > 0 a; 0<> 0 x) Si > 0 x n ; 0< <1 y n∈⇒ x () <⇔ > x x () <⇔ > > x x x b) n n n a b) b) Si > 0 ; Si > 0 ; 0< a 0< <1 y n∈⇒ log x () <⇔log a x () <⇔ > x a n a <1 y n∈⇒ a x a a <1 y n∈⇒ x a x a n b) Si > 0 ; 0< loga a f x () g() a c) f x () g(x) g x (); es equivalenx (); (); es equivalentte a f(x) > g(x) t te a f(x) > g(x) c) c) log logc) log f x () g(x) Propón ecuaciones es equivalentte a f(x) > g(x) a a a log f x () g(x) a a a Solf x) >∧ g x ( )>∧ >∧ g x ( ) >∧ x ( )>∧ >∧ :( 0 x) 0 0 x) 0 Solf x) :( 0 0 g x ( ) >∧ f x ( )>∧ 0 f f f x ( ) > g x ( )> x ( ) > g x ( ) exponenciales o g( Solf :( g x ( ) f x ( ) > g x ( )> Solf x) >∧ g x ( )>∧ 0 0 :( x) 0 Solf :( g x ( ) g x ( ) >∧ Solf x) >∧ f x ( ) > 0 0 g x ( ) :( g() d) f x () > x () > g ; log f d) logd) d) log f x log log gx () es equivalente a f(x) < g(x) logarítmicas y verifica log gx ;gx es equivalente a f(x) < g(x) g ; ; () es equivalente a f(x) < g(x) ; g d) logd) log f x () > log gx () es equivalente a f(x) < g(x) si tus soluciones son a a g f x () > () > a a d) log f x () > log gx () es equivalente a f(x) < g(x) log gx () es equivalente a f(x) < g(x) ; a a a a ga a Solf So a :( ) >∧0 ( )g x >∧0 )x >∧0 g 0 ) (x) ) f x)) ) ( )gx ( )< gx correctas. a ( g ( ) >∧0 (f x)< (x >∧0 :( :(lf Solf )x >∧ x ( f x)< gx x ( ) ( f x)< gx ( )< gx g ( )x >∧0 ) Solf :( )lf x >∧0 So :( ) >∧0 g ) x ( ) ( ) >∧0 ( ) x x ) :( ) >∧0 Solf x g ( ) >∧0 f ( f x)< gx A cción y expresión Ejemplos paso a paso 1. Resolvamos la inecuación logarítmica. ( g 2x − log x + 3) > lo ( 1) 3 2 Paso 1. Identificamos a qué caso corresponde. 3 ( 2 ( Como la base a > 1, 2 > 1, se trata del caso 1, log x + 3) > lo g 2x − 1) literal d). 30; Paso 2. El argumento de los logaritmos debe x +> x >−3 ser positivo. Escribimos las desigualdades y 2 x −> 0; x >1 2 / 1 resolvemos. x3 − ; x < 4 +> 2x 1 Paso 3. Graficamos en la recta numérica y buscamos la intersección de las tres inecuaciones. S = ½ < x < 4; S = (1/2, 4 ) −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 2. Resolvamos la inecuación. log ( 5x + 10) > lo g ( x + 2) , 05 , 05 Paso 1. Identificamos a qué caso corresponde. Como la base (0,5) está entre 0 < 0,5 <1, se trata log ( 5x + 10) > lo g ( x + 2) , 05 , 05 del caso 2, literal c). > Paso 2. El argumento de los logaritmos debe 5x + 100; x >− 2 ser positivo. Escribimos las desigualdades y x +> x >− 2 20; resolvemos. 2; x 5 +x110 >+ x >− 2 Paso 3. Graficamos en la recta numérica y buscamos la intersección de las tres inecuaciones. S = x > –2; S = (–2, +∞) −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 Matemática 31 3.º BG 21/8/25 12:49 Matematica 3 BG Cultiva.indb 31 Matematica 3 BG Cultiva.indb 31 21/8/25 12:49]]> x 0 _____________________________________________ c) Entre 10 y 30 minutos de duración _____________________________________________ d) Más de 500 gramos de mantequilla x 2 x + 3 ) b) b) 0 ( ,5) ≤( , 0 25 2 _____________________________________________ x 6> e) Exactamente 500 dólares _____________________________________________ f) La temperatura estuvo entre 18 y 40 grados centígrados. x 5 + c) c) 0 ( ,25) <  1  x 2 _____________________________________________   4   > 2. Resuelve las inecuaciones exponenciales. Utiliza x 5 el caso 1. a) a) 2 x 3 + 5 > 4 x 2 + 4 x <− 3 4. Pasa a notación exponencial y determina la solu- ción de la ecuación. a) e > 21 x b) b) ( ) 8 x 1 > 4 x − 33 4 2 + 2 −< < 2 x 4 b) 2 < e + 1 < 5 2x + + c) c) x 1 8 x 3 < x 1− 32 x 2 + 5 x <− 1 c) 2 > 13 x d) d) 43⋅ ( x )( 92 ) <( 32 6 x 2 ⋅ ) x ⋅ x x 4> 32 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:49 Matematica 3 BG Cultiva.indb 32 21/8/25 12:49 Matematica 3 BG Cultiva.indb 32]]> ⇒ x > 2 20 les a) y b). log 2 ( x 5− ) > 2 Paso 2. Como la base es 0 < 0,5 < 1, transformamos a notación exponencial y se invierte la desigualdad. 3 Paso 1.El argumento del logaritmo debe ser positivo. log ( x 2− ) >⇒( x 2− ) <( , 0 5) 3 3 5 , 05 2x −> ⇒> ⇒< ,125 5 0 x x 2 2 Paso 3. Graficamos y buscamos la intersección. Paso 2. Transformamos a notación exponencial y resolvemos la inecuación. ( x 2 log 2x − 5) > ; 22x − 53 ⇒ > 7 1,941,96 1,98 2 2,02 2,04 2,06 2,08 2,1 2,12 2,14 2,16 2,18 2,2 2,22 > 3 Paso 3. Graficamos y buscamos la intersección de las soluciones. Solución: 2 < x < 2,125 a) a) log ( x 1) ≤− 1 + , 01 ≥ x 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Solución: x > 7 a) a) log () < 1 x 7 0 << b) a) log ( x 1) ≤− 1 x 7 + , 01 ≥ x 9 b) b) log ( x 3) > 4 − 2 > x 19 Actividad cooperativa log () a) log ( x 1) > + 4 , 05 , 05 7. Resuelvan en sus cuadernos, y en parejas, las si- a) log ( log () 4 x 1) > + x < −< 1 c) c) log 2 ( x 1) ≤ 2 guientes inecuaciones con logaritmos. , 053 + , 05 log () a) log ( 5 + 4 x < 1) log () b) log ( −< , 053 1 x 2 − > 9 , 05 1 a) a) log ( x 1) > log () , 01 , 01 + 4 ≤ − x 12 b) log ( x 1) > log () x < −< 1) , 05 3 1 x 2 − > 9 , 05 ≥ 2 x 5 , 01 , 01 b) b) log ( 7− x) < log () 1 1) −< < x 3 log () x 2 − > 9 ≥ c c) log ( x 5 2 , 01 , 01 1) log () b) log ( , 03 , 03 x 2 − > 9 ≥ c) c) log ( 7− x) < log () x 5 2 c , 01 , 01 x 5 < , 03 , 03 ≥ x 5 c c) log ( log () 2 1) < d) d) log3 ( x 2) ≥ 1 d) d) log ( 7− x) < log () x 3 + 7) log ( x 5 x 5 − < − , 03 , 03 c c) log ( , 04 , 04 < 1) x 5 x 5 − < , 03 , 03 ≥ 4 x > 4 x 4 d) log ( 7− x) < log ( 2 x 3 + 7) , 04 , 04 < d) log ( x 5 1) e) ln( 1) ln( 4 Indaguemos x 5 − < log ( x 3 + 7) x > 4 2) < 5x − x + , 04 , 04 7) 1) log ( d) log ( x 3 + x 5 − < ln( 4 1) x > 4 2) < 5x − x + 8. El nivel de intensidad sonora se mide en decibeles (dB). , 04 , 04 e) ln( 3 x > x > 44 4 e) ln( 1) ln( 2) < 5x − x + 3 Un trabajador no debe estar expuesto a más de 90 x > 4) log ( f ) log ( 1) x + 4 2x − ≥ ln( 1) x + 2) < 3 e) ln( 3 x > f ) log ( 1) log ( 6. Observa el ejercicio resuelto de inecuaciones loga- dB en una fábrica. 5x − 3 x + 4) 4 2x − ≥ 5 x ≥ 3 3 3 x > rítmicas, luego resuelve aplicando el caso ii litera- Indaga: ¿qué precauciones deben tener los traba- 1) 4) f ) log ( log ( 4 2x − ≥ x + 5 x ≥ 3 3 les a) y b). jadores de una fábrica para que no les afecte la in- f ) log ( 4) 1) log ( 2x − ≥ x + x ≥ 3 5 log ( x 2− ) > 3 tensidad sonora de las máquinas? 3 , 05 x ≥ 5 Matemática 33 3.º BG 21/8/25 12:49 Matematica 3 BG Cultiva.indb 33 21/8/25 12:49 Matematica 3 BG Cultiva.indb 33]]> log ( x 4) _____________________________________________________ , 05 1 << x 5 2 Pienso ¿Qué análisis puedes hacer de la gráfica? _____________________________________________________ _____________________________________________________ b) b)ln( x +2 ) > 8 xe>−2 Me pregunto ¿Qué pasa con los alimentos que son recalentados? _____________________________________________________ _____________________________________________________ Metacognición para aprender Responde en forma oral o escrita. ¿Qué métodos puedo utilizar para graficar funciones exponenciales y logarítmicas? ¿Qué estrategias empleo para resolver ecuaciones exponenciales? ¿Qué estrategias utilizo para resolver ecuaciones logarítmicas? ¿Cómo aplico mis conocimientos sobre funciones exponenciales y logarítmicas en situaciones cotidianas? Matemática 41 3.º BG 21/8/25 12:49 Matematica 3 BG Cultiva.indb 41 21/8/25 12:49 Matematica 3 BG Cultiva.indb 41]]>