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<Search><pages Count="34"><page Index="1"><![CDATA[2



                                                                                                                            BG

                          Comunicacional                                         Socioemocional
                                                                                                                                                                                                                                          2      BG
                                             Digital                 Matemática












                                                    COMPETENCIAS





                                                     INSERCIONES
                                                    CURRICULARES

                                                                                                                             Matemática











                                          Educación                    Cívica, Ética                                                                                                                                                             Matemática
                                        Socioemocional                 e Integridad

                            Desarrollo                 Seguridad Vial                Educación
                            Sostenible                  y Movilidad                  Financiera
                                                         Sostenible

























                   Contacto: 098 747 9990
               Correo: distribuidora_ra@hotmail.com
                Guayaquil: CC Albán Borja, Local 88]]></page><page Index="2"><![CDATA[UNIDAD
                       TEMÁTICA
                         4                Funciones trigonométricas






                      La música y las funciones trigonométricas                                Álgebra y funciones

                      Las funciones trigonométricas —como seno, coseno y tangente— se originaron con el propósito de
                      estudiar los triángulos y sus aplicaciones, pero su utilidad ha ido mucho más allá de la geometría. Dos
                      ámbitos especialmente interesantes donde estas funciones desempeñan un papel importante son el
                      del sonido y la música.
                      Por ejemplo, al vibrar la cuerda de una guitarra o cuando una trompeta produce una nota, se generan
                      ondas sonoras. Estas ondas se pueden representar con gran precisión utilizando funciones seno y cose-
                      no, que permiten modelar el comportamiento de los movimientos periódicos; es decir, aquellos que se
                      repiten de manera regular a lo largo del tiempo.























































                 ©Shutterstock



               98
               98    Matemática
                        emátic
                              a
                     Mat
                     2.º BG
                     2.º BG
                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   98
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   98                                                                           30/7/25   10:06]]></page><page Index="3"><![CDATA[v
                                                                           bser
                                                                                  a y r
                                                                                             da
                                                                                       ecuer
                                                                         O Observa y recuerda
                                                                         •   ¿Qué observas en la imagen?
                                                                         •   ¿En qué otro fenómeno puedes visualizar ondas?
                                                                         •   ¿Qué sucede cuando cae una gota sobre el agua
                                                                             contenida en un recipiente?


                                                                           Observa y recuerdaemos?
                                                                         ¿Q ué apr  ender


                                                                                                        Razones
                                                                                                     trigonométricas





                                                                                                         Gráfica
                                                                                                     de las funciones
                                                                                                   trigonométricas seno,
                                                                                                    coseno y tangente





                                                                                                         Gráfica
                                                                             Funciones               de las funciones
                                                                          trigonométricas         trigonométricas secante,
                                                                                                  cosecante y cotangente








                                                                                                       Identidades
                                                                                                     trigonométricas







                                                                                                       Ecuaciones
                                                                                                     trigonométricas









                                                                         Las funciones trigonométricas, especialmente
                                                                         las  ondas  sinusoidales,  son  fundamentales  para
                                                                         entender y modelar el sonido.





                                                                                                      Matemática   99
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   99                                                                           30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   99]]></page><page Index="4"><![CDATA[1                      Razones trigonométricas









                                         D  isposición y compromiso
                    Saberes previos      La trigonometría estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos,
                                         lo que permite resolver problemas que involucran cálculos de distancias, alturas y
                ¿Cuál es la medida de un
                         ángulo recto?   ángulos, sin necesidad de mediciones directas.
                                         Para sembrar arroz, Adrián tiene una parcela triangular, cuyos lados miden 90 m y 120 m
                                         y entre ellos forman un ángulo de 70°.
                          Matemática     ¿Cuál es el área del terreno que se puede sembrar?

                  Triángulo rectángulo    Pienso y progreso
                y teorema de Pitágoras    A más de los triángulos rectángulos, ¿qué otros tipos de triángulos conoces?
                 El teorema de Pitágoras
                relaciona los tres lados de   U  nidad de conocimientos
                 un triángulo rectángulo.
                      B                  Razones tirgonométricas. Definición
                           c
                     a                   Son relaciones matemáticas que se establecen entre los lados de un triángulo
                                         rectángulo y sus ángulos agudos.
                     C     b       A     Para un ángulo agudo A de un triángulo rectángulo las razones trigonométricas son:
                a y b son los catetos y c la
                 hipotenusa. Se cumple:                   cateto opuesto                           hipotenusa
                                          Seno de A:  SenA() =                Cosecante de A:  CscA() =
                          2
                      2
                     c  = a  + b 2                         hipotenusa                             cateto opuesto
                     Aplica este teorema
                cuando se desconoce uno   Coseno de A: CosA() =  cateto adyacente   Secante de A:  SecA() =  hipotenusa
                         de los catetos.                      hipotenusa                        cateto adyacente
                                                              cateto opuesto                       cateto adyacente
                                          Tangente de A: TanA() =             Cotangente de A: CotA() =
                       y                                     cateto adyacente                       cateto opuesto

                                         Ángulo en posición normal
                              (x, y)
                          r
                               y         Un ángulo en posición normal es un ángulo que se ubica en el plano cartesiano, que
                          θ
                            x        x   tiene su vértice en el origen [punto (0, 0)], su lado inicial coincide con el eje positivo x,
                                         mientras que el lado terminal gira hasta su posición final, en sentido antihorario es
                                         positivo y en sentido horario es negativo. Los ángulos se pueden ubicar en cualquiera
                                         de los cuatro cuadrantes del plano cartesiano y las relaciones quedan definidas así:
                                                                y                x               y
                                                        Sen() =                    Cos() =                Tan() =
               Ángulo en posición normal.                       r                r               x
                                                                r                r               x
                                                        C Csc() =                   Sec() =                  Cot() =
                          Matemática                            y                x               y y
                                         Signos de las razones trigonométricas
                    Ángulos asociados
                       o relacionados    De acuerdo con la definición anterior y considerando que r es positivo y según los
                Son ángulos con razones   signos algebraicos de x e y, las relaciones trigonométricas tienen los siguientes signos:
                trigonométricas de igual
                 valor, pero que pueden        Función        Cuadrante I  Cuadrante II  Cuadrante III  Cuadrante IV
                diferir en su signo según   Seno Cosecante        +             +             –            –
                el cuadrante en el que se   Coseno Secante        +             –             –            +
                          encuentren.     Tangente Cotangente     +             –            +             –


               100   Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   100
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   100                                                                          30/7/25   10:06]]></page><page Index="5"><![CDATA[A  cción y expresión

                  Ejemplos paso a paso                                                                 Digital
                  1.  Respondamos a la pregunta del problema inicial.
                                                                                                 Dado el valor de una
                   Paso 1. Identificamos       B        Paso 2. Hallamos el área de la parcela.  función trigonométrica,
                   la base y calculamos         h  90 m    bh        120  ×84,57                 para hallar el ángulo se
                                                             ×
                   el valor de la altura.               A  =   ;  A  =        = 5 074,2          aplica la inversa de dicha
                                                    70°      2           2                       función.
                                                     70º
                   Base b = 120 m.    A      120 m    C
                                               H
                                                        El área del terreno es 5 074,2 m 2       O sea, si Sen(A) = 0,86
                                                                                                               –1
                                      Terreno en forma                                           entonces, A = Sen (0,86)
                                      triangular.                                                A = 60º
                            h                                                                    En la calculadora se
                   Sen(  . 70 ) °=  ;..h =  90 Sen( ⋅  70 ;..h = ) °  84,57m
                            90                                                                   oprime la tecla Shift, la
                                                                                                 función y el valor.
                  2.  Tres barcos se encuentran en una posición tal que entre ellos forman un triángulo
                      rectángulo, como se muestra en la figura. El barco A se encuentra a 8 km de una
                      boya marina y el barco C, a 12 km de dicha boya. El ángulo entre estas dos distan-
                      cias es 120°. ¿Cuál es la distancia del barco B al barco C?
                   Paso 1. En el triángulo rectángulo CBD,   Paso 2. Encontramos el valor de a,                  C
                   hallamos la medida del ángulo D:             a                                            12 km  a
                                                                                  =
                   120 °+  = D 180 . Por ser ángulos    ( Sen 60  ) °=  12 ;..  = a  Sen ( ⋅12  ) ° 60 ;.. a 10,39 km  120º  B
                               °
                   suplementarios,  = D 60 °                                                           A  8 km  D     ©Shutterstock
                  3.  Desde la parte superior de un faro de 50 metros de altura, un guardacostas
                      observa un barco en el mar con un ángulo de depresión de 30°. ¿A qué distancia
                      de la base del faro se encuentra el barco?

                      a)  Dibujamos un esquema de la situación.                                    B
                      b)  Hallamos la medida del ángulo A considerando que el ángulo de depresión      30°
                         es igual al ángulo de elevación y usando la tangente del ángulo.
                                                                                               50 m
                                   50
                               o
                                )
                         Tan(30 =                                                                               30°
                                   d                                                               C        d       A
                      c)  Despejamos d para encontrar la distancia solicitada.
                               50
                         d =       o  =  86 6 ,   m.
                             Tan 30(  )
                  4.  Hallemos las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente del ángulo del
                                                                                                         y
                      gráfico adjunto y determinemos su ángulo relacionado.
                                                                                                 ( 4, 3)
                                                                                 4
                      a)  Hallamos el valor de r mediante el teorema de Pitágoras r = ( − ) 2  +3 2  = 5  r  3 θ
                      b)  Hallamos las funciones trigonométricas.                                   4                x
                                 y  3            x  −4            y   3
                         Sen() =         Cos() = =           =          Tan() =  =
                                 r  5            r   5            x  −4
                      c)  Hallamos el valor del ángulo mediante la inversa de cualquiera de las funcio-
                         nes encontradas.
                         θ = Sen (3/5) = 36,87°; θ = 180° – 36,87° = 143,13°
                               –1


                                                                                                      Matemática  101
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   101                                                                          30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   101]]></page><page Index="6"><![CDATA[DUA
               Evaluación formativa                                                          Acción y expresión




               1.  Responde con verdadero o falso según corresponda.  3.  Resuelve los siguientes problemas.

                                1                                     a)  ¿Cuál es la altura de una torre que proyecta una
                   a)  SenA() =
                              CosA ()                                    sombra de 16 m, si la distancia desde el punto
                                                                         más alto de la torre al extremo de la sombra es
                   b)  El seno de un ángulo en el cuadrante II           de 20 m?
                      es positivo.
                   c)  El coseno de 150° es igual al coseno
                      de 30°
                   d)  Sen(180°− θ) = Sen( (θ)

                   e)  Las coordenadas de 270° en el círculo          b)  Un niño eleva una cometa. La longitud de la
                      unitario son (0, −1).                              piola que ha soltado mide 35 metros y la dis-
                                                                         tancia horizontal medida desde los pies del
                   f)  Sec(120°) = Sec(60°).                             niño al punto que está debajo de la cometa
               2.  Resuelve el siguiente problema.                       es de 10 metros. ¿A qué altura se encuentra la
                   Una escalera de 10 m de longitud es apoyada en        cometa?
                   el frente de un edificio, ubicando su pie a metro y
                   medio del edificio.
                   a)  ¿Qué altura alcanzará la escalera?

                                                                   4.  Halla las 6 razones trigonométricas del ángulo
                                                                      dado en cada triángulo rectángulo. Encuentra el
                                                                      lado faltante aplicando el teorema de Pitágoras.

                                                                      a)
                                                                                   52 m
                   b)  Si la escalera se colocase formando un ángulo
                      de 45° con el suelo, ¿qué altura alcanzaría?               48 m     38 º









                                                                      b)
                   c)  Escribe una fórmula para determinar la altura
                      alcanzada en función de la separación del pie         a           85 m
                      de la escalera respecto del edificio.
                                                                            55 º
                                                                                              β
                                                                                    100 m










               102   Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   102                                                                          30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   102]]></page><page Index="7"><![CDATA[5.  En  el triángulo,  halla las longitudes  de los  lados   7.  Halla las razones trigonométricas seno, coseno,
                      que faltan y la medida del ángulo A.               tangente y el valor del ángulo cuyo lado terminal
                                                                         es el punto de coordenadas (–1, –2).
                      a)         a
                            27º
                                       90 º
                                c         b = 232 cm




                                                                       Necesidades educativas

                                                                         Si un compañero tiene dificultades con el tema,
                                                                         explícale con paciencia lo que entiendes, resuelvan un
                                                                         ejercicio juntos y celebren sus avances. Si se estancan
                                                                         en algo, solicita ayuda a tu maestro.
                  6.  Utiliza las relaciones trigonométricas y  resuelve
                      los siguientes problemas.

                      a)  Un helicóptero se encuentra volando a 100 m   Actividad cooperativa
                         del suelo. Si desde el helicóptero una persona   8.  En parejas, resuelvan el siguiente ejercicio:
                         observa un  punto  P,  con  un  ángulo  de  60°,      Tracen un plano cartesiano,  ubiquen un punto
                         ¿cuál es la distancia del helicóptero al punto P?   en el cuadrante III y dibujen el ángulo en posición
                         ¿Cuál es la distancia del punto P a la sombra   normal.
                         proyectada perpendicularmente del helicóptero?
                         ¿Cuál es el ángulo P?
                               ©Shutterstock



                                       60 º
                                100 m
                                                 d                       a)  Hallen el valor de r y determinen las razones
                                                                            seno, coseno y tangente.

                                             a           P





                                                                         b)  Calculen el valor del ángulo usando cualquiera
                                                                            de las razones encontradas y deduzcan el valor
                      b)  La estatura de una persona es 1,90 m, y el ángulo
                         de elevación del sol, 18°. ¿Cuál es la longitud de   del ángulo relacionado.
                         la sombra proyectada por la persona?
                                 ©Shutterstock




                                                 1,90 m
                                     18º                               Indaguemos
                                        x
                                                                     9.  Investiga cómo puedes determinar las funciones
                                                                         trigonométricas de un ángulo mayor de 360º.

                                                                         Halla las relaciones trigonométricas del ángulo de
                                                                         750°.


                                                                                                      Matemática  103
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   103
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   103                                                                          30/7/25   10:06]]></page><page Index="8"><![CDATA[2                      Gráficas del seno y coseno









                                         D  isposición y compromiso
                    Saberes previos      Las gráficas de funciones trigonométricas, como el seno y el coseno, permiten re-
                                         presentar visualmente fenómenos periódicos; es decir, que se repiten en el tiempo,
                 Piensa en situaciones o
                  fenómenos periódicos.  como el movimiento de un columpio, las olas o el sonido.
                                         Estas gráficas tienen una forma de onda y nos ayudan a entender cómo varía una
                                         cantidad en función del tiempo o del ángulo, como veremos en el siguiente ejemplo.
                                         Una rueda de la fortuna tiene un radio de 20 metros y tarda 60 segundos en comple-
                                         tar una vuelta. Una persona sube a una de las góndolas cuando está en el punto más
                                         bajo (altura = 0 metros sobre el suelo).
               ©Shutterstock             ¿En qué momento la persona alcanza su altura máxima?
                                         ¿Cuál es esa altura máxima?

                                          Pienso y progreso
                                          Averigua sobre el movimiento ondulatorio, ¿en qué consiste y cuáles son sus
               El sonido se propaga en forma   características?
               de ondas
                                         U  nidad de conocimientos
                                         Funciones periódicas

                         Matemática      Una función f(t) es periódica si existe un número positivo T, llamado período , tal que:

                                                                         f(t + T) = f(t)
                    ¿Qué es un radián?
                        y
                                         para todos los valores de t en el dominio de la función.
                                         Esto significa que la gráfica de la función se repite cada T unidades.
                                R
                          R
                                         Gráficas de las funciones seno y coseno
                                   x
                        1 rad
                                         Las funciones f(x) = sen(x) y f(x) = cos(x) son funciones periódicas con T = 2π, y sus
                                         gráficas son:
                                                                    y
                Un radián es una unidad                             1
                de medida para ángulos,
                 utilizada principalmente
                 en matemáticas y física.                     –π/2  0     π/2   π    3π/2  2π x
                Se define como el ángulo                      cos(x)
                central de un círculo que                      sen(x)  –1
                 subtiende un arco cuya
                longitud es igual al radio     Característica            f(x) = sen(x)           f(x) = cos(x)
                           del círculo.   Dominio                           x∈                     x∈
                  π radianes equivalen a
                                                                             �
                                                                                                     �

                                                                                                       11
                                                                              11

                           180 grados.    Recorrido                       y∈−[, ]                  y∈−[, ]
                          Un radián es    Periodo                          T = 2π                   T = 2π
                aproximadamente igual a   Paridad                          Impar                     Par
                                57,3°     Amplitud                           1                        1
                Transforma 60° a radianes.  Cortes con el eje x            x = n π               x =  π/2 + n π
                                          Cortes con el eje y               (0, 0)                  (0, 1)
               104   Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   104
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   104                                                                          30/7/25   10:06]]></page><page Index="9"><![CDATA[Transformaciones de las gráficas de funciones seno y coseno                         Socioemocional
                  Para muchas aplicaciones, las funciones seno y coseno cambian de amplitud por lo
                  que es necesario expresarlas en una forma general:                             ¿Alguna vez has notado
                                                                                                 que algún compañero
                                                      )
                          (
                                                (
                                )
                             +
                   y =  AsenBxC + D             y =  Acos Bx C + D                               está angustiado o
                                                    +
                  En donde:                                                                      preocupado, como si
                                                                                                 llevara un gran peso en su
                  A es la amplitud o ancho de la onda;                                           espalda?
                  B es la frecuencia angular, o sea las veces que se repite un ciclo.            Responde: ¿Serías capaz de
                  El periodo T = 2π/B                                                            ayudarlo?, ¿por qué?
                  D es el desplazamiento vertical.
                  –C/B es el desplazamiento horizontal.
                                                                                                      Desarrollo
                  A  cción y expresión                                                                sostenible

                  Ejemplos paso a paso                                                           Fomentar una economía
                                                                                                 responsable implica
                  1.  Respondamos a las preguntas del problema inicial:                          promover prácticas que
                                                                                                 equilibren el crecimiento
                      a)  ¿En qué momento la persona alcanza su altura máxima?                   económico con la justicia
                   Paso 1. Determinamos los elementos de la función y la   Paso 2. La altura     social y la protección del
                   escribimos en la forma general.                      máxima ocurre para el    medioambiente.
                                                                        valor de sen(x) = 1, es   ¿Cómo reduces el impacto
                   A = 20; T = 60 s, entonces B = 2π/60 = π/30; puesto que   decir para π/2:     ambiental en tu hogar?
                   queremos empezar en el mínimo, desplazamos 1/4 de período
                   hacia la derecha, entonces C = 2π /4 = π/2; D = 20 porque el   π  t −  π  =  π  →= 30 s
                                                                                    t
                   centro de la rueda está a 20 m del centro. Luego, la función es:   30  2  2
                            ⎛ π   π  ⎞                                                          Interdisciplinariedad
                   ht() =  sen ⎜  t − 20  ⎟  +20
                            ⎝ 30  2  ⎠
                                                                                                 Matemática y medicina
                      b)  ¿Cuál es esa altura máxima?                                            Las funciones
                                                                                                 trigonométricas, como el
                   Paso único. La altura máxima ocurre para t = 30. Entonces tenemos:
                                                                                                 seno y el coseno, se
                                                  π
                             ⎛ π     π  ⎞        ⎛ ⎞                                             aplican en medicina para
                   h(30 ) 20 sen ⎜  ⋅  30 −  ⎟  +  20 20 sen ⎜ ⎟  +  20 40 m.
                                           =
                                                         =
                       =
                             ⎝  30   2 ⎠         ⎝  2 ⎠                                          modelar y analizar
                                                                                                 fenómenos periódicos del
                  2.  Sea la función y = 2sen(x + 2) +1, encontremos la amplitud, el periodo, la frecuen-  cuerpo humano, como
                      cia, el desplazamiento vertical y el desfase. Grafiquemos la función.      los latidos del corazón o
                                                                                                 los ritmos circadianos.
                      a)  Identificamos los coeficientes de la ecuación.                         Estas funciones permiten
                                                                                                 representar gráficamente
                         A = 2; B = 1; C = 2; D = 1
                                                                                                 señales como el
                      b)  Hallamos los valores solicitados en el problema.                       electrocardiograma,
                                                                                                 facilitando la detección
                         Amplitud: A = 2;
                                                                                                 de irregularidades y el
                         Periodo: T = 2π/B = 2π/1 = 2π.                                          estudio de patrones
                         Frecuencia: B = 1                                                       vitales.
                         Desplazamiento vertical: D = 1. O sea, la gráfica se   y
                         desplaza hacia arriba 1 unidad.                    3
                         Desfase: –C/B = –2/1 = –2. Quiere decir que la     2                                          ©Shutterstock
                         gráfica se desplaza 2 unidades a la izquierda.     1
                      c)  Graficamos la función.                       –π  –π/2 0  –π/2 π  3π/2 2π  5π/2 x  Investiga: ¿Qué es un
                                                                            –1                   electrocardiograma?


                                                                                                      Matemática  105
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   105
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   105                                                                          30/7/25   10:06]]></page><page Index="10"><![CDATA[DUA
               Evaluación formativa                                                          Acción y expresión




               1.  Responde con verdadero (V) o falso (F) a las siguientes   3.  Selecciona la respuesta correcta.
                   afirmaciones, según corresponda.                   Para la función y = 3sen(x –1) –1, el periodo y el
                                                                      desfase son respectivamente:
                   a)  La gráfica del coseno y la del seno
                      son exactamente iguales en todos                a)  π y 1.
                      los aspectos.
                                                                      b)  π y –1
                   b)  La amplitud de una función seno o
                      coseno indica la altura máxima des-             c)  2π y –1
                      de el eje x.                                    d)  2π y 1
                   c)  El periodo de una función seno o            4.  Se tiene la función y = 2cos(2x + 2) – 2.
                      coseno siempre es 2π.
                                                                      a)  Escribe la amplitud.
                   d)  La función y = 3cos(x) alcanza su valor
                      máximo cuando x = 0.                               _____________________________________________
               2.  Se tiene la función y = –cos(2x – 4) + 2.          b)  Halla el periodo.

                   a)  Halla la amplitud.                                _____________________________________________

                      _____________________________________________   c)  Indica cuál es la frecuencia.
                   b)  Encuentra la frecuencia.                          _____________________________________________
                      _____________________________________________
                                                                      d)  Anota el desplazamiento vertical.
                   c)  Calcula el desplazamiento vertical.               _____________________________________________
                      _____________________________________________
                                                                      e)  Señala si se desplaza verticalmente hacia arriba
                   d)  Indica si se desplaza verticalmente hacia arriba   o hacia abajo.
                      o hacia abajo.
                                                                         _____________________________________________
                      _____________________________________________
                                                                      f)  Anota el desfase.
                   e)  Determina el desfase.
                                                                         _____________________________________________
                      _____________________________________________
                                                                      g)  Muestra si se desplaza horizontalmente hacia
                   f)  Indica si se desplaza horizontalmente hacia la    la izquierda o hacia la derecha.
                      izquierda o hacia la derecha.
                                                                         _____________________________________________
                      _____________________________________________
                   g)  Grafica la función.                            h)  Grafica la función.

                                      y
                                      5                                                  y
                                      4                                                  1                 x
                                      3                                       –4    –π   0    π   π
                                      2                                             2   –1    2
                                      1                                                 –2
                                                                                        –3
                                      0
                                    –1                                                  –4
                                    –2



               106   Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   106                                                                          30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   106]]></page><page Index="11"><![CDATA[5.  Analiza las siguientes gráficas y selecciona la que   e)  Escribe el desfase.
                      corresponde a la función y = 2sen(x ) +2              _____________________________________________
                      a)                    y
                                            6                            f)  Indica si se desplaza horizontalmente hacia la
                                            5                               izquierda o hacia la derecha.
                                            4
                                            3                               _____________________________________________
                                            2
                                            1                            g)  Indica si es una función par o impar.
                          –2π  –3π/2  –π  –π/2  0  π/2  π  3π/2  2π x       _____________________________________________
                                            –1
                                            –2                           h)  Grafica la función.
                                            –3
                                            –4                                                 y
                                                                                               3
                                                                                               2
                      b)                    y
                                            6                                                  1
                                            5
                                            4                                              –π  0    π        x
                                            3                                              2  –1    2
                                            2                                                –2
                                            1
                          –2π  –3π/2  –π  –π/2  0  π/2  π  3π/2  2π x
                                            –1                         Necesidades educativas
                                            –2
                                            –3                           Si tienes un compañero inseguro, ofrécele tu apoyo con
                                            –4                           empatía y paciencia. Anímalo a participar en clase y
                                                                         recuérdale que es normal tener dudas y que aprender
                      c)                    y 7                          lleva tiempo.

                                            6
                                            5                           Actividad cooperativa
                                            4
                                            3                        7.  En parejas, resuelvan el siguiente problema:
                                            2                            Una luz está colocada en el borde de una rueda de
                                            1
                                                                         radio 2 metros. La rueda gira una vuelta completa
                          –2π  –3π/2  –π  –π/2  0  π/2  π  3π/2  2π x    cada 10 segundos. La altura h(t) de la luz respecto
                                            –1
                                            –2                           del suelo se modela con la función:
                                            –3                                     ⎛ 2π  ⎞
                                                                         ht() =⋅ 2  cos ⎜  t ⋅  ⎟ +2
                                                                                   ⎝ 10  ⎠
                                            ⎛   2  ⎞
                  6.  Se tiene la función  =y cos ⎜x –  π ⎟.             Respondan las siguientes preguntas
                                            ⎝   3  ⎠
                      a)  Halla la amplitud.                             a)  ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la luz?
                         _____________________________________________      _____________________________________________

                      b)  Halla el periodo.
                                                                         b)  ¿Cuál es la altura de la luz a los 2,5 segundos?
                         _____________________________________________
                                                                            _____________________________________________
                      c)  Encuentra la frecuencia.
                         _____________________________________________  Indaguemos
                                                                     8.  Investiga sobre las aplicaciones de las ondas sinusoi-
                      d)  Escribe el desplazamiento vertical.
                                                                         dales. Realiza un collage y dialoga con tus compa-
                         _____________________________________________   ñeros acerca de las que consideren más interesantes.



                                                                                                      Matemática  107
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   107
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   107                                                                          30/7/25   10:06]]></page><page Index="12"><![CDATA[DUA
                   Cívica                                                                      Participación




                 Ciudadanía digital


                                                                                                                       ©Shutterstock

                                           •   Según la académica de EE.UU. Karen Mossberger, los ciudadanos
                                               digitales son “aquellos que utilizan Internet de forma regular y eficaz”.

                                           •   La ciudadanía digital permite participar activamente en cuestiones
                                               sociales y políticas a través de las tecnologías de la información (TIC).  ©Wikimedia Commons

                           Karen Mossberger

                                               Actitudes de un ciudadano digital ejemplar


                                             Navegación segura
                                             •   Identificar y evitar sitios web fraudulentos.
                                             •   Proteger información personal y corporativa.
                                             •   Garantizar la seguridad de menores durante su actividad en línea.


                                             Interacción eficaz con entidades gubernamentales
                                             •   Aprovechar los beneficios de los servicios en línea proporcionados
                                                por entidades públicas, gestionando así trámites relacionados con
                                                educación, salud, comercio.
                                             •   Ahorrar tiempo y recursos.

                                             Protección de identidad y datos

                                             •   Comprender la importancia de salvaguardar la información personal
                                                y los datos compartidos.
                                             •   Saber con quien compartir información, para así resguardar la inte-
                                                gridad personal y familiar.

                                           Detección de noticias falsas

                                           •   Identificar textos, videos e imágenes falsas o engañosas en Internet.
                                           •   Verificar la veracidad de la información antes de compartirla.
                                           •   Evitar caer en la práctica de difundir contenido falso sin comprobar
                                               su autenticidad.




               Taller


               1.  Escribe y selecciona 3 compromisos para ser un buen ciudadano digital, compártelos con tus compañeros
                   y realiza una ‘firma simbólica’.

               2.  Elaboren un mural con los compromisos del grupo.

               108   Matemática
                     2.º BG





         Matematica 2 BG Cultiva.indb   108                                                                          30/7/25   10:06
                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   108]]></page><page Index="13"><![CDATA[DUA
                     Socioemocional                                                               Participación




                    ¿Qué podemos hacer para cuidar la salud mental

                    de las y los adolescentes?



                   ©Shutterstock



                   ©Freepik






                         Comprender que el cerebro        Fomentar una comunicación         Resolver conflictos mediante
                        adolescente está en desarrollo            de calidad                  acuerdos y negociación














                         Fomentar colaboración entre
                           padres, madres, centros           Acompañar sin juzgar           Promover hábitos saludables
                          educativos y especialistas                                             físicos y mentales













                          Ofrecer acompañamiento
                          psicológico en momento             Incentivar la expresión             Gestionar el uso
                                 de crisis                     artística y creativa            de nuevas tecnologías



                  Taller

                  1.   Formen parejas de estudiantes y plantéense estas preguntas: ¿Qué cosas te hacen sentir bien o en calma? ¿Qué
                      haces cuando te sientes estresado o triste? ¿Quiénes son tus personas de confianza? ¿Qué lugar te hace sentir
                      seguro/a? ¿Qué actividad te ayuda a desconectarte o relajarte?
                  2.  Después de la conversación, cada estudiante completa una pequeña ficha creativa con los elementos que
                      aprendió sobre su compañero.

                                                                                                      Matemática  109
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   109
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   109                                                                          30/7/25   10:06]]></page><page Index="14"><![CDATA[3                      Gráficas de la tangente y cotangente









                                         D  isposición y compromiso
                    Saberes previos      Hasta ahora, hemos trabajado con las funciones seno y coseno, que son continuas
                                         y oscilan entre valores fijos. Pero, ¿qué pasa con las otras funciones trigonométricas:
                       ¿Sabes qué es la
                pendiente de una recta?  tangente, cotangente, secante y cosecante? Estas funciones también describen com-
                                         portamientos periódicos, pero tienen características muy especiales, como asíntotas
                                         verticales, lo que significa que no están definidas en ciertos puntos . Estudiar sus grá-
                                         ficas nos ayuda a entender mejor algunos fenómenos donde hay cambios bruscos,
                                         inclinaciones variables o comportamientos extremos.
                              x
                                         Un niño está columpiándose en un parque. La altura del columpio respecto del punto
                                         más bajo de su trayectoria depende del ángulo que forma con la vertical, como in-
                                         dica la figura (imagina una trayectoria circular formada por el movimiento del columpio).
                               d
               ©Shutterstock             La distancia horizontal d (en metros) a la que se encuentra el columpio desde su po-
                                         sición de equilibrio (punto más bajo) está modelada por la función:

                                                                       d(x) = 3 ⋅ tan(x)
                                         donde x es el ángulo (en radianes) que forma el columpio con la vertical.
                                         a)  ¿Cuál es la distancia horizontal cuando el columpio forma un ángulo de π/6
               El movimiento de un columpio   radianes con la vertical?
               es un ejemplo claro de un
               fenómeno periódico que    b)  ¿Qué valor tiene x cuando el columpio está a 3 metros de distancia horizontal?
               puede describirse utilizando
               funciones trigonométricas,
               especialmente el seno y la   Pienso y progreso
               tangente.                  ¿Cómo es el movimiento de un péndulo?


                                         U  nidad de conocimientos

                      Seguridad vial     Funciones tangente y cotangente. Características
                                               Característica             y = tan(x)              y = cot(x)
                         Las funciones
                    trigonométricas son   Dominio                      \  ⎧ ⎨  π +k k   ⎫       \ {  π ∈  }kk
                                                                              π ∈ ⎬
               esenciales en la ingeniería                               ⎩ 2        ⎭
                    vial, para garantizar   Recorrido                        ℝ                        ℝ
                     carreteras seguras,   Periodo                           π                        π
                       eficientes y bien
                    diseñadas. Desde el   Paridad                          impar                    impar
                peralte de curvas hasta la    Gráfica de la función tangente      Gráfica de la función cotangente
                 ubicación de señales, la                                                   y
                  trigonometría ayuda a                   y
                 prevenir accidentes y a                                                      y = cot(x)
                     optimizar el tráfico.
                                                             y = tan(x)
              ©Shutterstock                   – 5π 2  –2π 3π  –π  – π 2  0  π 2  π  3π 2  2π 5π 2  x  –2π  – 3π –π  – π 2  0  π 2  π  3π 2  2π 5π  3π  x
                                                   –
                                                                                      2
                                                                                                         2
                                                    2

               Investiga sobre el peralte en                                    π
                            las curvas.  Si la función es y = A.tan(Bx) el periodo es  =T  , o sea, la distancia entre dos asíntotas
                                         verticales.                            B

               110   Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   110                                                                          30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   110]]></page><page Index="15"><![CDATA[Funciones secante y cosecante. Características

                                                                                                      Ética e integridad
                         Característica            y = sec(x)               y = csc(x)
                                                  ⎧ π        ⎫                                   Cuando actúas con
                   Dominio                      \  ⎨  +k k                \ {  π ∈  }kk
                                                       π ∈ ⎬
                                                  ⎩ 2        ⎭                                   integridad, evitando el
                                                                                                 plagio, respetando las
                   Recorrido                     ]  ∞  ]–,–1  [  1,  [ ∞  ]  ∞  ]–,–1  [  1,  [ ∞
                                                                                                 normas y siendo justo,
                   Periodo                            2π                       π                 aprendes que el éxito
                   Paridad                            par                    impar               verdadero no se basa en
                                                                                                 atajos, sino en el esfuerzo
                        Gráfica de la función secante       Gráfica de la función cosecante      y la coherencia moral.
                                            1
                                      y = sec(x) =            .
                                  y        cos(x)
                                                                      y
                                                                                                                       ©Shutterstock
                                                                           y = csc(x)t


                           –5 –4 –3 –2  –1  1 1 2 3 4 5 6              1
                                                               –
                         –2π 3π  –π π 0  π  π 3π  2π 5π  3π x  –2π 2π  –π  – π  1 –1  π  π  3π  2π 3π  3π  x
                                –
                           –
                            2   2 –1  2  2  2                   2   2   2    2   2               ¿Qué consecuencias tiene el
                                                                                                 que copies en un examen?
                                                                                                 Dialoga con tus
                                                                                                 compañeros.
                  A  cción y expresión

                  Ejemplos paso a paso
                  1.  Respondamos las preguntas del problema inicial.

                      a)  ¿Cuál es la distancia horizontal cuando el columpio forma un ángulo de π/6
                         radianes con la vertical?

                   Paso 1. En la función d(x) = 3 ⋅ tan(x) hacemos d(π/6).  Paso 2. Efectuamos la operación.
                   d(π/6) = 3 ⋅ tan(π/6)                       d(π/6) = 1,73 m.
                                                                                                       Digital
                      b)  ¿Qué valor tiene x cuando el columpio está a 3 metros de distancia horizontal?

                   Paso 1. En la función dada, reemplazamos el  Paso 2. Despejamos tan(x) y aplicamos la   La calculadora debe estar
                   valor d = 3.                          función inversa.                        en modo de radianes para
                                                                                                 resolver problemas que
                   3 = 3 ⋅ tan(x)                               3                                impliquen uso de
                                                                     (
                                                                            xtan ; 1
                                                                        1
                                                         tanx() =  ;  tanx) = ⇒=  −1  x = 45 °
                                                                3                                funciones
                                                                                                 trigonométricas.
                  2.  Se tiene la función f(x) = tan(4x).
                      a)  Hallamos el dominio de la función.
                                           ⎧ π     π      ⎫
                         Domtan x)) (  ( 4  =  \  + ⎨  k , ∈  k  ⎬
                                           ⎩  ⋅ 24  4     ⎭
                      b)  Determinamos la frecuencia y el período.    y
                                                                       1
                                     π      π
                         f == 4;  T =  ;  T =
                            B
                                     B ||   4                –π  –π/2  0   π/2   π   3π/2  2π x
                      c)  Graficamos la función.
                                                                      –1



                                                                                                      Matemática  111
                                                                                                           2.º BG





         Matematica 2 BG Cultiva.indb   111                                                                          30/7/25   10:06
                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   111]]></page><page Index="16"><![CDATA[DUA
               Evaluación formativa                                                          Acción y expresión




               1.  Responde con verdadero (V) o falso (F) a las siguientes                  ⎛ 1  ⎞
                   afirmaciones, según corresponda.                3.  Se tiene la función  =y cot ⎜ x ⎟.
                                                                                                ⎠
                                                                                            ⎝ 4
                   a)  El dominio de la función tangente              a)  Escribe el dominio.
                      es el conjunto de los números reales.
                                                                         _____________________________________________
                   b)  La función y = tan(x) está definida
                      para todos los ángulos.                         b)  Halla el periodo.

                   c)  Las funciones tangente y cotan-                   _____________________________________________
                      gente tienen el mismo periodo.

                   d)  La  función  y  =  csc(x)  está  definida      c)  Determina la frecuencia.
                      para x = 0.                                        _____________________________________________

                                        ⎛ 1  ⎞
               2.  Se tiene la función  =y tan ⎜ x ⎟.                 d)  Escribe el recorrido.
                                        ⎝4  ⎠
                                                                         _____________________________________________
                   a)  Escribe el dominio.

                      _____________________________________________   e)  Indica si es una función par o impar.
                                                                         _____________________________________________
                   b)  Indaga el periodo.
                      _____________________________________________   f)  Grafica la función.


                   c)  Determina la frecuencia.                                          y
                      _____________________________________________
                                                                                       15
                   d)  Anota el recorrido.                                             10

                      _____________________________________________                      5

                   e)  Indica si es una función par o impar.                             0                  x
                                                                                       –5
                      _____________________________________________
                                                                                      –10
                   f)  Grafica la función.
                                                                                      –15



                                         y
                                       15                          4.  Se tiene la función y = sec(4x).
                                       10
                                                                      a)  Encuentra el dominio.
                                        5
                                                                         _____________________________________________
                                         0                x
                                       –5                             b)  Escribe el periodo.
                                      –10                                _____________________________________________

                                      –15                             c)  Calcula la frecuencia

                                                                         _____________________________________________

               112   Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   112                                                                          30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   112]]></page><page Index="17"><![CDATA[d)  Expresa el recorrido.
                                                                        Actividad cooperativa
                         _____________________________________________
                                                                     6.  En parejas, resuelvan el siguiente problema.

                      e)  Indica si es una función par o impar.          Un ingeniero vial está evaluando una curva en una
                                                                         carretera rural donde han ocurrido varios accidentes.
                         _____________________________________________   Para mejorar la seguridad, necesita calcular la dis-
                                                                         tancia a la que un conductor puede comenzar a
                      f)  Grafica la función.
                                                                         ver un obstáculo (como un vehículo detenido o un
                                                                         animal) al entrar en la curva.
                                                                         Se ha observado que esta distancia horizontal  d,
                                           y
                                                                         medida desde el punto inicial de la curva hasta el
                                           2                             punto donde el conductor comienza a ver el obs-

                                           1                             táculo, depende del ángulo x que forma su línea
                                                                         de visión con la dirección tangente a la curva. Esta
                             –4  –3  –2  –1  0  1   2   3   4  x         relación se modela mediante la función:
                                          –1                             y = 15 tan(x)
                                          –2                             donde:
                                                                         d es la distancia horizontal en metros,
                                          –3
                                                                         x es el ángulo de visión inicial, medido en radianes,
                                                                         A = 15 representa una constante que depende del
                                                                         diseño de la curva.
                                                                         ¿A qué distancia puede ver el obstáculo un con-
                                           ⎛ 1  ⎞
                  5.  Se tiene la función  =y cot ⎜ x ⎟.                 ductor si el ángulo de visión es 6/π radianes?
                                           ⎝ 4  ⎠

                      a)  Enuncia el dominio.
                         _____________________________________________

                      b)  Halla el periodo.

                         _____________________________________________
                                                                         ¿Cuál debe ser el valor del ángulo x para que el con-
                      c)  Anota la frecuencia.                           ductor pueda ver el obstáculo a una distancia de 30
                         _____________________________________________   metros ?


                      d)  Halla el recorrido.
                         _____________________________________________

                      e)  Indica si es una función par o impar.

                         _____________________________________________


                    Necesidades educativas                             Indaguemos
                                                                     7.  Averigua las aplicaciones de la trigonometría en la
                     Si tienes un compañero con alguna dificultad específica
                     con el aprendizaje de algún tema, puedes ayudarle   seguridad vial y tránsito. Indaga de qué manera se
                     explicando en un tiempo extra aquello en lo que tenga   puede usar la función tangente en el cálculo de dis-
                     dificultad. Eso es ser un buen amigo y compañero.   tancias de frenado y visibilidad. Elabora un dibujo
                                                                         de esta aplicación.



                                                                                                      Matemática  113
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   113
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   113                                                                          30/7/25   10:06]]></page><page Index="18"><![CDATA[DUA
                  Digital                                                                    Participación



               Análisis de funciones en Qwen


               Introducción

               Qwen es un modelo de lenguaje de gran tamaño desarrollado por Alibaba Cloud. Este
               modelo tiene una capacidad de razonamiento avanzada, soporte multilingüe y una
               gran cantidad de conocimientos, capaz de responder preguntas, crear textos, escribir
               historias, documentos oficiales, correos electrónicos, guiones, realizar razonamientos
               lógicos, programación, entre otros, además de expresar opiniones y ejecutar juegos. Se
               puede utilizar para obtener información, resolver problemas o simplemente conversar.

              Características/elementos de esta IA

               Abre el link https://chat.qwen.ai/
               Puedes crear una cuenta o iniciar con una cuenta de Google.

               Una vez iniciada la sesión, en el cuadro de diálogo podrás rea-
               lizar las consultas que desees. Para ello, escribe en una forma
               clara la pregunta o instrucción. Es posible copiar una imagen, y
               pegarla en el cuadro de diálogo.



              Ejercicio resuelto

               Analizaremos una función trigonométrica mediante Qwen.

               a)  Escribimos la orden en el cuadro de diálogo.

                   Analiza la función y = 3cos(3x + 2) – 1.

               b)  Damos «enter» y Qwen empieza a realizar la tarea planteada:


                 Identificar los parámetros en tu función:          3.   Desplazamiento horizontal (fase):
                 Dada la función:                                                          C  2
                                                                                      Fase – –  – –
                                 y – 3cos(3x + 2) – 1                                      B  3
                                                                                                  2
                 Comparando con la forma general, identificamos:    La gráfica está desplazada hacia la izquierda en   unidades.
                 •  A – 3: Amplitud                                                               3
                                                                    4.   Desplazamiento vertical:
                 •  B – 3: Usado para calcular el período
                 •  C – 2: Usado para calcular el desplazamiento horizontal              D – –1
                                                                    La gráfica está desplazada hacia abajo 1 unidad.
                 •  D –  –1: Desplazamiento vertical
                                                                    Dominio y rango:
                 Análisis detallado:
                                                                    •  Dominio: todos los número reales, ya que la función coseno está definida
                 1.   Amplitud:                                       para todo x.
                                     |A| – 3                           Dom(y) – ℝ
                 Esto significa que la gráfica oscila entre –3y + 3 respecto del eje central   •  Rango: la función coseno normal tiene rango [–1, 1], pero aquí se mul-
                 (que no es el eje x por el desplazamiento vertical).  tiplica por tres y se resta1:
                 2.   Período:                                                      y – 3cos(3x + 2) – 1.
                                        2π  2π
                                 |Período –    –                       Como cos(⋅) varía entre –1, 1 entonces:
                                        |B|  3
                                                                                 3 cos(⋅) ∊ [–3, 3]   y ∊ [–4, 2]
                                            2π
                 Es decir, la función completa un ciclo cada    unidades.     Por lo tanto el rango es:   [–4,2]
                                             3
               114   Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   114                                                                          30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   114]]></page><page Index="19"><![CDATA[Actividades con Qwen

                  1.   Usa Qwen para analizar la función que desees.

                  2.   Escribe en el cuadro de diálogo la función.

                  3.  Realiza una captura de pantalla del resumen final del ejercicio y pégala en el espacio en blanco.












































                  4.   Analiza las siguientes funciones y verifica el procedimiento y las respuestas mediante Qwen.

                      a)  y = 2sen(4x – 3) – 2                           b)  y = 2sec(x – 1) + 2












                  5.   Indaga otras funciones de Qwen. ¿Cuál es la que más te impresionó? Adicionalmente, escribe la importancia
                      del uso de las IA en matemática en un contexto ético.

                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________

                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________


                                                                                                      Matemática  115
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   115
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   115                                                                          30/7/25   10:06]]></page><page Index="20"><![CDATA[4                      Identidades trigonométricas









                                         D  isposición y compromiso
                    Saberes previos      Una identidad es una igualdad que siempre se cumple, independientemente de los
                                         valores que tomen sus variables. Las identidades trigonométricas permiten relacionar
                 ¿Cuándo una expresión
                  matemática es igual a   entre sí las diferentes razones trigonométricas y utilizarlas para modelar fenómenos
                                otra?    reales, como el movimiento ondulatorio, el análisis de corrientes eléctricas o el cálculo
                                         de alturas y distancias inaccesibles, entre otras aplicaciones.

                                         Rodrigo desea colocar una escalera contra una pared para pintar su casa. Quiere ase-
                                         gurarse de que la escalera esté en un ángulo seguro para evitar accidentes. La escalera
                                         mide 5 metros de largo y el pie de esta la ubica a 1,5 metros de la pared.
                                         a)  ¿A qué ángulo se encuentra inclinada la escalera ?
                                         b)  Si θ es el ángulo de inclinación, verifica que se cumple sen (θ) + cos (θ) = 1
                                                                                                       2
                                                                                               2
               ©Shutterstock              Pienso y progreso
                                          ¿Por qué los triángulos son usados en estructuras y edificaciones?

                                         U  nidad de conocimientos
               La trigonometría es una
               herramienta fundamental;   Una identidad trigonométrica es una igualdad que involucra funciones trigonométricas
               permite calcular distancias,   y se cumple para todos los valores del ángulo en los que están definidas.
               alturas y ángulos de manera
               indirecta.                Identidades recíprocas y de cociente
                                         Son aquellas que relacionan una función con su inversa multiplicativa. Resultan de las
                                         razones trigonométricas que revisamos en el tema 1.
                                                                      1                  senx()
                                                            senx () =             tanx () =
                        Educación                                   cscx ()                cosx ()
                        financiera                                    1
                                                            cosx () =
                Lleva un presupuesto. Así                           secx ()              cosx()
                puedes comparar lo que                                1           cotx () =  senx()
                ganas con lo que gastas,                    tanx () =
                      ajustar lo que sea                            cotx ()
                necesario y asegurarte de   Identidades pitagóricas                                   y
                 no gastar más de lo que   En el círculo unitario se cumple r  = x  + y  dividimos para r    (x, y)
                                                                                           2
                                                                            2
                                                                     2
                                                                         2
                       tienes. Un buen
                 presupuesto te ayuda a   y reemplazamos x = r.cos(θ) y y = r.sen(θ), tenemos            r   y
                   tomar decisiones más                   cos (θ) + sen (θ) = 1                          θ
                                                                     2
                                                             2
                 inteligentes y a alcanzar                                                               x         x
                   tus metas financieras.  También se comprueban las identidades:
                                                                                2
                                                      2
                                                                         2
                                                  +
                                                                         (
                                                 1 tan θ()  =  2   1 cot θ)  =  csc θ)
                                                                    + sec θ ();
                                                                                 (
              ©Shutterstock              Funciones de la suma y diferencia de dos ángulos
                                         Para dos ángulos cualesquiera, se cumplen las siguientes identidades trigonométricas.
                                                      ()
                                                                   ()
                                            (
                                         senx +  y) =  sen xcos y()+ cos xsen y()          tanx ()+ tany ()
                                                                                tanx ( +  y) =
                                                      ()
                                                                   ()
                                            (
                  Averigua a tus padres si   senx y) =  sen xcos y()− cossx seny()          1−  tanx tany ()
                                              −
                                                                                                ()
                  realizan un presupuesto   cosx +  y) =  cos xcos y()− sen xsen y()       tanx ()− tan(y)
                                                                                                      y
                                                      ()
                                                                   ()
                                            (
                              familiar.                                         tanx y) =
                                                                                   ( −
                                                                                                 ()
                                            (
                                                            (
                                                        )
                                                                        (
                                                                     )
                                                                   (
                                         cosx +  y) =  cos(xxcos y)+ sen xsen y)            1+  tanx tany ()
               116   Matemática
                     2.º BG
                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   116                                                                          30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   116]]></page><page Index="21"><![CDATA[A  cción y expresión

                  Ejemplos paso a paso
                  1.  Respondamos las preguntas del problema inicial.

                      a)  ¿A qué ángulo se encuentra inclinada la escalera?
                                                                                                           5 m
                   Paso 1. Identificamos los datos conocidos y la   Paso 2. Usamos la función inversa
                   incógnita del problema.                 de cos(x) y determinamos el valor del
                                                           ángulo x.
                   La longitud de la escalera es la hipotenusa,
                   la distancia es el cateto opuesto y el ángulo   , 15     −1   15
                                                                               ,
                                                                        =
                   desconocido x.                          cosx() =  5  ⇒  xcos      5       x ;   =72 , ° 5
                                                                                                                  x
                                                    2
                      b)  Verificamos que se cumple sen  (x) + cos  (x) = 1                             1,5 m
                                                            2
                         sen (72,5°) + cos (72,5°) = 1
                                       2
                            2
                         0,91 + 0,09 = 1
                  2.  Verifiquemos la siguiente identidad trigonométrica.
                                                                                                        Matemática
                              2
                      cotu secu() = tanu ()
                         ()
                             2
                       1+ cotu()                                                                 Funciones de ángulo
                      Solución:                                                                  doble
                                                                                                   (
                                                                                                 senx) 2 senx cosx()
                                                                                                            ()
                                                                                                    2
                                                                                                       =
                                      cos uh    1              1                                           2      2
                                         ^
                                                                                                      )
                               2
                                                2
                         ^
                                ^
                                                 ^
                                                            ^
                                                                  ^
                      cot uh sec uh  =  sen uh  cos uh  =  sen uh cos uh  =                      cosx(2 =  cosx()–  senx()
                                         ^
                                                                   2
                             2
                                              2
                                                          2
                       1 + cot uh          cos uh      sen u +  cos uh                           tanx) =  2 tanx()
                              ^
                                                                    ^
                                                           ^ h
                                               ^
                                                                                                    2
                                                                                                   (
                                        1 +   2                2                                         1–  tanx()
                                                                                                             2
                                                               ^
                                               ^
                                           sen uh           sen uh
                            1                                                                    Funciones de ángulo
                                           2                                                     mitad
                      senuh cos uh      sen uh       senuh
                                                        ^
                                            ^
                               ^
                         ^
                                                                ^
                            1       =  sen uh cos uh  =  cos uh  =  tan uh .                     sen ⎛  x ⎞  =  1− cos x()
                                        ^
                                                        ^
                                               ^
                            2
                             ^
                                                                                                     2 ⎠
                                                                                                   ⎝
                         sen uh                                                                    ⎜ ⎟       2
                  3.  Hallemos el sen(3x).                                                          ⎛  x ⎞  1+  cos x()
                                                                                                 cos ⎜ ⎟  =
                                                                                                     2
                   Paso 1. Expresamos sen(3x) = sen(2x + x ) y aplicamos la función seno de la suma de dos   ⎝ ⎠  2
                   ángulos.                                                                         ⎛  x ⎞  1−cosx()
                      2
                      (
                                            2
                                              )
                                            (
                                (
                                  )
                                2
                   senx x) =  sen xcos x()+ cos xsen x()                                         tan ⎜ ⎟  =
                         +
                                                                                                    ⎝  2 2 ⎠    senx()
                   Paso 2. Sustituimos el valor de la función sen(2x) y realizamos las operaciones.
                                                      2
                   sen(3x) = (2sen(x) cos(x)) cos(x) + (cos (x) – sen (x)) sen(x)
                                                2
                   sen(3x) = 2sen(x) cos (x) + cos (x) sen(x) – sen (x)
                                   2
                                          2
                                                     3
                   sen(3x) = 3sen(x) cos (x) – sen (x)
                                          3
                                   2
                   Paso 3. Reemplazamos cos (x) = 1 – sen (x)
                                                    2
                                         2
                   sen(3x) = 3sen(x) (1 – sen (x)) – sen (x)
                                              3
                                      2
                   sen(3x) = 3sen(x) – 4sen (x)
                                     3
                   Interdisciplinariedad                                                   ©Shutterstock
                    Una de las aplicaciones de las funciones trigonométricas está
                    en geografía, en el cálculo de distancias en un mapa. Se habla,
                    entonces, de paralelos y meridianos, que son las líneas en una             Paralelos y meridianos
                    circunferencia, muy utilizadas para el cálculo de la longitud.             terrestres.
                                                                                                      Matemática  117
                                                                                                           2.º BG
                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   117                                                                          30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   117]]></page><page Index="22"><![CDATA[DUA
               Evaluación formativa                                                          Acción y expresión




               1.  Responde con verdadero o falso a las siguientes    d)  tanx()+ cotx()
                                                                                              2
                                                                                        1
                   afirmaciones                                              tanx()    =+  cotx()
                   a)  sen (x) + cos (x) = 1
                                 2
                         2
                              cosx ()
                   b)  tanx () =
                                senx ()
                                1
                   c)  tanx() =
                                cotx ()
                                2
                   d)  sec (x) – tan (x) = 1
                         2
                                                                               2
                         2
                   e)  csc (x) – cot (x) = 1                          e)  1−tanx ()  =−    2
                                2
                                                                                    12senx()
                                                                          1+tanx ()
                                                                               2
               2.  Utiliza las identidades trigonométricas, simplifica
                   la expresión y selecciona su equivalente.
                   sen(x) ⋅ cot(x)
                   a)  1                    c)  sen(x)
                   b)  cos(x)               d)  tan(x)
               3.  Verifica las siguientes identidades trigonométricas.
                                                                                       2
                                                                            2
                                       ()
                   a)  tanx()+ cotx() =  secx cscx()                  f)  sen ^ h u  1 ^ + cot ^ h h u  = 1









                                                                            2
                                                                                     2
                   b)   senx()  =  1− cosx()                          g)  csc a +  sec ah  =   1
                                                                             ^ h
                                                                                      ^
                                                                              2
                                                                               ^
                                                                                     ^
                                                                                               ^
                      1+ cosx()   senx ()                                  csc ah sec ah    cos ah





                                                                                   x
                                                                                 2
                   c)       1      =  secx()− tanx()                  h)   1 +  cot ^ h  =  cot ^ h
                                                                                            3
                                                                                              x
                                                                            2
                                                                              x
                       secx()+ tanx()                                     sec ^ h cot x ^ h










               118   Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   118                                                                          30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   118]]></page><page Index="23"><![CDATA[4.  Utiliza el seno y el coseno de la suma y diferencia de      2
                                                                                    x
                      dos ángulos y demuestra las siguientes igualdades.     1−tan
                                                                         d)           2
                                                                                    x
                      a)  cos (2π – θ) = cos (θ)                             1+tan 2

                                                                                    2







                      b)  cos (π/2 + θ) = –sen (θ)
                                                                       Necesidades educativas

                                                                         En ocasiones existen compañeros que tienen
                                                                         dificultades auditivas. En este caso, háblales de frente, ya
                                                                         que ellos, por lo general, suelen aprender a leer los
                                                                         labios para descifrar los mensajes.

                      c)  sen(4x)cos(3x) + cos(4x)sen(3x) = sen(7x)
                                                                        Actividad cooperativa
                                                                     6.  Trabajen en parejas y comprueben las siguientes
                                                                         identidades trigonométricas.
                                                                               2
                                                                         a)  sen (a + b) – sen(a – b) = sen(2a)sen(2b).


                  5.  Utiliza identidades trigonométricas y  simplifica
                      las siguientes expresiones.

                                       2
                      a)  ( senx()+ cosx()) +( senx()− cosx()) 2
                                                                               2
                                                                         b)  cos (a + b) – cos(a – b) = sen(2a)sen(2b).





                      b)   2tanx()
                         1 tanx()
                               2
                          +
                                                                                                             2
                                                                                                     2
                                                                         c)  cos(a + b)cos(a – b) = 1 – sen (a) – sen (b).





                                x

                         1−cos                                         Indaguemos
                      c)          2                                  7.  Investiga la transformación de la suma y diferencia
                               x
                           sen                                           de senos y cosenos en productos.

                                 2
                                                                         Transforma
                                                                         a)  la suma y diferencia de sen(3x) y sen(5x) en pro-
                                                                            ducto.
                                                                         b)  la suma y diferencia de  cos(4x) y  cos(2x) en
                                                                            producto.

                                                                                                      Matemática  119
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   119
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   119                                                                          30/7/25   10:06]]></page><page Index="24"><![CDATA[DUA
                   Matemática                                                                Participación


                 Rutina de pensamiento: 'Analiza, modela y toma decisiones'


               Contexto: instalación de una antena de televisión


               René es un técnico de instalaciones eléctricas y debe colocar una antena de televi-
               sión en el techo de una casa. Para asegurarse de que la antena esté bien sujeta y no
               se caiga con el viento, decide colocar un cable de soporte desde la parte superior de
               la antena hasta el suelo, de modo que se forma un triángulo rectángulo.

               Él sabe que la altura desde la punta de la antena hasta el suelo es de 4 metros y,
               según la norma de instalación, el cable debe formar un ángulo de 60° respecto del
               suelo. Entonces, requiere calcular cuántos metros de cable necesitará y a qué distan-
               cia horizontal desde la base deberá fijarlo al suelo.                                                ©Shutterstock

                 Fases de la rutina
               1.  Analiza. Problema: ¿qué está pasando?
               René está trabajando con un triángulo rectángulo.
               a)  ¿Qué parte del triángulo constituye el cable con el que va a sujetar la antena?
                   El cable es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

               b)  Respecto del ángulo conocido, ¿cuáles son los catetos opuesto y adyacente?
                   El cateto opuesto es la altura a la que se encuentra la antena y el adyacente es la distancia medida sobre el
                   suelo.
               c)  ¿Qué razones trigonométricas conviene utilizar para la resolución del problema?
                   Este es un típico caso de trigonometría en triángulos rectángulos, donde se pueden usar el seno y el coseno
                   de un ángulo conocido.

               2.  Modela. Paso a paso
               Paso 1                                             Paso 2
               Identificamos los elementos del triángulo rectángulo.  Aplicamos las razones trigonométricas   h
                                                                                                      4m
               Altura de la antena (cateto opuesto al ángulo de 60°):   sen(60°=  4            x
                                                                         )
               4 m                                                          h       cos(60°=   , 462           60°
                                                                                           )
               Ángulo entre el cable y el suelo: 60°              h =    4           x 462=  ,  ⋅ cos(60° )  x
               Cable = hipotenusa (h)                                 sen(60° )      x 231 m
                                                                                         ,
                                                                                      =
                                                                       ,
                                                                  h 462 m
                                                                    =
               Distancia horizontal = cateto adyacente (lo llamamos x )
               3.  Toma decisiones. Propón estrategias
               a)  ¿Cuántos metros de cable debe comprar René?
                   Porque además debe hacer nudos y amarres, René debe comprar al menos 5 metros de cable.
               b)  ¿Cómo puede verificar René que las mediciones son correctas?
                   Como estrategia adicional, René debe verificar las mediciones con una cinta métrica y un transportador de
                   ángulos, para que el cable realmente forme un ángulo de 60° en relación con el suelo y así garantizar la estabi-
                   lidad de la antena frente al viento.



               120   Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   120                                                                          30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   120]]></page><page Index="25"><![CDATA[Aplico rutinas de pensamiento


                  Contexto: instalación de una rampa
                  para sillas de ruedas

                  Las rampas son esenciales para la accesibilidad de personas con discapacidad motriz, ya que
                  les permiten trasladarse de forma segura y autónoma, eliminando barreras y promoviendo
                  la inclusión. En una clínica con un escalón de 0,6 metros, se planea construir una rampa con
                  un ángulo máximo de 5°, aprovechando los 7 metros disponibles frente a la entrada.                   ©Shutterstock

                    Fases de la rutina
                  1.  Analiza. Problema: ¿qué está pasando?

                  El problema se resuelve aplicando las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
                  a)  ¿Qué parte del triángulo es la longitud de la rampa?

                      __________________________________________________________________________________________________________
                  b)  Respecto del ángulo de inclinación de la rampa, ¿cuáles son los catetos opuesto y adyacente?

                      __________________________________________________________________________________________________________

                  c)  ¿Qué razones trigonométricas convienen utilizar para la resolución del problema?
                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________

                  2.  Modela. Paso a paso
                  Paso 1

                  Identificamos los elementos del triángulo rectángulo.

                  _____________________________________________________
                  _____________________________________________________
                  _____________________________________________________

                  _____________________________________________________
                  Paso 2

                  Aplicamos las razones trigonométricas







                  3.  Toma decisiones. Propón estrategias
                  a)  ¿Es posible construir una rampa con una inclinación menor o igual a 5° dentro del espacio disponible?

                      __________________________________________________________________________________________________________
                  b)  Indica tres propuestas para mejorar el diseño de la rampa

                      ____________________________________________________  ____________________________________________________
                      ____________________________________________________  ____________________________________________________
                      ____________________________________________________  ____________________________________________________


                                                                                                      Matemática  121
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   121                                                                          30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   121]]></page><page Index="26"><![CDATA[5                      Ecuaciones trigonométricas









                                         D  isposición y compromiso
                    Saberes previos      Permiten modelar fenómenos periódicos, como el movimiento de un péndulo o las
                                         ondas de sonido, entre otras aplicaciones. Al resolver estas ecuaciones podemos en-
               ¿Cuál es el valor de x en la
                   ecuación 2x + 3 = 9?   contrar ángulos desconocidos que satisfacen ciertas condiciones.
                                         Un péndulo es un sistema físico compuesto por una masa suspendida de un punto
                                         fijo mediante un hilo o varilla, que permite oscilar libremente bajo la acción de la
                                         gravedad. Cuando se desplaza de su posición de equilibrio y se suelta, el péndulo
                                         comienza a moverse de manera periódica.

                                         Un péndulo tiene una longitud tal que realiza una oscilación completa (ida y vuelta)
                                         cada 4 segundos. El desplazamiento horizontal de la masa del péndulo respecto de
                                         su posición de equilibrio está dado por la función:
               ©Shutterstock                                         xt() =15  cos  ⎛ π  t  ⎞ ⎟ ⎠
                                                                                ⎜
                                                                                ⎝ 2

                                         donde x(t) es el desplazamiento horizontal en centímetros y t es el tiempo en segundos.
                                         ¿En qué momentos durante los primeros 8 segundos el péndulo pasa por su posi-
                                         ción de equilibrio?

                                          Pienso y progreso
               Los relojes de péndulo son   Averigua sobre los relojes de péndulo. ¿Cuáles son sus ventajas y limitaciones?
               un ejemplo clásico del uso
               práctico del movimiento
               periódico en la medición del   U  nidad de conocimientos
               tiempo.
                                         Una ecuación trigonométrica es una igualdad que contiene funciones trigonométricas
                                         de una o más variables, donde la incógnita generalmente es el ángulo que hace
                        Educación        cierta la igualdad.
                        financiera
                                         Resolver una ecuación trigonométrica es encontrar los valores del ángulo desconocido
                El ahorro te protege ante   que satisface a la ecuación dada, las ecuaciones trigonométricas pueden tener múlti-
                  imprevistos, te permite
               cumplir metas y reduce el   ples soluciones, ya que las funciones trigonométricas son periódicas. Esto quiere decir,
                     estrés económico,   que sus valores se repiten cada cierto intervalo. Por ejemplo: sen(x) = ½ se cumple
                       mientras genera   para x =30°, x =150° y también para los ángulos sumados a cualquier número de
                    oportunidades para   vueltas completas, o sea múltiplos de 360°.
                 invertir y hacer crecer tu
                      dinero. Pequeñas   Formas comunes de expresar las soluciones
               cantidades guardadas con          Ecuación             Solución en grados     Solución en radianes
               constancia se transforman
                        en seguridad y                            x = θ + 360°k            x = θ + 2πk
                  posibilidades a futuro.  sen(x) = a             x = 180° – θ +360°k      x = π – θ + 2π k

                                                                  x = θ + 360°k            x = θ + 2πk
                                          cos(x) = a
              ©Shutterstock               tan(x) = a              x = – θ +360°k           x = – θ + 2π k
                                                                  x = θ + 180°k
                                                                                           x = θ + πk

               Averigua la ventaja de abrir   θ es un ángulo conocido cuyo seno, coseno o tangente es a, y k es un número entero.
                  una cuenta de ahorros.


               122   Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   122
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   122                                                                          30/7/25   10:06]]></page><page Index="27"><![CDATA[A  cción y expresión

                  Ejemplos paso a paso
                                                                                                        Matemática
                  1.  Resolvamos el problema inicial.
                      ¿En qué momentos durante los primeros 8 segundos el péndulo pasa por su    Estrategias para resolver
                      posición de equilibrio?                                                    ecuaciones
                                                                                                 trigonométricas
                   Paso 1. Identificamos la posición de equilibrio en x(t)=0  Paso 2. Hallamos los valores de   Usar identidades
                   y resolvemos la ecuación.                     t para los que el péndulo pasa   trigonométricas. Por
                                                                 por su posición de equilibrio
                        ⎛ π  ⎞     ⎛  ⎞                                                          ejemplo:
                   15 cos ⎜  t =  0 cos;  ⎜  t =  0
                                      ⎟
                           ⎟
                        ⎝  2 ⎠     ⎝  2 ⎠                        t = 1 s; t = 3 s; t = 5 s; t = 7 s  sen (x) + cos (x) = 1
                                                                                                          2
                                                                                                   2
                   ⎛ π  ⎞   − 1  ⎛ π  ⎞  π  3π  5π  7π                                                  senx()
                      ⎟
                                    ⎟
                   ⎜  t =  cos  0 ();    ⎜ ⎜  t =  ,  ,  ,    ,...                               tanx () =
                   ⎝  2 ⎠       ⎝  2 ⎠  2  2  2   2                                                       cosx ()
                  2.  Resolvamos la ecuación cot(x) + cos(2x)csc(x) + csc(x) = 0 para valores entre 0 y 360°.  •  Expresar la ecuación
                                                                                                   en términos de
                      a)  Mediante identidades trigonométricas, expresamos las funciones en términos   funciones de un
                         de seno y coseno.                                                         mismo ángulo.
                                                                                                 •  Expresar todas las
                         cosx () +( cosx ()− senx ())  1  +  1  = 0                                funciones en términos
                                            2
                                    2
                          senx ()                senx ()  senx ()                                  de la misma función.
                                    2
                                     ()− senx
                         cosx () cosx       2 () +  1  = 0                                       •  Resolver como una
                               +
                                                    ()
                                        ()
                          senx ( ) )  senx       senx                                              ecuación algebraica,
                                                                                                   sustituyendo la
                                     ()−−coos x ())
                                    2
                            ()
                         cosx  +  cosx (  1    2    +  1   = 0                                     función por una
                            ()
                          senx         senx ()       senx ()                                       variable.
                                     2
                         cosx ()  2 cosx ()− 1  1                                                •  Buscar todas las
                               +           +      = 0                                              soluciones posibles.
                          senx ()  senx ()   sennx()                                               Recuerda que las
                                                                                                   funciones
                      b)  Resolvemos la ecuación.                                                  trigonométricas son
                         cosx ()+  cosx ()−2  2  1 +1 = 0                                          periódicas.
                                senx ()                                                          •  Usar la calculadora
                                                                                                   para ángulos no
                         cosx ()+  cosx () =2  2  0                                                notables. Si no tienes
                               (
                               12
                         cosx () +  cosx ( ))  ) = 0                                               un valor conocido,
                                                                                                   puedes usar la función
                                             () = 0
                                        + 0
                            () = cosx  ;  1 2cosx                                                  inversa para encontrar
                                                                                                   un ángulo solución.
                      c)  Determinamos los valores del ángulo x y escribimos la solución general.

                                 0
                         cosx() =→ =  x 90 270 °
                                           ; °
                         12  cosx() =  0
                          +
                         2 cosx() =−1
                                  1
                         cosx() =− →=120    °;;   °
                                      x
                                  2
                         Solución: x = 90°; 120°; 240°; 270°.
                          Digital
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                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   123
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   123                                                                          30/7/25   10:06]]></page><page Index="28"><![CDATA[DUA
               Evaluación formativa                                                          Acción y expresión




               1.  Responde con verdadero o falso según corresponda.  d)  Un ángulo mayor a 360°

                   a)  Una ecuación trigonométrica siem-
                      pre tiene una única solución.
                   b)  La ecuación  sen(x) = 2 no tiene               e)  Un ángulo mayor a 720° en el tercer cuadrante.
                      solución.
                   c)  La ecuación cos(x) = −½ tiene solu-
                      ciones en los cuadrantes II y III.
                   d)  Todas las ecuaciones  trigonomé-            4.  Resuelve las siguientes ecuaciones, luego selec-
                      tricas se pueden resolver usando                ciona los ángulos que no sean parte de su solución.
                      identidades trigonométricas.
                                                                      A)  sen(2x) = cos(x) 0
                   e)  La ecuación tan(x) = 0 tiene solucio-
                      nes en x = 0, π, 2π,…

               2.  Relaciona las siguientes ecuaciones con su solución.

                   a)  cos(x) = 0               A)   π  + 2 k         a)  270°   b)   390°    c)   180°   d)   510°
                                                        π
                                                    2
                                                                            2
                   b)  cos(x) = 1               B)  πk                B)  sen (x) = 1/4

                   c)  sen(x) = 0               C)   π  + k
                                                       π
                                                    2
                   d)  sen(x) = 1               D)  2πk               a)  30°    b)   150°    c)   210°   d)   300°

               3.  Resuelve la siguiente ecuación, luego escribe una
                                                                            2
                   solución que cumpla con las condiciones solicitadas   C)  tan (x) –3 = 0
                   en cada literal.
                   2sen(x) + 1 = 0


                                                                      a)  240°   b)   250°    c)   300°   d)   480°

                                                                      D)  sec (x) – 4 = 0
                                                                            2
                   a)  Un ángulo en el tercer cuadrante.




                                                                      a)  60°    b)   180°    c)   300°   d)   480°
                   b)  Un ángulo en el cuarto cuadrante.

                                                                      E)  4 cos (2x) – 1 = 0
                                                                              2

                   c)  Un ángulo negativo.


                                                                      a)  90°    b)   120°    c)   150°   d)   240°


               124   Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   124                                                                          30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   124]]></page><page Index="29"><![CDATA[5.  Halla, en radianes, todos los ángulos comprendidos   Necesidades educativas
                      entre 0 y 2π que son solución de las siguientes
                      ecuaciones.                                        Al trabajar en equipo es importante apoyar la
                                                                         autonomía, el desarrollo personal, compartido y
                             2
                      a)  2senx()−  3senx()+ 10                          colaborativo, pero siempre respetando las posibilidades
                                           =
                                                                         propias de cada integrante.


                                                                        Actividad cooperativa
                                                                     7.  En parejas, resuelvan el siguiente problema
                                                                         Se tiene un péndulo cuyo desplazamiento horizontal
                      b)  ( senx()− )(  cosx()+ ) = 0
                                           1
                                 12
                                                                         (respecto de su posición de equilibrio) está dado
                                                                         por la función:
                                                                                   ⎛ π  ⎞
                                                                         xt() =10 cos  ⎜  t  ⎟
                                                                                   ⎝ 3  ⎠
                                                                         Respondan las preguntas:


                                        2
                                             3
                                 24
                      c)  ( cscx()+ )(  cosx()− ) = 0                    a)  ¿En qué momentos durante los primeros 12
                                                                            segundos pasa el péndulo por su posición de
                                                                            equilibrio (x(t) = 0)?




                                    ()
                      d)  cotx()+2 cotx senx() = 0
                                                                         b)  ¿A qué distancia de la posición de equilibrio se
                                                                            encuentra el péndulo a los 2 segundos ?






                  6.  Resuelve las siguientes ecuaciones para valores
                      del ángulo comprendido entre 0° y 360°             c)  ¿En qué instante el péndulo se encuentra por
                                                                            primera vez a 5 cm a la derecha de su posición
                                     2
                      a)  3cosx()+  2senx() = 0                             de equilibrio?







                      b)  senx()−23 cosx() = 0
                                       2
                                                                       Indaguemos

                                                                     8.  Dibuja  o  busca  una  gráfica  que  represente  una
                                                                         función seno o coseno.
                                                                         Indica cómo se relaciona esta gráfica con la idea de
                                                                         resolver una ecuación trigonométrica.




                                                                                                      Matemática  125
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   125
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   125                                                                          30/7/25   10:06]]></page><page Index="30"><![CDATA[DUA
                                                 Textos y lecturas
                   Comunicacional                desde la Internet                            Participación


               Einstein y su chofer




               "Albert Einstein formuló la teoría de la relatividad especial, en 1905, y la teoría de la relatividad general, en 1916,
               entre otros numerosos e importantes trabajos publicados a principios del siglo XX. La complejidad de sus estudios
               recibió, de una manera asombrosa, la aceptación pública. Sin embargo, era otra época y aunque a principios de
               los años 20, hace justo un siglo, el nombre de Einstein empezaba a ser conocido por su teoría de la relatividad, su
               aspecto no lo era tanto, por lo que realmente casi nunca lo reconocían cuando acudía a impartir una de sus fre-
               cuentes conferencias, solicitado por las distintas universidades.

               Dado que no le gustaba conducir y, sin embargo, el auto le resultaba muy cómodo para sus desplazamientos,
               contrató los servicios de un chofer. El buen conductor transportaba al genio a cada conferencia y, en una ocasión,
               le escoltó en un largo viaje de bastantes días (una especie de gira), acompañándole no solo en el vehículo, sino
               también en la propia charla a la que asistía como un oyente más, hasta que finalizaba y lo escoltaba de nuevo al
               auto. Después de unas semanas de viaje, Einstein le confesó al chofer lo aburrido que le resultaba repetir lo mismo
               una y otra vez. El chofer, comprensivo, le contestó: «Si quiere le puedo sustituir por una noche. He escuchado su
               conferencia tantas veces que creo que la puedo recitar palabra por palabra».
                                         A Einstein le pareció una buena idea, además de divertida, de modo que aceptó la
                                            propuesta y poco antes de llegar al siguiente recinto intercambiaron sus ropas.
                                                 Einstein llegó al volante. De ese modo entraron a la sala donde se iba a
                                                   celebrar la conferencia y, como ninguno de los académicos ni personas
                                                     del público asistente conocía el aspecto real del verdadero científico,
                                                     no se descubrió el engaño. El chofer subió al estrado y Einstein tomó
                                                      asiento en las últimas filas debidamente disfrazado con su atuendo de
                                                      conductor profesional.

                                                      Desde luego, el chofer tuvo su momento de gloria. Expuso la confe-
                                                            rencia que había escuchado tantas veces de la boca de Eins-
                                                              tein. Quienes cuentan la historia dicen que lo hizo franca-
                                                                 mente bien o, al menos, de manera convincente. Al final
                                                                 de los aplausos, un destacado profesor que se encontra-
                                                                 ba entre la audiencia le formuló una pregunta realmente
                                                               complicada. El chofer, que no tenía ni la más remota idea
                                                               de cuál podía ser la respuesta a lo que en su cabeza reso-
                                                               naba como un galimatías sin sentido, tuvo sin embargo un
                                                             ingenioso golpe de inspiración y le contestó: «La pregunta
                                                           que me hace es tan sencilla que dejaré que sea mi chofer, que se
                                                        encuentra al final de la sala, quien se la responda».
                                                        La anécdota concluye con el verdadero Einstein tomando la palabra
                                                          y respondiendo de una manera sobresaliente a la cuestión formu-
                                                          lada. Curiosamente, pese a la osadía del chofer, el asombro ante
                                                            el ingenio de ambos hombres era tal que a nadie se le ocurrió
                                                                  que todo podía ser un sainete, aunque quizá el profesor
             ©Shutterstock                                         que hizo la pregunta lo sospechaba…"



                                                                   Fuente:  Almonacid, V. (16 de julio 2021). «Expertos» como el chófer
                                                                         de Einstein. Nosolo Aytos.    https://nosoloaytos.wordpress.
                                                                          com/2021/07/16/expertos-como-el-chofer-de-einstein/


               126   Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   126                                                                          30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   126]]></page><page Index="31"><![CDATA[Ficha de comprensión lectora

                    1.   Responde las siguientes preguntas, según la lectura.

                       a)   ¿Qué otro título le pondrías a esta lectura?
                           _____________________________________________________________________________________________________
                           _____________________________________________________________________________________________________


                       b)   ¿Qué conclusiones, en tu opinión, se desprenden de esta lectura?
                           _____________________________________________________________________________________________________
                           _____________________________________________________________________________________________________


                       c)   ¿Qué tenía que hacer Einstein en las universidades?
                           _____________________________________________________________________________________________________

                       d)   ¿Qué dijo el chofer cuando le hicieron una pregunta?

                           _____________________________________________________________________________________________________

                    2.   En el texto se menciona que el chofer fue capaz de reemplazar
                       a Einstein y dar la conferencia. Selecciona la opción correcta
                       por la que el chofer logró dar la conferencia sin errores.

                       a)  Era Einstein disfrazado de chofer.

                       b)  Tenía todo anotado y solo leyó la información de su
                           cuaderno.

                       c)  Era un científico colaborador.                                                              ©Shutterstock
                       d)  Sabía de memoria la conferencia por escucharla tantas veces.
                       e)  Había estudiado el tema con anterioridad.



                  Ficha de escritura

                     Actividad personal

                    1.   Investiga recomendaciones para poder exponer mejor en público. Escribe una lista en tu cuaderno con, al
                       menos, 10 recomendaciones.

                    2.   El único problema de la presentación del chofer fue que no pudo responder las preguntas. ¿Por qué crees
                       que es importante conocer todos los ámbitos de un tema antes de exponerlo frente al público?
                     Actividad colaborativa

                    3.   Formen grupos. Investiguen una de las anécdotas de Einstein y utilicen las TIC de su preferencia para crear
                       una infografía digital que resuma datos más precisos que los de la lectura. Presenten su trabajo ante el resto
                       de la clase. Consideren las siguientes recomendaciones:

                       •   Debe haber un organizador gráfico.             •   Los textos deben ser sintéticos y precisos.
                       •   Hay que incluir imágenes.                      •   Se deben citar las fuentes de donde se obtu-
                                                                             vieron textos e imágenes.


                                                                                                      Matemática  127
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   127
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   127                                                                          30/7/25   10:06]]></page><page Index="32"><![CDATA[DUA
                Evaluación sumativa                                                         Acción y expresión




               1.  La altura de una pared es 3 m. Si una escalera se   f)  Escribe el desfase.
                   encuentra a 5 m de la pared, y la distancia de la     _____________________________________________
                   escalera a lo alto de la pared es 5,8 m, ¿qué ángulos
                   forma la escalera con la pared y el piso?          g)  Indica si se desplaza horizontalmente hacia la
                                                                         izquierda o hacia la derecha.

                                                                         _____________________________________________

                                                                      h)  Grafica la función.
                                                                                            y
                                                                                            2
                              3 m
                                                                                            1
                                                                                        –π  0    π           x
                                5 m                                                      2  –1   2
                                                                                           –2
               2.  Halla las razones trigonométricas seno, coseno,                         –3
                   tangente y el valor del ángulo cuyo lado terminal                       –4
                   se da en cada literal.
                                                                                           –5
                   a)  (1, 1)

                                                                                             ⎛ 1  ⎞
                                                                   4.  Se tiene la función  =y sec  ⎜ x ⎟.
                                                                                             ⎝4  ⎠
                                                                      a)  Halla el dominio.

                   b)  (0, –1)                                           _____________________________________________
                                                                      b)  Escribe el periodo.

                                                                         _____________________________________________

                                                                      c)  Expresa la frecuencia.
               3.  Se tiene la función y = 3sen(x – 1) – 1.              _____________________________________________

                   a)  Escribe la amplitud.
                                                                      d)  Grafica la función.
                      _____________________________________________
                                                                                            y
                                                                                           25
                   b)  Determina el periodo.
                                                                                           20
                      _____________________________________________                        15
                                                                                           10
                   c)  Determina la frecuencia.
                                                                                            5
                      _____________________________________________
                                                                                            0                   x
                                                                                           –5
                   d)  Halla el desplazamiento vertical.
                                                                                          –10
                      _____________________________________________                       –15

                                                                                          –20
                   e)  Indica si se desplaza verticalmente hacia arriba                   –25
                      o hacia abajo.
                      _____________________________________________


               128   Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   128                                                                          30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   128]]></page><page Index="33"><![CDATA[5.  Verifica las siguientes identidades trigonométricas.   Contesta la rutina de pensamiento
                                                                           Veo
                             secx ()
                      a)              = senx ()
                         cotx()+ tanx()                              Observa los datos cuantitativos del problema.
                                                                     Describe lo que ves o lo que se presenta en el problema.
                                                                     Realiza un esquema.









                           senx()  1+ cosx()
                      b)          +         = 2 cscx ()
                         1+ cosx()   senx()

                                                                          Pienso
                                                                     ¿Qué función debes utilizar para hallar la altura del
                                                                     edificio?¿Por qué?

                                                                     _____________________________________________________
                                                                     _____________________________________________________
                  6.  Resuelve la siguiente ecuación para valores del   Halla la altura del edificio.
                      ángulo comprendido entre 0° y 360°
                      37tanx()  = 4secx()
                            2
                                     2
                       +



                                                                         Me pregunto
                                                                     ¿Qué pasaría si cambia la distancia de la persona al
                    Coevaluación                                     edificio?
                  Trabajen en equipo la rutina de pensamiento        _____________________________________________________
                  Veo – pienso – me pregunto.
                  7.  Desde  un punto situado a 20 metros de la base   ¿ Y si el ángulo fuera menor o mayor? ¿Cómo afectaría
                      de un edificio, una persona observa que el ángulo   a la altura calculada?
                      de elevación hacia la parte más alta del edificio es
                      de 60°. ¿Cuál es la altura del edificio?       _____________________________________________________


                    Metacognición para aprender      Responde en forma oral o escrita.

                   ¿Puedo reconocer la utilidad de las razones trigonométricas en la vida real?
                   ¿Qué aprendí sobre las razones trigonométricas que no sabía antes?
                   ¿Entiendo cómo cambia la gráfica al modificar la amplitud, frecuencia, fase o desplazamiento vertical?
                   ¿Podría explicar a otra persona cómo se construyen o interpretan estas gráficas?
                   ¿Podría describir lo que es una identidad trigonométrica y en qué se diferencia de una ecuación común?
                   ¿Tengo un plan para simplificar una expresión trigonométrica?
                   ¿Aplico las identidades trigonométricas de manera adecuada para resolver una ecuación?
                   ¿Qué aprendí sobre el comportamiento de las funciones trigonométricas al resolver ecuaciones trigonométricas?


                                                                                                      Matemática  129
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:06
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   129
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   129                                                                          30/7/25   10:06]]></page><page Index="34"/></pages></Search>
