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<Search><pages Count="38"><page Index="1"><![CDATA[1



                                                                                                                            BG

                          Comunicacional                                         Socioemocional
                                                                                                                                                                                                                                           1     BG
                                             Digital                 Matemática












                                                    COMPETENCIAS





                                                     INSERCIONES
                                                    CURRICULARES

                                                                                                                             Matemática











                                          Educación                    Cívica, Ética                                                                                                                                                             Matemática
                                        Socioemocional                 e Integridad

                            Desarrollo                 Seguridad Vial                Educación
                            Sostenible                  y Movilidad                  Financiera
                                                         Sostenible

























                   Contacto: 098 747 9990
               Correo: distribuidora_ra@hotmail.com
                Guayaquil: CC Albán Borja, Local 88]]></page><page Index="2"><![CDATA[Á
                                          Matrices reales






                      El poder de las matrices en los videojuegos y la animación               Álgebra y funciones

                      Las matrices son herramientas matemáticas fundamentales en el mundo del diseño de videojuegos y
                      la animación digital. En estos entornos virtuales, los objetos y personajes deben moverse, girar, escalar
                      o cambiar de forma de manera precisa y coherente. Para lograr esto, se utilizan matrices que transfor-
                      man las coordenadas de los elementos en el espacio. Por ejemplo, cuando un personaje gira o se des-
                      plaza en un videojuego, su posición original se multiplica por una matriz que le indica cómo cambiar,
                      permitiendo animaciones fluidas y realistas.



























































                 ©Shutterstock



               110
               110   Mat emátic a
                     Matemática
                     1.º BG
                     1.º BG


                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   110                                                                          15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   110]]></page><page Index="3"><![CDATA[v
                                                                           bser
                                                                                  a y r
                                                                                             da
                                                                                       ecuer
                                                                         O Observa y recuerda
                                                                         •   ¿Qué observas en la imagen, qué están
                                                                             haciendo los jóvenes?
                                                                         •   ¿Cómo cambiaría tu percepción
                                                                             de las matemáticas si vieras su aplicación
                                                                             en las cosas que disfrutas, como los
                                                                             videojuegos o las películas animadas?


                                                                         ¿Q ué apr  ender
                                                                           Observa y recuerdaemos?





                                                                                             Matrices
                                                                                              reales





                                                                                             Matrices


                                                                                    Adición y producto de un escalar
                                                                                             por matriz


                                                                                         Producto matricial



                                                                                           Determinantes



                                                                                           Matriz inversa



                                                                                       Sistemas de ecuaciones
                                                                                          con matriz inversa

















                                                                         Las matrices se aplican en los videojuegos
                                                                          y en la animación.







                                                                                                      Matemática  111
                                                                                                           1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   111
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   111                                                                          15/8/25   14:03]]></page><page Index="4"><![CDATA[Matrices. Tipos









                                         D  isposición y compromiso
                    Saberes previos      Elena trabaja en una tienda que vende productos de limpieza ecológicos: EcoClean,
                                         BioWash y GreenFresh. EcoClean contiene 150 ml de alcohol, 200 ml de jabón natu-
                       ¿Qué es una fila
                 y qué es una columna?   ral y 50 ml de esencia de eucalipto; BioWash contiene 100 ml de alcohol, 250 ml de
                                         jabón natural y 75 ml de esencia de eucalipto; GreenFresh contiene 120 ml de alco-
                                         hol, 180 ml de jabón natural y 100 ml de esencia de eucalipto. ¿Cómo puede Elena
                                         organizar esta información de manera clara y estructurada?


                ©Shutterstock             Pienso y progreso
                                          ¿Qué ventajas tiene representar esta información en forma organizada?

                                         U  nidad de conocimientos

                                         Una matriz es un arreglo rectangular de núme-  ⎛  a  a     a   ⎞
                                         ros reales o letras dispuestos en filas y colum-  ⎜  11  12   n 1  ⎟  →
                Las matrices ayudan a organizar   nas. Las filas son listas horizontales y las   ⎜  a 21  a 22    a 2 n  ⎟ →
                la información; por ejemplo, de                                      ⎜                   ⎟    Filas
                       productos a la venta.  columnas son listas verticales.        ⎜               ⎟
                                                                                                           →
                                         La dimensión u orden de una matriz es un par   ⎜ a m1  a m2    a mn  ⎟ mxn
                                                                                     ⎝
                                                                                                         ⎠
                                         de números m×n, donde m indica el número       ↓    ↓       ↓
                                         de filas y n el número de columnas de la matriz.  Columnas
                                         Igualdad de matrices

                                         Dos matrices A y B se dicen que son iguales      a   a         b   b
                                         A = B si tienen la misma dimensión y los ele-  A =   a 11  a 12   ,   B =   b 11  b 12
                                         mentos  que ocupan  el  mismo lugar               21   22       21  22
                                         son iguales.

                                                          Tipos de matrices
                Matriz columna. Matriz que tiene   Matriz  la. Matriz   Matriz nula. Todos sus  Matriz cuadrada. Tiene el mismo

                una sola columna.               que tiene una sola   elementos son cero.  número de filas y columnas (n × n).

                 a   11                       fi la.            ⎛  00  ⎞             a   11  a 
                                                                                            12
                                               a [  a ]         ⎜ ⎝ 00  ⎟ ⎠          a  a  
                  a 21                         11  12                                 21  22  x 22
                                                                  ⎛  10  ⎞
                Matriz rectangular. Tiene diferente   Matriz diagonal. Matriz cuadrada donde   Matriz identidad. Matriz cuadrada
                                                                         ⎟
                                                                  ⎜
                                                                  ⎝ 01
                                                                         ⎠

                número de filas y columnas.     todos los elementos fuera de la diagonal   donde todos sus elementos son
                                                                                             ⎞
                                                                                      ⎛
                                                                                         00
                                                                                      ⎜
                                                                                             ⎟
                 a   11  a 12  a              principal son cero.                   ceros, excepto los de la diagonal
                                                                                      ⎝ 00
                                                                                             ⎠
                          13
                                                                                    principal, que son unos.
                  a 21  a 22  23   x 23            a      0                         ⎛      ⎞
                                                                                         10
                                                A =   0 11    a 22   = diag(a , a )   ⎜ ⎝ 01  ⎟ ⎠
                                                                     11
                                                                        22
                Matriz transpuesta. Consiste en   Matriz triangular superior. Matriz cuadrada   Matriz triangular inferior. Matriz

                cambiar las filas por columnas en la   cuyos elementos, por debajo de la diagonal   cuadrada cuyos elementos, por
                matriz.                         principal, son todos cero.            encima de la diagonal principal, son
                                                                                      todos cero.
                    a      a        a      a        a      a
                                 T
                A =   a 11    a 12   ,    A  =   a 11    a 21  A =   0 11    a 12         a       0
                      21   22         12   22             22                          A =   a 11    a
                                                                                           21   22
               112   Matemática
                     1.º BG
                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   112                                                                          15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   112]]></page><page Index="5"><![CDATA[A  cción y expresión
                                                                                                      Comunicacional
                  Ejemplos paso a paso
                                                                                                 Las matrices se presentan
                  1.  Regresamos a nuestro problema inicial y respondemos la pregunta.           en una variedad de
                                                                                                 campos. Se aplican, por
                      ¿Cómo puede Elena organizar esta información de manera clara y estructurada?  ejemplo, en la física, la
                                                                                                 química, la biología, en las
                      Empleamos una matriz en la que las columnas son los tipos de producto y las   distintas ramas de la
                      filas, los compuestos.

                                                                                                 ingeniería, en la economía,
                   Paso 1. Organizamos la información     Eco Clean    Bio Wash    Green Fresh   la administración de
                   en una matriz.                         150        100      120  f             empresas, en sociología,
                                                                                    1            en los problemas
                                                          200        250      180  f
                                                                                    2            ambientales y en las
                                                            50        75      100  f             distintas ramas de las
                                                                                    3

                   Paso 2. Determinamos el orden de la matriz.  La matriz tiene 3 filas y 3 columnas, por   matemáticas.
                                                         tanto es una matriz cuadrada de orden
                                                         3 × 3.

                   Cada número en la matriz indica la cantidad (en ml) de un ingrediente específico que                 ©Shutterstock

                   contiene cada producto. Por ejemplo, el número 250 en la segunda fila, segunda columna,

                   indica que BioWash tiene 250 ml de jabón natural.
                  2. Determina x, y, z, según corresponda, de tal forma que se cumpla con la igualdad
                      de matrices.
                         12  −614         x   −6  z 
                      A =             y  B =                                                Túnel de números binarios.
                          −80    −9       −8  y  −9 
                                                                                                 Escribe un resumen acerca

                   Paso 1. Determinamos el orden de cada   La matriz A tiene dos filas y tres columnas,   del uso de las matrices
                   matriz para comparar si son iguales.  por lo tanto, tiene un orden 2×3.       en la vida cotidiana.
                                                         La matriz B tiene dos filas y tres columnas,

                                                         por lo tanto, tiene un orden 2×3.
                   Paso 2. Comparamos los términos para ver si   12  −614   12  −6 14 
                   son iguales y hallamos el valor de x, y, z.  A =     y  B =                    Socioemocional
                                                             −80   −9      −8 0  −9  
                   El valor de x = 12, y = 0, z = 14                                             Resolver situaciones
                                                                                                 reales mediante el análisis
                  3.  La profesora Carmen está registrando las calificaciones de dos estudiantes en   de información

                      tres asignaturas diferentes: Matemáticas, Ciencias Naturales y Lengua y Literatura.   organizada requiere

                      Al finalizar el primer trimestre, obtuvo los siguientes resultados: Estudiante A:   atención, pensamiento
                      Matemáticas: 8,5, Ciencias Naturales: 9,0, Lengua: 7,5; Estudiante B: Matemáticas:   crítico y disposición para
                                                                                                 escuchar distintas
                      7,0, Ciencias Naturales: 8,5, Lengua: 8,0. Representa los datos en una matriz y res-  perspectivas. Al colaborar
                      ponde las preguntas.                                                       con otros para encontrar

                      a)  ¿Qué orden tiene la matriz planteada?                                  soluciones, aprendemos a
                                                                                                 gestionar emociones,
                      b)  ¿Qué nota obtuvo el estudiante B en Lengua y Literatura?               respetar turnos y valorar
                                                                                                 el aporte colectivo.
                               ,
                             85 97 5 ,  
                         N =                                                                   ¿De qué forma tus
                                  ,
                              78 58                                                            emociones influyen en tu
                                                                                                 manera de enfrentar y
                      a)   La matriz tiene un orden de 2×3.                                      resolver problemas en

                      b)  El estudiante está en la fila 2 y columna 3, tiene una nota de 8.      grupo?

                                                                                                      Matemática  113
                                                                                                           1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   113
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   113                                                                          15/8/25   14:03]]></page><page Index="6"><![CDATA[DUA
                       ó                                                                     Acción y expresión




               1. Determina los elementos de las filas y las colum-   c) a  = 6,  a  = 11,  a  = 1,

                                                                                  12
                                                                           11
                                                                                          13
                   nas de cada matriz.
                                                                         a  = 5,  a  = 0,   a  = 4,
                                                                                         23
                                                                                  22
                                                                           21
                           2 –3
                   a)  A =                                               a  = 1,  a  = 3,  a  = 14
                           3   1                                           31     32     33
                      _____________________________________________
                      _____________________________________________
                          –5 –4
                   b)  B =                                         3. Determina x, y, z en cada caso, según correspon-
                           8 12                                       da, de tal forma que se cumpla con la igualdad de
                                                                      matrices.
                      _____________________________________________
                      _____________________________________________
                                                                             11 –3          x   y
                                                                      a)  A =  –3  0     y   B =  –3 0
                           1  7
                   c)  C =
                           9  0

                      _____________________________________________
                      _____________________________________________

                                                                              x   2         2   2
                          –5 –4                                       b)  A =          y   B =
                   d)  D =                                                    7   1         y   1
                            8 12

                      _____________________________________________

                      _____________________________________________


                                                                              x  –4    1         2 –4    1
               2.  Dadas las filas y columnas, arma la matriz en cada

                   caso.                                              c)  A =   8  y    z    y   B =   8 –2    0
                                                                               1  0   1          1   0    1
                   a)  a  = 3,  a  = 1,  a  = 5,  a  = 17
                                     21
                              12
                       11
                                            22





                                                                              x +1  3      5    43 5   
                                                                                                 
                                                                                           
                   b)  a  = 23,  a  = –21,  a  = 0,  a  = –7          d)  A =   2  y −1 7 ;    B = 26 7  
                       11      12        21     22                                                     
                                                                                                       
                                                                               4    6   z       46 9   







               114   Matemática
                     1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   114                                                                          15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   114]]></page><page Index="7"><![CDATA[4. Analiza las siguientes matrices y determina a qué   Actividad cooperativa
                      clasifi cación pertenece. Escribe el orden de cada   6. Trabajen en equipo y encuentren una matriz para
                      matriz.
                                                                         cada situación. Escriban el orden.
                             50    0                                   a)  La empresa de transporte MetroBus lleva el regis-
                             
                      a)  A = 03    0      ________________________        tro del número de pasajeros que usan tres de sus
                                     
                             00    −  1                                  rutas principales (Ruta 1, Ruta 2 y Ruta 3) durante
                             
                                                                            tres días consecutivos: lunes, martes y miércoles.

                                                                            Al final de esos días, se recopilaron los siguien-
                            000     
                      b)  B =             ________________________        tes datos:
                             000                                          Ruta 1. Lunes: 120 pasajeros, martes: 135 pasa-
                                                                            jeros, miércoles: 110 pasajeros.
                              −  3 
                               4                                          Ruta 2. Lunes: 90 pasajeros, martes: 100 pasaje-
                      c) C =              ________________________        ros, miércoles: 95 pasajeros.
                              −  5 
                                                                          Ruta 3. Lunes: 150 pasajeros, martes: 160 pasa-
                               6                                          jeros, miércoles: 140 pasajeros.

                                                                            ¿Cómo puede la empresa organizar esta infor-
                             2            
                      d)  D =   3  −1  5 4 ________________________       mación para analizar qué ruta y qué día tuvie-
                                           
                                           
                                                                            ron mayor y menor demanda de pasajeros?
                            10 0    
                                     
                            
                      e) E = 01 0           ________________________
                                    
                            00 1    
                                     
                            
                  5. Escribe la matriz transpuesta de las siguientes     b)  El gerente del cine CineLuz desea analizar la
                      matrices.                                             cantidad de boletos vendidos para tres pelícu-
                                                                            las distintas, durante un fin de semana (viernes,

                            4    −9                                       sábado y domingo).
                            
                      a)  F = −50                                         Las  películas  son:  Aventura extrema, Comedia
                            
                            23   −17                                     total y Misterio profundo.
                            
                                                                            La cantidad de boletos vendidos fue la siguiente:
                                                                            Aventura extrema: viernes: 120, sábado: 180, do-
                                                                            mingo: 150; Comedia total: viernes: 100, sábado:
                                                                            130, domingo: 110; Misterio profundo: viernes: 90,
                                                                            sábado: 140, domingo: 160. ¿Cómo puede el ge-
                                                                            rente organizar esta información de forma clara
                              3 8      −541                               para comparar las ventas por película y por día?
                              −
                      b)  G =   5               
                                                
                                              32
                               7  −26 0    − 
                                                 



                                                                       Indaguemos
                                                                     7. Utiliza Canva o alguna otra herramienta para realizar

                                                                         una infografía sobre la clasificación de las matrices.



                                                                                                      Matemática  115
                                                                                                           1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   115
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   115                                                                          15/8/25   14:03]]></page><page Index="8"><![CDATA[DUA
                   í      É           
                                                        Participación




                 Deberes de los ecuatorianos y ecuatorianas




                ©Xavier Estrada Monje  Acatar y cumplir la   1  de los ecuatorianos, además de otros previstos   10 Promover la unidad
                                                 Art. 83.- Son deberes y responsabilidades
                  Constitución, la ley
                                                                                                y la igualdad en la
                  y las decisiones legítimas
                                                                                                diversidad y en las
                                                        en la Constitución y la ley:
                  de la autoridad competente.
                                                                                                relaciones
                  Ama killa, ama llulla, ama   2                                                interculturales.
                  shwa. No ser ocioso, no                                                       Asumir las funciones
                  mentir, no robar.                                                        11   públicas como un servicio
                                                                                                a la colectividad y rendir
                  Defender la integridad   3                                                    cuentas a la sociedad.
                  territorial del Ecuador
                  y sus recursos naturales.                                                     Ejercer la profesión

                                                                                                a la ética.
                  Colaborar en el       4                                                  12 u oﬁcio con sujeción
                  mantenimiento de la paz
                  y de la seguridad.                                                            Conservar el patrimonio

                                                                                                y cuidar los bienes
                  Respetar los derechos                                                    13 cultural y natural del país,
                  humanos y luchar por   5                                                      públicos.
                  su cumplimiento.

                  Respetar los derechos   6                                                14   Respetar las diferencias
                                                                                                étnicas, nacionales,
                  de la naturaleza, preservar                                                   sociales, generacionales,
                  un ambiente sano y utilizar                                                   de género y la orientación
                  los recursos naturales                                                        sexual.
                  de modo sustentable
                  y sostenible.                                                            15   Cooperar con el Estado


                  Promover el bien común   7                                                    y la comunidad en la
                                                                                                seguridad social,
                  y anteponer el interés                                                        y pagar tributos.
                  general al interés
                  particular.                                                              16   Asistir, alimentar, educar
                  Administrar           8                                                       y cuidar a los hijos. Esto
                                                                                                es corresponsabilidad
                  honradamente y con                                                            de madres y padres
                  apego a la ley el                                                             en igual proporción,
                  patrimonio público,                                                           y corresponderá también
                  y denunciar la corrupción.                                                    a los hijos.
                  Practicar la justicia   9
                  y la solidaridad en el                                                   17   Participar en la vida
                  ejercicio de sus derechos                                                     política, cívica y
                  y en el disfrute de bienes                                                    comunitaria del país,
                  y servicios.                                                                  de manera honesta.





               Taller

               ¿Por qué crees que es importante que los ciudadanos tengan deberes?


               116   Matemática
                     1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   116                                                                          15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   116]]></page><page Index="9"><![CDATA[Un concepto y una práctica necesarias





                   ©Shutterstock             El desarrollo sostenible busca satisfacer las necesidades del presente

                                             sin comprometer la capacidad de las futuras generaciones
                                             de satisfacer las suyas.



                                                         Reducir el consumo

                                                                     Consumir menos recursos,        1
                                                                      especialmente aquellos
                                                                      que no son renovables.



                                                                    Reciclar y reutilizar
                                                                          Dar una segunda vida a
                                                                          los objetos y materiales   2
                                                                           antes de desecharlos.



                                                                                Conservar el agua

                                                                                    Reducir el uso
                                                                                 de agua en el hogar   3
                                                                                 y en otros ámbitos.



                                                                            Transporte sostenible
                                                                        Utilizar medios de transporte   4
                                                                        que minimicen las emisiones
                                                                                  de CO .
                                                                                       2


                                                                Apoyar a empresas éticas
                                                                  Consumir productos y servicios     5
                                                                    de empresas que prioricen
                                                                         la sostenibilidad.





                   Taller

                  ¿Qué cambio pequeño puedes empezar hoy que marque una gran diferencia mañana?


                                                                                                      Matemática  117
                                                                                                           1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   117                                                                          15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   117]]></page><page Index="10"><![CDATA[Operaciones con matrices









                                         D  isposición y compromiso
                    Saberes previos      El entrenador del equipo de baloncesto del colegio lleva el registro de los puntos
                                         anotados por tres jugadores durante dos partidos consecutivos.
                      ¿Qué es el orden
                        de una matriz?   Cada fila representa a un jugador. La fila 1 corresponde a Carlos, la fila 2, a Diego
                                         y la fila 3, a Elena. Cada columna representa los tres primeros cuartos del partido
                                         (1º, 2º y 3º). Los puntos en cada partido son:
                                         Partido 1:                  Partido 2:
                                                  1° 2° 3°                    1° 2° 3°
                ©Shutterstock            P =    10 76      Diego  Q =    64 5       Diego
                                                 5 4
                                                                                    Carlos
                                                        Carlos
                                              8
                                                                         89 5
                                                     
                                               3  6 8  Eleena          47 6   Elenna
                                                     
                                         ¿Cuál es el total de puntos acumulados de cada jugador entre los dos partidos?
                  En los deportes, las matrices
                 ayudan a organizar los puntos   Pienso y progreso
                           de los partidos.  ¿Por qué es útil representar estos datos con matrices?


                                         U  nidad de conocimientos


                         Matemática      Adición de matrices
                                         Solo se pueden sumar matrices del mismo orden. Se suman elemento a elemento.
               Propiedades de la adición
                                                                 12
                         Conmutativa:    A =   a  11  a   ,   B =  b  11  b    , la suma de estas dos matrices expresa
                                                   12
                                                           b
                                              a
                          A + B = B + A       21  a 22    21  b 22 
                           Asociativa:
                 (A + B) + C = A + (B + C)             a  11  a   11  b   a + b 11  a + b 
                                                                 b
                                                            12
                                                                         =
                                                                      12
                                                 +=
                                                                                      12
                                                                                          12
                                                               +
                                                                             11
                Elemento neutro: existe   como:  AB    a  a    b   b    a +b    a  +b  
                una matriz cero 0 tal que              21  22   21  22    21 1  22  21  22 
                             A + 0 = A   Nota que la adición de dos matrices de 2×2 es una matriz de 2×2, que se obtiene
                Elemento opuesto: para   sumando sus respectivos componentes.
                toda matriz A, existe una
                     matriz −A, tal que:   Sustracción de matrices
                          A + (− A) = 0
                                         Se restan matrices del mismo orden, la operación se realiza elemento a elemento.
                                                         a + (–b ) a + (–b )
                                                                11
                                                                            12
                                                                     12
                                                          11
                                          A – B = A + (–B) =   a + (–b ) a + (–b )
                                                          21
                                                                21
                                                                     22
                                                                            22
                                         Producto por un escalar
                                         Se multiplica cada elemento de la matriz por un número real (escalar).
                                                       a                 λ  a  λ    a 
                                         Así, si A =   a  11  12  ,  entonces  A =    11  12 
                                                                    λ
                                                  a
                                                  21  a 22              λ  a 21  λ  a 22 
               118   Matemática
                     1.º BG

                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   118                                                                          15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   118]]></page><page Index="11"><![CDATA[A  cción y expresión

                  Ejemplos paso a paso                                                                  Matemática
                  1.  Regresemos a nuestro problema inicial y respondamos la pregunta.
                                                                                                 En una matriz puedes
                      Partido 1:                 Partido 2:                                      realizar las siguientes
                               1° 2° 3°                   1° 2° 3°                               operaciones, entre sus
                                                                                                 filas, para hallar matrices
                           8  5 4  Carlos           64 5    Carlos                           equivalentes a ella:
                      P =  10 76       Diego   Q =   89 5       Diego
                                                                                             1.  Intercambiar filas:
                            3  6 8   Eleena        47 6   Elenna                           f ↔ f 2
                                                                                                    1
                                                                                                 2.  Multiplicar los
                  ¿Cuál es el total de puntos acumulados de cada jugador entre los dos partidos?   elementos de una fila

                   Paso 1. Determinamos  La matriz P tiene tres columnas y tres filas, por lo tanto, tiene un   por una constante
                   el orden de cada    orden 3×3.                                                  diferente de cero:
                   matriz.                                                                         k · f ↔ f 2
                                                                                                      1
                                       La matriz Q tiene tres columnas y tres filas, por lo tanto, su orden   3.  Adicionar una fila a un

                                       es 3×3.                                                     múltiplo de otra fila:
                                       Las dos matrices tienen el mismo orden, por lo tanto se pueden   f  + k · f → f 1
                                                                                                         2
                                                                                                    1
                                       realizar adiciones y sustracciones.
                   Paso 2. Calculamos           1°     2°    3°
                   el total de puntos
                                                +
                                                       +
                                                             +
                   acumulados por cada           86  54 45        14  9  9 
                                                                              
                                                       +
                                                 +
                                                              5
                   jugador.            P + Q =  10 87 96 +5 =      18 16 11 
                                                                
                                                 34  67 86        7  1314
                                                             +
                                                       +
                                                +
                                                                              
                   La matriz resultante de P + Q indica cuántos puntos acumuló cada jugador entre los dos   Interdisciplinariedad
                   partidos.
                                                                                                 Matemática e Historia
                  2.  Resolvamos la siguiente suma de matrices.                                  ¿Sabías que el uso
                                                                                                 moderno de las matrices
                               3   5      −  14                                              fue desarrollado por el
                      Sean A =       ,  B =      , entonces
                               −812       10 15                                              matemático Arthur Cayley
                                                                                                 en 1858? Él fue el primero
                                                    −
                                                           +
                             3   5   −14    31       54     2  9                         en tratarlas como objetos
                      AB+=                                       
                                               =
                                     +
                                                                =
                                                  8101215
                                                                       7
                             −812   10 15   −+         +    227                          matemáticos con sus
                                                                                                 propias reglas, como la
                  3. Calculemos A – B, dadas las siguientes matrices.                            multiplicación. El nombre
                                                                                                 ‘matriz’, sin embargo,
                               2    8    5  −  2              −  52                        lo propuso su colega
                                                              B
                      Sean A =      ,  B =      . Entonces,  −=     , y                    James Joseph Sylvester
                               −14       −3  −1                3  1                        unos años antes.
                                                          −
                                                                            0
                                                                 +  
                      AB A+− (   B) =   2  8   −52   25   82    −310                    ¡Un trabajo en equipo
                                                                     =
                       −=
                                             +
                                                      =
                                                                                                 que transformó las
                                            
                                     
                                                      
                                                                 +
                                      −14    3   1   −+13  41    2   5                   matemáticas para siempre!
                  4.  Realicemos la siguiente multiplicación de una matriz por un escalar:
                                                 −   43 ()  12 3 ()  9 3 ()  − 12 36627
                          −  4129                                            
                                         3A =  15 3 ()  0 3 ()  3 3 () = 45  0  9
                      A = 15   0  3             −   63 ()  23 ()  13 ()      
                         
                                                                    
                                                                                  
                          −  6  2   1                           − 18  6   3 
                                                                                                      Matemática  119
                                                                                                           1.º BG
                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   119
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   119                                                                          15/8/25   14:03]]></page><page Index="12"><![CDATA[DUA
                       ó                                                                     Acción y expresión




               1. Responde verdadero (V) o falso (F) a las siguientes   3.  Dadas las siguientes matrices, resuelve las opera-
                   afi rmaciones.                                     ciones propuestas.

                   a)   La suma de dos matrices reales 2×2 es               –1  0    0
                      otra matriz de 2×2.                                                    7    1        3    0
                                                                       A =     0   1    0       B =        C =
                   b)   Es lo mismo restar las matrices A – B, que           0   0  –1      –8   9        –3  12
                      B – A.

                   c)   Para sumar o restar matrices, estas de-       a)  2A
                      ben tener el mismo orden.

                   d)   Para multiplicar una matriz por un esca-
                      lar se debe cambiar el signo.


               2.  En cada caso, halla la matriz real B, de tal forma que
                   A + B sea igual a una matriz nula.                 b)  B – A – C
                          15 5 –1
                   a)  A =   1 13   0
                           4   7   2



                                                                      c)  C + A + B





                           6    1
                   b)  A =
                           8    1

                                                                      d)  2A + B + 3C






                           0    0
                   c)  A =
                           0    0
                                                                      e)  2B – A








                           2    9
                   d)  A =
                           9    2                                     f)  2B + 3C









               120   Matemática
                     1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   120                                                                          15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   120]]></page><page Index="13"><![CDATA[4.  Dadas las siguientes matrices, resuelve los ejerci-  Necesidades educativas
                      cios de multiplicación de matrices por un escalar.
                                                                         Todos los niños y jóvenes aprenden a ritmos y niveles
                           –1  0    0                                    diferentes; por lo tanto, la diversidad funcional debe

                      A =     0   1    0       B =    7    1       C =    3    0  atender a estas diferencias.
                            0   0  –1       –8   9       –3   12

                                                                        Actividad cooperativa
                      a)  2A
                                                                     5. Trabajen en equipo y  resuelvan los siguientes
                                                                         problemas.

                                                                     a)  La biblioteca del colegio lleva un registro de los li-
                                                                         bros prestados por grado durante dos meses con-
                                                                         secutivos. Se controlan tres tipos de libros: Literatu-
                          1                                              ra, Ciencia e Historia.
                      b)   C
                          3                                              Las filas representan los grados: Fila 1 corresponde

                                                                         a 1.° de Bachillerato y fila 2 a 2.° de Bachillerato; du-

                                                                         rante el mes de marzo, se registraron los siguientes
                                                                         préstamos:

                                                                             45 30 25  
                                                                         M =           
                      c)  –3B                                                 50 35 20 
                                                                         En el mes de abril, los préstamos fueron menores:

                                                                             32 25 18  
                                                                         A =           
                                                                              40 30 15 

                                                                         ¿Cuántos libros menos se prestaron en abril que en
                      d)  –2C                                            marzo? (Calcula M−A)








                                                                         ¿Cuál  fue  la  materia  con  mayor  disminución  de
                      e)  √5A                                            préstamos en 2.° de Bachillerato?

                                                                         _________________________________________________
                                                                         _________________________________________________


                                                                         ¿Qué grado tuvo la mayor reducción total de prés-
                                                                         tamos?
                          1
                      f)   B
                          3                                              _________________________________________________


                                                                       Indaguemos
                                                                     6. Indaga sobre las aplicaciones en la vida cotidiana
                                                                         de las operaciones con matrices. Elabora un resu-
                                                                         men visual utilizando una herramienta digital.


                                                                                                      Matemática  121
                                                                                                           1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   121
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   121                                                                          15/8/25   14:03]]></page><page Index="14"><![CDATA[Producto matricial









                                         D  isposición y compromiso
                    Saberes previos      Una tienda vende tres tipos de productos: camisetas, pantalones y zapatos. En dos
                                         sucursales diferentes (sucursal 1 y sucursal 2), se registraron tanto el inventario inicial
                     ¿En qué consiste la
                propiedad conmutativa?   como las unidades que se vendieron durante una semana.
                                         Las matrices que representan la información son:
                                         Inventario inicial:                  Precios por unidad para cada producto

                                              C
                                                       P     Z                   15    Camisetas
                                                                                 
                ©Shutterstock            N= 100 80 50       Sucursal  2     P = 25     Pantalones
                                                                    1
                                                           Sucursal
                                                                                     
                                                                                 
                                            
                                                         
                                                                                     
                                                                                       Zapatos
                                                                                 40
                                             120 90 60
                                                                                 
                                                                                     
                                            
                                                         
                                         ¿Cuál es el valor total en dinero del inventario inicial en cada sucursal?
                                          Pienso y progreso
                         Artículos a la venta  ¿Qué operación debería realizar si se duplican los valores del inventario?
                                         U  nidad de conocimientos
                                         Definición
                                         Es una operación matemática que consiste en multiplicar dos matrices, se multiplica
                       Comunicacional    cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda matriz y se suman
                                         los resultados.
                Un dato curioso sobre el   Es importante saber que, si se tienen dos matrices A y B, solo se pueden multiplicar
                producto de matrices es   si el número de columnas de A es igual al número de filas de B.
                  que se usan para crear
                        animaciones y    Es decir, si A es de orden m × p, y B es de orden p × n, entonces el producto A · B
                       movimientos en    es posible y el resultado será una matriz de orden m × n.
                 videojuegos y películas.   Pasos para multiplicar matrices
                   Cada transformación,
                                                              b
                    como girar, escalar o     a  a          11  b 
                 mover un personaje, se   A =   11  12   ,   B =   12 
                                              a
                                                              b
               representa con matrices, y     · 21  a 22   x 22   · 21  b 22   x 22
                su producto determina el
               resultado final en pantalla.   Paso 1: verificar si se puede realizar la multiplicación.
               ¡Así, las matemáticas hacen   Paso 2: multiplica cada fila de A por cada columna de B, sumando los productos.
                 posible la magia del cine
                                                           b
                                                                            b
                                                   ⋅
                       y los videojuegos!       (   ab + a ⋅ ) ( ab ⋅  12 + a ⋅ )
                                                            21
                                                                          12
                                                                  11
                                                                             22
                                                  11
                                                     11
                                         AB⋅=          a ⋅ ) (             ⋅ ) 
                                                         12
                                                                    ⋅
                                                ( ab ⋅  11 +  22  b 21  a ⋅b 12 + a 22  b 22   x22
                                                  21
                                                                  21
                                         Nota: el producto matricial no es conmutativo AB es diferente a BA.
                                         Propiedades
                                         1. Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C
                                         2. Distributiva respecto de la suma: A · (B + C) = A · B + A · C
                                         3. Elemento neutro (matriz identidad):  A · I = I · A = A
                                         Donde I es la matriz identidad.
               122   Matemática
                     1.º BG




                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   122                                                                          15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   122]]></page><page Index="15"><![CDATA[A  cción y expresión

                  Ejemplos paso a paso                                                                Educación
                                                                                                      financiera

                  1.  Regresemos a nuestro problema inicial y respondamos la pregunta.
                                                                                                 Lleva un registro de tus
                      Inventario inicial:                 Precios por unidad para cada producto  ingresos y gastos. Anotar
                                   P     Z                    15   Camiseta                    todo lo que ganas y en
                           C
                                                                                                 qué lo gastas te ayuda a
                                                                 
                                                              
                         100 80 50    Sucursal  1        P = 25    Pantalones                  identificar en qué puedes
                      N=                                      
                          120 90 60   Sucursal  2           40    Zapatos                   ahorrar y tomar mejores
                                                              
                                                                                                 decisiones. ¡Pequeños
                  ¿Cuál es el valor total en dinero del inventario inicial en cada sucursal?     cambios diarios pueden
                                                                                                 marcar una gran

                   Paso 1. Determinamos      La matriz N tiene dos filas y tres columnas, por lo tanto,   diferencia en tu
                   el orden de cada matriz   su orden es 2×3.                                    economía!

                   para verificar si se puede   La matriz P tiene tres filas y una columna, por lo tanto,   ¿Qué gasto innecesario

                   multiplicar.                                                                  podrías reducir hoy para
                                             su orden es 3×1.
                                                                                                 mejorar tu futuro
                                             El producto matricial sí esta definido.             financiero?

                                             El resultado es una matriz 2×1.
                   Paso 2. Calculamos el valor                 15 
                   total de dinero en cada   NP⋅=  100 80 50       25 
                   sucursal efectuando la          120 90 60       
                                                               
                   multiplicación.                             40 
                                                  (   ⋅ 100  +15 80 ⋅25++  ⋅50 40 )   
                   Multiplicamos cada fila de N   NP ⋅=              

                                                                  ⋅ )120
                   por cada columna de P.            ⋅ (  +15  ⋅90  +25 60 40  
                                                 5 500 
                                             NP ⋅=   
                                                  6 450 
                   La sucursal 1 tiene $5 500 en inventario y la sucursal 2 tiene $6 450 en inventario.
                  2.  Resolvamos la siguiente multiplicación de matrices.

                           3    8   5  −  4
                      A =       ,   B =    
                           −19       2  6  

                   Paso 1. Verificamos si la   La matriz A tiene un orden 2×2.

                   multiplicación se puede   La matriz B tiene un orden 2×2.                           Digital
                   efectuar.
                                             El producto matricial AB sí está definido, el resultado   Para reforzar este tema,

                                             es una matriz de orden 2×2.                         ingresa al enlace
                   Paso 2. Multiplicamos cada      (  35 82  (34 86                             y visualiza el video:
                                                     ⋅+ ⋅ )
                                                                ⋅− +⋅ ) 
                   fila de A por cada columna   AB⋅=   −⋅ +⋅ ) ( 14 96                         lynk.ec/11mtc11

                                                               −⋅−+ ⋅ )
                   de B.                           ( 15 92              
                                                   31 36
                                             AB ⋅=     
                                                   1 13 58 

                  3.  Analicemos en qué casos está definido el producto matricial, dados los órdenes
                      de las matrices:
                      Matriz A: 2×3           Matriz A: 4×2           Matriz A: 3×2
                      Matriz B: 3×4           Matriz B: 2×5           Matriz B: 3×4

                      A×B, sí está definido 2×3  A×B, sí está definido 4×5  A×B, no está definido

                                                                                                      Matemática  123
                                                                                                           1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   123
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   123                                                                          15/8/25   14:03]]></page><page Index="16"><![CDATA[DUA
                       ó                                                                     Acción y expresión




               1. Responde verdadero (V) o falso (F) a las siguientes   b)  A · C
                   afi rmaciones.

                   a)   El producto de matrices, en general,
                      no satisface la propiedad conmutativa
                      AB ≠ BA.
                   b)   El producto de dos matrices reales 2×2
                      es otra matriz de 2×2.                          c)  C · B

               2.  Con las matrices reales A y B, realiza lo siguiente:
                   a)  Resuelve el producto matrices AB.

                           1    0        4    1
                      A =             B =
                           0    1        3    2
                                                                      d)  B · A









                   b)  Responde: ¿cómo se llama la matriz A?          e)  B · C
                      _____________________________________________
                   c)   ¿Qué sucede al multiplicar una matriz 2×2 por
                      la matriz identidad?
                      _____________________________________________

                   d)  B · A                                          f)  C · A









               3.  Dadas las matrices, encuentra el producto matri-
                   cial de cada literal.                           4. Calculen los siguientes productos matriciales.

                                                                                3  5          2    8
                        7    1        3    0        1    0             Sean A =        ,    B =
                   A =              B =          C =                            1   4        –5   –1
                       –8   9        –3   12       –3    4

                                                                      a)  A · B
                   a)  A · B










               124   Matemática
                     1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   124                                                                          15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   124]]></page><page Index="17"><![CDATA[b)  B · A
                                                                                02 ,  
                                                                                
                                                                             P = 03 ,  
                                                                                   
                                                                                
                                                                                05 ,    x 31
                                                                                   
                                                                                
                                                                            Es decir, las tareas valen el 20 %, examen parcial
                      c)  A · B – B · A                                     30 % y el examen final 50 %.


                                                                            ¿Cuál es la nota final de cada estudiante consi-
                                                                            derando la ponderación?


                  5.  Dadas las siguientes matrices, calcula
                      las operaciones.

                            2  8        0  1         2  –1
                      A =             B =          C =                      ¿Qué estudiante obtuvo la mejor calificación

                          –1  4         3  1         1     0
                                                                            fi nal?
                      a)  A(B + C)                                          _____________________________________________



                                                                         b)  Dos fábricas (Fábrica 1 y Fábrica 2) producen
                                                                            tres tipos de productos: A, B, y C. Cada produc-
                                                                            to requiere ciertas cantidades de materiales X, Y
                      b)  AB + AC                                           y Z, que se organizan en la siguiente matriz de
                                                                            consumo de materiales por unidad de producto,
                                                                            donde las columnas representan el tipo de pro-
                                                                            ducto y las filas la cantidad de material requerido:

                                                                                21 3    
                                                                                
                                                                             M = 02 1    
                      c)  B(C + A)                                                      
                                                                                11 2       x 33
                                                                                
                                                                            Si las fábricas producen distintas cantidades de
                                                                            productos.
                                                                               10 58       Fábrica 1

                                                                            P =
                    Actividad cooperativa                                       6  7 4     Fábrica 2
                                                                                          x 23
                  6. Trabajen en equipo y  resuelvan los siguientes
                      problemas.                                            ¿Cuántas unidades de materiales X, Y y Z nece-
                                                                            sita cada fábrica en total para su producción?
                      a)  En un colegio, los estudiantes son evaluados
                         con tres actividades: tareas, examen parcial y
                         examen  final.  Las  calificaciones  de  tres  estu-


                         diantes se registraron en la siguiente matriz,
                         donde cada columna representa una actividad:
                             87    9    Estudiante 1                 Indaguemos
                             
                         C = 68     7     Estudiante 2
                             
                             99 10      x 33 Estudiante 3         7. Indaga en internet sobre qué herramienta puedes
                                                 e
                             
                                                                         utilizar para resolver multiplicaciones con matrices

                                                                         y verificar tus respuestas.
                         La ponderación para cada actividad es:
                                                                                                      Matemática  125
                                                                                                           1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   125                                                                          15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   125]]></page><page Index="18"><![CDATA[DUA
                    
                                                                        Participación



               Operaciones con matrices en DeepSeek


               Introducción

               DeepSeek es un modelo avanzado de inteligencia artificial, especializado en proce-
               samiento de lenguaje natural. Se destaca por su capacidad para entender y generar
               texto con alta coherencia y precisión, además de soportar búsquedas en la web
               (cuando el usuario lo activa) y manejar archivos como PDF, Word, Excel y más.


              Características/elementos de esta IA

                                         Abre el link https://chat.deepseek.com/. Te encontrarás con algo similar al ChatGPT.
                                         El sitio está en inglés, no te preocupes. Para interactuar debes escribir en el cuadro
                                         de diálogo, en español, el tema que vas a consultar.
                    New chat
                                         En la parte izquierda podrás visualizar los chats (temas que vas creando). En la parte
                                         principal, se encuentra el cuadro de diálogo en el cual debes escribir las preguntas
                                         que desees realizar.


                                                                        Hi, I’m DeepSeek.
                                                                      How can I help you today?

                                                Message DeepSeek
                       No chat history
                                                   DeepThink (R1)  Search


              Ejercicio resuelto
               Usaremos DeepSeek para resolver la siguiente opera-  a)  Escribimos la orden en el cuadro de diálogo.
               ción entre matrices A + B.
                     –5   2,5      –10    0                              A =    5, 2.5 ,  9,  3.4  ;  B =    10, 0 ,  2.4,  1.2  ; Sumar A + B
               A =          ,    B =
                      9   –3,4      2,4  –1,2                              DeepThink (R1)  Search



               b)  Damos «enter» y en seguida aparece el procedimiento, explicado paso a paso, y la respuesta al ejercicio
                   planteado

               Resultados obtenidos de la IA



                      Para sumar los conjuntos A y B, simplemente sumamos los elementos   Paso 2: Sumar los segundos elementos de A y B:
                      correspondientes de cada conjunto.                       9,  3.4  +  2.4,  1.2  =  9 + 2.4,  3.4 + ( 1.2)  =  11.4,  4.6
                      Dados:
                                    A =    5, 2.5 ,  9,  3.4            Resultado final:
                                    B =    10, 0 ,  2.4,  1.2
                                                                                     A + B =    15, 2.5 ,  11.4,  4.6
                      Paso 1: Sumar los primeros elementos de A y B:
                                                                                                15, 2.5 ,  11.4,  4.6
                               5, 2.5  +   10, 0  =   5 + ( 10), 2.5 + 0  =   15, 2.5




               126   Matemática
                     1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   126                                                                          15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   126]]></page><page Index="19"><![CDATA[Actividades con DeepSeek


                  1.   Usa DeepSeek para realizar una resta de matrices.

                      ¿Cuál es el texto que debes escribir en el cuadro de diálogo?
                      __________________________________________________________________________________________________________

                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________

                  2.   Imprime la captura de pantalla y pega aquí los resultados obtenidos.



























                  3.   Pregúntale a DeepSeek sobre las aplicaciones de las operaciones con matrices en la vida cotidiana. Escribe cuatro
                      de ellas.










                  4.   Resuelve las siguientes operaciones con matrices y verifica con DeepSeek si la resolución es correcta.

                                            –12  25        –5   1
                      Dadas las matrices: A =      ,    B =
                                              11  40     –18 23


                      a) A + B                                       b) B – A








                  5.   Dialoga con tus compañeros sobre la inteligencia artificial y sus impactos sobre las actividades cotidianas.

                      Hagan una lista de los puntos a favor y los puntos en contra y organicen un debate.
                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________


                                                                                                      Matemática  127
                                                                                                           1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   127                                                                          15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   127]]></page><page Index="20"><![CDATA[Determinantes









                                         D  isposición y compromiso
                    Saberes previos      Una empresa audiovisual produce tres tipos de contenido: videos educativos, co-
                                         merciales publicitarios y cortometrajes. En una semana, tres departamentos distintos
                    ¿Qué entiendes por
                        determinante?    (Edición, Sonido y Producción) reportaron cuántas horas invirtieron en cada tipo de
                                         proyecto, como se muestra en la tabla:
                                          Departamento      Videos educativos  Comerciales       Cortometrajes
                                          Edición           4                  2                 5

                                          Sonido            3                  6                 1
              ©Shutterstock              Se quiere calcular un índice de coordinación entre los tres departamentos. Para esto, se
                                                                               0
                                                                                                 4
                                                            7
                                          Producción
                                         decide calcular el determinante de la matriz de horas como medida de sincronización.
                                         ¿Cuál es el valor del determinante?

                                          Pienso y progreso
                 Analizar los determinantes   Si el determinante es cero, indica que hubo dependencia entre tareas. Si es distinto de
                 ayuda a optimizar tiempo y
                  recursos en las empresas.  cero, hubo independencia y buena coordinación.

                                         U  nidad de conocimientos

                                         El determinante de una matriz siempre es un número real y únicamente lo podemos
                                         calcular para matrices cuadradas. Se obtiene de restar la multiplicación de los ele-
                                         mentos de la diagonal principal de la matriz y la multiplicación de los elementos de
                                         la diagonal secundaria de la misma matriz.
                                         Determinantes de orden 2

                                                 a   b                                       a   b
                                         Sea A =         una matriz de M [ ].       det (A) =
                                                 c   d                2×2                    c   d

                                         El determinante de A se nota con det(A) y se define como det(A) = ad – bc.

                                         Determinantes de orden 3

                                                 a a a                                       a a a
                                                  11  12  13                                  11  12  13
                                         Sea A =  a a a 23   una matriz de M [ ].   det (A) =  a a a 23
                                                     22
                                                  21
                                                                         3×3
                                                                                                  22
                                                                                              21
                                                 a a a  33                                   a a a   33
                                                                                              31
                                                                                                  32
                                                  31
                                                     32
                                         det(A) = a a a  + a a a  + a a a  – a a a  – a a a  – a a a
                                                 11 22 33  12 23 31  21 32 13  13 22 31  12 21 33  11 23 23
                                  –      Regla de Sarrus
                      a 11  a 12  a 13 –  Para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden 3 usaremos la regla
                      a    a   a 23 –    de Sarrus, que consiste en aumentar las dos primeras filas o las dos primeras colum-
               D(A) =   a 21  a 22  a    nas y multiplicar los elementos de las diagonales: la diagonal principal y sus paralelas
                        31  32  33 +
                      a 11  a 12  a 13 +  se suman; la diagonal secundaria y sus paralelas se restan.
                      a 21  a 22  a 23  +  det(A) = a a a  + a a a  + a a a  – a a a  – a a a  – a a a
                                                           21 32 13
                                                                    31 12 23
                                                 11 22 33
                                                                                               21 12 33
                                                                             31 22 13
                                                                                      11 32 23
               128   Matemática
                     1.º BG
                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   128
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   128                                                                          15/8/25   14:03]]></page><page Index="21"><![CDATA[Regla de Cramer para sistemas de ecuaciones lineales
                  Si se tiene un sistema de ecuaciones   Se prueba que:
                  lineales, con:                             b   b       ab
                          =
                      + 
                   ax by b  1                                 1              1
                                                        x =  b 2  d  y =  cb 2
                          =
                      +
                   cx dy b 2                                ab          ab
                      ab       b                             cd          cd
                  A =      ,  B =  1   y det  A () ≠ 0
                      cd       b 2
                  A  cción y expresión

                  Ejemplos paso a paso
                  1.  Regresemos a nuestro problema inicial. ¿Cuál es el valor del determinante usan-
                      do la regla de Sarrus?
                   Paso 1.          Paso 2. Reescribimos las   Paso 3. Sumamos los productos  Paso 4. Sumamos los productos
                   Planteamos el    dos primeras columnas al   de las diagonales principales.  de las diagonales secundarias.
                   determinante.    lado derecho para aplicar el   42 5 42                   42 5 42
                      42 5          método de Sarrus:         A = 36 1   36               A = 36 1    36
                   A = 36 1             42 5 42                  70 4 70                     70 4 70
                      70 4          A = 36 1    36
                                       70 4 70               1. 4 · 6 · 4 = 96            1. 5 · 6 · 7 = 210
                                                             2. 2 · 1 · 7 = 14            2. 4 · 1 · 0= 0
                                                             3. 5 · 3 · 0 = 0             3. 2 · 3 · 4 =24
                                                             Suma de diagonales principales:  Suma de diagonales secundarias:
                                                             96 + 14 + 0 = 110            210 + 0 + 24= 234
                   Paso 5. Restamos las sumas de las diagonales.   El determinante de la matriz es: −124
                   det(A) = 110 – 234 = − 124

                  2.  Calculemos los siguientes determinantes:

                              1  2                              1  2
                      Sea A =       . Entonces,        det(A) =        = 1 × (−1) −3 × 2 = −7
                              3 –1                              3 –1
                                                                                                      Socioemocional
                  3.  Encontremos el determinante de orden 3 × 3:
                                                                                                 Practica la paciencia
                        1    4 −3                                                                y el autocontrol cuando
                        3   −2   1   = 1(−2)5 + 3(−1)(−3) + 414 −[4(−2)(−3) + 1(−1)1 + 345]      enfrentes ejercicios
                                                                                                 complejos, como resolver
                        4  −1   5                                                                determinantes. En lugar
                                                                                                 de frustrarte, respira
                                  = −10 + 9 + 16 −[24 −1 + 60] = 15 − 83 = −68.                  profundo, revisa tus pasos
                  4.  Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales por la regla de Cramer.  y aprende del error.

                       2x +   3y =  1                                                           ¿Cómo cambia tu actitud
                                                                                                cuando decides ver los
                       xy−= − 2                     1  3                    2  1                errores como oportunidades
                              2  3                  −2  −1  −− − ( ) 6       1  −2  −−() 1       para crecer?
                                                             1
                                                                                     4
                      det A () =   =− −() =−5    x =       =        =−1 y =        =       =1
                                         3
                                      2
                              1  −1                 2   3      −5            2  3     −5
                                                     1  −1                   1  −1
                                               Solución: x = –1 y = 1
                                                                                                      Matemática  129
                                                                                                           1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   129
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   129                                                                          15/8/25   14:03]]></page><page Index="22"><![CDATA[DUA
                       ó                                                                     Acción y expresión




               1. Calcula los determinantes de las matrices en cada           3    0  –2
                   caso.                                                      1   –1    3
                                                                      b)  A =
                          –1   5                                              0    0    5
                   a)  A =
                            2   0








                                                                              1    2    3
                           2    0
                   b)  A =                                            c)  A =   4   5    1
                           2    0
                                                                              7    8  –2








                          –1   2
                   c)  A =
                            2  –1                                             7   –1  –2
                                                                      d)  A =  –1  –1    4
                                                                              5   –1    5





                           2   2
                   d)  A =
                          –1  –1

                                                                                3  1  –2
                                                                      e)  A =     4  2    5
                                                                              –6   3  –1



               2. Calcula el determinante de las matrices de tercer
                   orden aplicando la regla de Sarrus.


                          –1  2   0                                           –1  0  2

                   a)  A =     0   3   1                              f)  A =    0   1  3
                            3   0   4
                                                                                3  4  0










               130   Matemática
                     1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   130                                                                          15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   130]]></page><page Index="23"><![CDATA[3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones     Actividad cooperativa
                      lineales por la regla de Cramer.
                                                                     4. Trabajen en equipo, analicen y establezcan por
                          x + 3y = 1                                     qué la igualdad es verdadera, sin calcular los deter-
                      a)                                                 minantes dados.
                          2x – y = –4

                                                                               3  2  1        3  2  1
                                                                         a)  –1   2  4  = –   0  7  8
                                                                               0  7  8      –1  2   4





                          x + 2y – z = 1
                      b)   2x + z = 4
                          –y – z = 2                                     b)     2 4   = 2     1 2
                                                                             –1 3       –1 3









                                                                     5. Indaguen, analicen, investiguen y resuelvan.
                          –x + 5y = –58
                      c)                                                 Una fábrica controla la cantidad de materias pri-
                          4x = –32
                                                                         mas utilizadas en la producción de tres productos:
                                                                         botellas, tapas y etiquetas. En tres días consecuti-
                                                                         vos, se registró el uso (en kilogramos) de tres ma-
                                                                         teriales: plástico, aluminio y tinta.
                                                                         La información quedó organizada así:


                                                                          Día          Plástico  Aluminio Tinta
                          3x + 4y = –5                                    Lunes        5         2         3
                      d)
                          2x – y = 4                                      Martes       1         4         6
                                                                          Miércoles    2         5         1

                                                                         La empresa necesita saber si hubo una combina-
                                                                         ción lineal única de recursos para los tres productos.
                                                                         ¿Cuál es el determinante de la siguiente matriz
                                                                         usando la regla de Sarrus?

                          2x + 3y = 2                                    ______________________________________________________
                      e)
                          x –2y = 8
                                                                       Indaguemos
                                                                     6. Investiga cuáles son los errores más frecuentes en
                                                                         el momento de resolver determinantes, resuelve

                                                                         algunos ejercicios y  verifica la solución usando
                                                                         ChatGTP o Perplexity.



                                                                                                      Matemática  131
                                                                                                           1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   131
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   131                                                                          15/8/25   14:03]]></page><page Index="24"><![CDATA[Matriz inversa









                                         D  isposición y compromiso
                    Saberes previos      Una oficina de diseño gráfico lleva registro de cómo se distribuyen las horas de tra-
                                         bajo de tres empleados en tres tipos de tareas: ilustración, edición de video y revi-
                     ¿Una matriz puede
                     escribirse como un   sión de contenido. Al final de una semana, la jefa de área decide analizar la matriz de
                        determinante?    distribución de horas para estandarizar el proceso en futuras semanas. La matriz con
                                         los datos organizados quedó así:


                                                   1  2   1
                ©Shutterstock               A =     0  1   3

                                                     3   4
                                                   2
                                         ¿Cuál es la matriz inversa de A, utilizando el método de la matriz ampliada?

                                          Pienso y progreso
                                          ¿Por qué es importante para las empresas organizar sus actividades?
                        Las matrices ayudan
                          a la optimización
                    de recursos en empresas.  U  nidad de conocimientos
                                         La matriz inversa de una matriz cuadrada A es otra matriz, llamada A , que cumple la
                                                                                                    −1
                                         siguiente propiedad:
                         Matemática      A · A  = A · A = I, donde I es la matriz identidad del mismo orden.
                                             −1
                                                  −1
                         Propiedades     Condiciones de existencia
                    de la matriz inversa
                    Si B y C son inversas   Una matriz cuadrada tiene inversa solo si se cumplen estas dos condiciones:
                 de la matriz A, entonces,   1.  La matriz debe ser cuadrada.
                 B = C; por lo tanto, toda   2.  Su determinante debe ser distinto de cero: det (A) ≠ 0
                       matriz tiene una
                 y solamente una matriz   Si el determinante es 0, la matriz no tiene inversa y se dice que es singular.
                              inversa.
                    Si A y B son matrices   Matriz inversa por el método de la matriz aumentada
                   invertibles del mismo
                  tamaño, entonces A · B  Este método se basa en aplicar operaciones elementales por renglón para transfor-
                          es invertible.  mar la matriz original en la matriz identidad, mientras se transforma simultáneamen-
                               –1
                                  –1
                      (A · B)  = B  · A .  te la identidad en la inversa.
                           –1
                      Si A es una matriz   1.  Construye la matriz aumentada: [ A  I ]. Es decir, escribe la matriz A y al lado su
                invertible, se cumple: A –1  matriz identidad del mismo orden.
                es invertible y (A )  = A.
                             –1 –1

                       A  es invertible y   2.  Aplica operaciones elementales por fila para convertir A en la matriz identidad.
                        n
                (A )  = (A )  para n   N.  3.  Cuando logres que el lado izquierdo sea la identidad, el lado derecho será la
                  n –1
                        –1 n
                                                             −1
                   Para cualquier escalar   matriz inversa: [I  A ]
                     λ ≠ 0, la matriz λ · A  Operaciones elementales entre filas de una matriz
                         es invertible y

                       ( λ ⋅ ) =  1  ⋅A −1  ·  Intercambio de dos filas de una matriz.
                            −1
                          A

                               λ         ·  Producto de una fila de la matriz por una constante diferente de cero.


                                         ·  Multiplicación de una fila de una matriz por una constante y sumar con otra fila.
               132   Matemática
                     1.º BG


                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   132
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   132                                                                          15/8/25   14:03]]></page><page Index="25"><![CDATA[A  cción y expresión

                  Ejemplos paso a paso                                                               Seguridad vial
                  1.  Regresemos a nuestro problema inicial. ¿Cuál es la matriz inversa de A, utilizando   Siempre que puedas, opta
                      el método de la matriz ampliada?
                                                                                                 por caminar, usar bicicleta
                   Paso 1. Verificamos si se puede obtener la  Paso 2. Escribimos la matriz ampliada de A   o transporte público en
                   matriz inversa de A.                con la matriz identidad.                  lugar de vehículos
                                                                                                 particulares. Esto reduce
                       1 2 1                            1 2 1    1 0 0                           la contaminación del aire
                   A =  0 1 3  = 5                      0 1 3    0 1 0                           y mejora tu salud física
                       2 3 4                            2 3 4    0 0 1                           y mental.
                                                                                                 ¿Qué medio de transporte
                   La matriz tiene inversa, |A|≠0
                                                                                                 podrías usar más seguido
                   Paso 3. Operamos entre filas para hacer   Paso 4. Realizamos operaciones para hacer   para cuidar el planeta y a ti
                   ceros debajo del pivote a           ceros encima y debajo del pivote a        mismo?
                                       11                                          22
                   Fila 3 = f  – 2 · F1                Fila 1 = f  – 2 · F2
                          3                            Fila 3 = f  – f
                                                             1
                    1 2 1    1 0 0                           3  2
                    0 1 3    0 1 0                      1 0 –5   1 –2 0
                    0 –1 2   –2 0 1                     0 1   3  0   1 0
                                                        0 0   5 –2   1 1

                   Paso 5. Convertimos el pivote a  en 1.  Paso 6. Operamos entre filas para hacer
                                             33
                   Fila 3 = f  ÷ 5                     ceros encima del pivote a 33
                          3
                                                       Fila 1 = f  + 5 · f
                             1 –2 0                          1     3
                    1 0 –5                             Fila 2 = f  – 3 · f 3
                                                             2
                    0 1  3   0 1 0                                   –1 –1 1
                    0 0  1   –2 1 1                         1 0 0    6 2 3         –1 –1 1
                                                                                   6 2 3
                             5 5 5
                                                       A  =  0 1 0   5 5 5    A  =  5 5 5
                                                        –1
                                                                               –1
                                                            0 0  1   –2 1 1        –2 1 1
                                                                     5 5 5         5 5 5
                                                                        A –1
                  2.  Determinemos la matriz inversa de A.
                      ⎛  32  ⎞
                   A= ⎜      ⎟
                        32
                   A= ⎝ ⎛ ⎜  15 ⎠ ⎞ ⎟
                      ⎝
                        15 ⎠
                   Paso 1. Verificamos si A es una matriz no singular, |A| ≠ 0; |A|=13   Paso 2. Multiplicamos la segunda fila por (–3), sumamos
                                 ⎞
                  ⎛ y formamos la matriz ampliada de A con la matriz identidad.   con la primera fila y reemplazamos en la segunda fila.
                            10
                     32
                  ⎜⎛  32   10    ⎟ ⎞
                  ⎝ ⎜ ⎛  15  01 ⎠               ⎛              ⎞        ⎛  32   10   ⎞               ⎛  3  2   1  0  ⎞
                                ⎟ ⎞
                                                  3
                     32
                                                          1
                     15
                           01 ⎠
                   ⎝
               ⎛  3232     10   ⎞ ⎟         ⎛  3  ⎛ ⎜ 23  2 1 2  01 ⎞  0  ⎞ ⎟  ⎜ ⎝  15  01 ⎠ ⎟  (–3) F2 + F1 → F2  ⎜ ⎝  0 13  –1 3 ⎠ ⎟
                   ⎛
                            ⎞
                   ⎜
                                                             0
                        1010
                                                           ⎟
               ⎜   ⎝ ⎜  15  01 ⎠ ⎟          ⎜   ⎝ ⎜  0 13  –1 3 ⎠ ⎟
                            ⎟
                                                ⎝
                                                      –1 3 ⎠ 3 ⎠
                   ⎝
                        01 ⎠ 01 ⎠
               ⎝  1515                      ⎝  0 130 13  –1
                   Paso 3. Multiplicamos la primera fila por (13) y la segunda fila por (–2) sumamos las dos filas y reemplazamos en la primera fila.
                   ⎛  3  2   1  0  ⎞              ⎛  13  0  5  –2  ⎞    ⎛  3  2   1  0  ⎞              ⎛  13  0  5  –2  ⎞
                                              ⎛
                                                              ⎞
               ⎛  3  ⎛ ⎜ 23  1 2  01  ⎞  0  ⎞ ⎟  13F1 + (–2)F2 → F2 13 ⎛ ⎜ 013  5 0  –2 –2  ⎞ ⎟  ⎜ ⎝  0 13  –1 3 ⎠ ⎟  ⎜ ⎝  0  13  –1  3 ⎠ ⎟
                                                            5
                              ⎟
               ⎜   ⎝ ⎜  0 13  –1 3 ⎠ ⎟        ⎜   ⎝ ⎜  0  13  –1  ⎟  3 ⎠ ⎟
                                                    0
                                                        –1 –1
               ⎝  0 130 13  –1                ⎝  0 ⎝  13 13  3 ⎠ 3 ⎠
                   ⎝
                        –1 3 ⎠ 3 ⎠
                   Paso 4. Dividimos primera fila y segunda fila para 13 y obtenemos la matriz inversa.  ⎛           2 ⎞           ⎛      2 ⎞
                   ⎛  13  0  5   –2  ⎞              ⎛  10   5  − 2 ⎞    ⎛  13  0 ⎛  5  5 − 2 –2 ⎞  ⎞  1 ⎛  5  − 2  ⎞  ⎜  10  13 5  − 13  ; ⎟  A = ⎜  13 5  − 13  1 ⎛  5  − 2  ⎞
                                                                                                                                 1
                                                                                                                                −
                                                    ⎛
                                                                            1 5 ⎛
                                                                           ⎛
                                                    ⎜
                                                                            −
               ⎛  13 ⎛ ⎜ 0 13  5 0  –2 5  ⎞ –2  ⎞ ⎟   1   F1 → F1  ⎛  1010  − 5 13  13 2 ⎞ ; ⎟  ⎜  A = 13 ⎜  − 5 13 –1 13 2 ⎞ ⎟ = ⎛ ⎟  ⎜ − 5 2 − 2  ⎞ ⎟  ⎜  01  − 1  3  ⎟  ⎜  − 1  13 ⎠ ⎟ = 13⎝ ⎜  − 1  3 ⎠ ⎟
                                                                                    13
                                                                                      3 ⎠ 5 1 ⎛
                                                                                                ⎞
                                                            2 ⎞ −
                                                                                 2 ⎞ −
                                                        5
                                                                                                                                           ⎟
                                                                                      1
                                                                                                                                         3
                                         3
                                                                                       ⎟
                                                                                133
                                                                             13
                                                                                 1
                                                            1
                                                           133
                                                        13
                                                                3 13
                                                                                 1
                                                                                    3
                                                                          0 1−
                                                                        ⎝ 1
                                                                        −
               ⎜   ⎝ ⎜  0  13  –1  ⎟  3 ⎠ ⎟   1   F2 → F2  ⎜  ⎜ ⎜ ⎝  01  − 13 1  ; ⎟  13 ⎠ ⎟ ; ⎟  A = ⎜ A = ⎜ ⎜ ⎝  − 13 ⎟ = ⎟ =  13⎝ ⎜  − 1  ⎟  3 ⎠ ⎟  ⎝  13  13 ⎠  ⎝  13
                                                                                    13 ⎠ ⎜
                                                                                   ⎟
                                                                                      13⎝ 13⎝
                                                            −
                                                                                               1
                                                              ⎟
                                                    ⎜
                         –1 –1
                                                        −
                                                                                 −
                                                            3 1
                                                                3
                                                                                 3 1
                                                                              1
               ⎝  0 ⎝  13 0  13  3 ⎠ 3 ⎠   3    ⎜ ⎝  0101 1  13 ⎠ 13 ⎠ ⎟   ⎜ ⎝  − 13 ⎝ ⎜  13 ⎠ 13 ⎠ ⎟  − 1 − 3 ⎠ 3 ⎠
                                                                                    3
                                                    ⎝
                                                                                 13
                                                            13
                                                        13
                                                                                                      Matemática  133
                                                                                                           1.º BG
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   133
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   133                                                                          15/8/25   14:03
                                                                                                                     15/8/25   14:03]]></page><page Index="26"><![CDATA[DUA
                       ó                                                                     Acción y expresión




               1. Determina si la matriz en cada literal es invertible.  B)  ¿Cuál es una propiedad de la matriz inversa?

                           0 0                                            a)  Toda matriz tiene una sola matriz inversa.
                   a)  A =
                           0 –1
                                                                          b)  Toda matriz tiene múltiples matrices inversas.

                                                                          c)  La inversa de una matriz no puede invertir-
                                                                             se a la matriz original.

                                                                          d)  (AB)  ≠ A B
                                                                                –1
                                                                                     –1 –1
                           3 0
                   b)  A =
                           2 –1                                       C)  El valor del determinante de la matriz


                                                                               2  –1
                                                                         A =          es:
                                                                               3   4

                                                                          a)  det(A) = 0

                           2  –2                                          b) det(A) = –5
                   c)  A =
                           1  –1
                                                                          c) det(A) = 11

                                                                          d)  det(A) = 5



                                                                                       0  –1
                                                                      D)  La matriz A =       es:
                           1   6  2                                                    0   4
                   d)  A =  2  1  3                                       a)  Invertible.
                           5   0  4
                                                                          b)  No invertible.

                                                                          c)  Triangular superior.

                                                                          d)  Triangular inferior.

               2. Selecciona la respuesta correcta.
                                                                                       1   1
                             a    c                                   E)  La matriz A =       es:
                   A)  Si A =        , A es invertible si:                             1   1
                             b    d

                      a) det(A) = 0                                       a) Identidad.

                      b) det(A) = 1                                       b) Invertible.

                      c) det(A) ≠ 0                                       c)  No invertible.

                      d)  det(A) ≠ 1                                      d)  Triangular superior.


               134   Matemática
                     1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   134                                                                          15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   134]]></page><page Index="27"><![CDATA[3. Encuentra la matriz inversa de las siguientes matrices.  Actividad cooperativa

                               9 1                                   4. Trabajen en equipo y determinen si cada matriz
                      a)  A =                                            es invertible. Si es así, hallen A .
                                                                                                   –1
                             –3 3
                                                                                 1   1  0
                                                                         a)  A =  1  0  1
                                                                                 0   1  0




                               2   1   5

                      b)  A =    1  –4   1
                               3   0   1

                                                                                 2  –2   1
                                                                         b)  A =  4  –4   3
                                                                                 6   5  –3






                              0  –7
                      c)  A =
                              8   8
                                                                                 1  2  –1
                                                                         c)  A =  3  4    2
                                                                                 1   0  –2




                             –3 –9
                      d)  A =
                               4 –2






                                                                                 1  –2  3

                                                                         d)  A =  5 –1  2
                                                                                 3   4 –3
                              –7  8  –9
                      e)  A =   –2 –5    9
                               6  –6    9




                                                                       Indaguemos
                                                                     5. Investiga sobre las aplicaciones de las matrices en
                                                                         la vida real y realiza una presentación sobre la in-
                                                                         formación encontrada.


                                                                                                      Matemática  135
                                                                                                           1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   135
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   135                                                                          15/8/25   14:03]]></page><page Index="28"><![CDATA[DUA
                                                 Textos y lecturas
                                                 desde la Internet                            Participación


               ¿Por qué no hay pistas de aterrizaje circulares?



               "Cada día despegan y aterrizan en el mundo decenas   más espacio y es costosa, el mantenimiento es alto y,
               de miles de aviones. A medida que aumenta el núme-  en caso de desastre, debe cerrarse por completo. Ade-
               ro de vuelos, lo hace también la congestión de las pis-  más, aterrizar un avión sobre una pista circular no es lo
               tas de aterrizaje.                                  mismo que hacerlo en línea recta.
               La falta de capacidad en algunos aeropuertos es una   De acuerdo con la información, las pistas de aterrizaje
               de las principales limitaciones para el transporte aéreo.   seguirán siendo rectas, pero aún hay mucho por inves-
               De ahí que la demanda para construir pistas de aterri-  tigar desde el punto de vista de la matemática.
               zaje sea cada vez mayor. La pista es la parte más impor-  ¿Cómo se calcula el descenso de los aviones? La fase
               tante del aeródromo. Necesita ser lo suficientemente   de descenso de un avión se inicia cuando deja su velo-
               larga y ancha para que las aeronaves puedan despegar   cidad constante de vuelo (velocidad crucero) para diri-
               y aterrizar en ella sin problemas.
                                                                   girse al punto de llegada.
               Los grandes aviones, con plena carga de combustible y   ¿Cómo se calcula la distancia del descenso? Esta dis-
               de pasajeros, como el Boeing 747 o el Airbus 340, re-  tancia es horizontal e indica a cuánto está el avión para
               quieren de pistas de al menos 2,5 km para despegar y   iniciar el descenso. Se calcula mediante la altitud del
               aterrizar de forma segura. Por el contrario, aviones pe-  avión y el ángulo de descenso.
               queños que transportan a pasajeros necesitan pistas
               que no superan un kilómetro. En el caso de las bases   ¿Cómo se mide la altitud? Se mide a través de la uni-
               aéreas militares sucede lo mismo.                   dad de medida denominada pie, que equivale a 30 cm
                                                                   o 0,3 m aproximadamente. Respecto de la medida de
               Pero, ¿si las pistas de aterrizaje fueran circulares?
                                                                   la altura del avión, es preciso considerar que los aero-
               Una pista circular de 360 grados permitiría a los avio-  puertos no se encuentran al nivel del mar, por lo que al
               nes despegar y aterrizar en cualquier dirección, acor-  medir los pies de altura del avión hay que restarle la al-
               tando las trayectorias, evitando el viento de costado y   tura del aeropuerto.
               facilitando el aterrizaje con cualquier clima. Esto permi-  La medida del ángulo de un descenso estándar es de
               tiría ahorrar energía y reducir el impacto sonoro. Ade-  3°. De acuerdo con la resistencia del aire (si es mayor a
               más,  en una  pista  circular las  aeronaves  pueden   la normal) puede variar.
               despegar y aterrizar en varios puntos de ese círculo
               para evitar el viento lateral y tener solamente viento   Estos 3 elementos (altitud, ángulo y distancia) forman
               frontal; por lo tanto, la idea de construcción de aero-  un triángulo rectángulo que al establecer la relación
               puertos circulares es viable, pero no se ha ejecutado   entre sus lados permite obtener la distancia de
               debido a que la construcción es compleja, requiere de   descenso".















               ©Shutterstock



                                  Blasco, L. (2017, 17 de marzo). ¿Por qué no han logrado despegar las pistas de aterrizaje circulares?. BBC - Mundo.
                                                                    Recuperado de https://www.bbc.com/mundo/noticias-39305930

               136   Matemática
                     1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   136                                                                          15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   136]]></page><page Index="29"><![CDATA[ó

                    1.   Según la lectura, ¿cómo son las pistas de aterrizaje?, ¿cuál es su longitud?

                       ________________________________________________________________________________________________________
                       ________________________________________________________________________________________________________
                    2.  ¿Cuáles son las ventajas de las pistas de aterrizaje circulares? ¿Por qué no se han construido?

                       ________________________________________________________________________________________________________

                       ________________________________________________________________________________________________________
                       ________________________________________________________________________________________________________
                    3.  ¿Cuál es el ángulo de descenso del avión? ¿Cómo se relaciona con la pendiente de una recta?

                       ________________________________________________________________________________________________________
                       ________________________________________________________________________________________________________

                    4.  Según la lectura, ¿cómo se seguirán construyendo las pistas de aterrizaje?

                       ________________________________________________________________________________________________________






                    Actividad personal

                    1.   Investiga sobre los 10 aeropuertos más peligrosos a nivel mundial; luego, analiza las semejanzas y diferencias
                       entre ellos.

                       Elabora un ensayo con la información recopilada y presenta tu trabajo en una exposición en clases.

                    2.   La matemática está presente en todas las situaciones que nos rodean, más aún en el transporte aéreo. In-
                       vestiga: ¿por qué, en un espacio circular, una gran cantidad de aviones no se chocarían?, ¿qué conceptos
                       matemáticos se relacionan para controlar el tráfico aéreo?

                       ________________________________________________________________________________________________________
                       ________________________________________________________________________________________________________

                       ________________________________________________________________________________________________________


                    Actividad colaborativa

                    3.  Formen grupos y utilicen las TIC de su preferencia para crear una infografía digital que resuma la lectura
                       anterior.
                        Presenten su trabajo ante el resto de la clase. Tomen en cuenta las siguientes recomendaciones:

                       •   Debe haber un organizador gráfico.

                       •   Hay que incluir imágenes.
                       •   Los textos deben ser sintéticos y precisos.
                       •   Se deben citar las fuentes de donde se obtuvieron textos e imágenes.



                                                                                                      Matemática  137
                                                                                                           1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   137
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   137                                                                          15/8/25   14:03]]></page><page Index="30"><![CDATA[Sistemas de ecuaciones


                                         con matriz inversa





                                         D  isposición y compromiso
                    Saberes previos      En una tienda, se venden tres tipos de productos: cuadernos, lápices y cartucheras.
                                         Un cliente compra 2 cuadernos, 3 lápices y 1 cartuchera y paga $17. Otro cliente
                 ¿Qué condiciones debe
                 cumplir una matriz para   compra 1 cuaderno, 2 lápices y 2 cartucheras, y paga $16. Un tercer cliente compra
                     que tenga inversa?  3 cuadernos, 1 lápiz y 1 cartuchera, y paga $19.
                                         ¿Cuál es el precio de cada producto?

                                          Pienso y progreso
                                          ¿Crees que en la lista de compras en el supermercado se emplean matrices?, ¿por qué?


                                         U  nidad de conocimientos
                ©Shutterstock            Sistema de ecuaciones en forma matricial

                                         Cuando un sistema de ecuaciones tiene el mismo número de ecuaciones que incóg-
                                         nitas, se puede expresar en forma matricial con la fórmula: A · X = B
                                         Donde:
                                         •  A es la matriz de coeficientes (los números que acompañan a las variables).

                      Las matrices modelan   •  X es la matriz de incógnitas:
                   situaciones reales, como la
                distribución de recursos, costos   •  B es la matriz de términos independientes
                 o planificación de producción.
                                         Sistema de ecuaciones con matriz inversa
                                         1.  Escribir el sistema en forma matricial: A · X = B.

                                                       =
                                                 + 
                                              ax ay b          a  a         b 
                                                                        x
                                              11   12   1  ⇒   11  12     =    1 
                                                       =
                                                 +
                                                                        y
                                                                                b
                                               21
                                                    22
                         Matemática          ax ay b    2    a 21  a 22      2  
                                                               Matriz    Matriz    Mattriz
                                                               de     de     de

               Ventajas de este método                         coeeﬁcientes  incógnitas  términos ind.
               para resolver sistemas de   2.  Verificar si la matriz A tiene inversa, el determinante debe ser diferente de cero.

                          ecuaciones.    3.  Calcular la matriz inversa A .
                                                                    −1
                Es muy útil para sistemas              −1
                      que se resuelven   4. Multiplicar A · B para obtener el vector de soluciones X.
                        repetidamente    5.  Interpretar los resultados según el contexto del problema.
                    cambiando solo los
               términos independientes.  A  cción y expresión
                Introduce al estudiante al
                 álgebra matricial, que es   Ejemplos paso a paso
                  base en carreras como
                ingeniería, computación,   1.  Regresamos a nuestro problema inicial, ¿cuál es el precio de cada producto?
                      física, entre otras.  Paso 1. Planteamos el sistema
                                                                                       +
                                                                                 2x + 3y z = 17
                                         x: precio de un cuaderno                x + 2y + 2z = 16
                                                                                
                                         y: precio de un lápiz                   3x ++ = 19
                                                                                     y z
                                         z: precio de un borrador               
                                         Paso 2. Escribimos la forma matricial A · X = B  23 1   x     
                                                                                                      17
                                                                                          
                                                                                                      
                                                                                  
                                                                                                y ,
                                                                                A = 12 2 ,  X =    B = 16
                                                                                          
                                                                                                
                                                                                                      
                                                                                  
                                                                                                z  
                                                                                                      19
                                                                                  31 1           
                                                                                                      
                                                                                  
               138   Matemática
                     1.º BG
                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   138
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   138                                                                          15/8/25   14:03]]></page><page Index="31"><![CDATA[Paso 3. Verificamos si la matriz A es invertible.  Obtenemos el determinante de A.
                                                           Det (A) = 10                               Ética e integridad
                                                           Es diferente de cero, por lo tanto es   Haz siempre lo correcto,
                                                           invertible.
                                                                                                 incluso cuando nadie te
                   Paso 4. Calculamos la matriz inversa de A.                                    esté observando; tus
                                              ,
                                                           0
                       23 1 10 0         1150 5 05 0 0                                       acciones reflejan tus
                                                     ,
                                                   ,
                                       1 
                       
                    −1
                   A = 12 2 01 0         f1 1  2  2 0    1 0                                   valores y construyen tu
                                          
                                      
                       
                                                                                                 credibilidad.
                       31 1 00 1        2        3   1  1 0  0 1                          ¿Actuarías de la misma
                       
                                                                                                 manera si supieras que
                          1   15 ,  0 5 05 ,  00                                               nadie lo va a notar?
                                   ,
                    f − f 1                   
                                       05 10
                                   ,
                      2   0  0 5 ,  15 − ,
                    f −  f 3  1      0 − ,  0 5 15 0− ,  1 1  
                    3
                             3 5 − ,
                         1   15 ,  0 5 05 ,  00      10 −  4 275 − 3 0
                                                                ,
                                   ,
                                                  15
                     1  f   0  1  3  − 1  2 0   f f − ,  f 2  01  3 − 1  2  0 
                                                1
                                                  35
                    05 ,
                          2    0 − 3 5 ,  − 0 5 15 01    f + ,  f 2      00 10 − 5  7  1   

                                                3
                                   , −
                                       ,
                                                           ,
                         10 − 4 275  − 3 0       10 0 075 − ,     0 4 , 
                                  ,
                                                                0 2
                    1                       f − 4f 3                 
                                             1
                                                                 01 − ,
                      f 3  01  3  − 1  2  0      01 0 05 ,  − ,    03 
                    10                       f − 3f 3
                                             2 2
                                  05 07 1
                          00  1 − ,  ,            00 1 05 ,  07 ,  01 ,  
                                                          −
                                                    –1
                                                               –1
                   Paso 5. Multiplicamos la matriz inversa A  por B.  X = A  · B
                                         17
                                                ,
                         ,
                       075   0 2 ,  0 4 ,     17 15 
                       
                    −1
                   A = 05 ,   −01 ,  −03 ,       ,   
                                       ⋅ 16 = 120
                                         
                       
                                               ,
                                           
                                         
                        −  05 ,  07 ,  01 ,   19  460  
                   El precio de un cuaderno es $17,15, lápiz $1,20 y cartuchera $4,60.
                  2.  Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones empleando el método de elimi-
                      nación gaussiana.
                            y z
                        x ++ = 6
                      
                              +
                       2 x +3 y z =14
                       x +2 y +3 z =14
                      
                   Paso 1. Escribimos la matriz aumentada. Paso 3. Formamos la matriz triangular superior (ceros debajo de la diagonal
                    111 6                          principal), realizando varias operaciones entre filas.
                    23 114                          11   1 6     11   1 6
                                                                         
                     12 3 14                      01 − 12  f 3       2     01 − 12 
                                                                  −f
                                                              
                                                       01 2 8     00  3 6 
                   Paso 2. Realizamos operaciones    Paso 4. Aplicamos la  Paso 5. Resolvemos el sistema obtenido.
                   elementales entre filas para escalonar.  sustitución regresiva.
                                                                        Fila 3    Fila2     Fila1
                    111 6         11   1 6        x ++ = ()        3z = 6    y – z = 2   x + y + z = 6
                                                         y z 61

                              f 2  − 2f 1                         z = 2    y – 2 = 2   x + 4 + 2 = 6
                                                             22

                    23 114   f  −f   01 − 12        yz−= ()                  y = 4      x = 0
                             
                                  1
                     12 3 14   3           01 2 8     3 z = () 3  La solución final es: x = 0, y = 4, z = 2

                                                            6
                                                     
                                                                                                      Matemática  139
                                                                                                           1.º BG
                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   139
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   139                                                                          15/8/25   14:03]]></page><page Index="32"><![CDATA[DUA
                       ó                                                                     Acción y expresión




               1. Escribe en forma matricial cada sistema de ecua-  2. Escribe el sistema de ecuaciones que se propone.
                   ciones lineales que se propone.
                                                                          ⎡  2  1 0   ⎤⎡  x  ⎤ ⎡  0  ⎤
                       ⎧   + ⎪ 2x  = 3y  1                            a)   ⎢  –1 4 4  ⎥⎢  y  ⎥ ⎢  4  ⎥
                                                                                            =
                   a)  ⎨                                                  ⎢           ⎥⎢   ⎥ ⎢  − 3 ⎥ ⎥
                          − = −2
                                                                                           ⎦ ⎣
                       ⎩ ⎪  xy                                            ⎢ ⎣  3  0  1 ⎥⎢  z ⎥ ⎢   ⎦
                                                                                      ⎦⎣







                        –x + 5y = 0
                   b)
                          x + y = 2                                       ⎡  2 − 1  ⎤ ⎡  x  ⎤ ⎡  1  ⎤
                                                                      b)   ⎢      ⎥ ⎢   ⎥ ⎢    ⎥
                                                                                         =
                                                                          ⎣  3  4  ⎦ ⎣ ⎢  y  ⎦ ⎥ ⎣  0  ⎦






                        x + y + z = 1

                   c)   x – y + z = –2
                        x + y = –1
                                                                          ⎡  0  13    ⎤⎡  x  ⎤ ⎡  5  ⎤
                                                                      c)   ⎢ ⎢  − 12 4  ⎥⎢  y  ⎥ ⎢  2  ⎥ ⎥
                                                                                            =
                                                                                      ⎥⎢
                                                                                           ⎥ ⎢
                                                                          ⎢ ⎣  − 211 ⎥⎢  z ⎥ ⎢  − 1 ⎥ ⎦
                                                                                           ⎦ ⎣
                                                                                      ⎦⎣
                        9x + 3y = 3
                   d)
                        x – y = –5



                                                                   3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
                                                                      lineales por el método de matriz inversa.
                                                                            x ++ = 3
                                                                                y z
                                                                      a)     x +  2  y +3  4z  =9
                        2x + y + 5z = 1                                   −x + 5y  −2z  =2
                   e)   x – 4y + z = –3                                  
                        3x + z = 7












               140   Matemática
                     1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   140                                                                          15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   140]]></page><page Index="33"><![CDATA[y z
                           2x ++ =   9
                         
                      b)    x + 3y + 2z = 13
                         
                          3x + 2y + 3z = 20





                                                                        Actividad cooperativa
                                                                     5. Trabajen  en  equipo  y  resuelvan  los  siguientes
                                                                         problemas.
                          x +2 y +3 z =14
                         
                      c)   2 x ++ =10                                   a)  Un agricultor necesita preparar una mezcla de
                               y z
                                                                            nutrientes usando tres fertilizantes:  A,  B y  C.
                         
                               y
                          3 x ++2 z =15                                    Cada  uno  contiene  nitrógeno  (N),  fósforo  (P)
                                                                            y potasio (K):
                                                                             Fertilizante  N (g)   P (g)    K (g)
                                                                             A           2         1        1
                                                                             B           1         3        2
                                                                             C           3         2        3
                  4. Hallen la solución de los siguientes sistemas de       Necesita una mezcla con 9 g de N, 13 g de P
                      ecuaciones empleando el método de eliminación         y 20 g de K. ¿Cuántas unidades de cada fertili-
                      gaussiana.                                            zante debe usar?

                          2x + y + 5z = 1                                   _____________________________________________
                      a)   x – 4y + z = –3                                  _____________________________________________
                          3x + z = 7                                     b)  En un teatro se vendieron entradas en tres zonas:

                                                                            •  Zona A: entrada más cara

                                                                            •  Zona B: entrada media
                                                                            •  Zona C: entrada económica
                                                                            Se conocen los siguientes datos de ventas:

                                                                                   Zona A  Zona B  Zona B  Total
                          2x – y + 7z = 6                                 Venta N.º  (x)   (y)     (y)    vendido ($)
                      b)   –4x – 4y + 1z = –15                            1        2       3       1      85
                          2x + y – 9z = 0                                 2        1       2       2      70

                                                                          3        3       1       2      100
                                                                         ¿Cuál es el precio de cada entrada?

                                                                         _________________________________________________

                                                                       Indaguemos

                          x – y + z = 4                              6. Investiga sobre el método de Gauss – Jordan para
                      c)   2x + y + z = 1                                resolver sistemas de ecuaciones, escribe tus anota-
                                                                         ciones para compartir con tus compañeros.
                          – 3x + 2y + 2z = –4


                                                                                                      Matemática  141
                                                                                                           1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   141
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   141                                                                          15/8/25   14:03]]></page><page Index="34"><![CDATA[DUA
                        á                                                                    Participación


                 Rutina de pensamiento: ΄Analiza, modela y toma decisiones`


               Contexto: aplicaciones de matrices en Física


               En física, especialmente en el estudio del movimiento en el espacio, fuerzas y estruc-
               turas mecánicas, las matrices se utilizan para representar sistemas de ecuaciones li-
               neales que relacionan distintas magnitudes físicas. Por ejemplo, cuando varias
               fuerzas actúan sobre un objeto desde distintas direcciones, es necesario organizar la
               información en forma matricial, para entender su efecto total.                                       ©Shutterstock


                 Fases de la rutina
               1.  Analiza. Problema: ¿qué está pasando?
               Un objeto suspendido por tres cuerdas está en equilibrio. Cada cuerda
               aplica una fuerza diferente, representada por sus componentes en el plano
               horizontal (x) y vertical (y). Se sabe que las tres fuerzas se combinan para
               que el objeto no se mueva; es decir, la suma de todas las componentes es
               cero. Las ecuaciones que describen el equilibrio del sistema son:
                     y z
                 2x ++ =  10 (suma de fuerzas en el eje X)
                                                                                                                   ©Shutterstock
                      +
                 x + 2y z = 13 (suma de fuerzas en el eje Y)
                
                    y
                 x ++ 2z = 14 (suma de magnitudes equilibradas)
               Determina el valor de las fuerzas x, y y z usando el sistemas de ecuaciones por la matriz inversa.
               a)  ¿Qué características tiene el sistema  b)  ¿Cómo organizarías la información  Queremos encontrar la matriz
                   de ecuaciones?                       en forma matricial?             X = A · B, donde:
                                                                                            −1
                   Es un sistema de 3 ecuaciones con 3     21 1                         x  
                                                                          10
                   incógnitas, x, y, z que representa el                                
                                                                                            y
                                                                   
                                                                          
                                                           
                   equilibrio entre varias fuerzas.     A = 12 1 ,    B = 13            X =  
                                                                                            z  
                                                           12 2                        
                                                                          14
                                                           
                                                                          
               2.  Modela. Paso a paso
               a)  Verificamos si la matriz A   b)  Calculamos la matriz inversa de A.  c) Multiplicamos A · B

                                                                                                      −1
                   es invertible.
                                                                                                          
                                                   Realizamos varias operaciones                  −  3  −1  1 10
                                                                                                          

                   Su determinante es 4, por lo    entre filas y obtenemos:             X =  1  −    −13  1 13
                   tanto, sí es invertible.                3  −1  −  1                    4   −   −1  1 3    
                                                                                                          
                                                                                                          14
                                                                                                          
                                                         1          
                                                    A =    −13     −1                       075
                                                     −1
                                                                                              ,
                                                         4                                   
                                                           −  1  −1 3               X = 375,  
                                                                                           
                                                                                            47,5 
                                                                                               5
                                                                                           
               3.  Toma decisiones. Propón estrategias
               •   ¿Cuál es el valor de cada fuerza?
                   Fuerza 1: x = 0,75; fuerza 2: y = 3,75 y fuerza 3: z = 4,75. Estas fuerzas equilibran perfectamente al objeto suspendido.
               142   Matemática
                     1.º BG




                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   142
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   142                                                                          15/8/25   14:03]]></page><page Index="35"><![CDATA[Contexto: uso de matrices en videojuegos

                  En el diseño de videojuegos, las matrices se usan para re-
                  presentar y aplicar transformaciones sobre los objetos
                  que aparecen en pantalla, como mover personajes, rotar-
                  los o escalar su tamaño. Además, las matrices permiten
                  calcular con rapidez y precisión posiciones nuevas, coli-
                  siones y otros efectos gráficos. Cuando un objeto debe
                  volver a su posición original o deshacer una transforma-                                             ©Shutterstock
                  ción, se utiliza la matriz inversa.


                    Fases de la rutina
                  1.  Analiza. Problema: ¿qué está pasando?
                  En un videojuego de aventuras, un       4                             Se tiene una matriz de transfor-
                  personaje fue movido en el plano   P =                                mación que altera la posición
                                                         3
                  2D mediante una serie de transfor-                                    del personaje y para deshacer
                  maciones representadas por la si-  Después de aplicar la transforma-    dicha transformación, se necesi-
                  guiente matriz de transformación:  ción, terminó en una nueva posi-     ta aplicar la matriz inversa de A.

                      21                           ción P’= A · P. Si el jugador desea
                   A =                             regresar al personaje a su posición   b)  ¿Qué operación debemos reali-
                       11                                                               zar para resolver el problema?
                                                     original, ¿cómo puede hacerlo uti-
                  El personaje originalmente estaba   lizando la matriz inversa?          Para recuperar la posición origi-
                                                                                                           −1
                                                                                          nal P, usamos: P = A · P’
                  en la posición:
                                                     a)  ¿Qué datos ofrece el problema?
                  2.  Modela. Paso a paso
                  a) Calculamos P’= A · P         b)  Encontramos la matriz inversa de A.  c)  Aplicamos la fórmula: P = A · P’
                                                                                                                 −1









                  La posición original del personaje era: (4,3). Al aplicar la matriz inversa, se logró revertir el movimiento aplicado por
                  la matriz de transformación

                  3.  Toma decisiones. Propón estrategias
                  •   ¿Qué pasaría si la matriz de transformación no fuera invertible? ¿Se podría deshacer la transformación?

                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________

                  •   ¿Qué ventajas ofrece el uso de matrices para programar movimientos complejos en un videojuego?
                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________



                                                                                                      Matemática  143
                                                                                                           1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   143
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   143                                                                          15/8/25   14:03]]></page><page Index="36"><![CDATA[DUA
                        ó  
                                                                Acción y expresión





               1. Completa la tabla con su respectiva definición.  4. Calculen la siguiente multiplicación matricial A · B,
                                                                      dadas las matrices:
                    Concepto           Defi nición
                                                                           1  0     2   2  1     0
                                                                                         
                                                                                    
                                                                          
                    Matriz                                            A =−1    3   1 ,  B =−13 2    
                                                                                         
                                                                                    
                                                                          
                                                                           2  −2 1     3  0     1 
                                                                          
                                                                                         
                    Igualdad de matrices

                    Matriz diagonal




                    Matriz identidad                               5. Escribe V si es verdadero o F si es falso.

                                                                      a)   Dos matrices son iguales si tienen el

                                                                         mismo número de filas y columnas.
                    Matriz inversa                                    b)   Toda matriz cuadrada tiene inversa.
                                                                      c)   El producto escalar consiste en multi-
                                                                         plicar una matriz por un número real.
               2.  Dadas las siguientes matrices, resuelve las opera-
                   ciones propuestas.                                 d)   La regla de Sarrus se utiliza para hallar
                                                                         determinantes de orden 2.
                   ⎛  1  −2   3  ⎞          ⎛  3   0   2  ⎞
                A = ⎜            ⎟    y  B = ⎜            ⎟        6. Calcula el valor de los siguientes determinantes,
                          5
                   ⎝ 4
                               6
                             − ⎠
                                   x 23     ⎝  −7  1   8  ⎠  x 23     utiliza la regla de Sarrus si es necesario.
                   halla 2A – 3B.                                             2   −5
                                                                      a)  A =
                                                                             −4   0






               3.  Dadas las matrices A y B, encuentra la matriz X tal
                   que A – 2X = 3B.                                          2   1   3
                                                                      b)  B = 0  −1  4
                      ⎛  35   ⎞       ⎛  −6 2  ⎞
                   A = ⎜ ⎝ 16  ⎟ ⎠  y  B = ⎜  4  ⎟ .                         1   2  −2
                                      ⎝ 3
                                               ⎠











               144   Matemática
                     1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   144                                                                          15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   144]]></page><page Index="37"><![CDATA[7. Encuentra la matriz inversa, si es posible,        Coevaluación
                      de la siguiente matriz.
                                                                     Trabajen en equipo la rutina de pensamiento
                         12                                        Veo – pienso – me pregunto.
                      F =    
                          34                                       9.   Un agricultor usa tres tipos de fertilizantes: Fertiplus
                                                                         A, Fertimax B y Nutrigreen C. En tres días consecuti-
                                                                         vos, aplicó distintas combinaciones:

                                                                         Día 1: 2 bolsas de A, 1 de B y 3 de C costaron $29

                                                                         Día 2: 1 bolsa de A, 2 de B y 1 de C costaron $20

                                                                         Día 3: 3 bolsas de A, 2 de B y 4 de C costaron $41

                  8. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones      ¿Cuánto cuesta cada bolsa de fertilizante A, B y C?
                      empleando el método de eliminación gaussiana o
                      matriz inversa.                                    _______________________________________________________

                                 +
                           x +2 y z = 9                                 _______________________________________________________
                      a)     xy−+3 z =1
                          2
                         
                               y z
                          3 x ++ =10                                Contesta la rutina de pensamiento
                                                                           Veo
                                                                     ¿Qué datos observas en la situación planteada?
                                                                     _____________________________________________________

                                                                     _____________________________________________________

                                                                          Pienso
                           xy−+2  z = 3                             ¿Qué sistema de ecuaciones modela esta situación?
                      b)    −2 x +3 y z−= −4                        _____________________________________________________
                         
                         
                                y z
                           3 x ++ =7                                _____________________________________________________

                                                                         Me pregunto

                                                                     ¿Qué pasa si en una incógnita, el sistema da como
                                                                     solución un número negativo?

                                                                     _____________________________________________________
                                                                     _____________________________________________________




                     Metacognición para aprender     Responde en forma oral o escrita.

                   ¿Qué métodos puedo utilizar para determinantes y sistemas de ecuaciones con matrices?

                   ¿Qué hago cuando encuentro dificultades durante la resolución de operaciones con matrices?

                   ¿Qué estrategias utilizo para calcular la inversa de una matriz?

                   ¿Cómo aplico mis conocimientos sobre matrices en la vida cotidiana?


                                                                                                      Matemática  145
                                                                                                           1.º BG





                                                                                                                     15/8/25   14:03
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   145
         Matematica 1 BG Cultiva.indb   145                                                                          15/8/25   14:03]]></page><page Index="38"/></pages></Search>
