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<Search><pages Count="210"><page Index="1"><![CDATA[D

                                                                                                                         5                                                                                              6





                                                  La propuesta pedagógica del Proyecto
                                                                      se origina en mesas de diálogo                        EGB       Matemática
                                                  y de trabajo, mantenidas con docentes
                                                  de todo el país.
                                                                                                                            Libro


















                                          TRANSFORMACIÓN EDUCATIVA
                                Marco Curricular Competencial de Aprendizajes

                           ÁREA INTEGRADORA                               ÁREA DE INNOVACIÓN

                             Ciudadanía mundial                            Emprendimiento y gestión
                                                       lingüísticas
                             y conciencia cultural                               financiera
                           Apreciación y desarrollo  Comunicativas  matemáticas  Competencias                               MATEMÁTICA   Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta MUESTRA EDITORIAL
                                                                 Lógico
                              cultural y artístico                                digitales
                             Desarrollo sostenible                                Científico
                                y ambiente            Socioemocionales            técnicas
                           Actividad física, deporte,                        Aprender a aprender/
                           bienestar y vida saludable                           metacognición
                                                   ÁREA FUNDACIONAL
                                                                               Ministerio de Educación
                                         Competencias éticas y para la integridad ciudadana
























                              Matriz Quito: Av. 6 de Diciembre N52-84
                              Telfs.: (02) 281 3112  |  281 3136
                              Cel.: 099 453 4929  |  099 358 6637
                              E-mail: info@siembraeducacion.com
                              promocion@siembraeducacion.com]]></page><page Index="2"><![CDATA[MUESTRA EDITORIAL






              Nuestra serie Tendencias Matemáticas está diseñada para ofrecer a los estudiantes un
              aprendizaje necesario y contextualizado de conceptos matemáticos en un mundo en
              constante cambio. Integra una variedad de soluciones pedagógicas y tecnológicas
              que favorecen la labor de la comunidad escolar en general (estudiantes, docentes,
              padres de familia, etc.). Además, se alinea con los objetivos educativos contemporáneos             PRESENTACIÓN
              de la Ley General de Educación y los parámetros establecidos por el MEN. De esta
              manera, adaptamos nuestras herramientas y enfoques a las realidades y necesidades
              específicas de cada institución educativa para garantizar un aprendizaje significativo y
              aplicable a la vida real.


              Algunas de las principales Tendencias incluyen:

                  Aprendizaje basado en proyectos: los estudiantes adquieren conocimientos y
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                  habilidades al investigar, responder preguntas y resolver retos aplicados a situaciones
                  de la vida real.


                  Interdisciplinariedad: promueve la integración de varias disciplinas con el propósito
                  de preparar a los estudiantes para las carreras del futuro y fomentar el pensamiento
                  crítico y la resolución de problemas.

                  Aprendizaje híbrido: combina la educación presencial con la educación en línea
                  mediante recursos digitales que apoyan los procesos de enseñanza y aprendizaje.


                  Formación integral: fomenta el desarrollo personal, social y emocional de los
                  estudiantes mediante las cátedras pedagógicas.


                  Evaluación formativa y retroalimentación permanente: se emplean evaluaciones
                  diagnósticas y de desempeño continuas y formativas para proporcionar una
                  retroalimentación inmediata y apoyar el aprendizaje permanente.

                  Preguntas tipo Pruebas Saber: se evalúan conceptos fundamentales de aritmética,
                  álgebra, geometría, estadística y probabilidad al final del nivel con el fin de
                  monitorear el progreso de los estudiantes.

              De esta manera, el proyecto Tendencias transforma la educación en matemática para los
              niveles de enseñanza básica secundaria y media hacia un modelo flexible, inclusivo y
              centrado en el estudiante, impulsado por la tecnología y el desarrollo integral. Es
              fundamental destacar el papel del docente en la planificación y el diseño de experiencias
              de aprendizaje relevantes; la combinación de un trabajo docente de calidad y un recurso
              didáctico innovador que potencia el desarrollo integral de los estudiantes.


                                                                               La editorial]]></page><page Index="3"><![CDATA[MUESTRA EDITORIAL
              Conoce tu libro




                                        Al iniciar cada unidad…
                                        Entrada de unidad: contiene texto introductorio relacionado con los temas   Preguntas orientadoras: diseñadas
                                        que se van a desarrollar, acompañado de una fotografía en la que podrás   para guiar tu aprendizaje y ayudarte
                                        “leer las imágenes” e interpretar matemáticamente la realidad.   a pensar críticamente sobre lo que
                                                                                             verás en la unidad. Te ayudan a
                                                        Tipo de pensamiento matemático: son las maneras   explorar un tema y facilitan que
                                                        de usar la mente para resolver problemas y entender   pienses activamente y participes en
                                                              aspectos en tu vida diaria y en tus estudios.   un proceso de descubrimiento y
                                                                                             comprensión.
                                                                                                 Temario de la unidad:
                                                                                                 es el conjunto de
                                                                                                 contenidos que vas
                                                                                                 a desarrollar.
                                                                                                     Estándares Básicos de
                                                                                                      Competencias - EBC:
                                                                                                   es una guía que te indica
                                                                                                   lo que debes aprender y
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                        Evaluación                                                                   cómo puedes usar ese
                       diagnóstica                                                                        conocimiento.
                    Determina si dominas
                   las destrezas aprendidas                                                  Derechos Básicos de Aprendizaje
                         el año anterior.                                                    - DBA: es un plan de conocimientos,
                                                                                             habilidades y actitudes para
                                                                                             garantizar que en cada grado
                                                                                             aprenderás lo que necesitas.

              Desarrollo de los temas…

                                              Reto matemático: cada tema inicia con un enigma,
                                              un problema o una actividad que utiliza matemáticas
                                              y pone a prueba tu habilidad para resolverlo.
                                                                                            Al finalizar cada tema…




























                                 Evidencias de
                               aprendizaje: son                                       Evaluación formativa: han
                               pruebas sobre tu                                       sido diseñadas para evaluar tus
                           evolución; confirman lo                                    destrezas mediante actividades
                           que estás aprendiendo                                      interesantes y dinámicas.
                           o lo que has aprendido.



          4]]></page><page Index="4"><![CDATA[MUESTRA EDITORIAL





              Secciones flotantes
              Son contextos o situaciones de aprendizaje que te introducen en el tema
              visto a partir de una aplicación práctica relacionada con la vida cotidiana o
              diversos temas transversales, entre ellos:

                  Cátedra de paz
                  Cátedra de ética y valores
                  Cátedra de educación ambiental

                  Cátedra de emprendimiento
                  Cátedra de salud y bienestar
                  Cátedra de ciudadanía y democracia
                  Competencia digital
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                  Competencia matemática
                  Interdisciplinariedad





              Al finalizar cada unidad…


































                                                                     Estrategias para resolver problemas: te ayudan a aplicar conceptos y
              Proyecto interdisciplinario: es una sección que busca aplicar las matemáticas   procedimientos para resolver situaciones matemática donde podrás poner
              en tu vida económica, social, cultural y ambiental.    en juego tu inteligencia y creatividad.

              Competencia digital: corresponde al uso de Tecnologías de la Información y   Desarrollo del pensamiento: te ayuda a desarrollar tu aptitud verbal,
              la Comunicación como herramientas de investigación o refuerzo del tema   razonamiento numérico y razonamiento abstracto.
              desarrollado.
                                                                     Competencia comunicacional: utiliza la lectura e incluye fichas de
              Compruebo mis aprendizajes: esta sección forma parte de la evaluación de   comprensión y escritura.
              la unidad y contiene una variedad de actividades diseñadas para evaluar tus
              habilidades, incluida la coevaluación.                 Encuentra estas páginas complementarias en tu plataforma Trendi.

                                                                                                                      5]]></page><page Index="5"><![CDATA[MUESTRA EDITORIAL
              Conoce tu libro





                                                         Competencia digital

                                                                 te apoya en los temas y procesos de enseñanza y aprendizaje.

                                                             Exploración de recursos interactivos: navega por materiales educativos, como videos,
                                                             simulaciones y actividades interactivas que complementan el contenido del libro.
                                                             Uso de plataformas educativas: accede y utiliza plataformas digitales que ofrecen
                                                             ejercicios, pruebas y recursos adicionales para profundizar en el aprendizaje.

                                                             Herramientas de evaluación: utiliza herramientas digitales para autoevaluarte o
                                                             participar en evaluaciones formativas en línea.





                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
























                                                                                   Pruebas tipo Saber
                                                                                   Con estas pruebas practicarás la metodología que el
                                                                                   Estado utiliza para evaluar tu  desempeño  en
                                                                                   competencias básicas. Además, repasarás conceptos
                                                                                   fundamentales de aritmética, geometría, estadística y
                                                                                   probabilidad, lo que te permitirá monitorear tu
                                                                                   progreso.

























          6]]></page><page Index="6"><![CDATA[MUESTRA EDITORIAL
              Evaluación diagnóstica




              1.  Resuelve el siguiente problema.

                 Cristina tiene una microempresa y reparte su ingreso anual en pago a empleados y en compra de material. Si paga
                 a sus empleados un total de $5875 mensuales, ¿cuánto dinero necesita para cubrir los sueldos de un año? Si su
                 ingreso anual es $120 000, ¿cuánto dinero le sobra para comprar material?


              2.  Relaciona con líneas cada sucesión con su patrón.

                 1.  104, 52, 26, 13                     a. 4 5


                 2.  4, 12, 36, 108                      b. 3 3

                 3.  11, 44, 176, 704                    c. 4 2
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 4.  1 250, 250, 50, 10                  d. 3 4

              3.  Observa la fracción graficada y completa la tabla.



                       Representación gráfica            Fracción                       Lectura




















              4.  Pinta de color rojo las fracciones impropias, y de color verde, las propias.



                              35                18               1                 6                 9
                               8                31               5                 3                14




                                                               2
                                                    2
                                                                    2
              5.  Al transformar la suma de 430 000 mm  y 1800 cm  a dm , se obtiene::
                                a. 4318 dm 2       b. 4480 dm 2         c. 61 dm 2         d. 4880 dm 2


              6.  Encierra los números que son divisibles entre 6 y 5 a la vez.


                     36     |     60   |     70    |    25    |     180  |     525   |    720   |     840



                                                                                                                      7]]></page><page Index="7"><![CDATA[Evaluación diagnóstica

                               MUESTRA EDITORIAL





              7.  Encierra la opción del mcm y mcd que corresponde al grupo de números.

                  a.  m.c.m.  12   m.c.d.   12                                                 12  15   30

                  b.  m.c.m.  30   m.c.d.   4

                  c.  m.c.m.  60   m.c.d.   3

                  d.  m.c.m.  120   m.c.d.   2

              8.  Resuelve los ejercicios de operaciones con fracciones y relaciónalos con la respuesta correcta.


                                                                                                     8
                                                                            3
                                                                                 8
                            8
                                                  3
                       3
               a.   6  1   1   5         b.   10   1   2   4   5   c.   10   3   3   5       d.   9  3   4  16  5
                  4    3    6                4    5    10              6    4    5              5    6    3
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                         9                       2  7                      3 5                        2
                        20                        10                         6


              9.  Resuelve los siguientes problemas.

                                                             5
                  a.  Karina recorre 40 km, que corresponden a los   del recorrido total. ¿Cuántos kilómetros tiene el trayecto total?
                     ¿Cuántos metros le falta recorrer?      7



                  b.  Héctor es comerciante y paga $561 por 55 estuches de celular. ¿Cuál es el costo de cada estuche?



              10.  Analiza y selecciona la tabla de frecuencia que corresponde al gráfico de barras.


                                                           a.  Medallas deportivas         b.  Medallas deportivas
                                                              Deportista      fi              Deportista     fi
                                                               Jennifer      20                Jennifer      20
                            Medallas deportivas
                                                                Mateo         5                 Mateo         5
                30                                              Camila       15                 Camila       15
                                                                Felipe       30                 Felipe       25
                20

                10                                         c.  Medallas deportivas        d.   Medallas deportivas
                                                              Deportista      fi              Deportista     fi
                 0
                    Jennifer  Mateo   Camila   Felipe          Jennifer      20                Jennifer      20
                                                                Mateo        10                 Mateo        5
                                                                Camila       15                 Camila       10
                                                                Felipe       30                 Felipe       30


          8]]></page><page Index="8"><![CDATA[MUESTRA EDITORIAL
              Contenido




                                                                                     Pensamiento numérico y variacional
              Unidad 1. Los números naturales                                                                    12
              Tema 1. Sistemas de numeración.........................................14     5.4 Potencia de un número fraccionario .......................................33
                 1.1 Sistema de numeración decimal o base 10 ........................14     5.5 Potencia de un número decimal   .............................................33
                 1.2 Sistema de numeración binario o base 2 .............................16  Evaluación formativa ..............................................................34
                 1.3 Numeración romana ..........................................................................17  Tema 6. Radicación .................................................................36
              Evaluación formativa ..............................................................19     6.1 Raíz cuadrada aproximada  ............................................................36
              Tema 2. Sucesiones crecientes y decrecientes ..................20     6.2 Raíces por descomposición de factores primos ..............37
                 2.1 Sucesiones crecientes .......................................................................20     6.3 Raíz de una fracción ............................................................................37
                 2.2 Sucesiones decrecientes .................................................................21     6.4 Raíz de una expresión decimal ....................................................37
                 2.3 Sucesiones decrecientes con naturales .................................21  Evaluación formativa ..............................................................38
              Evaluación formativa ..............................................................22  Tema 7. La logaritmación ......................................................39
              Tema 3. Los naturales y su representación geométrica ..23     7.1 La logaritmación como operación inversa
                 3.1 Representación geométrica de los naturales ....................23        de la potenciación ...............................................................................39
                 3.2 Orden en el conjunto de los números naturales .............23     7.2 Propiedades de los logaritmos ....................................................39
              Evaluación formativa ..............................................................24  Evaluación formativa ..............................................................40
              Tema 4. Operaciones con números naturales  ..................26  Tema 8. Ecuaciones e inecuaciones  ....................................42
                 4.1 Adición y sustracción .........................................................................26     8.1 ¿Qué es una ecuación? .....................................................................42
                 4.2 Multiplicación y división ..................................................................27     8.2 Propiedades de la igualdad ...........................................................42
                 4.3 Propiedades de la multiplicación ...............................................27     8.3 Solución de una ecuación ..............................................................43
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta  4.4 Operaciones combinadas con más operaciones  ...........29     8.4 Inecuaciones............................................................................................44
              Evaluación formativa ..............................................................30     8.5 Propiedades de las desigualdades ............................................44
              Tema 5. Potenciación ..............................................................32  Evaluación formativa ..............................................................46
                 5.1 El cuadrado de un número ............................................................32  Proyecto interdisciplinario ....................................................48
                 5.2 El cubo de un número ......................................................................32  Competencia digital  ..............................................................49
                 5.3 Potencia de un número natural ..................................................33  Compruebo mis aprendizajes  ..............................................50







                                                                                               Pensamiento numérico
              Unidad 2. Teoría de números                                                                        52
              Tema 1. Multiplos y divisores de un número .....................54     2.2 Mínimo común múltiplo (mcm) .................................................62
                 1.1 Múltiplos de un número ..................................................................54     2.3 Máximo común divisor (mcd) ......................................................63
                 1.2 Divisores de un número ...................................................................55  Evaluación formativa ..............................................................64
                 1.3 Criterios de divisibilidad ...................................................................56  Proyecto interdisciplinario ....................................................68
              Evaluación formativa ..............................................................58  Competencia digital  ..............................................................69
              Tema 2. Números primos y números compuestos ...........60  Compruebo mis aprendizajes  ..............................................70
                 2.1 Descomposición factorial de un número .............................61









                                                                                                                      9]]></page><page Index="9"><![CDATA[Contenido

                               MUESTRA EDITORIAL





                                                                                              Pensamiento numérico
              Unidad 3. Fracciones y decimales                                                                   72
              Tema 1. Relación de orden entre fracciones y decimales 74  Tema 4. Razones y proporciones ..........................................88
                 1.1 Relación de orden con fracciones .............................................74     4.1 Razón aritmética ...................................................................................88
                 1.2 Relación de orden con decimales .............................................74     4.2 Razón geométrica  ...............................................................................88
                 1.3 Relación de orden en las fracciones y los decimales ....75     4.3 Proporción .................................................................................................89
                                                                                                 .
                 1.4 Relación de orden entre decimales y fracciones .............75     4.4 Constante de proporcionalidad .................................................89
                 1.5 Redondeo de números decimales ............................................76     4.5 Propiedad fundamental de las proporciones ....................89
              Evaluación formativa ..............................................................77     4.6 Cuarto desconocido  ..........................................................................89
              Tema 2. Multiplicaciones y divisiones de fracciones ........78  Evaluación formativa ..............................................................90
                 2.1 Multiplicación de fracciones  ........................................................78  Tema 5. Proporcionalidad directa ........................................92
                 2.2 División de fracciones ........................................................................79     5.1 Magnitudes directamente proporcionales  ........................92
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 2.3 Operaciones combinadas con números fraccionarios 80     5.2 Regla de tres simple directa ..........................................................93
              Evaluación formativa ..............................................................81  Evaluación formativa ..............................................................95
              Tema 3. Operaciones con decimales ...................................83  Tema 6. Proporcionalidad inversa .......................................97
                 3.1 Adiciones y sustracciones con decimales ............................83     6.1 Magnitudes inversamente proporcionales .........................97
                 3.2 Multiplicación y división con decimales................................84     6.3 Regla de tres simple inversa ..........................................................98
                                                           .
                 3.3 Operaciones combinadas con números decimales  ....85  Evaluación formativa ............................................................100
              Evaluación formativa ..............................................................86  Proyecto interdisciplinario ..................................................102
                                                                  Competencia digital  ............................................................103
                                                                  Compruebo mis aprendizajes  ............................................104



                                                                                     Pensamiento numérico y variacional
              Unidad 4. Los números enteros                                                                     106
              Tema 1. Conjunto de los números enteros ......................108     3.2 Propiedades de la multiplicación ............................................119
                 1.1 Los números relativos y el punto de referencia .............108     3.3 División de números enteros .....................................................119
                 1.2 Los enteros y su representación geométrica ..................109  Evaluación formativa ............................................................120
                 1.3 Representación de números enteros en el      Tema 4. Potenciación y radicación con enteros  .............121
                   plano cartesiano ................................................................................109     4.1 La potenciación de enteros ........................................................121
                 1.4 Valor absoluto  .....................................................................................110     4.2 Propiedades de la potenciación ..............................................122
                 1.5 Orden en los números enteros .................................................110     4.3 Radicación con números enteros ...........................................122
              Evaluación formativa ............................................................111     4.4 Propiedades de la radicación .....................................................123
              Tema 2. Operaciones con números enteros .....................113     4.5 Operaciones combinadas ............................................................124
                 2.1 Adición con números enteros ..................................................113     4.5.1 Jerarquía de las operaciones combinadas ....................124
                 2.2 Propiedades de la adición ............................................................114  Evaluación formativa ............................................................126
                 2.3 Sustracción de números enteros ............................................114  Tema 5. Ecuaciones e inecuaciones ...................................128
                 2.4 Operaciones combinadas con adición y            5.1 Ecuaciones .............................................................................................128
                    sustracción de números enteros ............................................115     5.2 Desigualdades e inecuaciones .................................................129
              Evaluación formativa ............................................................116  Evaluación formativa ............................................................130
              Tema 3. Multiplicación y división de números enteros  118  Proyecto interdisciplinario ..................................................132
                 3.1 Multiplicación de enteros del mismo signo    Competencia digital  ............................................................133
                    y de signos diferentes ....................................................................118
                                                                  Compruebo mis aprendizajes  ............................................134



         10]]></page><page Index="10"><![CDATA[Contenido

                               MUESTRA EDITORIAL





                                                                                                Pensamiento espacial
              Unidad 5. Geometría                                                                               136
              Tema 1. Posición relativa de las rectas ..............................138  Tema 5. Medidas de masa ....................................................159
                 1.1 Rectas paralelas...................................................................................139     5.1 Unidades de peso .............................................................................159
                 1.2 Rectas secantes ...................................................................................139     5.2 Conversión de medidas de masa ............................................160
                 1.3 Rectas coincidentes .........................................................................139  Evaluación formativa ............................................................161
                 1.4 Plano cartesiano – Coordenadas cartesianas ..................140  Tema 6. Medidas de capacidad ..........................................163
              Evaluación formativa ............................................................142     6.1 Unidades de capacidad .................................................................163
              Tema 2. Polígonos .................................................................144     6.2 Conversiones de medidas de capacidad ...........................164
                 2.1 Clasificación de polígonos ...........................................................144     6.3 Relación de medidas de volumen y capacidad.............165
                 2.2 Perímetro de polígonos regulares e irregulares ............145     6.4 Conversiones de medidas ...........................................................166
                 2.3 Área de polígonos regulares ......................................................146  Evaluación formativa ............................................................167
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              Evaluación formativa ............................................................148  Tema 7. Perímetro y área del círculo .................................170
              Tema 3. Medidas de superficie  ..........................................151     7.1 Circunferencia, círculo y sus elementos ..............................170
                 3.1 Medidas de superficie SMD ........................................................151     7.2 Longitud de la circunferencia – Número Pi ( ) .............171
                 3.2 Medidas agrarias ................................................................................152     7.3 Área del círculo ...................................................................................171
              Evaluación formativa ............................................................153  Evaluación formativa ............................................................172
              Tema 4. Medidas de volumen .............................................155  Proyecto interdisciplinario ..................................................174
                 4.1 Medidas de volumen SDM ..........................................................155  Competencia digital  ............................................................175
                 4.2 Conversiones de medidas de volumen ..............................156  Compruebo mis aprendizajes  ............................................176
              Evaluación formativa ............................................................157



                                                                                                Pensamiento aleatorio
              Unidad 6. Estadística y probabilidad                                                              178
              Tema 1. Datos discretos y tablas de frecuencia...............180  Tema 3. Medidas de tendencia central y medidas de
                 1.1 Datos discretos ....................................................................................180  dispersión ...............................................................................190
                 1.2 Diagrama de barras ..........................................................................180     3.1 Medidas de tendencia central ..................................................190
                 1.3 Tabla de frecuencias.........................................................................181     3.2 Medidas de dispersión ...................................................................192
              Evaluación formativa ............................................................182     3.2.1 Desviación media para datos no agrupados ...............193
              Tema 2. Análisis estadístico .................................................184  Evaluación formativa ............................................................194
                 2.1 Recolección de datos ......................................................................184  Tema 4. Probabilidad ............................................................196
                 2.2 Tablas de frecuencia.........................................................................184     4.1 La probabilidad simple ..................................................................196
                 2.3 Diagrama de barras ..........................................................................185     4.2 Representación gráfica ..................................................................197
                 2.4 Diagrama circular ...............................................................................185  Evaluación formativa ............................................................198
              Evaluación formativa ............................................................187  Proyecto interdisciplinario ..................................................200
                                                                  Competencia digital  ............................................................201
                                                                  Compruebo mis aprendizajes  ............................................202



                                                                  Bibliografía .................................................................... 204
                                                                  Webgrafía ....................................................................... 204
                                                                  Pruebas tipo Saber ........................................................ 205




                                                                                                                      11]]></page><page Index="11"><![CDATA[MUESTRA EDITORIAL
                Unidad 1                      Los números naturales



                La zona cafetera se encuentra sobre las dos vertientes de las tres
                grandes cordilleras del país. El Sistema de Información Cafetera (SICA)
                registra, en la actualidad, información de 564 municipios en 16
                departamentos cafeteros del país, y 16 municipios de los antiguos
                territorios nacionales (Casanare, Meta y Caquetá). El universo de estudio
                abarca más de 3,2 millones de hectáreas y cerca de 2 millones de
                personas que viven en ellas. Los resultados muestran que, en Colombia,
                existen más de 518 mil caficultores, de los cuales el 94 % tienen menos
                de 5 hectáreas en café. El área total en café es superior a las 881 000 lo
                que indica que el promedio nacional de hectáreas por caficultor es de
                1,7. Estos caficultores constituyen el capital social del subsector café.


                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta]]></page><page Index="12"><![CDATA[Pensamiento numérico y variacional

                               MUESTRA EDITORIAL









                                               Preguntas orientadoras


                                              1.  Si tuvieras que contar un número muy grande de reses de una
                                                  hacienda ganadera en los antiguos territorios nacionales de Colombia,
                                                  ¿de qué forma lo harías?

                                              2.  ¿En qué lugares has podido observar el uso de la numeración romana?





                                                                   1.  Sistemas de numeración
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                                   2.  Sucesiones crecientes y decrecientes
                                                                   3.  Los naturales y su representación geométrica
                                                Números            4.  Operaciones con números naturales
                                                naturales          5.  Potenciación

                                                                   6.  Radicación
                                                                   7.  Logaritmación
                                                                   8.  Ecuaciones e inecuaciones







                                              EBC

                                              1.  Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de
                                                  números, como las de la igualdad, las de las distintas formas de la desigualdad
                                                  y las de la adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

                                              2.  Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación o
                                                  radicación.








                                              DBA
                                              1.  Interpreta los números naturales con sus operaciones, en diferentes contextos,
                                                  al resolver problemas de variación, repartos, particiones, estimaciones, etc.
                                                  Reconoce y establece diferentes relaciones (de orden y equivalencia y las utiliza
                                                  para argumentar procedimientos).
                                              2.  Reconoce y establece diferentes relaciones (orden y equivalencia) entre
                                                  elementos de diversos dominios numéricos y los utiliza para argumentar
                                                  procedimientos sencillos.





                                                                                                                      13]]></page><page Index="13"><![CDATA[Los números naturales

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 1. Sistemas de numeración




               6   5   4   3  2   1      Reto matemático
               6   ?   4   ?  2   ?     ¿Cómo se expresa un número en su forma polinómica?
               ?   2   ?   4  5   ?
               ?   ?   4   ?  2   1

                                        1.1 Sistema de numeración decimal o base 10

                                        Antes de iniciar un juego de Rummi Q, un grupo de tres amigos adquiere fichas del
                                        juego de diferentes valores: de $10, $100, $1000 o $10 000. La tabla dada a continuación,
                                        muestra el número de las diferentes fichas con las que quedó, o el total reunido por cada
                                        jugador al finalizar el juego. Nos piden completar la tabla y saber cuántos pesos reunió
                                        cada jugador.


                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              Competencia                                                     Valor de las fichas
              matemática                                            $10 000   $1 000     $100      $10     Total ($)
              Un sistema de numeración                      Juan       2         4         3        0
              está definido por un         Nombre del
              conjunto de símbolos y         jugador       Sergio      0         9         1        9
              leyes a través de los cuales                 Camila                                           24 120
              representamos diferentes
              cantidades.
                                        Para conocer lo reunido por cada jugador, se hacen los siguientes cálculos:
                                        Para Juan:
                                        2 3 ($10 000) 1 4 3 ($1000) 1 3 3 ($100) 10 3 ($10) 5$20 0001 $4000 1 $300 1$0 5$24 300

                                        Para Sergio:
                                        0 3 (10 000) 1 9 3(1000) 1 1 3 (100) 1 9 3 (10) 5 9 190 ¿Por qué?

                                        Observación: tener $1100 en fichas de $100, es lo mismo que tener una ficha de $1000
                                        y una ficha de $100, puesto que 10 3 100 da 1000.

                                        De Camila conocemos el total que es 24 120 y concluimos que:

                                                           2          representa 2 unidades de 10 000

                                                           4          representa 4 unidades de 1000


                                                           1          representa 1 unidad de 100

                                                           2          representa 2 unidades de 10

                                                           0          representa 0 unidades de 1

                                        Por tanto, en la fila de Camila debemos llenar los espacios con 2, 4, 1 y 2.

                                        Observa lo siguiente:

                                        24 120 52 3 10  1 4 3 10  1 1 3 10  1 2 3 10  1 0 3 10  que es la forma polinómica
                                                                       2
                                                                                1
                                                                                         0
                                                              3
                                                      4
                                        del número 24 120.
         14]]></page><page Index="14"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              El anterior ejercicio no es otra cosa que la utilización de lo que conocemos como sistema
              de numeración decimal. La siguiente tabla permite identificar el orden de las unidades y
              el valor de cada dígito según su posición.

                             Nombre
              Posición                  CM       DM      UM        C        D       U
               Notación exponencial     10 5     10 4     10 3    10 2     10 1     10 0      Interculturalidad

                       Valor          100 000   10 000   1000     100      10       1        El sistema numérico
                                                                                             decimal en japonés es
              Ejemplo 1                                                                      similar al utilizado en
              Expresa el número 25 862 en su forma polinómica.                               otros idiomas, pero con
                                                                                             algunas particularidades
              Para expresar este número en forma polinómica, solo hay que tener en cuenta el valor   en la pronunciación y en
              posicional de cada cifra o dígito y se puede construir una tabla como la siguiente:  la escritura de números
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                                                             grandes.
                                 DM      UM        C       D        U                        1: 一(ichi)  11: 十一(jyūichi)
                                 10 4     10 3    10 2     10 1    10 0                      2: 二(ni)  12: 十二(jyūni)
                                  2        5       8        6       2
                                                                                             3: 三(san)  13: 十三(jyūsan)
              Finalmente, identificamos la forma polinómica del número dado.                 4: 四(shi o   Y así  hasta el 19.
                                                                                                 yon)  20: 二十(ni-jyū)
                            25 862 5 2 3 10  1 5 3 10  1 8 3 10  1 6 3 10  1 2 3 10
                                                          2
                                                                           0
                                                                  1
                                                 3
                                         4
                                                                                             5: 五(go)  21: 二十一
              Ejemplo 2                                                                      6: 六(roku)         (ni-jyūichi)
                                                                                             7: 七 (shichi  30: 三十(san-jyū)
              En cada caso, escribe a qué número corresponde cada expresión dada:
                                                                                                  o nana)  100: 百(hyaku)
              a.  7 3 10  1 3 3 10  1 9 3 10  1 2 3 10  1 1 3 10  1 7 3 10                   8: 八 (hachi)  1000: 千(sen)
                                                         1
                               4
                                                                 0
                                        3
                                                2
                       5
              Hay varios caminos. El primero, es resolver las operaciones indicadas en el polinomio,   9: 九(kyū)  10000: 万(man)
                                                                                             10: 十 (jyū)
              mientras que el segundo, es construir una tabla como la siguiente y leer el resultado:
                              CM      DM      UM       C       D       U
                              10 5    10 4    10 3    10 2    10 1    10 0
                               7       3       9       2       1       7
                            Solución: 739 217
              b.  5 3 10 0001 4 3 1 00011 3 100 1 8 3 10 1 6 3 1 5 50 000 1 4 000 1 100 1 80 1 6 5 54 186
              De manera similar a la parte a del ejemplo, se puede resolver el polinomio o usar una
              tabla como la siguiente:                                                        ¿Puedes escribir en japonés
                                                                                               el número del teléfono de
                          DM          UM           C          D           U                     alguno de tus padres?
                       10 =10 000  10 =1 000    10 =100    10 =10       10 =1
                         4
                                      3
                                                  2
                                                              1
                                                                          0
                           3            9          2          1           7
                      Solución: 39 217
               Sistema de numeración decimal: es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan
               con base en el número diez, pues se compone de 10 dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. El valor de cada
               uno de estos está asociado a la posición que ocupa: unidades (U), decenas (D), centenas (C), unidades
               de mil (UM), etc.




               DBA 1 (Ev. 2) Propone y justifica diferentes estrategias para resolver problemas con números naturales en contextos escolares y extraescolares.  15]]></page><page Index="15"><![CDATA[Los números naturales








                                        1.2 Sistema de numeración binario o base 2
                                        En una distribuidora de chocolatinas, utilizan diferentes tipos de empaque de la siguiente
                                        manera: una chocolatina se entrega suelta, dos chocolatinas en una bolsa, dos bolsas en
                                        una caja tipo 1, dos cajas tipo 1 en una caja tipo 2 y dos cajas tipo 2 en una caja tipo 3.






                                               Bolsa            Caja tipo 1        Caja tipo 2        Caja tipo 3
                                        Para hacer un control de los diferentes empaques utilizados, a cada cantidad de
                                        chocolatinas se le asigna un código según el orden de distribución. ¿Cuál es el código
                                        asignado para la venta de 27 chocolatinas?
              Interdisciplinariedad     Para responder a esa pregunta, tenemos el siguiente proceso:
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              Matemática e              Primero: se identifica el código que se les asigna a las 27 chocolatinas, y se hace la tabla
              Informática               indicada a continuación:

              A veces, en lugar de        Caja tipo 3  Caja tipo 2  Caja tipo 1     Bolsa       Chocolatina suelta
              los números del 0 al            1            1            0             1                  1
              9, utilizamos solo dos    Segundo: se asigna el código
              números especiales: el 0 y   El código que se asigna a 27 chocolatinas es 11011, que indica el número de empaques
              el 1, en lo que llamamos
              sistema de numeración     de diferente tipo que se deben utilizar.
                                        Ejemplo 3. Convierte el número 43 al sistema binario.
              binaria. Por ejemplo,  MUESTRA EDITORIAL
              podríamos usar bloques                            43    2
              de construcción con solo                           1   21    2
              dos colores: rojo para                                  1   10    2
              representar el 0 y azul para                                 0    5    2
              el 1. Las computadoras                                            1    2    2
              entienden este sistema                                                 0    1
              binario muy bien. Con
              solo dos números,
              pueden realizar muchas
              actividades sorprendentes,
              como mostrar videos y                              1    1    0    1    0    1
              jugar juegos. Es como si                          2 0  2 1   2 2  2 3  2 4  2 5
              hablaran su propio idioma.
                                                                      1 0 1 0 1 1
                                                                     2 2 2 2 2 2      0
                                                                      5
                                                                         4
                                                                             3
                                                                                2
                                                                                   1
                                                                       43  5 101011
                                                                         10         2
                                        Ejemplo 4. Convierte el 110 001 al sistema decimal.
                                        Primero: elaboramos la siguiente tabla:
                                                      32 5 2 5  16 5 2 4  8 5 2 3  4 5 2 2  2 5 2 1  1 5 2 0
                                                         1       1       0       0        0       1
                                        Segundo:  expresamos el número 110 001 en forma polinómica y hacemos el
                                        respectivo cálculo.
                                        110 001 5 13 2  1 1 3 2  1 0 3 2  1 0 3 2  1 0 3 2  1 1 3 2 0
                                                             4
                                                                                   1
                                                                            2
                                                     5
                                                                    3
                                        5 32 1 16 1 0 1 0 1 0 1 1
                                        5 49
               Sistema de numeración binario: es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan con
               base en el número dos, por lo que se compone de dos dígitos diferentes: 0 y 1. El valor de cada dígito está asociado
               a la posición que ocupa: orden 1, orden 2, orden 3, orden 4, etc., considerados de derecha a izquierda.
         16]]></page><page Index="16"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              1.3 Numeración romana
              Los Juegos Olímpicos que se realizaron en Roma tuvieron como logotipo la imagen
              adjunta, en la que figuraban, en números romanos, el año en el que tuvo lugar el evento.
              Según el número que se observa en la estampilla, ¿en qué año se efectuaron?

              Para conocer el año en el que se realizaron los Juegos Olímpicos, hace falta identificar la
              cifra que representa cada símbolo.



                    I       V       X        L       C        D       M         M
                                                                                                  Logotipo de los
                                                                                                 Juegos Olímpicos
                    1       5       10       50      100     500     1000    1 000 000           realizados en Roma
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta


              Para leer o escribir números romanos, es necesario conocer las reglas que se deben cumplir.
                                                                                             Cátedra de
                                                                                             ciudadanía y
                              Regla                                Ejemplo                   democracia
                                                                                             Los números romanos
               1.  Los símbolos I, X, C y M se pueden   XXX 5 30                             también se emplean en
                  repetir hasta 3 veces.                                                     los relojes analógicos.

               2.  Los símbolos V, L y D no se pueden   DLVI 5 556
                  repetir.

               3.  Si a la derecha de una cifra se
                  escribe una de igual o menor valor,   XV es el número 15 porque 10 1 5 5 15.
                  las cantidades se adicionan.

                                                     IX 5 10 2 1 5 9
               4.  Si a la izquierda de una cifra se   IV 5 5 2 1 5 4
                  escribe una de menor valor, las                                             ¿Sueles ser una persona
                  cantidades se sustraen.            XL 5 50 2 10 5 40                        puntual?
                                                     CM 5 1000 2 100 5 900                    Ser puntual también
                                                                                              es respetar el tiempo
               5.  No se pueden escribir dos o más   VIII 5 5 1 3 5 8 correcto                de los demás, así como
                  cifras iguales a la izquierda.     IIX 5 10 2 2 5 8 incorrecto              queremos que nos
                                                                                              respeten a nosotros.
                                                                                              Por eso, cuando somos
               6.  Una línea sobre un número lo                                               puntuales, somos
                  multiplica por 1000.               X  5 10 000                              buenos ciudadanos y
                                                                                              ayudamos a que nuestra
                                                                                              comunidad funcione de
                                                                                              manera armoniosa pues
              El año en que se realizó la decimoséptima olimpiada, según se observa en la     demostramos que nos
              estampilla, fue:                                                                preocupan los demás.


              M CM LX              M 1 CM 1 LX

                                   1000 1 900 1 60       51960



               DBA 1 (Ev. 4) Interpreta y justifica cálculos numéricos al solucionar problemas.                       17]]></page><page Index="17"><![CDATA[Los números naturales

                               MUESTRA EDITORIAL





              Cátedra de                Ejemplo 5
              ciudadanía y
              democracia                Escribe en números romanos las siguientes cifras.
              La numeración romana      a.  6543
              se usa hoy en día en
              contextos formales,       b. 778
              como en años, capítulos,
              inscripciones en          c.  87
              monumentos para           Solución
              destacar su importancia
              histórica.                a.  Descomponemos el número.

                                               6000 1 500 1 40 1 3

                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                          Número         6000            500              40               3
                                                                                     Si a la izquierda
                                                    Una línea sobre                  de una cifra se   Los símbolos I,
                                                     un número lo                    escribe una de    X, C y M se
                                           Regla                    Se usa la letra D.
                                                     multiplica por                  menor valor, las   pueden repetir
                                                         1000.                       cantidades se    hasta 3 veces.
                                                                                        sustraen.

                                         Escritura        VI              D               XL               III


               Cuando visites el Capitolio   6543 5 VIDXLIII
               Nacional, asegúrate de ver
               esta placa y convertir el   b. 700 1 70 1 8
               año romano que aparece
               en ella al sistema decimal.
                                          Número            700                   70                    8

                                                     Si a la derecha de una  Si a la derecha de una  Si a la derecha de una
                                                      cifra se escribe una   cifra se escribe una   cifra se escribe una
                                           Regla        de igual valor o     de igual valor o     de igual valor o
                                                     menor, las cantidades  menor, las cantidades  menor, las cantidades
                                                         se adicionan.        se adicionan.        se adicionan.

                                          Escritura         DCC                   LXX                   VIII



                                         778 5 DCCLXX VIII
                                        c.  80 1 7

                                         87 5 LXXXVII



               En la numeración romana no existe ningún símbolo que represente el cero (0), porque no es un sistema de
               numeración posicional. Este concepto fue introducido posteriormente por los árabes.





         18]]></page><page Index="18"><![CDATA[Pensamiento numérico


                     Evaluación formativa




              1.  ¿Cuál de los siguientes números es veinte millones   5.  Completa el siguiente cuadro con los números
                 cincuenta y tres mil sesenta?                        romanos correspondientes.

                 a.  20 503 060                                     1    2    3    4    5    6    7   8    9    10

                 b.  20 050 060                                     10   20   30  40   50   60   70   80   90   100

                 c.  20 530 060
                                                                   100 200 300    400 500 600 700 800 900 1000
                 d.  20 053 060

              2.   Pasa al sistema decimal los siguientes números del   1000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 10 000
                 sistema binario:

                 a.  101010                                       6.  Colorea el número romano correspondiente en
                           2
                                                                      cada caso.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 b.  111001 2                                                   46                     89
                 c.  10110                                                LXVI       XLIV       LXXXIX     XXCIX
                          2
                                                                          XLVI       XLVII      XXCIX       LXIX
                 d.  1011
                         2                                                      106                    95
              3.   Convierte al sistema binario los siguientes números    CIIV        CVI        XCVI       XCV
                 del sistema decimal:                                     CIV         CVII       CXV        XCIIIII

                                                                  7.  Escribe en números romanos.
                 a.  58        MUESTRA EDITORIAL
                 b.  45                                                a) 897                 b) 683
                                                                       c) 243                 d) 456
                 c.  93
                                                                       e) 573                 f) 398
                 d.  19                                                g) 701                 h) 190
              4.   Expresa en forma polinómica los números dados:      i) 620                 j) 370


                 a.  48 075 5                                     8.  Escribe en números naturales.
                 b.  3 701 008 5                                       a) DCCLXV             b) CII
                                                                       c) CCCVIII            d) DCL
                 c.  110111  5
                           2
                                                                       e) DCCV               f) DCCCXXIII
                 d.  101011  5
                           2                                           g) CCCLXVII           h) DLXI
                                                                       i) MDLV               j) CDV



                Trabajo colaborativo
               En parejas, elaboren 30 tarjetas de 10 cm 3 10 cm. En 15 de ellas escriban números naturales, y en las otras 15,
               escriban las mismas cifras en numeración romana.
               Acomoden todas las tarjetas hacia abajo y jueguen a encontrar parejas de números. Ganará el equipo que obtenga
               más tarjetas.


               Actividad indagatoria

               Investiga y escribe si existe algún otro sistema de numeración. Nómbralo.


                                                                                                                      19]]></page><page Index="19"><![CDATA[Números naturales


              Tema 2. Sucesiones crecientes y decrecientes




                                         Reto matemático
                                        Si el primer término de una sucesión es 122 y su patrón es restar 15, ¿cuáles son
                                        sus 4°, 5° y 8° términos?
                                           122     107      92                        47      32


                                        2.1 Sucesiones crecientes

                                        Al puerto de Buenaventura llega una carga de motocicletas; cada mes, el triple que el
                                        mes anterior. Si el primer mes llegan 12, ¿cuántas habrán llegado en total durante los
                                        cinco primeros meses?

                                        Para conocer la cantidad de motocicletas que llegaron durante los cinco meses, debemos
                                        realizar una sucesión creciente con multiplicación, es decir, multiplicar por 3.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                                  3 3       3 3       3 3       3 3




                                                        12         36       108        324       972


                                        Luego, sumamos las cantidades correspondientes a todos los meses.
                      Glosario MUESTRA EDITORIAL
                Sucesión. Conjunto
                ordenado de números          12    1     36     1    108    1    324    1     972   5     1452
                que sigue cierta regla
                o patrón.
                                        Durante los cinco primeros meses han llegado al puerto 1452 motocicletas.

                                        Ejemplo 1


              Competencia               Identifica el patrón de la sucesión y completa hasta 10 términos.
              matemática
                                            10     20     40     80     160    320    640
              ¿Quieres aprender a
              predecir el futuro? Las
              sucesiones aritméticas son   El patrón es multiplicar 3 2; por tal razón, los siguientes términos son 1280, 2560 y 5120.
              series que obedecen a un
              patrón o comportamiento.   Ejemplo 2
              Esto implica que puedes
              predecir cuáles serán los   ¿Qué números faltan en la sucesión?
              números siguientes.

                                                           3      9             81     243

                                        El patrón de la sucesión es 3 3; entonces los números que faltan son 27, 729 y 2 187.


               Una sucesión basada en la multiplicación es creciente porque cada término es mayor que el anterior, por ejemplo,
               en: 3, 6, 9, 12, 15, el patrón o regla es multiplicar por 3.




         20                         DBA 2 (Ev. 2) Argumenta de diversa maneras la necesidad de establecer relaciones y características en conjuntos de números.]]></page><page Index="20"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              2.2 Sucesiones decrecientes                                                    Cátedra
                                                                                             de salud y
              Una florícola cultiva mensualmente 1024 rosas rosadas, las cuales son distribuidas en   bienestar
              partes iguales a 4 ciudades. Cada ciudad entrega rosas a 4 floristerías y cada floristería   Un deportista utiliza,
              vende rosas a 4 clientes en partes iguales. ¿Cuántas rosas recibirá cada cliente?  de forma involuntaria,
                                                                                             sucesiones para conocer
              Para conocer cuántas rosas recibirá cada cliente, es necesario realizar una sucesión   la cantidad de metros
              descendente y dividir cada vez entre 4.                                        recorridos. Por ejemplo,
                                                                                             cuando quiere saber
                                                                                             cuánto recorrió durante 7
                4 4          4 4         4 4                                                 días, si se puso una meta
                                                                                             de que cada día correrá el
                                                                                             doble que el anterior.

                1 024       256          64          16
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta

              Cada cliente recibirá 16 rosas.

              2.3 Sucesiones decrecientes con naturales
                                                                                             ¿Te has propuesto una
              Lorena cosechó un total de 972 piñas, y obtuvo, cada día, la tercera parte que el día   serie de metas diarias que
              anterior. Si la relación se mantiene cada día de cosecha, ¿cuántas piñas se cosechan el   formen parte de tu rutina
              quinto día?                                                                    de ejercicio y te ayuden
                                                                                             a mantener una buena
              Para conocer la cantidad de piñas que cosecha al quinto día, es necesario que multipliquemos   salud?

              por    1    o dividamos entre 3 hasta obtener el valor que corresponde al quinto día.
                  3
                         1               1                1               1
                      3                3               3               3
                         3               3                3               3

               972             324              108              36              12           Cátedra de
                                                                                              ética y valores
              Lorena cosechó 12 piñas el quinto día.                                          Cuando una persona
                                                                                              tiene dificultades o
              Ejemplo 3                                                                       problemas de motricidad,
                                                                                              es importante tener

              ¿Cuál es el cuarto término de una sucesión si el patrón es   1   y su primer término es 500?  en cuenta que los
                                                                                              desplazamientos y ritmos
                                                                5
                                                                                              no siempre se ajustarán a
                         1               1                1                                   los de los demás.
                      3               3                3
                         5               5                5
              500              100              20               4





                Una sucesión es decreciente si cada término es menor que el anterior. Las sucesiones con números naturales
                basadas en la multiplicación con fracciones propias, también son decrecientes, por ejemplo, en: 300, 60, 12,
                12/5, el patrón o regla es dividir en 5.



               DBA 3 Genera sucesiones con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con números naturales a partir de ejercicios númericos o problemas sencillos.  21
               DBA 8 (Ev. 1) Propone patrones de comportamiento numéricos y expresa verbalmente o por escrito los procedimientos matemáticos.]]></page><page Index="21"><![CDATA[Números naturales

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Completa los términos que faltan en las siguientes   4.  Escribe el patrón de cada sucesión.
                 sucesiones.

                                                                           20   60   180 540     patrón: ___________
                                                                      a.
                 a.     6     12            48     96
                                                                            2    2    2    2     patrón: ___________
                 b.           12     36            324   972          b.    3    9    27   81
                                                                            1    2    4    8     patrón: ___________
                 c.    640           160                              c.    2    6    18   54
                                                                            1
                 d.   1701                  63     21                 d.    2    1    2    4     patrón: ___________
                                                                            2    8    32  128
              2.  Relaciona con una línea la sucesión con el patrón   e.    5   15    45  135    patrón: ___________
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 correspondiente.
                                                                  5.  Resuelve la siguiente situación.
               600 300 150     75                          36
                                                                      a.  En un bosque se han sembrado árboles durante 4

                                                                         días. La primera vez, plantaron 125; la segunda
              1500 300    60   12                           ÷ 2          vez, los   4   de esta cantidad; la tercera vez, el   4
                                                                                 5                                5
                                                                         de la anterior; la cuarta, los   4   de la tercera.
                                                                                                     5
              1600 400 100     25                          34            ¿Cuántos árboles plantaron en total?



                20   80  320 1280                          ÷ 4          Datos          Solución        Respuesta



                10   50  250 1250                          35



                5    30  180 1080                           ÷ 5


              3.  Completa la tabla con los términos de cada sucesión.



                                                           7°
                                        4°
                                               5°
                                  3°
                      1°
                            2°
                                                     6°
              Patrón  término término término término término término término  Trabajo colaborativo
                                                                   Formen parejas y planteen un juego en el que apliquen
               4 3  14 580                                         sucesiones. Escribe las reglas del juego en tu cuaderno.
               3 4    2
                                                                   Actividad indagatoria
               4 2   480
                                                                   Pregunta a tus padres o maestros en qué momentos o
                                                                   situaciones de la vida pueden aparecer y aplicarse las
               3 5    8                                            sucesiones numéricas.





         22]]></page><page Index="22"><![CDATA[Pensamiento numérico


                Tema 3. Los naturales y su representación geométrica




                                         Reto matemático
                                        Halla dos números naturales de dos cifras cd tal que cd/dc 5 7/4.




              Los números naturales son aquellos que sirven para contar los elementos de un conjunto
              dado. Este conjunto se simboliza por medio de la letra N y, por extensión, los escribimos   Competencia
                                                                                             matemática
              de la siguiente forma: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10…}
                                                                                             La recta numérica se
              3.1 Representación geométrica de los naturales
                                                                                             puede utilizar para realizar
              Para hacer la representación geométrica del conjunto de los números naturales, nos   operaciones aritméticas
              valemos de una recta que normalmente llamamos recta numérica y elegimos en esta   básicas como la suma y
              un punto al cual le asignamos el número 0.                                     la resta. Por ejemplo, para
                                                                                             sumar dos números, se
              Luego, elegimos una unidad (segmento de recta pequeño) arbitraria y con ayuda de un   puede avanzar hacia la
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              compás vamos marcando  “una”,  “dos”,  “tres”,  “cuatro” unidades, medidas desde el punto   derecha desde el primer
              de coordenada 0 y se rotulan estos puntos con los números 1, 2, 3… etc., respectivamente   número en la cantidad
              en el orden que se ubicaron en la recta.                                       indicada por el segundo
                                            Unidad                                           número. Para restar,
                                                                                             se retrocede hacia la
                                                                                             izquierda.

                                     0     1     2      3     4     5     6
                                             Recta numérica
              Ejemplo 1        MUESTRA EDITORIAL

              Ubica los números 3, 5 y 8 en una recta numérica.
              Solución:
              Para representar estos números en la recta numérica, trazamos una recta, ubicamos el
              número 0 y luego los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Finalmente, resaltamos los
              número indicados.


                                                 0   1  2   3  4   5  6   7  8
              3.2 Orden en el conjunto de los números naturales
              El conjunto de los números naturales es un conjunto ordenado. El orden resulta de
              comparar dos números naturales y de identificar cuál es el menor y cuál el mayor.
              Cuando comparamos dos naturales a y b, se presentan tres posibilidades:
              i.  a es menor que b y lo simbolizamos como a , b
              ii.  a es igual a b y lo simbolizamos como a 5 b
              iii. a es mayor que b y lo simbolizamos como a . b
              Ejemplo 2
              Compara los números naturales 23 y 35.
              Solución:

              Entonces, se puede afirmar que 35 es mayor que 23 y se simboliza 35. 23; pero también
              se puede afirmar que 23 es menor que 35 y los simbolizamos 23 , 35.
              Al representar 23 y 35 en la recta numérica, 23 se encontrará a la izquierda de 35, o lo que
              es lo mismo, 35 se encontrará a la derecha de 23.


               DBA 3 (Ev. 1) Determina criterios de comparación para establecer relaciones de orden entre dos o más números.  23
               DBA 3 (Ev. 2) Representa en la recta numérica la posición de un número utilizando diferentes estrategias.]]></page><page Index="23"><![CDATA[Números naturales

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Escribe el número natural que corresponde en cada caso. Supón que estamos trabajando con la recta
                 numérica:

                 a.  ¿Qué número natural se encuentra 3 unidades a la izquierda de 10?


                 b.  ¿Qué número natural se encuentra 6 unidades a la izquierda de 38?
                 c.  ¿Qué número natural se encuentra 2 unidades a la derecha de 5?


                 d.  ¿Qué número natural se encuentra 10 unidades a la derecha de 11?

              2.  Escribe cinco números naturales que estén entre:

                 a.  5 y 11
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 b.  15 y 21

                 c.  110 y 130

                 d.  2 y 13

                 e.  22 y 35

              3.  Compara los pares de números y escribe los signos , o ., según corresponda.

                 a.  23_____34

                 b.  78_____69

                 c.  237____238

                 d.  97_____88

                 e.  122____112


              4.  Llena los espacios con los números naturales en cada secuencia.

                 a.   ______, 18, ______, ______, ______, 22, ______

                 b.  80, ______, ______, 89, ______, 95, ______

                 c.   ______, 30, ______, 120, ______, 480

              5.  Representa en una recta numéricas los siguientes conjuntos de números naturales.

                 a.  {2, 6, 7, 9, 12}

                 b.  {3, 6, 9, 12, 15}

                 c.  {7, 9,13,17,20}

                 d.  {5, 10, 15, 20, 25}



         24]]></page><page Index="24"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              6.  Julián, Camila, Jorge y Tatiana estudian en un mismo colegio y tienen diferentes edades: Camila es mayor
                 que todos, Tatiana es menor que Julián, pero a su vez es menor Jorge. ¿Quién es el menor de todos?









              7.  Con los dígitos 3, 5 y 9, y sin repetir cifras, escribe todos los números de tres dígitos que se puedan formar.








                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              8.  En una etapa de la vuelta a Colombia, cuatro ciclistas participantes de nombres Daniel, Egan, Nairo y
                 Rigoberto, lograron subir al podio. Si Daniel gastó 38 segundos más que Egan para cruzar la línea de meta,
                 Nairo 12 segundos menos que Daniel y Rigoberto 50 segundos más que Daniel, ¿en qué orden cruzaron la
                 meta?










              9.  Seis personas tienen cuenta de ahorros en un banco de la ciudad. Sus saldos, en pesos, son los siguientes:

                 $5448, $918, $74 826, $74 726, $5431 y $813

                 Ordena estas cantidades de menor a mayor.









              10.  Una mujer del pueblo siempre llevaba huevos para venderlos en el mercado. En una ocasión, se le cayó la cesta.
                 ¿Cuánto huevos llevaba en la cesta?, le preguntaron, a lo que ella respondió: no lo sé, pero recuerdo que al contarlos
                 en grupos de 2, 3, 4 y 5, sobraban 1, 2, 3 y 4, respectivamente. ¿Cuántos huevos llevaba la señora en la cesta?












               Actividad indagatoria
               Investiga y explora diferentes aspectos de la recta numérica. Puedes buscar información sobre su historia,
               aplicaciones prácticas, ejemplos en la vida cotidiana, entre otros temas relacionados.




                                                                                                                      25]]></page><page Index="25"><![CDATA[Números naturales

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 4. Operaciones con números naturales




                                         Reto matemático
                                        ¿Cuál es la operación contraria a la adición? Nombra una situación en la que tengas que
                                        realizar una sustracción para su solución.



                                        4.1 Adición y sustracción


                                        Gabriel hizo un préstamo de $125 000 y hace los siguientes gastos: $34 500 para reparar
              Competencia
              matemática                la entrada de la casa, $24 060 para la compra un automóvil y, con el dinero que le sobra,
                                        quiere comprar muebles. ¿Cuánto dinero le sobra para estos?
              Los términos de la adición
              son sumandos y suma total.  Para conocer cuánto dinero le sobra, primero sumamos los gastos y luego restamos el
              Los términos de la        valor del dinero que le dieron en el préstamo.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              sustracción son minuendo,
              sustraendo y diferencia.
                                              Dm    Um     C    D     U           Cm    Dm     Um    C     D    U
                                               3     4     5    0     0            1     2      5     0    0    0

                                         1     2     4     0    6     0      2           5      8     5    6    0
                                               5     8     5    6     0            0     6      6     4    4    0
                                                                             A Gabriel le sobran $66 440 para comprar
                                                                             los muebles.



                                         La adición y la sustracción son operaciones relacionadas. Si 6 1 7 5 13, entonces se
                                         cumplen las siguientes igualdades: 13 2 6 5 7 y 13 2 7 5 6


                                        Propiedades de la adición


                      Propiedad                           Explicación                             Ejemplo


                                         La suma de dos números naturales es un número
                     Clausurativa                                                       30 1 40 5 70
                                         natural.

                                                                                        4 1 8 1 2 5 14
                     Conmutativa         El orden de los sumandos no altera la suma total.
                                                                                        2 1 4 1 8 5 14


                                         Al agrupar de diferente manera tres o más sumandos,   (3 1 4) 1 5 5 12
                      Asociativa
                                         la suma total no cambia.                       3 1 (4 1 5) 5 12

                                         Si a cualquier número se le suma el cero, el resultado   12 1 0 5 12
                 Del elemento neutro     es el mismo número. El número 0 es el elemento
                                         neutro de la suma.                             4 1 0 5 4







         26]]></page><page Index="26"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





                                                    4.2 Multiplicación y división
                                                                                             Competencia
                                                    En una fábrica de dulces tienen 15 máquinas,   matemática
                                                    cada una produce 7650 caramelos          Al dividir, debes comprobar
                                                    semanalmente. Si entregan todos los      que el residuo sea menor
                                                    caramelos en una dulcería y los organizan en   que el divisor.
                                                    25 cajas, ¿cuántos tendrá cada caja?

                                                    Para conocer cuántos caramelos tendrá
                                                    cada caja, primero debemos realizar una
                                                    multiplicación y luego una división.

                          7  6   5   0         1   1   4  7   5  0       2  5
                      3          1   5             1   4  7              4  5   9  0
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                      3   8  2   5   0                 2  2   5
               1      7   6  5   0                            0  0
                   1  1   4  7   5   0

              Cada caja contendrá 4 590 caramelos.


               La multiplicación y la división son operaciones relacionadas. Si 5 3 7 5 35, entonces
               también se cumplen las siguientes igualdades: 35 4 7 5 5 y 35 4 5 5 7.
               Para comprobar una división:
               Sin residuo: (cociente 3 divisor ) 5 dividendo.
               Con residuo: (cociente 3 divisor ) 1 residuo = dividendo.


              4.3 Propiedades de la multiplicación


                      Propiedad                           Explicación                            Ejemplo


                                        El producto de dos números naturales es un número
                     Clausurativa                                                       30 3 2 5 60
                                        natural.

                                                                                        4 3 8 3 2 5 64
                    Conmutativa         El orden de los factores no altera el producto.
                                                                                        2 3 8 3 4 5 64


                                        Al agrupar de diferente manera tres o más factores, el   7 3 (5 3 3) 5 105
                      Asociativa
                                        producto no cambia.                             (7 3 5 ) 3 3 5 105

                                        Si a cualquier número se le multiplica por 1, el   15 3 1 5 15
                 Del elemento neutro    resultado es el mismo número. El número 1 es el
                                        elemento neutro de la multiplicación.           4 3 1 5 4









              DBA 1 (Ev. 2) Propone y justifica diferentes estrategias para resolver problemas con números naturales en contextos escolares y extraescolares.  27]]></page><page Index="27"><![CDATA[Números naturales








                                                           Propiedad distributiva de la multiplicación


                                                           Camila tiene 8 cajas con 320 flores cada una y sacó 25 flores de
                                                           cada caja. María tiene 135 flores y compró 6 cajas con 125 flores
                                                           cada una. ¿Cuántas flores tiene en total cada una?

                                                           Para saberlo, realizamos lo siguiente:


                                                           Planteamos una expresión matemática para expresar la cantidad
                                                           de flores que tiene Camila.
              Competencia
              matemática                  (320 2 25)  3 8    Se resuelven primero los paréntesis.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              Los términos de la
              multiplicación son factores
              y producto.                  295    3 8    5  2 360  Luego se multiplica.
              Los términos de la división
              son dividendo, divisor,
              cociente y residuo.       Planteamos una expresión matemática para expresar las flores que tiene María.

                                        135  1  6 3 125     Primero se multiplica.

               Cátedra de      MUESTRA EDITORIAL
               ética y valores
                                        135  1  750  5  885  Luego se suma.
               Sí aún no te sientes seguro
               pide ayuda. Para resolver
               operaciones combinadas,   Camila tiene 2360 flores y María tiene 885 flores.
               es necesario tomar en
               cuenta el orden de        Cuando se tienen operaciones combinadas y en ellas aparecen paréntesis, primero se
               solución.
                                         resuelven las operaciones que están dentro de estos. Cuando no aparecen, se resuelven
                                         de izquierda a derecha; primero multiplicaciones y divisiones, después sumas y restas.


                                        Leonardo tiene 6 paquetes de velas, cada uno contiene 3 velas cuadradas y 4 velas
                                        circulares. ¿Cuántas velas tiene en total?


                                        6  3  (3 1 4)  5             6 33  1  6 3 4  5



                                        6  1  7  5 42                18  1   24  5  42
               Contesta: ¿cuál es el
               orden que debes seguir   Entonces: 6 3 (3 1 4) 5 6 3 3 1 6 3 4
               para resolver operaciones
               combinadas?









         28                                DBA 2 Aplica las propiedades de las operaciones con números naturales en  la resolución de ejercicios y problemas.]]></page><page Index="28"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              4.4 Operaciones combinadas con más operaciones
              En varias ocasiones, las operaciones combinadas tienen más de tres operaciones y para
              esto es importante conocer que existe una jerarquía de solución.

               1°.  Si existen operaciones con paréntesis, se resuelven primero.
               2°.  Se resuelven multiplicaciones y divisiones.

               3°.  Se resuelven adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.



               1° Resolver paréntesis     80   3 (65 – 15)  1  45  4 9  –  18  4  (4 1 2)
               2° Multiplicaciones

                  y divisiones       80    3    (50)    1  45   4   9   2   18   4   (6)
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta


                 3° Sumas y restas           4000      1      5         2            3
                                                            4002

              Operaciones combinadas con decimales                                           Cátedra
                                                                                             de salud y
              Para realizar operaciones combinadas con números con expresión decimal, utilizamos el   bienestar
              mismo procedimiento.
                                                                                              El proceso de aprendizaje
                                                                                              no debe ser una carrera de


                1° Resolver paréntesis     8,4  3  (6,5 – 4,5)  1  3,5  1  0,7 1  3,6  1  (3 − 1,8)  velocidad. No te estreses
                                                                                              si tu ritmo es diferente.
               2° Multiplicaciones          8,4    3     (2)         1  3,5  4   0,7  1  3,6  1  (1,2)  Cada persona tiene su


                  y divisiones                                                                propio ritmo y debemos
                                                                                              respetarlo.


                 3° Sumas y restas        16,8            1            5        2           3
                                                            18,8

              Ejemplo 1

              En un supermercado hay cinco docenas y media de sandías, ¿qué operación representa
              correctamente la expresión?, ¿cuántas sandías hay?

              a. 5 3 12 1 6             b. 5 3 (12 1 6)           c. (8 1 12) 3 (8 1 6)

              Solución

              La operación que la representa correctamente
              es la del literal a.


              5 docenas     5 60 unidades

              Media docena  5 6 unidades

              Entonces hay 66 sandías.



               DBA 2 (Ev. 1) Propone y utiliza diferentes procedimientos para realizar operaciones con números naturales  29]]></page><page Index="29"><![CDATA[Números naturales

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

                 a.  La propiedad conmutativa se puede aplicar en la adición y la sustracción.     (   )

                 b.  165 3 1 5 165 por la propiedad del elemento neutro.                     (      )

                 c.  5 3 (4 1 8) 5 (5 1 4) 3 8                                               (      )

              2.  Ubica las cifras correctamente y resuelve las operaciones.

                 a.  58 345 678 1 26 234 890 5





                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta



                 b.  876 645 243 2 435 643 871 5









                 c.  234 876 3 78 5










                 e.  845 624 4 47 5










              3.  Calcula mentalmente y relaciona con su resultado.

                 a.  10 000 1 25 000                     120 000

                 b.  150 000 2 30 000                    155 000

                 c.  380 000 1 20 000                    100 000

                 d.  160 000 2 60 000                    35 000

                 e.  25 000 1 130 000                    400 000




         30]]></page><page Index="30"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              4.  Resuelve el siguiente problema.
                 Carlos y Rommel cosechan plátanos de un terreno. En el mes de julio, Carlos cosechó 247 729 plátanos y Rommel,
                 729 000; mientras que en el mes de agosto, Carlos cosechó 154 750 y Rommel, 229 104.

                 Ambos juntaron todos los plátanos y vendieron 1 100 028  en total. ¿Cuántos plátanos les sobraron?, ¿cuál de los dos
                 cosechó más?












                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              5.  Completa la siguiente tabla.

                                         Divisor    Cociente     Residuo       Dividendo
                                           325         34          12

                                            76         254          6
                                            98         380          0


              6.  Verifica las propiedades de la multiplicación.


                                    Propiedad          Propiedad asociativa      Propiedad elemento
                                   conmutativa                                         neutro

                                  23 3 45 = 45 3 23   12 3 (5 3 8) = (12 3 5) 3 8     456 3 1 =














               Trabajo colaborativo
               Formen grupos de trabajo. Construyan dos cubos. En el primero marquen cada cara con números que tengan
               unidades y decenas de mil; en el otro, caras con solo unidades y decenas. Lancen los dados en orden: primero uno
               y luego el otro. Con los números obtenidos, planteen multiplicaciones y resuélvanlas.




               Actividad indagatoria
               ¿Qué propiedad de la multiplicación es utilizada con más frecuencia?






                                                                                                                      31]]></page><page Index="31"><![CDATA[Números naturales

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 5. Potenciación




                                         Reto matemático

                                        Expresa cada número en una multiplicación de factores iguales.
                                        25 =          49 =           81 =          144 =



              Interdisciplinaria        5.1 El cuadrado de un número
              Matemática y
              Biotecnología             Natalia vende en su tienda 12 cubetas de 12 huevos cada uno. ¿Cuántos huevos
                                        vendió en total?
              En los laboratorios
              clínicos, se utiliza la   Para saber cuánto vendió, realizamos la siguiente operación:
              potenciación para
              verificar la reproducción   Se multiplica el número de cubetas por la cantidad de huevos.
              y el crecimiento
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              de las bacterias en
              determinados estudios.       12    3    12      5      144

                                        El producto de un número por sí mismo se escribe así:

                                           12   3     12      5      12
                                                                       2
                                        Se lee: doce elevado al cuadrado.

                                        5.2 El cubo de un número


                                        Ricardo acomodó las cajas de cereal como se muestra en la figura. ¿Cómo expresa la
                                        cantidad de cajas?
              Responde en tu cuaderno:
              ¿cómo se calcula la
              potenciación?             Ricardo primero cuenta las cajas, así:

                                          Cajas en el   Cajas en el   Cajas de la
                                            frente       fondo        altura
              Competencia
              matemática                      4     3      4      3     4     5   64
               Los términos de la
               potenciación son:        Cuando un número se multiplica por sí mismo tres veces,

                                        Exponente  se escribe así:
               Base   2   =  4
                       2
               Potencia                 4 3 4 3 4 5 4 , se lee: cuatro elevado al cubo.
                                                   3


                                          El cuadrado de un número es el resultado de multiplicar el número por sí mismo.


                                          El cubo de un número es el resultado de multiplicarlo tres veces por sí mismo.









         32]]></page><page Index="32"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              5.3 Potencia de un número natural
              La potenciación es una multiplicación abreviada. Es la operación de la forma
              a  donde a es el factor de la operación y n el número de veces que se repite
               n
              el factor a:                                                           Base a. Es el factor que se repite
                                                                                     las veces que indica el exponente.
                                               n veces                               Exponente n. Indica el número de
                                     a n  = aa a ....... .                           veces que se multiplica la base.
                                                      a
                                                                                    Potencia. Resultado de la
              Ejemplo 1                                                             potenciación.

              Escribe la potencia de los siguientes números.

              a. 6          b. 2           c. 3 4
                               5
                 3
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              Solución
              a. 6 3 6 3 6 5 216        b. 2 3 2 3 2 3 2 3 2 532   c. 3 3 3 3 3 3 3 5 81
              5.4 Potencia de un número fraccionario

              La potencia de una fracción se obtiene al elevar el numerador y el denominador al
              exponente de la fracción.
                                                                                             Competencia
              Ejemplo 2                                                                      matemática

              Escribe la potencia de los números fraccionarios.                              Existen calculadoras
                                                                                             que permiten realizar
                 2  2                                                                        los procesos de raíces y
              a.        b.               c.                     d.                           potenciación de forma
                 4                                                                           rápida, ágil y exacta. Estas
                                                                                             calculadoras tienen las
              Solución                                                                       teclas que se muestran en
                                                                                             la imagen.
              a.             b.               c.                     d.


              5.5 Potencia de un número decimal

              Para obtener la potencia de un número decimal, primero calculamos la potencia
              significativa; luego, encontramos el número de cifras decimales; y después multiplicamos
              por el exponente y corremos la coma decimal de derecha a izquierda tantos lugares   Escribe la raíz cuadrada
              como indica el producto.                                                       de tres fracciones en el
                                                                                             cuaderno y encuentra la
              Ejemplo 3                                                                      solución con la ayuda de
                                                                                             una calculadora.
              Escribe la potencia de los números decimales.

              a. (0,2) 3           b. (0,003) 3
              Solución

              a.     2  5 8        1 3 3 5 3 cifras decimales   0,008
                      3
              b.     3  5 27       3 3 3 5 9 cifras decimales   0,000 000 027
                      3

               DBA 9 (Ev. 1) Utiliza las operaciones y sus inversas en problemas de cálculo numérico.                 33
               DBA 9 (Ev. 3) Realiza combinaciones de operaciones e identifica sus propiedades.]]></page><page Index="33"><![CDATA[Números naturales

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Observa los gráficos y escribe sus potencias.

                 a.                                                  c.













                                                                     d.
                 b.

                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta











              2.  Completa la tabla.


                                 Producto    Base   Exponente Potencia            Lectura
                                 4343434

                                                                          5  5 Cinco elevado al cubo
                                                                           3
                                                         2         49
                                               2         6


              3.  Observa el ejemplo de las propiedades de la potenciación y resuelve.



               Producto de potencias de bases  Cociente de potencias de bases                              m  n
                                      +
                                n
                             m
                    iguales aa a     mn              iguales: aa a   mn         Potencia de una potencia:  a (  )  = a
                                                                     −
                                                                 n
                                                              m
                                 =
                                                                  =
                                                               ÷
                              x
                    4 3434 54  21113 546              5  4 5  5 5 724  5 5 3              (7 )  5 7 532  = 7 10
                                                                                            5 2
                                                       7
                                                           4
                     2
                           3
                                                               2
                                                           6
                                3
                         5
                                                                                                4 3
                        2  3 2 3 2  5                     3  4 3  5                           (4 )  5
                                                               8
                         3
                             2
                                                          10
                                                                                                2 3
                        3  3 3  3 3 5                    8  4 8  5                            (2 )  5
                                                                                                2 2
                                2
                                                           3
                         2
                                                               2
                        8  3 8 3 8  5                     5  4 5  5                           (9 )  5
                                                                                                8 3
                                                           9
                                                               5
                                3
                        7 3 7 3 7  5                      2  42  5                            (2 )  5
         34]]></page><page Index="34"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              4.  Expresa como potencia.

                     2  2  2  2                                 3 3 3
                 a.    ×××      =                         b.      ××    =
                     3  3  3  3                                 5 5 5
                                                                  ××××
                         5                                      66666
                 c.            =                         d.                  =
                       ×××
                     4444                                             4
              5.  Calcula las siguientes potencias.

                         3
                                                                             3
                 a.  (0,3)  5                                        d.  (0,01)  5
                                                                            2
                          2
                 b.  (0,02)  5                                       e.  (0,2)  5
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                         2
                                                                            4
                 c.  (1,2)  5                                        f.  (0,2) 5
              6.  Observa el resultado y escribe el exponente correspondiente.

                 a.  (0,07)   5 0,000343                             d.  (0,1)   5 0,001

                 b.  (0,04)   5 0,0016                               e.  (0,3)   5 0,09


                 c.  (1,5)   5 2,25                                  f.  (0,3)   5 0,0081

              7.  Determina el área de cada cuadrado.









                                                  1,5             2,2              3,2


                                                 a.             b.             c.

                                                 A5l3l          A5l3l          A5l3l

                                                 A5             A5             A5


                                                 A5             A5             A5



               Trabajo colaborativo
               Formen parejas de trabajo y resuelvan la siguiente situación: Verónica compró para su tienda 6 cajas de 6 paquetes
               de jugos con 6 jugos cada uno. ¿Cuántos jugos hay en una caja? ¿cuántos jugos compró en total?

               Actividad indagatoria

               Averigua en qué situaciones de la vida cotidiana se utiliza la potenciación como multiplicación abreviada.


                                                                                                                      35]]></page><page Index="35"><![CDATA[Números naturales

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 6. Radicación




                                         Reto matemático
                                        Si un terreno cuadrangular mide 11 m por lado y se quiere cubrir con láminas de
                                        césped rectangulares de 20 centimetros cuadrados (cm ) de área, ¿qué cantidad de
                                                                                         2
                                        láminas de césped se necesitan para cubrirlo?
                                        Luis tiene 25 fichas, y en una tabla cuadriculada, quiere ordenarlas en filas y columnas
              Competencia
              matemática                con igual número de fichas. ¿Cuántas fichas tendrá que poner en cada fila y columna?

              Los cuadrados perfectos   Al ubicar las fichas, Luis obtiene un cuadrado con 5 filas y 5 columnas.    porque
              son los números que se    5 5 25, es decir, la raíz cuadrada de 25 es 5.
                                         2
              obtienen elevando al
              cuadrado otros números.   Cada fila y cada columna tienen 5 fichas.
              Son los únicos números
              que tienen raíz cuadrada
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              exacta.                               Índice
              Escribe en el cuaderno                         Radical
              ejemplos de cuadrados                                                                n
                                                                                         a
              perfectos.                             2  25 5       Raíz            n  m =  a porque a = m
                                                         =
                                                       Cantidad subradical




                                         La radicación es la operación inversa a la potenciación. Con ella es posible calcular la
                                         base si se conoce la potencia y el exponente.


                                        6.1 Raíz cuadrada aproximada

                                        Si Luis encuentra 4 fichas más y ahora tiene 29, ¿es posible
                                        que forme un cuadrado con estas?, ¿cuántas fichas hacen
                                        falta para formar una fila y una columna más?


                                        Luis organiza las fichas y no es posible formar un cuadrado
                                        con las fichas que tiene.

                                        Él observa que 5  5 25 y 6  5 36, y que 25 , 29 , 36. Entonces,
                                                      2
                                                              2
                                        para formar un cuadrado, hacen falta 7 fichas más.
                                        El número, cuyo cuadrado es menor que 29, es 5.

                                             =
                                          29 5 +  4
                                               2
                                        La raíz aproximada de 29 es 5,29 está más cerca de 25 que de 36.



                                                    Si un número no es cuadrado perfecto, su raíz no es entera.

                                                           Cantidad subradical 5 (raíz entera)²1 resto.




         36]]></page><page Index="36"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              6.2 Raíces por descomposición de factores primos
              Un pintor quiere hacer un mural en la pared de un edificio. La obra mediría 400 m  de
                                                                                      2
              superficie. Si la pared en la que lo pintará tiene una longitud de 25 m, ¿es posible hacer
              el mural allí?
              Para conocer si es posible pintar el mural en la pared, es necesario que conozcamos la
              longitud de un lado de este.

              A 5 400 m ; entonces  400 = ?
                       2
              Realizamos la descomposición en factores primos.
               400   2          2²   Agrupamos los números primos en pares, ya que se trata de
               200   2             una raíz cuadrada.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
               100   2                                                                       Competencia
                50   2          2²   Obtenemos la raíz cuadrada de los factores agrupados; luego,   matemática
                25   5             eliminamos la raíz con los exponentes.                    Para obtener la raíz cúbica
                                                                                             de un número, realizamos
                5    5                                                                       los mismos pasos, pero se
                1               5 2                                                          agrupa en números primos
                                                                                             iguales de 3 en 3.
              El lado de la pintura mide 20 m; por tal razón, sí es posible pintar el mural en la pared.
              6.3 Raíz de una fracción

                                                169                                           Cátedra de
                                                      2
              Si el área de un terreno cuadrangular es    m , ¿cuál es el valor de su lado?
                                                  9                                           ética y valores
                 169              169    169  13                                              Diversidad cultural
              A =    entonces l  I              m 2
                  9                9      9    3                                              Las molas son arte textil
                                                                                              tradicional elaborado
                                                                                              por las mujeres de la
               La raíz de una fracción se obtiene al extraer la raíz del numerador y del denominador   etnia Kuna en la región
                                                                                              de Darién y la costa del
               de la fracción.                                                                Caribe colombiano. Las
                                                                                              elaboran de diferentes
              6.4 Raíz de una expresión decimal                                               tamaños y formas.

              Si el área de una alfombra cuadrada es de 0,36 dm , ¿cuál es el valor de su lado?
                                                         2
              A = 0,36 dm , entonces, l  0,36 0,6=  dm 2
                        2


               La raíz exacta de un número con expresión decimal se encuentra al extraer la raíz de   Responde: si estas
               la cifra como si fuera natural; luego, se divide el número de cifras decimales para   molas son cuadradas,
               el índice de la raíz y se recorre el número de espacios en la raíz encontrada.  ¿qué operación se debe
                                                                                              hacer para calcular la
                36  = 6                                                                       medida de su lado?
                             cifras decimales  índice raíz  lugares que se recorre







               DBA 9 (Ev. 1) Utiliza las operaciones y sus inversas en problemas de cálculo numérico.                 37]]></page><page Index="37"><![CDATA[Números naturales


                     Evaluación formativa




              1.  Calcula las siguientes raíces:                  5.  Completa lo que hace falta en cada ejercicio.
                 a.    49=                 d.      64 =                                                       3
                                                                      a.             b.             c.   3   =
                                                                                                              8
                 b.   100 =                e.      196 =
                                                                  6.  Encuentra la raíz mediante descomposición de
                 c.    324 =               f.      25 =
                                                                      factores primos.
              2.  Escribe la cantidad subradical de las siguientes raíces:
                                                                      a.   400                 b.      3  216
                 a.  √         = 12

                     3
                 b.  √         = 9
                     3
                 c.  √         = 4
                 d.  √         = 15
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 e.  √         = 11

                 f.  √         = 8

              3.  Determina entre qué números está comprendida la     c.   900                 d.      3  64
                 raíz cuadrada. Observa el ejemplo.

                                           d.


                 a.            MUESTRA EDITORIAL

                 b.                        e.
                 c.                        f.

              4.  Encuentra la raíz:

                 a.    0,0004 =                                       e.   225                 f.      3  125


                 b.   0,25 =

                 c.   0,0016 =

                 d.   3  0,216 =

                 e.   3  0,000008 =

                 f.   3  0,000027 =



                Trabajo colaborativo
               Resuelvan en pareja la siguiente situación y utilicen la descomposición de factores:
               Eduardo tiene que plantar árboles en un terreno cuadrado. Si tiene que plantar 576 árboles, ¿cuántos plantará en
               cada fila?, ¿cuántas filas formará?

               Actividad indagatoria
               Averigua cómo compruebas si una raíz está bien calculada.




         38]]></page><page Index="38"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 7. La logaritmación




                     2                   Reto matemático
                            3
                   4  2                 ¿Qué polinomio aritmético representa el área de la figura?
                        1

              7.1 La logaritmación como operación inversa de la potenciación
              ¿Qué son los logaritmos?

              Piensa en la siguiente situación: sabemos que 3 elevado a la 4 potencia es 81 y que lo
              podemos escribir en forma exponencial como 3  5 81.
                                                       4
              Vamos a suponer que nos preguntan: ¿a qué potencia debo elevar 3 para obtener 81?,      Log (8)=3
                                                                                                        2
              lo que podemos escribir de forma exponencial como 3  5 81 y concluir que el valor de    porque.. 2 =8
                                                              x
                                                                                                            3
              x es 4.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              La expresión 3  5 81 la notamos o expresamos de la forma logarítmica, así:
                          4
              log 81 5 4 que se lee “logaritmo en base 3 de 81 es igual a 4”.
                 3
              Podemos afirmar entonces que: log 81 5 4 porque 3  5 81
                                                           4
                                             3
               Dados los números a, b y x, diremos que el logaritmo de a en base b es el número x
               siempre que se cumpla que b elevado a la x sea igual al número a.
               De manera más general, tenemos:   log  a = x   porque   b  = a
                                                                x
                                                 b
                                               Forma           Forma
                                             logarítmica    exponencial
              Ejemplo 1. A qué potencia x debo elevar 5 para obtener 125.
              Solución: lo que tenemos que hacer es hallar x = log  25, de donde se concluye que x = 3
                                                          5
              porque 5  5 125
                     3
              Ejemplo 2. Determina los siguiente logaritmos:
              a.  log  32
                    2
              Solución: log  32 5 5 porque 2  5 32                                           Competencia
                                        5
                         2
                                                                                             matemática
              b.  log  256
                    4                                                                        La logaritmación es una
                                         4
              Solución: log  256 5 4 porque 4  5 256                                         herramienta matemática
                         4
              7.2 Propiedades de los logaritmos                                              que nos ayuda a simplificar
                                                                                             operaciones difíciles. Con
              1.  Logaritmo de un producto
                                                                                             los logaritmos, podemos
              log  (x 3 y ) 5 log  x 1 log  y                                                resolver problemas
                 a
                                    a
                             a
              Ejemplo 3. Prueba que log  (9 3 27) 5 log  9 1 log  27                         grandes o complicados
                                                  3
                                                         3
                                     3
                                                                                             de una manera más
              log  (243 ) 5 2 1 3                                                            fácil. Son como un truco
                 3
              5 5 5                                                                          matemático que convierte
                                                                                             las multiplicaciones,
              2.  Logaritmo de un cociente                                                   divisiones, potencias y
              log  (x 4 y ) 5 log  x 2 log  y                                                raíces en operaciones
                 a           a      a                                                        más simples. Es como
              Ejemplo 4. Prueba que log  (625 4 25) 5 log  625 2 log  25                     si nos dieran un atajo
                                                              5
                                                    5
                                     5
              log  25 5 4 2 2                                                                para resolver problemas
                 5
              2 5 2                                                                          grandes más rápidamente.
               DBA 9 (Ev. 1) Utiliza las operaciones y sus inversas en problemas de cálculo numérico.                 39]]></page><page Index="39"><![CDATA[Números naturales


                     Evaluación formativa




              1.  Calcula el valor de x en las siguientes expresiones:
                 a.  log  x 5 3
                        2
                 b.  log  x 5 1
                        5
                 c.  log  x 5 3
                        10
                 d.  log  x =3
                        6
                 e.  log  x 5 4
                        2
                 f.   log  x 5 3
                        4
                 g.  log  27 5 3
                        x
                 h.  log  16 5 4
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                        x
                 i.   log  81 5 2
                        x
              2.  Determina el valor de n en cada una de las igualdades dadas.

                 a.  3  5 243
                      n
                 b.  2  5 512
                      n
                      n
                 c.  5  5 625  MUESTRA EDITORIAL
                      n
                 d.  7  5 49
                 e.  4  5 2 048
                      n
                 f.   10  5 10 000
                       n
              3.  Expresa las propiedades de los logaritmos según el logaritmo dado, sea el logaritmo de un producto o de un
                 cociente.
                 a.  log  16 3 32
                        2
                 b.  log  25 3 125
                        5
                 c.  log  49 3 343
                        7
                 d.  log  1 024 4 64
                        4
                 e.  log  2 187 4 729
                        3
              4.  Escribe en forma logarítmica las siguientes expresiones dadas en forma exponencial.
                      3
                 a.  5  5 125
                 b.  2  5 64
                      6
                 c.  10 5 10 000
                       4
                 d.  7  5 343
                      3
                 e.  3  5 81
                      4
                 f.   5  5 625
                      3
         40]]></page><page Index="40"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              5.  Escribe en forma exponencial las siguientes expresiones dadas en forma logarítmica.

                 a.  log  32 5 5
                        2
                 b.  log  3125 5 5
                        5

                 c.  log  1000 5 3
                        10
                 d.  log  256 5 4
                        4
                 e.  log  2 5 1
                        2
                 f.   log  36 5 2
                        6
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              6.  Expresa como un solo logaritmo las expresiones

                 a.  log  a 1 log  b 5 __________
                        3      3

                 b.  log  x 2 log  y 5 __________
                        10
                                10
                 c.  log  x 1 log  y 1 log z 5 __________
                        5      5      5
                 d.  log  a 1 log  b 2 log  c 5 __________
                        2
                                      5
                               5
              7.  Una población de bacterias comienza con 50 bacterias y se triplica cada hora que haya transcurrido. Si la cantidad de
                 bacterias al cabo de x horas está dada por la expresión 50 3 3 . ¿Cuántas horas habrán transcurrido para que el
                                                                        x
                 número de bacterias sea igual a 12 150?















              8.  El tamaño de cierto cultivo de bacterias se duplica cada 60 minutos. Supongamos que el cultivo tiene
                 inicialmente 1000 bacterias y que, después de n horas es de 1000 3 2 ¿cuántas horas se necesitan para
                                                                                 n-1
                 que el cultivo llegue a un número de 1 024 000 bacterias?


















                                                                                                                      41]]></page><page Index="41"><![CDATA[Números naturales

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 8. Ecuaciones e inecuaciones




                                         Reto matemático
                  +   +   +   =  36
                                        ¿Qué valor representa un cangrejo?
                  +   +   +  +   =  38



              Competencia               8.1 ¿Qué es una ecuación?
              matemática
                                        El número 32 puede escribirse de la forma 6x 2 4, es decir, 6x 2 4 5 32. El valor de x en
              Una ecuación es           este caso es 6, pues 6 3 6 2 4 5 32.
              la igualdad de dos
              expresiones matemáticas   Lo que hicimos fue expresar el número 32 como el producto de un número desconocido
              en las que puede haber    (notado con la letra x) por 6 y a este producto le restamos 4.
              una o más incógnitas.
              Usualmente la             La expresión 6x 2 4 = 32 es lo que conocemos con el nombre de ecuación, en donde x
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              representamos con las     representa un valor desconocido y la llamamos incógnita.
              letras x, y o z.
                                        Las ecuaciones están conformadas por términos variables y constantes.

                                                              6x 2 4 5 32
                                                                            Términos constantes (su valor no cambia)

                                        Término variable (su valor depende del valor que tome x)
               Cátedra de paz
                                        Al número que, al ser reemplazado por x hace que la igualdad se cumpla, se le llama
                                        solución de la ecuación.
               Así como en una
               ecuación donde cada      Entonces, la solución de la ecuación 6x 2 4 5 32 es 6. Veamos por qué:
               parte tiene igual
               importancia, en un                                       6 3 6 2 4 5 32
               entorno de paz, cada
               individuo tiene el                                         36 2 4 5 32
               derecho de ser tratado
               con igualdad y respeto.                                        32 5 32
               Ambos conceptos          8.2 Propiedades de la igualdad
               fomentan la idea de
               equidad, donde todas las   1.  Propiedad aditiva de la igualdad.
               partes involucradas son
               consideradas de manera       Si, a 5 b, entonces, a 1 c 5 b 1 c, y, a 2 c 5 b 2 c
               justa y se busca alcanzar    Ejemplo: 8 5 7 1 1 entonces 8 1 5 5 (7 1 1) 1 5   8 2 3 5 (7 1 1) 2 3
               un equilibrio armonioso.
                                                                            13 5 8 1 5           5 5 8 2 3
                                                                              13 5 13               5 5 5

                                        2.  Propiedad multiplicativa de la igualdad.
                                            Si, a 5 b, entonces, a 3 c 5 b 3 c, y, a 4 c 5 b 4 c (c Þ 0)

                                            Ejemplo: 8 5 7 1 1 entonces 8 3 5 5 (7 1 1) 3 5   8 4 2 5 (7 1 1) 4 2
                                                                            40 5 8 3 5           4 5 8 4 2

                                                                              40 5 40               4 5 4





         42                             DBA 9 Opera sobre números desconocidos y encuentra las operaciones apropiadas al contexto para resolver problema.]]></page><page Index="42"><![CDATA[Pensamiento variacional








              8.3 Solución de una ecuación
                                                                                             Competencia
              Es el valor que al ser reemplazado en la variable hace que la igualdad se cumpla.  matemática
              Para lograr llegar a la solución de una ecuación debemos transformar la ecuación inicial   Dos o más ecuaciones son
              mediante  la  aplicación  de  las  propiedades de  la  igualdad,  en otras  ecuaciones   equivalentes si todas tienen la
              equivalentes hasta lograr despejar la variable o incógnita.                    misma solución.
              Veamos un ejemplo en el que solucionamos una ecuación en el conjunto de los números
              naturales. Consideremos la ecuación que creamos inicialmente.
              1. 6x 2 4 5 32               Esta es la ecuación inicial
              Empezamos con la aplicación de la propiedad aditiva de las igualdades con el fin de que
              el término 6x quede solo al lado izquierdo de la ecuación, para lo cual sumamos 4 a
              ambos lados de la ecuación inicial.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              2. 6x 2 4 1 4 5 32 1 4  que se convierte en:
              3. 6x 5 36
              Ahora aplicamos la propiedad multiplicativa de las igualdad, para lo cual dividimos
              ambos lados de la igualdad entre 6, con el fin de despejar la variable x y de esta forma,
              poder encontrar la solución.
                  6x    36
              4.      5            que se convierte en:
                   6    6
              5. x 5 6         MUESTRA EDITORIAL
              Las igualdades 1, 2, 3, 4 y 5 que se obtuvieron en el proceso, son equivalentes, lo que
              quiere decir que todas tienen la misma solución.
              Por tanto la solución de la ecuación 6x 2 4 5 32 es:

              Ejemplo 1. Encuentra la solución de la ecuación     Ejemplo 3. El largo de un rectángulo es el doble de su
              x 1 10 5 15 y haz la correspondiente verificación.  ancho y su perímetro es 48 m. Encuentra las dimensiones
                      Pasos                Justificación          del rectángulo.
                   x 1 10 5 15                                    Solución:
                x 1 10 2 10 5 15 2 10  Propiedad aditiva de la igualdad                         2x
                      x 5 5                                       P 5 48 m
              Solución: 5   Verificación:   5 1 10 5 15           x 5 ancho           x
                                              15 5 15             2x 5 largo
              Ejemplo 2. Encuentra la solución de la ecuación
              12x 1 5 5 41 y haz la correspondiente verificación.  Recuerda que el perímetro del rectángulo está dado por
                                                                  la suma de todos sus lados.
                    Pasos                 Justificación
                  12x 1 5 5 41                                    Luego                 x 1 2x 1 x 1 2x 5 48
               12x 1 5 2 5 5 412 5  Propiedad aditiva de la igualdad                               6x 5 48
                   12x 5 36
                  36x   5  36   Propiedad multiplicativa de la igualdad                          6x   5  48
                   12    12                                                                       6    6
                     x 5 3                                                                         x5 8 m
              Solución: 3   Verificación:  12 (3) 1 5 5 41        Por tanto, ancho 5 8m      largo 5 2(8 m)
                                           36 1 5 5 41                                             5 16 m



               DBA 9 (Ev. 3) Realiza combinaciones de operaciones, encuentra propiedades y resuelve ecuaciones en donde están involucradas.  43]]></page><page Index="43"><![CDATA[Números naturales

                               MUESTRA EDITORIAL





                                        8.4 Inecuaciones
                                        Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones matemáticas que pueden
                                        contener una o más variables.
                                        Las expresiones matemáticas están conectadas por los signos:
                                                                     ., que se lee "mayor que"
                                                                     ,, que se lee "menor que"
                                                                     #, que se lee "menor o igual que"
                                                                     $, que se lee "mayor o igual que"

                                        Ejemplo 4. La lista de desigualdades mostradas a continuación son inecuaciones.
                                        a.  8x . 2
                                        b.  3x 1 1 . 19
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                        c.  10x 2 8 # 9x 112
                                        d.  4x 1 26 $ 90
               Cátedra de               8.5 Propiedades de las desigualdades
               ética y valores
                                        1.  Propiedad aditiva de la desigualdad.
               ¿Alguna vez te has sentido
               frustrado o confundido       Si, a , b, entonces, a 1 c , b 1 c, y, a 2 c , b 2 c
               mientras tratas de encontrar   Ejemplo:  18 , 30, entonces, 18 1 6 , 30 1 6   18 2 3 , 30 2 3
               respuestas?
               Al resolver una ecuación,                                    24 , 36         15 , 27
               buscamos encontar un
               valor que complete todas   2.  Propiedad multiplicativa de la desigualdad.
               sus partes de manera
               adecuada. Esto significa     Si, a , b, entonces, a 3 c , b 3 c, (cÞ0) y, a 4 c , b 4 c (c Þ 0) y (c.0)
               que tenemos que ser          Ejemplo:   20 , 35, entonces, 20 3 5 , 35 3 5  20 4 5 , 35 4 5
               pacientes, constantes y
               pensar de manera creativa                                  100 , 175           4 , 7
               para encontrar esa solución.
               Estos mismos principios   Solución de una inecuación:
               pueden ayudarnos a resolver
               problemas en la vida diaria.  Llamamos solución de una inecuación de primer grado en una variable al conjunto de
                                        valores que puede tomar la variable y que hacen que se satisfaga la desigualdad. A este
                                        conjunto de valores se le conoce como conjunto solución de la inecuación.

                                        Para lograr llegar a la solución, transformamos la inecuación inicial mediante la aplicación
                                        de las propiedades de las desigualdades, en otras inecuaciones equivalentes hasta lograr
                                        dejar la variable o incógnita a un solo lado de la desigualdad.
               Estos mismos principios   Veamos un caso particular en el que solucionamos una inecuación en el conjunto de los
               pueden ayudarnos a resolver
               problemas en la vida diaria.  números naturales.
                                        1.  3x 1 10 , 25             Esta es la inecuación inicial

                                        Empezamos con la aplicación la propiedad  aditiva de las desigualdades con el fin de que
                                        el termino 3x quede sólo al lado izquierdo de la inecuación, para lo cual restamos 10 a
                                        ambos lados en inecuación inicial.

                                        2.  3x 1 10 2 10 , 25 2 10   que se convierte en:
                                        3.  3x , 15




         44                                    DBA 8 (Ev. 3) Trabaja sobre números desconocidos y con esos números para dar respuestas a los problemas.]]></page><page Index="44"><![CDATA[Pensamiento variacional








              Ahora aplicamos la propiedad multiplicativa de la desigualdades, para lo cual dividimos ambos lados de la inecuación
              entre 3, con el fin de despejar la variable x y de esta forma encontrar el conjunto solución.


                  3x    15
              4.      ,            que se convierte en:
                   3    3
              5.  x , 5

              Las inecuaciones 1, 2, 3, 4 y 5 que se obtuvieron en el proceso, son equivalentes, lo que quiere decir que todas tienen la
              misma solución.


              La solución finalmente es el conjunto de todos los naturales que satisfacen esta última inecuación.

              Representación gráfica de la desigualdad x , 5
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta

                                     0    1    2    3    4    5    6    7    8    9   10


              El uso de tablas de dos columnas, como las que se presentan en los siguientes ejemplos, nos simplifica el proceso de
              solución de una inecuación.

              Ejemplo 5. Encuentra la solución de la inecuación    Ejemplo 6. Encuentra la solución de la inecuación
              x 1 11 , 14      MUESTRA EDITORIAL
                                                                  10x 2 5 . 45
                                                                         Pasos                 Justificación
                      Pasos                Justificación              10x 2 5 . 45
                   x 1 11 , 14                                      10x2515.4515      Propiedad aditiva de la desigualdad
               x 1 11 2 11 , 14 2 11  Propiedad aditiva de la desigualdad  10x . 50

                      x , 3                                            10x   5  50   Propiedad multiplicativa de la igualdad
                                                                        50   10
                                                                         x . 5


              Ejemplo 7. Si el perímetro de un rombo no mide más de 60 metros, ¿qué podemos decir de la longitud de sus lados?

              Solución:


              Llamamos x al lado del rombo.

              Entonces, el perímetro será 4x                   x


              Como nos dicen que el perímetro no mide más de 60 metros, quiere decir que: 4x # 60

                             4x    60
              Por tanto:      4   #   4

                            x # 15






               DBA 3 (Ev. 3) Describe procedimientos para resolver ecuaciones lineales.                               45]]></page><page Index="45"><![CDATA[Números naturales

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda en cada caso.

                 a.  Si 4n 2 8 5 0, entonces, n 5 5 _____

                 b.  Si 5y 1 9 5 29, entonces, y 5 4 _____


                 c.  Si 16x 2 50 5 110, entonces, x 5 10 _____

                 d.  Si 43 5 7 1 4x, entonces, x 5 5 _____


              2.  Encuentra la solución de la ecuación 10x 2 70 5 60. Utiliza la tabla dada para escribir los pasos seguidos y la
                 justificación de cada uno de ellos. Ayuda: aplica las propiedades de la igualdad y no olvides hacer al final la
                 verificación de la solución.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                           Pasos                           Justificación
                                       10x 2 70 5 60










              3.  Verifica, en cada caso, si la solución indicada para cada ecuación es la correcta o no. Si la respuesta es no, haz
                 el proceso correspondiente para llegar a la solución correcta.


                 a.  5x 1 25 5 90 2 15            Solución: 10

                 b.  28 1 4x 5 58 1 6             Solución: 7


                 c.  6x 2 23 1 2x 5 97            Solución: 15

                 d.  67 2 25 1 3x 5 75 2 9        Solución: 6

              4.  Soluciona la siguientes desigualdades:


                 a.  25x 2 45 , 55

                 b.  26 . 5x 2 124


                 c.  140 1 12x $ 284

                 d.  36x 2 25 # 119


                 e.  3x 1 15 . 2x 1 26







         46]]></page><page Index="46"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              5.  Soluciona la inecuación 13x 1 102 . 154. Apóyate en la siguiente tabla para escribir los pasos seguidos junto
                 con la justificación de cada uno de ellos. Haz la prueba con al menos dos valores del conjunto solución.

                                           Pasos                           Justificación
                                      13x 1 102 . 154







              6.  Resuelve los siguientes problemas.
                 a.  Viviana tiene 18 años, que es la tercera parte de la edad de su amiga Juanita. ¿Qué edad tiene Juanita?



                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta

                 b.  La suma de dos números naturales consecutivos es 49. ¿Cuáles son los números?







                 c.  Si el largo de un rectángulo es el triple de su ancho, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo, si se sabe que su
                     perímetro es de 96 metros?







                 d.  Una granja tiene, en total, 180 cerdos y pavos, pero el número de pavos es de 80 más que el número de cerdos
                     ¿cuántos pavos y cuántos cerdos hay en la granja?





                                                                                                     2
              7.  Al construir un jardín de forma cuadrada, si la superficie disponible no puede ser mayor a 36 m , ¿cuánto puede
                 medir cada lado del jardín?









               Trabajo colaborativo
               Formula, junto con tu compañero, una ecuación de la forma x 1 a 5 b y otra de la forma ax 1 b 5 c, con a, b y c
               como números naturales. Ten en cuenta que la solución de las ecuaciones debe ser un número natural. Después de
               solucionar las ecuaciones, intercambien con otra pareja para analizar el procedimiento seguido y si la solución a la
               que llegaron es la correcta.

               Actividad de Investigación
               Indaga sobre otro método que se pueda aplicar para solucionar una ecuación lineal de primer grado. Haz una
               pequeña presentación para dar a conocer los hallazgos a tus compañeros.


                                                                                                                      47]]></page><page Index="47"><![CDATA[Números naturales

                               MUESTRA EDITORIAL
                      Proyecto interdisciplinario




                                                                  ¿Cuánto podemos ahorrar en servicios básicos?

                                                                  Justificación / problemática
                                                                  Es importante concientizar a los miembros de nuestra
                                                                  familia mediante reflexiones y trabajo en equipo sobre el
                                                                  correcto uso de los servicios básicos y la forma en la que
                                                                  podemos colaborar para lograr un ahorro significativo.

                                                                  Objetivos

                                                                  Evidenciar el ahorro de energía y agua potable en el
                                                                  hogar y  comprobarlo  mediante la  aplicación  de
                                                                  conocimientos matemáticos.

                                                                  Recursos
                                                                  Recibos de agua, luz y teléfono. Cartulinas y marcadores.



              Actividades

              Realiza las siguientes actividades en casa.


              •   Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta  Consigue recibos de agua, luz y teléfono del último mes de pago.

              •   Conversa con los miembros de tu familia acerca del ahorro de los servicios básicos y los beneficios
                 que esto conlleva.

              •   Elabora en clase carteles sobre la importancia del ahorro de los servicios básicos, para luego ubicarlos en diferentes
                 lugares de tu hogar.

              •   Toma nota de las acciones que realizarán en tu casa para lograr sus objetivos.


              •   Monitorea si se cumplen o no dichas acciones y lleva un registro de los logros que se tienen en familia.


                                                                  Evaluación

                                                                  •   Al llegar los recibos del siguiente mes, compara los
                                                                      costos de pago de los anteriores con los nuevos
                                                                      recibos y observa si existe una diferencia del consumo.

                                                                  •   Verifica si existió o no ahorro, comparando cantidades.

                                                                  •   Revisa los resultados con tus compañeros y
                                                                      compañeras. Mediante sus conocimientos
                                                                      matemáticos, comparen qué familia obtuvo mayor
                                                                      ahorro en cada servicio básico.






         48]]></page><page Index="48"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL
                   Competencia digital




              Cálculo de potencias
              Para encontrar el cuadrado y el cubo de un número, utiliza la calculadora del siguiente enlace al iniciar la instrucción:
              https://web2.0calc.es/#google_vignette


                                                                    La calculadora científica se ha convertido en una
                                                                    herramienta importante al momento de hacer
                                                                    cálculos, pero es indispensable conocer los procesos
                                                                    de solución utilizando algoritmos.

                                                                    ¿Cómo calcular potencias con la calculadora?

                                                                    El cuadrado de un número

                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                                    Selecciona el número deseado seguido de la tecla
                                                                        .


                                                                    2      5 4.

                                                                    El cubo de un número

              Utiliza la calculadora para resolver:                 Selecciona el número deseado seguido de la tecla
                                                                         .
              a.  5² 1 3 1 2³ 1 3⁵ 5

              b.  4² 1 2 1 7³ 1 2⁵ 5                                3      5 27.
              c.  3² 1 1 1 6³ 1 2⁴ 5                                Un número elevado a otro exponente
              d.  8² 1 4 1 2⁵ 1 2⁴ 5
                                                                    Para elevar un número a un exponente diferente
              e.  3² 1 5 1 2³ 1 8³ 5
                                                                    a 2 o a 3.
              f.  5² 1 6 1 4³ 1 2⁵ 5
                                                                    2⁵ 5 32
              g.  4² 1 6 1 4³ 1 2⁵ 5
              h.  2² 1 10 1 4⁴ 1 3³ 5                               2     5 5 32.




               •   Encuentra otro tipo de calculadora ingresando al
                  siguiente enlace:

                  https://www.matematica.pt/es/util/calculadora-
                  cientifica-en-linea.php#google_vignette
               •   La calculadora permite comprobar con rapidez la
                  corrección de los cálculos hechos a mano en la
                  resolución de problemas.
               •   También permite la posibilidad de verificar los
                  cálculos rápidamente y obtener ayuda inmediata
                  para las respuestas erróneas o detectar posibles
                  errores.



                                                                                                                      49]]></page><page Index="49"><![CDATA[Números naturales

                               MUESTRA EDITORIAL
                        Compruebo mis aprendizajes




              1.  Encuentra el patrón y completa los términos que faltan en la sucesión.


                    3          9        27                  243       729                  Patrón:






                   320        160                 40         10                            Patrón:




              2.  Calcula mentalmente y relaciona con su resultado.

                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 a.  4457 3 34 5                       371 332

                 b.  13 547 4 23 5                     375 200

                 c.  354 789 1 16 543 5                    589

                 d.  678 542 2 303 342 5               151 538


              3.  Aplica la propiedad distributiva.

                 a.  5 3 (8 1 5) 5


                 b.  6 3 (7 1 3) 5


                 c.  9 3 (2 1 6) 5

              4.  Encierra el número romano que representa el
                 número 863.

                 a.  DCCLXIII


                 b.  CCMVIIII


                 c.  DCCCLXIII

              5.  Aplica las propiedades de la potenciación y relaciona
                 según corresponda.


                      5
                 a.  8  3 8 3 8³                  8⁴
                 b.  8⁶ 4 8²                      8¹²

                 c.  (8⁴)³                        8⁹



         50]]></page><page Index="50"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL







              6.  ¿Cuál es el resultado de  1024 ?
                 a.  512

                 b.  256

                 c.  16
                 d.  32

              7.  Resuelve la siguiente operación.

                       36    15   3      8    9
                                       3
                       25    2    4     27    2
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta















              8.  Si el largo de un rectángulo es el doble de su ancho, ¿cuáles son las medidas del largo y el ancho del rectángulo, si
                 se sabe que su perímetro es de 216 metros?

              9.  En una feria ganadera, en uno de los pabellones, hay ovejas y cabros. El número de ovejas es de 40 más que el
                 número de cabros. Si se sabe que entre ovejas y cabros hay 120 animales, ¿cuántas ovejas y cuántos cabros hay en
                 la granja?
              10.  Encuentra la solución de la ecuación (5x 2 3) 1 34 5 101. Verifica tu respuesta.

              11.  Aplica la propiedad aditiva y la multiplicativa de las desigualdades para determinar el conjunto solución de la
                 inecuación 10x 1 56 , 126
                                                                                                         Clave
              12.  Pinta según la clave.
                                                                                                      Puedo ayudar
                                                                                                         a otros.
                        Desarrollo sucesiones crecientes y decrecientes.                              Resuelvo por
                     Contenidos  Resuelvo operaciones con números naturales y racionales.              mí mismo.


                                                                                                        ¡Necesito
                        Soluciono ecuaciones e inecuaciones aplicando las propiedades de la
                        igualdad y de las desigualdades                                                  ayuda!
                                                                                                        Estoy en
                 Metacognición                                                                          proceso.
                 ¿Aclaraste dudas y necesidades con los temas aprendidos?

                 ¿En qué situaciones de tu vida cotidiana puedes utilizar algunos de los temas aprendidos?
                 Proponte una situación donde se aplique lo aprendido: ¿es útil lo aprendido?


                                                                                                                      51]]></page><page Index="51"><![CDATA[MUESTRA EDITORIAL
                Unidad 2                      Teoría de números



                ¿Para qué sirven los números primos?

                Actualmente, las matemáticas están en la base de todo nuestro conocimiento
                técnico y científico, y tras él están los números primos. Por ejemplo, sin conocerlos,
                determinarlos, ni saber qué implicaciones teóricas tienen, no podríamos hacer nada
                en materia de información y comunicación. Aunque nuestras culturas nunca han
                hecho demostración de conocer la teoría existente tras ellos, sí que han mostrado
                que los conocían, aunque fuese de forma intuitiva.

                Vayamos al grano: ¿Para qué nos sirven?, ¿cómo los usamos? y ¿qué nos
                solucionan? Para no ir muy lejos, los números primos sirven para asentar las
                bases de cualquier número; y debemos destacar que sin ellos no podemos
                elaborar algoritmos ni cálculos complejos.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta]]></page><page Index="52"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL








                                               Preguntas orientadoras

                                              1.  ¿Para qué nos sirven los números primos?

                                              2.  ¿Cómo usamos los números primos?

                                              3.  ¿Qué nos solucionan los números primos?




                                                                                          •   Múltiplos de un
                                                                                              número
                                                                   Múltiplos y divisores   •   Divisores de un
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                                      de un número            número
                                                                                          •   Criterios de
                                                                                              divisibilidad
                                                Teoría de
                                                 números
                                                                                          •   Descomposición
                                                                                              factorial de un número
                                                                    Números primos y      •   Mínimo común
                                                                   números compuestos         múltiplo
                                                                                          •   Máximo común
                                                                                              divisor






                                              EBC


                                              1.  Resuelvo y formulo problemas, utilizando propiedades básicas de la teoría de
                                                  números, como las de la igualdad, las de las distintas formas de la desigualdad
                                                  y las de la adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

                                              2.  Justifico procedimientos aritméticos, utilizando las relaciones y propiedades
                                                  de las operaciones.







                                              DBA

                                              1.  Argumenta de diversas maneras la necesidad de establecer relaciones y
                                                  características en conjuntos de números (ser par, ser impar, ser primo, ser el
                                                  doble de, el triple de, la mitad de, etc.).
                                              2.  Interpreta y justifica cálculos numéricos al solucionar problemas.







                                                                                                                      53]]></page><page Index="53"><![CDATA[Teoría de números

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 1. Múltiplos y divisores de un número




                   4                     Reto matemático
                   9   5
                  20 11    6            El número que falta es:
                  50 30 19              A. 1       B. 8        C. 13      D. 16

                                        1.1 Múltiplos de un número

                                        Los conceptos de múltiplo y divisor de un número están íntimamente ligados, ya que
                                        un número es divisor de otro si está contenido una cantidad entera de veces en él; por
                                        otra parte, un número es múltiplo de otro si lo contiene una cantidad entera de veces.

                                        En este tema, vamos a analizar los múltiplos y divisores de números naturales.

                                        Los administradores de un centro de salud desean enviar 40 vacunas contra la tuberculosis
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                        a cada subcentro de salud que está a su cargo. ¿Cuántas vacunas deben despachar en total
                                        si mandan a 1, 2, 3, 4 o 5 subcentros de salud? Para determinar el número de vacunas en
                                        cada caso, debemos multiplicar 40 por el número de subcentros de salud. Los productos
                                        obtenidos serán registrados en una tabla, de manera que se puedan observar mejor los
                                        despachos que deben hacerse de acuerdo con el número de subcentros.

                                         40    3      1       5       40           40     3       2      5       80

                                         40    3      3       5      120           40     3       4      5      160

                                         40    3      5       5      200


                                            N.º de subcentros      1          2         3         4         5
                                             N.º de vacunas        40        80        120       160       200

                                         Los múltiplos de un número natural son aquellos números que se obtienen de
                                         multiplicar ese número por cada uno de los números naturales. Si a es el número
                                         natural, la expresión M  5 {   } es el conjunto de los múltiplos de a.
                                                             a
                                        Ejemplo 1


                                        Forma el conjunto de los múltiplos de 5 y escribe los 6 primeros elementos.

                                        Solución

                                        Multiplicamos 5 por 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Luego, formamos el conjunto con los productos
                                        obtenidos y escribimos puntos suspensivos a continuación, para indicar que el conjunto
                                        es infinito.


                                                                   M  5 {0, 5, 10, 15, 20, 25…}
                                                                    5

                                         El conjunto de los múltiplos de un número natural es infinito, excepto el del cero. El cero
                                         es múltiplo de todos los números naturales y un número natural es múltiplo de sí mismo.




         54                                         DBA 2 (Ev. 2) Argumenta de diversas maneras la necesidad de establecer relaciones y características
                                                    en conjuntos de números (ser par, ser impar, ser primo, ser el doble de, el triple de, la mitad de, etc).]]></page><page Index="54"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              1.2 Divisores de un número

               Un número natural es divisor de otro número natural si lo divide exactamente. Si a es el
               número natural, la expresión D  5 {   } es el conjunto de los divisores de a.
                                         a

              Ejemplo 2

              a.  Forma el conjunto de los divisores de 15.

              Solución

              Buscamos todos los números menores o iguales que dividen exactamente a 15, y
              formamos con ellos un conjunto.
                                                                                             Competencia
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                  15 4 1 5 15              15 4 3 5 5                        matemática
                                                                                             Cuando tenemos algún
                                   15 4 5 5 3              15 4 15 5 1                       producto en grandes
                                                                                             cantidades, es importante
                                              D  5 {1, 3, 5, 15}                             saber cómo obtener los
                                               15
                                                                                             divisores de dicha cantidad
                                                                                             a fin de identificar en
              b.  Encuentra el valor del factor n en la expresión:
                                                                                             cuántos grupos de partes
                                                                                             iguales se puede dividir.
                                              135 5 15 3 n


              Solución

              Para encontrar el valor del factor n, debemos dividir 135 entre 15.

                           135      15
                            00      9     El factor n es 9 porque 15 3 9 5 135.

              •   Si a es un número natural y b es divisor de a, existe un número natural c que, al
                 multiplicarse por b, da como resultado a:
                                                                                             ¿Todos los números
                                                b 3 c 5 a                                    naturales tienen divisores?
                                                                                             Justifica.

                                     b y c  se denominan factores de a


              •   El conjunto de los divisores de un número natural diferente de cero es finito.
              •   Todo número natural es divisor de sí mismo.

              •   El cero no es divisor de ningún número.

              Ejemplo 3

              24 es número natural.                 6 3 4 5 24.

              4 es divisor de 24.                   6 y 4 son factores de 24.


               DBA 2 (Ev. 2) Argumenta de diversas maneras la necesidad de establecer relaciones y características    55
               en conjuntos de números (ser par, ser impar, ser primo, ser el doble de, el triple de, la mitad de, etc).]]></page><page Index="55"><![CDATA[Teoría de números








                                        1.3 Criterios de divisibilidad
                                        Los criterios de divisibilidad son pautas que nos permiten determinar, de forma rápida,
                                        cuándo un número es divisible entre otro. Es decir, nos permiten saber si cuando los dividimos,
                                        el resto de la división es cero o no. Vamos a abordar este tema a partir de un ejemplo.

                                        Un centro médico se alista para dictar charlas sobre planificación familiar durante los 5
                                        días laborables de una semana. Se han impreso 840 trípticos informativos para los
                                        asistentes. ¿Pueden disponer del mismo número de trípticos en cada charla diaria?

                                        Para responder a la pregunta, pensaríamos en dividir 840 entre 5, y si la división resultara
                                        exacta, diríamos que sí. Sin embargo, hay una forma abreviada de averiguar si 840 es
                                        divisible entre 5, y consiste en aplicar ciertas reglas denominadas criterios de divisibilidad.


                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                     Criterios de divisibilidad
                 Divisibilidad                             Criterio                                  Ejemplos

                    Entre 2      Es divisible si la cifra de las unidades es 0 o un número par.  452 ; 348

                                                                                               564
                    Entre 3      Es divisible si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
                                                                                               5 1 6 1 4 5 15

                                 Es divisible si las dos últimas cifras son cero o múltiplos de 4.
                    Entre 4    MUESTRA EDITORIAL                                               500 ; 428
                    Entre 5      Es divisible si la cifra de las unidades es 0 o 5.            345 ; 120

                    Entre 6      Es divisible si cumple con la divisibilidad de 2 y 3 a la vez.  270
                                                                                               657
                    Entre 9      Es divisible si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
                                                                                               6 1 5 1 7 5 18
                   Entre 10      Es divisible si la cifra de las unidades es 0.                530, 120


              Cátedra de                Aplicando el criterio de divisibilidad del cuadro anterior, observamos que 840 sí es
              ciudadanía y              divisible entre 5 porque su última cifra es cero. Es decir que podemos anticipar que sí es
              democracia                posible repartir en forma equitativa los trípticos durante los 5 días de charlas.
              Cuando realizamos
              actividades de grupo, es   Ejemplo 4
              esencial dividir el trabajo
              de manera equitativa para   a.  Explica si 564 es divisible entre 3.
              evitar cargas desiguales
              de tareas. Esto garantiza la   Solución
              importancia de distribuir
              las responsabilidades de   De acuerdo con el criterio, debemos sumar las cifras y verificar si la suma es múltiplo de 3.
              forma justa y respetar las
              capacidades y habilidades
              de cada estudiante.                                       5 1 6 1 4 5 15
              Si la cantidad de
              estudiantes de un colegio   El número 15 es múltiplo de 3, por lo tanto es divisible entre 3.
              es 356 ¿es divisible esta
              cifra entre 2? Justifica.





         56                                         DBA 2 (Ev. 2) Argumenta de diversas maneras la necesidad de establecer relaciones y características
                                                    en conjuntos de números (ser par, ser impar, ser primo, ser el doble de, el triple de, la mitad de, etc).]]></page><page Index="56"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              b.  Determina si   216   es divisible entre 2, 3, 4, 5 y 6.


              Solución

              Para analizar si 216 es divisible entre 2, observamos la cifra de las unidades. En este caso
              es 6. Como 6 es par, concluimos que sí es divisible entre 2.

              Para verificar si es divisible entre 3, sumamos sus cifras:


                                              2 1 1 1 6 5 9                                  Cátedra
                                                                                             de salud y
                                                                                             bienestar
              Como 9 es múltiplo de 3, concluimos que sí es divisible entre 3.
                                                                                              En la medicina son
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                                                              muy importantes las
              Para comprobar si es divisible entre 4, observamos el número que se forma con las dos   operaciones matemáticas
              últimas cifras. En este caso, es 16, y 16 es múltiplo de 4. Por lo tanto, sí es divisible entre 4.  para la creación de
                                                                                              vacunas, pues se necesitan
              La cifra con la que termina   216   no es ni 0 ni 5, por lo tanto, no es divisible entre 5.  varios cálculos para lograr
                                                                                              producir un remedio a
                                                                                              varias enfermedades.
              Finalmente, como es divisible entre 2 y 3, es también divisible entre 6.
                                                                                              La tuberculosis es una de
                                                                                              las enfermedades mortales
              c.  Escribe la cifra faltante para que los números sean divisibles entre 9.
                                                                                              presentes en el mundo y,
                                                                                              por medio de las vacunas,
                 a) 915                           b) 435        8                             se salvó la vida de 37
                                                                                              millones de personas en
              Solución                                                                        el año 2015.
                                                                                              Redacta un párrafo sobre
                                                                                              la importancia de la
              El criterio de divisibilidad del 9 dice que la suma de las cifras debe ser un múltiplo de 9;   matemática en la medicina.
              por lo tanto, sumamos las cifras y vemos qué número nos permite obtener dicho
              múltiplo.


              a.    9 1 1 1 5 5 15

              Resulta conveniente escribir el número 3 para que la suma nos dé 18.

                                                                                               Las vacunas previenen
              b.   4 1 3 1 5 1 8 5 20                                                          muchas enfermedades.

              Resulta conveniente escribir 7, por ejemplo, para obtener 27, que es múltiplo de 9.

              Los números quedan así:


                                              9153 y 43 578










                                                                                                                      57]]></page><page Index="57"><![CDATA[Teoría de números

                 c.  504 5 9 3 n MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Completa las afirmaciones con una de las palabras   5.  Forma el conjunto de los divisores de cada
                 mostradas.                                           número indicado.


                      factor         divisor        múltiplo          a.  18


                 a.  El             de un número natural es aquel     b.  25
                     que lo divide exactamente.
                                                                      c.  32
                 b.  En la expresión a 3 b, b se denomina      .

                 c.  Al producto de dos números se lo llama           d.  48
                                 de cualquiera de los dos números.

                                                                      e.  72
              2.  Determina los conjuntos de los múltiplos de los
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 números indicados. Escribe los ocho primeros
                 elementos.                                           f.   100

                 a.  3                                            6.  Subraya las afirmaciones correctas.

                                                                      a.  El 1 es múltiplo de todos los números naturales.
                 b.  4
                                                                      b.  El conjunto de los múltiplos de los números
                 c.  7                                                    naturales es infinito, excepto el conjunto de los
                                                                          múltiplos del 0.
                 d.  9
                                                                      c.  Todo número es múltiplo de sí mismo.

                 e.  8                                                d.  Ningún número es divisor de sí mismo.


                 f.  10                                               e.  El conjunto de los divisores de todos los números
                                                                          naturales es infinito.
              3.  Tacha los elementos que no correspondan
                 a los conjuntos.                                     f.   El 1 es divisor de todos los números.

                 M  5 {0, 1, 2, 4, 6, 7, 8,…}                     7.  Relaciona la divisibilidad de un número con el criterio.
                   2
                 M  5 {0, 3, 6, 12, 15, 18, 21,…}                     Para 9                  Si termina en cifra par.
                   6
                 M  5 {0, 11, 21, 33, 44, 55, 71,…}                  Para 10                  Si la suma de las cifras
                                                                                              da múltiplo de 9.
                   11
                                                                                              Si la cifra de las unidades
                 M  5 {0, 10, 100, 200, 290,…}                        Para 5
                   100                                                                        es 0 o 5.
              4.  Calcula el valor del factor desconocido.            Para 3                  Si es divisible entre 2 y 3.

                                                                                              Si las dos últimas cifras forman
                 a.  400 5 25 3 n                                     Para 4                  un número múltiplo de 4.
                                                                                              Si la cifra de las
                 b.  512 5 n 3 8                                      Para 6                  unidades es 0.
                                                                                              Si la suma de sus cifras
                                                                      Para 2
                                                                                              es múltiplo de 3.

         58]]></page><page Index="58"><![CDATA[Pensamiento numérico

                  Número MUESTRA EDITORIAL





              8.  Escribe una cifra adecuada para que cada número     11.  Resuelve el problema.
                 sea divisible:
                                                                      Una fábrica de jabones cuenta con cajas de
                 a.  Entre 3.                                         empaques para 2, 3, 5 y 6 jabones. Si la fábrica ha
                                                                      producido 520 jabones, ¿en qué tipo de cajas se
                    3       4      5   2    61        47    17        pueden empacar estos sin que sobre ningún jabón?


                    3   1
                                                                        Datos       Razonamiento      Operaciones
                    3   56    54  4    79  1    11  213    5   498

                 b.  Entre 6.                                                       Debo


                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                       6    4      9        27      38    7   6    81
                    521         5020    34  14      7708    4160


              9.  Encierra los números que son, a la vez, divisibles
                 entre 3, 5 y 10.


                 55        72        90        665       343

                 550       673       1205      3000


                 5110      6705      2678      43 110

                 54 892    77 000    55 555                         Trabajo colaborativo
                                                                    Organicen siete grupos de trabajo. Cada grupo
              10.  Marca con una X si el número es divisible entre el   escribirá en un cartel, un criterio de divisibilidad al cual
                 número de cada columna.                            le adjuntará un ejemplo para exponer en clase.

              Divisible    2     3    4    5     6    9    10
              entre                                                 Analicen y respondan las siguientes preguntas:
                    27
                                                                    •   ¿Cuál es el menor número primo mayor que 100?
                    243                                             •   ¿Cuáles son sus divisores?

                    520

                    905
                                                                    Indaguemos
                    648
                                                                    Investiga el criterio de divisibilidad para 7. Explícaselo
                   1 782                                            a tus compañeros y compañeras con un ejemplo.

                  46 401
                                                                    Investiga el conjunto de múltiplos y divisores de 0 y 1.
                  33 510                                            Comparte con tus compañeros y compañeras las
                                                                    conclusiones.





                                                                                                                      59]]></page><page Index="59"><![CDATA[Teoría de números

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 2. Números primos y números compuestos




                                         Reto matemático
                  5      2      8
                                        ¿Qué número falta?
                  35    16      ?
                3   4  3   5  3   6
                                        A. 72         B. 10         C. 11          D. 16

                                        Los criterios de divisibilidad y su uso nos permiten determinar cuándo un número es
                                        primo o compuesto.

                                        Vamos a abordar este tema a partir de un ejemplo.
                                        Ricardo compró 7 patos y quiere repartirlos en jaulas, pero en grupos de cantidades iguales.
                                        ¿Cuantas formas de acomodarlos existen? Y si compra otro pato más, ¿de qué manera los
                                        puede acomodar, cumpliendo que sean grupos de igual número de individuos?

                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              Interdisciplinariedad     Buscamos los divisores de 7.
              Matemática
              e historia                    7 4 1 5 7          7 4 7 5 1   El número 7 tiene 2 divisores que son el número

                                                                           1 y el 7. Por lo tanto, el 7 es un número primo.
              Eratóstenes de Cirene (276 a. C.       D  5 {1, 7}
              - 194 a. C.), matemático,               7                    Si compra 7 patos puede formar dos grupos.
              astrónomo y geógrafo griego,
              fue la primera persona en   Buscamos los divisores de 8.
              calcular para el planeta Tierra
              el diámetro, la circunferencia
              y la inclinación de su eje, así   8 4 1 5 8       8 4 4 5 2
              como su distancia hasta el Sol.                              El número 8 tiene 4 divisores que son 1, 2, 4 y 8.
              Conociendo la divisibilidad   8 4 2 5 4          8 4 8 5 1   Por lo tanto, el 8 es un número compuesto.
              entre 4, ideó intercalar cada
              cuatro años un día adicional en                              Si compra 8 patos puede formar 4 grupos.
              los calendarios, produciendo         D  5 {1, 2, 4, 8}
                                                     8
              el año bisiesto. Se le debe la
              creación de la criba que lleva
              su nombre para obtener todos   Un número es primo si tiene dos divisores, el 1 y el mismo número.
              los números primos menores   Un número es compuesto si tiene más de dos divisores positivos, es decir, tiene al
              que un número dado. La     menos un divisor además del 1 y de él mismo.
              versión informática de este
              procedimiento es un método
              para comparar la eficacia   Ejemplo 1
              de algunos lenguajes de
              programación.             Determina si los números 1, 17 y 24 son primos o compuestos. Obtén sus divisores.

                                        Solución

                                                                                               Como tiene un solo
                                          1  1 4 1                               D1 5 {1}      divisor, no es primo ni
                                                                                               compuesto.
                                                                                               Como tiene dos
                                                                                               divisores, el 1 y él
                                         17 17 4 1 5 17  17 4 17 5 1             D17 5 {1, 17}
                                                                                               mismo, es un número
                                                                                               primo.
                                             24 4 1 5 24   24 4 2 5 12   24 4 3 5 8
                                                                                 D8 5 {1, 2, 3, 4, 6,   Como tiene ocho
                                         24 24 4 4 5 6    24 4 6 5 4   24 4 8 5 3              divisores, es un número
                                                                                 8, 12, 24}    compuesto.
                                             24 4 12 5 2   24 4 24 51


         60                                         DBA 1 (EV. 4) Interpreta y justifica cálculos numéricos de factores o divisores al solucionar problemas.]]></page><page Index="60"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              2.1 Descomposición factorial de un número

              Existen varias estrategias para descomponer un número en sus factores primos. Vamos a
              revisar algunas de ellas.


              Diagrama de árbol
              Para descomponer un número compuesto mediante el diagrama de árbol,
              realizamos lo siguiente:

                                                                                              Cátedra de
                            48                   Primero, descomponemos el número en 2        emprendimiento
                                                 factores cualesquiera.                       En el mundo del dinero y
                     6              8                                                         los bancos, los números
                                                 Si los factores son números compuestos, los   primos son útiles porque
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                 seguimos descomponiendo en 2 factores        se pueden emplear
                 2      3       2       4                                                     para codificar cualquier
                                                 hasta obtener factores primos.
                                                                                              tipo de información de
                                    2       2    Los factores primos los escribimos           manera segura, como
                                                 como potencias.                              la contraseña del cajero
                               4
                          48 = 2  × 3
                                                                                              automático o cuando se
                                                                                              hacen transferencias de
              Descomposición por divisiones sucesivas                                         dinero por aplicaciones
                                                                                              telefónicas. Esto muestra
              Para descomponer un número compuesto por divisiones sucesivas, procedemos de la   cómo la seguridad
              siguiente manera:                                                               cibernética y los negocios
                                                                                              trabajan juntos para
                                                                                              proteger nuestras
                                                 Escribimos a la izquierda el número que      cosas importantes y
                            48  2                queremos descomponer, separado por una       mantenernos seguros en

                            24  2                línea vertical.                              el mundo digital en el que
                                                                                              vivimos.
                            12  2                Lo dividimos entre el menor factor primo
                                                 que se escribe a la derecha, y el resultado de
                            6   2                la división lo escribimos a la izquierda.
                            3   3                Continuamos realizando divisiones sucesivas

                            1                    hasta obtener 1.

                                                                                              ¿Qué crees que podrían
              Ejemplo 2                                                                       tener en común los
                                                                                              números primos y la
              ¿Cuál es la correcta descomposición en factores primos para el número 40?       seguridad de la contraseña
                                                                                              del cajero automático?
              a.  4 3 10    5      40


              b.  2 3 5 3 4  5     40
              c.  2  3 5    5      40
                  3

              Solución
              La correcta descomposición es la del literal c.



               DBA 1 (EV. 4) Interpreta y justifica cálculos numéricos de factores o divisores al solucionar problemas.  61]]></page><page Index="61"><![CDATA[Teoría de números

                               MUESTRA EDITORIAL





                                        Dos de los conceptos más importantes en matemática son el del mínimo común
                                        múltiplo (mcm) y el del máximo común divisor (mcd).

                                        2.2 Mínimo común múltiplo (mcm)


                                        Tres amigos participan en una competencia ciclística. Juan se demora 3 minutos en dar la
                                        vuelta a la pista; María, 2 minutos, y Pepe, 4 minutos. Los tres salen juntos. ¿Cuánto tiempo
                                        tiene que pasar hasta que los tres se vuelvan a encontrar en un mismo lugar?

                                        Para conocer en qué tiempo se volverán a encontrar, debemos obtener el mínimo
                                        común múltiplo (mcm).
                                        Método 1
               Interculturalidad
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                        Obtenemos los 15 primeros múltiplos de 3, 2 y 4.
               A pesar del nombre, los
               números arábigos fueron   M3 5 {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45}
               inventados en India en
               el siglo V.
               Indaga y responde:        M2 5 {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30}
               ¿por qué se llaman
               números arábigos?
                                         M4 5 {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60}


                                         Identificamos los múltiplos comunes entre los
                                         tres conjuntos.                                     Estos son 12 y 24
                                         De los múltiplos comunes, obtenemos el menor
                                         de ellos. Este corresponde a 12.                 12 es el mcm de 3, 2 y 4

                                         Si un número es múltiplo del otro, el mcm es el número mayor.

                                         Si dos números son primos entre sí, el mcm es el producto entre ellos.


                                        Método 2

                                        Obtenemos el mcm mediante el método abreviado. Para esto, usamos la descomposición
                                        de factores primos hasta obtener 1 en cada uno de ellos.


                                          2   3   4   2                         2
                                                             El mcm de 2, 3 y 4 5 2  3 3 5 12
                                          1   3   2   2
                                              3   1   3
                                                          Juan, María y Pepe se volverán a encontrar en 12 minutos.
                                              1   1



                                         El máximo común divisor (mcd) de dos o más números naturales es el mayor de los
                                         divisores comunes de todos los números






         62                               DBA 1 (Ev. 4) Interpreta y justifica cálculos numéricos al solucionar problemas 2.
                                          DBA 2 (Ev. 4 G. 7) Calcula e interpreta el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo entre números enteros.]]></page><page Index="62"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              2.3 Máximo común divisor (mcd)

              Se tienen 30 chocolates, 48 chupetes y 18 paquetes de galletas.
              Con estos dulces se armarán bolsas de caramelos. Se necesita
              llegar a un número de bolsas, de tal manera que alcancen
              exactamente los chocolates, los caramelos y los chupetes, y
              que no sobre nada. ¿cuál es el número máximo de bolsas que
              se pueden hacer?


              Para conocer el número máximo de bolsas, es necesario
              obtener el máximo común divisor (mcd).


              Método 1
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              Obtenemos los divisores de 30, 48 y 18.


                 D30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}


                 D48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}



                 D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}


              Identificamos los divisores comunes entre los       Estos son 1, 2, 3 y 6
              tres conjuntos.
              De los divisores comunes, obtenemos el mayor de   6 es el (mcd) de 30, 48 y 18
              ellos. Este corresponde a 6.


              Método 2

              Obtenemos el mcd mediante el método abreviado. Para esto, usamos la descomposición
              de factores primos, siempre y cuando esta división sea exacta para todos los números.


               30 48 18     2     El mcd de 30, 48 y 18 5 2 3 3 5 6

               15 24    9   3
                5   8   3       Se pueden hacer máximo 6 bolsas con los dulces.



               El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números naturales es el menor de los
               múltiplos comunes de todos los números, diferentes de cero.










                                                                                                                      63]]></page><page Index="63"><![CDATA[Teoría de números

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Escribe los divisores de cada número y determina si son primos o compuestos.
                         D  5 {          }
                 a.  15   15

                         D  5 {          }
                 b.  17   17

                         D  5 {          }
                 c.  35   35
                         D11 5 {         }
                 d.  11
                         D  5 {          }
                 e.  50   50

              2.  Usando la criba de Eratóstenes, encuentra los números primos menores que 100.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 a.  Colorea los múltiplos de 2 mayores a 2.
                 b.  Colorea los múltiplos de 3 mayores a 3.
                 c.  Colorea los múltiplos de 5 mayores a 5.

                 d.  Colorea los múltiplos de 7 mayores a 7.
                 e.  Los números que se han quedado sin colorear son los números primos menores que 100.

                                          1    2    3    4    5    6    7   8    9    10
                                          11  12   13   14   15   16   17   18   19   20
                                         21   22   23   24   25   26   27   28   29   30
                                         31   32   33   34   35   36   37   38   39   40
                                         41   42   43   44   45   46   47   48   49   50
                                         51   52   53   54   55   56   57   58   59   60
                                         61   62   63   64   65   66   67   68   69   70
                                         71   72   73   74   75   76   77   78   79   80
                                         81   82   83   84   85   86   87   88   89   90
                                         91   92   93   94   95   96   97   98   99  100


                                          Los números primos menores que 100 son:





              3.  Descompón los números en factores primos por medio de divisiones sucesivas.

                                          a.  1   1   0           b.  1   2   0

















         64]]></page><page Index="64"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





                                          c.  8   8               d.  4   5












              4.  Utiliza un diagrama de árbol para descomponer los números en factores primos.


                 a.                        b.                          c.


                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                            140                    60
                                                                            90






                         3      3
                                                                                                    3     3
                                                  3      3


              5.  Observa la descomposición y escribe el número al que corresponda.

                 a.    2  3 5 2     5
                        2

                 b.    2 3 3 3 5 2    5

                 c.    2 3 3 3 5 3 7 5


                 d.    2  3 7      5
                        3
              6.  Completa el diagrama de árbol.


                 a.                               b.


                            280                              80

                                    4                              10

                   7                               2                   2

                      2                                      2

                         3      3                            3





                                                                                                                      65]]></page><page Index="65"><![CDATA[Teoría de números

                               MUESTRA EDITORIAL





              7.  Encuentra los 10 primeros múltiplos de cada número.

                 a.   M  = {                               }
                        4

                 b.   M  = {                               }
                        5
                 c.   M  = {                               }
                        6

                 d.   M  = {                               }
                        8
                 e.   M  = {                               }
                        10
                 f.   M = {                                }
                        12
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 •   ¿Cuáles son los múltiplos comunes entre los conjuntos M  y M ?
                                                                       4   5
                 •   ¿Cuáles son los múltiplos comunes entre los conjuntos M  y M ?
                                                                       6
                                                                           8
                 •   ¿Cuáles son los múltiplos comunes entre los conjuntos M  y M ?
                                                                       4   8
                 •   ¿Cuál es el mcm de 4, 6, 8?


                 •   ¿Cuál es el mcm de 5 y 6?

              8.  Encuentra el mcm de los siguientes números.

                                         a.  30 15 40    b.    60 48      c.    20 36






                                            mcm 5            mcm 5           mcm 5


              9.  Resuelve el problema

                 Lorena visita al odontólogo cada 2 meses, Luis lo visita cada 3 meses y Carla lo visita cada 6 meses. Si en el mes de
                 enero visitaron al dentista los tres, ¿en qué mes se volverán a encontrar?

                                           Datos          Razonamiento       Operaciones
                                                         Debo















         66]]></page><page Index="66"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              10.  Encuentra los divisores de cada número.
                 a.   D  = {                              }
                       4
                 b.   D  = {                              }
                       5
                 c.   D  = {                              }
                       6
                 •   ¿Cuáles son los divisores comunes entre los conjuntos D  y D ?
                                                                          5
                                                                      4
                 •   ¿Cuáles son los divisores comunes entre los conjuntos D  y D ?
                                                                      5   6
                 •   ¿Cuáles son los divisores comunes entre los conjuntos D  y D ?
                                                                      4   6
                 •   ¿Cuál es el mcd de 18 y 20?

                 •   ¿Cuál es el mcd de 18 y 36?
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              11.  Encuentra el mcd de cada grupo de números.

                                         a.  30 16 20    b.    220 120     c.   72 24






                                            mcd 5            mcd 5            mcd 5


              12.  Resuelve los siguientes problemas.

                 a.  Lorena toma una pastilla A cada tres horas, una pastilla B cada 4 horas, y una pastilla C cada
                     6 horas. Si toma las tres pastillas juntas, ¿en qué tiempo volverá a tomar las tres pastillas?







                 b.  Vinicio quiere instalar en el piso baldosas cuadradas del mayor tamaño posible. Si el piso mide 120 cm de largo
                     y 40 cm de ancho, ¿cuánto medirá el lado de la baldosa?







               Trabajo colaborativo
               Encuentren en parejas los números primos mayores que 100 y menores que 150. Utilicen la criba de Eratóstenes
               para resolver este ejercicio.
               Elaboren un cartel con dos problemas, uno para calcular el mcm y otro para calcular el mcd. Luego, resuélvanlos con
               la ayuda de toda la clase.


                Actividad Indagatoria
               Averigua cuál es el proceso para saber si un número es divisible entre 8. Pregunta a un adulto en qué momento de
               su vida utilizó el cálculo del mcm y de qué manera lo hizo.



                                                                                                                      67]]></page><page Index="67"><![CDATA[Teoría de números

                               MUESTRA EDITORIAL
                      Proyecto interdisciplinario



              Economía familiar
              Justificación/problemática

              Es fundamental trabajar sobre lo importante que es tener
              una adecuada economía familiar. Cuando vamos a
              comprar un producto, podemos encontrarlo en diferentes
              presentaciones y cantidades. Por eso, es trascendental
              comparar precios, cantidades y características.

              Objetivos
              Identificar la responsabilidad de administrar la economía
              familiar de forma compartida.

              Recursos
              •   Facturas de supermercados

              •   Cartulinas y marcadores

              Actividades

              Formen grupos de trabajo y  realicen las siguientes
              actividades:

              •   Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta  Lleven  facturas de supermercado a su aula.

              •   Comparen precios de artículos que sean iguales.
              •   Realicen la comparación de productos y sus precios;
                 luego, elaboren una lista de los productos que tengan
                 mejor precio y mejor calidad.
              •   Revisen las facturas y determinen aquellos productos
                 cuya compra no sea importante.

              •   En casa, conversen con los miembros de las familias
                 acerca de la economía familiar.

              •   Tomen nota de las acciones que pondrán en práctica
                 en casa  para  lograr  el objetivo de  administrar
                 responsablemente la economía familiar.




                Evaluación
                •   En parejas, diseñen un plan de economía familiar donde se determinen productos a buen precio y de buena
                   calidad.

                •   Justifiquen el plan que diseñaron y de qué manera aporta en la economía.

                •   Recuerden que el precio de los productos puede variar de acuerdo con la forma en la que son empacados, así
                   como con respecto a la marca y la cantidad.




         68]]></page><page Index="68"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL
                   Competencia digital



              Multiplico y divido con la hoja de cálculo de Google
              Aprende a utilizar la hoja de cálculo de Google para resolver
              multiplicaciones y divisiones.

              1. Necesitas tener una cuenta de Google. Si no la tienes, créala
                 accediendo a través del  enlace t.ly/H6oBW, o pide ayuda a
                 tus padres.










                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta














              2. Una vez que tengas la cuenta, accede a la hoja de
                 cálculo de Google, dando clic en los nueve puntitos.

              3. Crea una hoja de cálculo en blanco.

              4.  Utiliza los siguientes formatos para realizar operaciones
                 de multiplicación y división.

                 5 (escribe el factor 1) 3 (escribe el factor 2) oprimir
                 Enter/Intro

                 5 (escribe el dividendo) 4 (escribe el divisor) oprimir
                 Enter/Intro


                 Ejemplos:

                                           A                                      A

                                1  ? 5254875*254       Enter/Intro     1         64738250

                                           A                                      A
                               1   ? 571634864/912     Enter/Intro     1            78 547








                                                                                                                      69]]></page><page Index="69"><![CDATA[Teoría de números



                        Compruebo mis aprendizajes



              1.  Escribe los múltiplos o los divisores según corresponda.
                 M  5
                   3
                 D  5
                   15
                 M  5
                   12
                 D  5
                   35
              2.  Los divisores de 120 son:
                 a.  1, 3, 5, 7, 15.
                 b.  1, 2, 3, 4, 5
                 c.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

                 d.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60, 120
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              3.  La descomposición factorial de 1125 es:
                 a.  2 3 3  3 5 2
                          2
                 b.  2 3 3  3 5 2
                          3
                      3
                 c.  3  3 5 2
                 d.  3  3 5 3
                      2
              4.  La descomposición factorial de 210 es:

                 a.  2 3 3  3 5 MUESTRA EDITORIAL
                          2
                 b.  2 3 3 3 5 3 7
                 c.  3 3 5 3 7
                 d.  3 3 5 3

              5.  Hallar el mcd de los siguiente números:
                 a.  300 y 198
                 b.  450 y 600
              6.  Hallar el mcm de los siguiente números:
                 a.  5, 15 y 20
                 b.  14, 32 y 40
              7.  Juan y Santiago comen en la misma taquería, pero Juan asiste cada 20 días y Santiago cada 38. ¿Cuándo volverán
                 encontrarse?




              8.  Una empresa de turismo con sede en Cartagena ofrece tres diferentes cruceros:
                 Crucero 1: tarda 6 días en ir y regresar a su punto de inicio.
                 Crucero 2: tarda 8 días en ir y regresar a su punto de inicio.
                 Crucero 3: tarda 10 días en ir y regresar a su punto de inicio.
                 Si los tres cruceros partieron al mismo tiempo hace 30 días, ¿cuántos días faltan para que vuelvan a partir el mismo
                 día todos los cruceros?





         70]]></page><page Index="70"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              Evaluación sumativa
              9.  Oscar tiene una bolsa con 30 caramelos y quiere separarlos en grupos de igual tamaño. ¿De cuántas formas puede
                 hacerlo?

              10.  Julia le dice a su amiga que ellas viven en la misma cuadra, su amiga quería saber el número de la casa de Julia, a lo
                 que ella responde: “el número de mi casa es el número más grande que es múltiplo de 7 y que a su vez es un divisor
                 de 56”. ¿Cuál es el número de la casa de Julia?

              11.  David pensó un número y le dijo a Juan Pablo: si lo divides entre 2, el residuo es cero, si lo divides entre 7, el residuo
                 es 2, si lo divides entre 5, el residuo es 1 y el número es menor que 50. ¿Cuál fue el número en el que pensó David?

              12.  ¿Cuántos números mayores o iguales que 1 y menores o iguales que 100 son múltiplos de 2 y 5 a la vez?

              Coevaluación
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              Resuelvan el siguiente problema en parejas:
              13.  En una estación de bus hay dos rutas A y B, la ruta A pasa cada 30 minutos y la ruta B cada 50. Si coinciden en un
                 determinado momento, ¿dentro de cuántos minutos se volverán a encontrar en la estación?









                                                          RUTA A                RUTA  B










              Autoevaluación

              14.  Pinta según la clave

                                                                                                         Claves
                        Encuentro los múltiplos de un número dado.
                        Determino los divisores de un número dado.                                    Puedo ayudar
                                                                                                         a otros.
                     Contenidos  Determino en mcm y el mcd de dos o más números                       Resuelvo por

                                                                                                       mí mismo.
                        Resuelvo problemas que implican el cálculo del mínimo común múltiplo.
                        Resuelvo problemas en los que hay que determinar el máximo común divisor.       ¡Necesito
                                                                                                         ayuda!
                 Metacognición                                                                          Estoy en

                 ¿Aclaraste dudas y necesidades con los temas aprendidos?                               proceso.

                 ¿En qué momento de tu vida puedes utilizar algunos de los temas aprendidos?
                 ¿Para qué te servirá lo aprendido?



                                                                                                                      71]]></page><page Index="71"><![CDATA[MUESTRA EDITORIAL
                Unidad 3                      Fracciones y decimales


                El Parque Nacional Natural Serranía del Chiribiquete hace parte del
                conjunto de áreas protegidas del Sistema de Parques Nacionales
                Naturales de Colombia que se constituyeron para la protección y la
                conservación de la cuenca amazónica. En el año 1989, se declaró que el
                parque constaba de un área de 1 298 955 hectáreas en los departamentos
                de Caquetá y Guaviare. En la última década, y debido a una serie de
                estudios y expediciones científicas realizadas que muestran su
                importancia natural y cultural, fue ampliado en dos ocasiones,
                consolidándose con un área total de 4 266 169 hectáreas, estando
                presente, en la actualidad, en municipios del departamento de Caquetá
                como Solano, San Vicente del Caguán y Cartagena de Chairá; y del
                Guaviare como Calamar, San José de Guaviare y Miraflores, siendo el área
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                protegida terrestre con mayor extensión del país.]]></page><page Index="72"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL







                                               Preguntas orientadoras

                                              1.  ¿Cuáles de las áreas protegidas de Colombia conoces?

                                              2.  ¿Qué característica debe tener un lugar para que sea declarado área
                                                  protegida?
                                              3.  ¿Qué propondrías para que un parque nacional se conserve por
                                                  muchos años?



                                                                   1.  Relación de orden entre fracciones
                                                                       y decimales
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                                   2.  Multiplicaciones y divisiones de fracciones
                                               Fracciones y        3.  Operaciones con decimales
                                                decimales          4.  Razones y proporciones

                                                                   5.  Proporcionalidad directa
                                                                   6.  Proporcionalidad inversa





                                              EBC

                                              1.  Utilizo números racionales, en sus distintas expresiones (fracciones, razones,
                                                  decimales o porcentajes) para resolver problemas en contextos de medida.
                                              2.  Analizo las propiedades de correlación positiva y negativa entre variables, de
                                                  variación lineal o de proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversa
                                          Parque Nacional Natural Sierra de Chiribiquete, Dptos. Caquetá y Guaviare/@BlackBoxGuild. (s.f.).
                                                  en contextos aritméticos y geométricos.
                                              3.  Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en
                                                  diferentes contextos y dominios numéricos.
                                              4.  Justifico el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de
                                                  proporcionalidad directa e inversa.





                                              DBA

                                              1.  Propone y justifica diferentes estrategias para resolver problemas con números
                                                  enteros y racionales (en sus representaciones de fracción y de decimal), en
                                                  contextos escolares y extraescolares.
                                              2.  Representa en la recta numérica la posición de un número, utilizando diferentes
                                                  estrategias.
                                              3.  Interpreta y justifica cálculos numéricos al solucionar problemas.
                                              4.  Realiza cálculos numéricos, organiza la información en tablas, elabora
                                                  representaciones gráficas y las interpreta.



                                                                                                                      73]]></page><page Index="73"><![CDATA[Fracciones y decimales

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 1. Relación de orden entre fracciones y decimales




                                         Reto matemático

                                        Con una regla, traza 3 segmentos. Divide el primero en 3 partes iguales, el segundo, en
                                        4 partes iguales y el tercero, en 6 partes iguales.



                                        1.1 Relación de orden con fracciones
              Competencia
              matemática                                                                                   3
                                        Susana compró 3 cintas de colores para adornar un cojín. La cinta roja costó $  2  ; la cinta
              Para ordenar números      verde costó $  7  ; y la cinta blanca costó $  7  . ¿Qué cinta fue la más económica?
              decimales, primero se                 3                       5
              debe comparar la parte
              entera. Si es igual, se   Para conocer qué cinta fue la más económica, debemos ordenar las fracciones. Primero
              compara la parte decimal.   se obtiene el mcm de los denominadores, y se convierten todas las fracciones en
              Se igualan las cifras     homogéneas mediante el método de amplificación.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              decimales: se comparan las
              décimas; si son iguales, se
              comparan las centésimas,   2   3   5  2
              y así sucesivamente hasta   1  3   5  3
              encontrar una diferencia.                          2 3 3 3 5 5 30 mcm
                                             1   5  5
                                                 1


                                        Se divide el mcm entre el denominador y se multiplica por el numerador.




                                                                          Entonces,       .



                                        La cinta más económica es la verde.

                                        1.2 Relación de orden con decimales


                                        Camila, Patricio y Mateo registran sus medidas. ¿Quién tiene menor estatura?


                                        Para conocer quién tiene menor estatura, es necesario hacer la representación en la
                                        semirrecta numérica.


                                                                                        1,45     1,65
                                        0                                 1                  1,60            2


                                        Si 1,45 , 1,60 , 1,65, Camila tiene menor estatura.


                                         Para ubicar números decimales, se divide la recta numérica en décimas o centésimas
                                         a fin de ubicar las cifras decimales del número.





         74                                 DBA 3 (Ev. 1) Determina criterios de comparación para establecer relaciones de orden entre dos o más números.]]></page><page Index="74"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              1.3 Relación de orden en las fracciones y los decimales

              Sucesiones decrecientes con fracciones

                                                                  3
              Juana cosechó un total de 512 zapotes. Cada día cosechó las   que el día anterior. Si cada
                                                                  4
              día se cosecha manteniendo la misma relación, ¿cuántos zapotes cosechará el quinto día?  Cátedra
                                                                                             de salud y
                                                                                             bienestar
              Para conocer la cantidad de zapotes que cosecha al quinto día, es necesario multiplicar
              3  hasta obtener el valor que corresponde al quinto día.                       Saber convertir fracciones
              4                                                                              a decimales y viceversa
                                                                                             es crucial para minimizar
                           3                3               3                3               errores en la dosificación
                        3                3               3               3                   de medicamentos, esto
                           4                4               4                4               garantiza la seguridad
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                                                             y efectividad de un
                 512             384              288             216              162       tratamiento médico. Las
                                                                                             dosis frecuentemente
                                                                                             se expresan, tanto en
              Juana cosechó el quinto día 162 piñas.                                         forma de fracciones (por
                                                                                                     1
                                                                                             ejemplo,   ml), como en
                                                                                                     2
              Ejemplo 1                                                                      decimales (por ejemplo,
                                                                                             0,5 ml). Comprender
                                                                                             la equivalencia entre
                                                             2                               estos dos términos es
              ¿Cuál es el 4° término de una sucesión si el patrón es    y su primer término es 81?  esencial para una correcta
                                                             3
                                                                                             administración. Los
                                    2                2               2                       profesionales de la salud
                                 3               3                3                          tienen la responsabilidad
                                    3                3               3                       de dominar esta
                                                                                             habilidad, para asegura la
                         81                54              36               24               interpretación precisa de
                                                                                             recetas para sus pacientes.
              1.4 Relación de orden entre decimales y fracciones


              Un grupo de amigos va de excursión a un parque nacional, y cada uno aporta una cierta
              cantidad de dinero. ¿Quién aportó más dinero?


                                            Dinero aportado                                  Si un medicamento se
                                                                                             administra en una dosis de
                                                                                             0,2 ml y otro en una dosis
                               Ricardo     Vinicio     Rosa       Henry                          1
                                                                                             de    ml, ¿crees que son
                                                                                                 5
                                                                                             equivalentes? ¿Por qué sí o
                                                                                             por qué no?
                                                3                     3
                                $23,50     $22         $22,80    $23
                                                5                     4













              DBA1 (Ev. 4) Interpreta y justifica cálculos numéricos al solucionar problemas.                         75]]></page><page Index="75"><![CDATA[Fracciones y decimales








                                        Para conocer quién aportó más dinero, hay que comparar los números de los valores
                                        dados por cada uno. Como algunos valores están expresados en decimales y otros en
                                        fracciones, se deben convertir todos a decimales, o todos a fracciones. Luego, se procede
                                        a compararlos aplicando los procesos aprendidos.



                                                   Todos a fracciones                    Todos a decimales



                                          3    113    114   95
                                          5     5      5     4  mcm 5 20         23,50; 22,60; 22,80; 23,75

                                          470    452   456    475                Se ordena de mayor a menor.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
               Competencia                 20    20     20     20
               matemática
                                          Se ordena de mayor a menor.
               Para comparar fracciones                                          23,75 . 23,50 . 22,80 . 22,60.
               y números decimales,        95    47    114    113
               es necesario que todos      4  .   2  .   5  .  5
               estén expresados de la                                            Henry aportó más dinero.
               misma forma, es decir,     Henry aportó más dinero.
               solo fracciones o solo
               decimales.      MUESTRA EDITORIAL
                                        1.5 Redondeo de números decimales

                                        Se desea aproximar a las décimas los números 3,86 y 3,42. ¿A qué número se aproxima
                                        cada uno?

                                        Para conocer el número aproximado a las décimas, es necesario representarlo en la
                                        semirrecta numérica.

                                                                            3,42                   3,86

                                             0       3    3,1  3,2   3,3  3,4  3,5   3,6  3,7  3,8   3,9   4



                                             3,42 > 3,5                 3,86 > 3,9


                                         Para redondear números decimales, se analiza la cifra que se quiere eliminar. Si esta es
                                         mayor o igual a 5, se aumenta en 1 la cifra correspondiente al valor posicional que se
                                         va a aproximar; si es menor a 5, la cifra queda igual.















         76                                                        DBA1 (Ev. 4) Interpreta y justifica cálculos numéricos al solucionar problemas.]]></page><page Index="76"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Escribe en cada caso la fracción que se solicita.  5.  Completa la tabla y redondea cada número.

                                         3                                                     A los       A los
                 a.  Una fracción mayor a                            Número     A la unidad
                                         4                                                   décimos    centésimos
                 b.  Fracción impropia mayor que 3.                   4,876
                                                                      10,654
              2.  Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones:
                                                                      0,687
                      3   5  7   7
                 a.     ;   ;   ;                                     7,218
                      4   6  8   2
                      4   3  8   3
                 b.     ;   ;   ;                                 6.  Resuelve el siguiente problema:
                      6   9  3   2
                      6   4  2   6                                    Cada uno de los miembros de un grupo de amigos
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 c.     ;   ;   ;
                      5   6  4   10                                   tiene igual número de botellas de agua para vender. Al
                                                                      final del día, Vinicio vende   7   del número total de sus
              3.  Ordena de menor a mayor los siguientes decimales:                          10
                                                                                           7
                                                                                                   5
                                                                      botellas; Ricardo vende  ; Henry   y Jorge   8  .
                                                                                           4       6        15
                 a.  0,98; 2,56; 2,65; 0,78; 2,54; 4,21
                                                                      ¿Quién vendió más?
                                                                        Datos          Solución        Respuesta



                 b.  3,97; 3,6; 3,63; 3,583; 3,240; 3,64






                 c.  2,3; 2,56; 1,25; 4,47; 4,5; 4,19




                                                                   Trabajo colaborativo
                                                                   Formen parejas de trabajo y resuelvan la siguiente
              4.  Ordena los siguientes números en orden ascendente:  situación en su cuaderno.

                      3      5      2    4                         Tres amigos realizaron una competencia atlética.
                 a.    ; 0,25;   ; 2,1;   ; 4;                     Carlos recorrió 6,72 m; Fausto 6,07 m; y José 6,7 m de la
                      4      8      6    10
                                                                   pista. ¿Quién hizo el mayor recorrido?



                                                                   Actividad indagatoria
                      3     4      2     5                         Pregunta a cinco miembros de tu familia acerca de su
                 b.    ; 0,5;   ; 3,5;   ; 3,2;
                      8     5      6     9                         estatura.

                                                                   Luego, ordénalas y escribe el nombre de quienes
                                                                   tienen mayor y menor altura.






                                                                                                                      77]]></page><page Index="77"><![CDATA[Fracciones y decimales

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 2. Multiplicaciones y divisiones de fracciones




                                         Reto matemático
                                                 2
                                        Luis infló   de los globos que tenía en una funda; al siguiente día, infló   1 2   de estos
                                                 5
                                        globos. ¿Qué fracción de los globos le falta inflar?


                                        2.1 Multiplicación de fracciones
              Competencia
              matemática
                                                                                                      2
                                                    3
                                        Carmen tiene   de un galón de agua para lavar su auto. Si del total se le regó   , ¿qué fracción
                                                    5
              Multiplicación de         de agua se derramó?                                           3
              fracciones
                                                                                  2
                                                                                        2
               a   3  c   5  a 3 c      Para conocer la respuesta, se deben obtener los   de  .
                                                                                        5
                                                                                  3
               b     d     b 3 d
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta





                                         3  partes de agua     2  partes de agua            6   partes de agua
                                         5                     3                            15
                                        El resultado de la multiplicación es la intersección de los dos gráficos.


                                         3  de   3   5   2   3   3   5   2 3 3   5  6
                                         4    5    3    5     3 3 5    15

                                        A Carmen se le regaron los   6   del agua de su galón.
                                                                15
                                         El producto de fracciones consiste en multiplicar los numeradores y los denominadores
                                         entre sí. El producto de los numeradores será el numerador y el de los denominadores,
                                         el denominador de la fracción resultante.


                                        Ejemplo 1
                                                     3                    1
                                        Luisa compró   4   kg de azúcar. Utilizó   3    kg para endulzar un jugo. ¿Qué cantidad del
                                        azúcar que compró, utilizó?


                                        Solución

                                        Para averiguar la cantidad de azúcar utilizada, se procede así:

                                                        1   3   3   5   3   Si simplificamos, la respuesta es  .
                                                                                                  1
                                                        3     4    12                             4

                                        Cuando se multiplican fracciones, también se puede simplificar de la siguiente manera:

                                                                        1   3   3   5   1  .
                                                                        3    4     4



         78                              DBA2 (Ev. 1) Propone y utiliza diferentes procedimientos para realizar operaciones con números enteros y racionales.]]></page><page Index="78"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              2.2 División de fracciones

                                       5
              Ricardo tiene un botellón con   litros de jugo natural y quiere repartirlo en botellas
                                       2
                                            1
              de   1   de litro. ¿Cuántas botellas de   puede llenar con esa cantidad de jugo?
                 4                          4
              Para saberlo, se realiza una división.





                     1/4         1/4         1/4         1/4         1/4                     Competencia
                           1/2         1/2         1/2         1/2         1/2
                                                                                             matemática

                     1/4         1/4         1/4         1/4         1/4                     Una división de fracciones
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                                                             también se puede resolver
                                                                                             por cálculo de extremos y
              5   litros de jugo se pueden repartir en 10 botellas de   1   de litro.        medios.
              2                                              4
                                                                                               6
              Operación
                                                                                               8  5  6 3 4  5  24  51
              5   4   1   5                5   3   4   5   20          10                      3    8 3 3   24
              2     4                      2    1     2                                        4
              Se plantea la división.      Se invierte el              Se simplifica.        Numerador: producto de
                                                                                             los extremos.
                                           divisor y se multiplica.                          Denominador: producto
                                                                                             de los medios.
              Con esa cantidad de jugo se pueden llenar 10 botellas de   1  .
                                                                 4
               Para hallar el cociente de dos fracciones, se multiplica la primera fracción por la inversa

               de la segunda.   a   4  c   5  a   3  d   5  a 3 d
                            b     d     b     c    b 3 c


              Ejemplo 2

              Resolver la siguiente operación.

                                                6   4   3  .
                                                8    4
              Solución

              Se escribe el recíproco del divisor de la división y se multiplica:

                                                6   3   4 .
                                                8    3
              Se multiplica y se simplifica:

                                       6   3   4   5   6 3 4    5  4   5 1.
                                       8    3    8 3 3     3




               DBA2 (Ev. 1) Propone y utiliza diferentes procedimientos para realizar operaciones con números enteros y racionales.  79]]></page><page Index="79"><![CDATA[Fracciones y decimales

                               MUESTRA EDITORIAL





               Competencia              2.3 Operaciones combinadas con números fraccionarios
               matemática                                       2                                 3
                                        Irene tiene $360. Gasta los    de lo que tiene en alimentación y los    del resto los gasta
                                                                6
               Para comparar fracciones   en pago al banco. ¿Cuánto dinero le sobra?              8
               y números decimales,
               es necesario que todos   Para conocer cuánto dinero le sobra a Irene, se realiza una operación combinada.
               estén expresados de la
               misma forma, es decir,   Se identifican los gastos realizados por Irene.
               solo fracciones o solo
               decimales.                                                    2
                                        Lo que tenía: 360. Gasto en alimentación:   6   3 360

                                                        3     4
                                        Pago en el banco   8   3   6   3 360

                                                                            2
                                                                                      3
                                        Se plantea la operación completa: 360 2   3 360 2   3   4   3 360 .
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                                            6         8     6
                                        Se resuelve mediante un orden jerárquico.
                                              2
                                                        3
                                        360 2   3 360 2   3 (240).
                                              6         8
                                        360 2 120 2 90 5 150

                                             Ejemplo 3
                                             Evalúa la siguiente expresión:

                                                  3    1   4    1    2
                                             a.     2   2  4     3   4  6   1   5
                                                                     3
                                             Para resolver, es importante que respetemos el orden de prelación de las
                                             operaciones:
                                              3    1   4    1    2     5   8     2
                                                                 3
                                              2   2  4     3   4  6   1   5   4     1   1   3
                                                                  10    2
                                                               5   1   1
                                                                        3
                                                               5  30 1 2
                                                                    3
                                                                  32
                                                               5   2
                                             3    4    2     7
                                        b.     3   6   1  3   1  10   5
                                             8
                                        Igual que en la parte a, tenemos en cuenta la jerarquía de las operaciones:

                                         3    4    2     7    3    4     7
                                                              8
                                         8   3   6   1  3   1  10  5   3   3   1  10
                                                              1    7
                                                           5   1
                                                              2   10
                                                              5 1 7   12    6
                                                           5   10   1  10  1  5





         80                              DBA2 (Ev. 1) Propone y utiliza diferentes procedimientos para realizar operaciones con números enteros y racionales.]]></page><page Index="80"><![CDATA[Pensamiento numérico


                     Evaluación formativa




              1.  Encuentra el valor indicado en cada caso.
                         3
                 a.  Los   5   de 25 hojas.

                         6
                 b.  Los   9   de 720 plantas.

                         5
                 c.  Los   8   de 80 flores.
                         7
                 d.  Los  12  de 840 semillas.

              2.  Resuelve gráficamente las siguientes multiplicaciones.
                      3   1                                              2   1
                 a.   5   3  3                                      b.   4   3
                                                                             2
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta






              3.  Simplifica y resuelve las siguientes multiplicaciones.
                      3   1    5                                         4    8    9
                 a.   5   3   3  4                                   c.   6   3   3   3
                          3
                                                                              9
                                                                                   28
                      4    6   MUESTRA EDITORIAL
                                                                               4
                                                                          6
                                16
                 b.   10  3   3   8                                  d.   12  3   3  16
                                                                               7
                           8
              4.  Escribe junto a cada número su recíproco.
                      1                                 9                                 5
                 a.   4                            c.   7                             e.   8
                      6                            d.  42                                 6
                 b.   8                                                               f.   10

              5.  Expresa como potencia.
                      2   2    2    2
                 a.   3   3   3   3   5
                                    3
                               3
                          3
                      3   3    3
                 b.   5   3   3   5
                          5
                               5
                           5
                 c.   4 3 4 3 4 3 4   5
                      6 3 6 3 6 3 6 3 6
                 d.          4         5

              6.  Resuelve las siguientes operaciones combinadas. Recuerda la jerarquía de solución.
                       5    3        4
                 a.     7   1  2   3  4 2  2   5









                                                                                                                      81]]></page><page Index="81"><![CDATA[Fracciones y decimales








                       121   10    3   4
                 b.      100  3   8   1   1  10   5
                                   5







                       2         3   4
                 c.     5   1 1  1   5  2  10   5








                       6    3      4   2
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 d.     5   1  10   1   2  2  6   5






                       512    7    2   6
                 e.       27   3   8 MUESTRA EDITORIAL
                                 2   1
                                           5
                                       10
                                   5




                       1   2  2  3   3   4     16
                 f.      2  1  5   1  3   1   2      4   5
                                         5
                                     2
                                 5





              7.  Escribe la operación solicitada y resuelve.


                            3   5                              6    2
                 La suma de   4   y   2   multiplicada por la diferencia de   4    y    3  .




               Trabajo colaborativo
               Formen parejas de trabajo y escriban la operación solicitada. Luego, resuelvan.
                              27                    2   21
               La raíz cúbica de  125   más el producto de   7   y   8 .




               Actividad indagatoria
               Pregunta a tus padres: ¿en qué situaciones de la vida se utilizan los números decimales?



         82]]></page><page Index="82"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 3. Operaciones con decimales




                                         Reto matemático


                                        En una carrera de atletismo, Adrián marcó 38,75 segundos en la prueba de 300 m y
                                        Carmen marcó 38,7 segundos. ¿Quién obtuvo el mejor tiempo?



              3.1 Adiciones y sustracciones con decimales

              Patricio compró 3 cañas de pescar en $548,84 y 3 anzuelos en $55,86. Si pagó con siete
              billetes de $100, ¿cuánto recibió de cambio?

              Para saber cuánto recibió de cambio, se realiza lo siguiente:


              Se suman los valores por pagar.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              Luego se resta de 700.

                     C    D    U         d    c              C    D    U         d    c

                     5    4    8    ,    8    4              7    0    0     ,   0    0      Competencia
                                                                                             matemática
               1          5    5    ,    8    6         2    6    0    4     ,   7    0
                                                                                             Si el minuendo no tiene
                     6    0    4    ,    7    0              0    9    5    ,    3    0      cifras decimales y el
                                                                                             sustraendo sí, es necesario
                                                                                             completar los ceros en el
              Patricio recibió de vuelto $95,30.                                             minuendo.

               Para sumar o restar números con expresión decimal, se escribe la parte entera y la
               parte decimal alineadas respecto a la coma decimal.

              Si el dueño del almacén de pesca quiere redondear el valor de cambio, ¿cuánto le
              entregaría a Patricio?


                                                   95,30


                90     91     92    93      94    95     96      97    98     99     100

              Para resolver esta pregunta, es necesario ubicar en la semirrecta numérica.

              95,30 está más cerca que el 95.

               Para redondear un número decimal, se analiza la cifra. Si esta es mayor o igual que 5, se
               aproxima al inmediato superior; y si es menor que 5, se deja el mismo número.











              DBA1 (Ev. 4) Interpreta y justifica cálculos numéricos al solucionar problemas.                         83]]></page><page Index="83"><![CDATA[Fracciones y decimales

                               MUESTRA EDITORIAL





                                        3.2 Multiplicación y división con decimales
              Interdisciplinariedad
              Matemática y              Luis quiere plantar césped en su terreno rectangular. Si cada metro de césped cuesta
              jardinería                $0,7, ¿cuántos metros debe comprar y cuánto pagará en total.

              El jardinero necesita                                    13,58 metros
              conocer sobre operaciones
              con decimales para
              calcular la cantidad de
              césped que tiene que
              plantar en un terreno.                                                                          6,35 metros





                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                            1  3,   5  8                8   6,  2   3   3   0

                                                   3           6,   3   5           3       0,  7
                                                            6   7   9   0           6   0   3   6   3   1   0

                                              1         4   0   7   4          1    0   0   0   0   0   0   0
                                                   8    1   4   8                   6   0,  3   6   3   1   0
                                                   8   6,   2   3   3   0


                                        Luis debe comprar 86,2330 m de césped y debe pagar $60,3631.
                                         Para multiplicar números con expresión decimal, estos se deben multiplicar como
                                         números naturales. Luego se cuentan las cifras decimales que hay en los dos factores
                                         y en el producto, y se separa con la coma decimal, de derecha a izquierda, el número
                                         de cifras de decimales contadas.


              Competencia               Si Luis desea pagar el costo en 12 meses, ¿cuánto será el costo mensual de pago?
              matemática
                                                         6   0,  3   6   3   1   1   2
              Para multiplicar un número
              decimal por 10, 100 o 1000,                    0   3   6           5,  0   3   0   2
              se desplaza la coma a la                       0   0   3   1
              derecha tantas posiciones
              como ceros tenga el                                        7
              número. Para dividir, se
              desplaza la coma a la     Luis tendrá que pagar cuotas mensuales de $5,0302.
              izquierda.
                                         Para dividir un número decimal entre un natural, se divide normalmente hasta llegar
                                         a la coma decimal; luego, se pasa la coma decimal al cociente y se continúa dividiendo.
                                         Cuando se divide entre dos números decimales, se transforma la división en otra
                                         equivalente sin cifras decimales en el divisor.







         84                                                        DBA1 (Ev. 4) Interpreta y justifica cálculos numéricos al solucionar problemas.]]></page><page Index="84"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              3.3 Operaciones combinadas con números decimales
                                                                                              Interculturalidad
              Liliana compró 5 botellas de agua en $0,85 cada una y 5 paquetes de galletas en $1,25
              cada uno. ¿Cuánto dinero gastó en total?                                       El origen de las fracciones
                                                                                             o quebrados es muy
                                                                                             remoto; ya eran conocidas
              Para conocer cuánto dinero gastó, se plantea una operación combinada.          por babilonios, egipcios y
                                                                                             griegos.
              Como son 5 botellas y 5 paquetes, se puede plantear así:

              5 3 (0,85 1 1,25)


              Primero se resuelve el paréntesis y luego se realiza la multiplicación.

                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              5 3 2,10 2 10,50

              Liliana gastó en total $10,50.

               Para realizar operaciones combinadas agrupando operaciones, se sigue este orden:

               1°.  Si tienen paréntesis, se los resuelve en primer lugar.
               2°.  Se resuelven potencias y raíces.                                         Indaga y responde: ¿a

               3°.  Se resuelven las multiplicaciones y las divisiones.                      quién se le debe el nombre
                                                                                             de fracción?
               4°.  Se realizan las adiciones y las sustracciones.


              Ejemplo 1

              Simplifica la siguiente expresión:


              a.  (0,125 1 0,25) 2 (0,12 4 0,3) 3 0,2 5

              Para llegar al resultado es importante manejar adecuadamente la jerarquía de las
              operaciones:

              b.  (0,625 1 0,025) 2 (0,12 4 0,3) 3 0,2 5 (0,65) 2 (0,4) 3 0,2


                                               5 0,65 2 0,08

                                               5 0,57















              DBA1 (Ev. 4) Interpreta y justifica cálculos numéricos al solucionar problemas.                         85]]></page><page Index="85"><![CDATA[Fracciones y decimales

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Completa la siguiente tabla.


                                                  6,879     45,890    39,756     42,721   12,354

                                  Redondeo a
                                   la unidad
                                  Redondeo al
                                    décimo
                                  Redondeo al
                                   centésimo

              2.  Organiza en columna los términos y resuelve.

                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 a.  6 786,98 1 87,654 1 37,98

                 b.  567,23 1 234,567 1 128,543


                 c.  7 896,76 2 789,765

                 d.  8 567,54 2 2 345,767

              3.  Resuelve los siguientes problemas.


                 a.  Luis viaja con una maleta que pesa 36,76 kg y con otra que pesa 14,76 kg. ¿Cuánto pesa el total de su equipaje?
                     Si a la vuelta de su viaje lleva 3,86 kg menos, ¿cuánto pesa su equipaje ahora?

                                              Datos          Solución       Respuesta







                 b.  Vinicio llena el tanque de gasolina de su carro con 6,75 galones. Si la capacidad del tanque es de 15,5 galones,
                     ¿cuánta gasolina había en el tanque antes de llenarlo?

                                              Datos          Solución       Respuesta







              4.  Multiplica.
                 a.  13,656 3 3,7











         86]]></page><page Index="86"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





                 b.  78,431 3 2,42









              5.  Divide hasta obtener un décimo en el cociente.
                 a.  567, 8 4 15







                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 b.  198,67 4 3,7










              6.  Multiplica o divide según corresponda.

                 a.  2,5 3 10 5                                      d.  6,8 4 100 5

                 b.  2,5 4 10 5                                      e.  98,51 3 1000 5


                 c.  6,8 3 100 5                                     f.  98,51 4 1000 5

              7.  Resuelve. Marcia compra a crédito un televisor en $1098,80. Si tiene que pagar 15 cuotas iguales, ¿cuánto paga
                 mensualmente?

                                              Datos          Solución       Respuesta









               Trabajo colaborativo
               Formen parejas de trabajo. Cada integrante escoja un libro de su preferencia. Midan las dimensiones de cada libro y
               calculen las superficies de las pastas que los cubren. Luego, encuentren la diferencia de superficies y determinen
               qué libro tiene mayor superficie.



               Actividad indagatoria
               Pregunta a los miembros de tu familia cuáles son sus estaturas. Luego, suma las cantidades que conseguiste. Presenta
               en tu cuaderno de matemática.



                                                                                                                      87]]></page><page Index="87"><![CDATA[Fracciones y decimales

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 4. Razones y proporciones




                                         Reto matemático


                                        Luisa y sus cuatro amigos compraron alimentos para hacer un pícnic. Gastaron $42. Si
                                        se reparte el gasto equitativamente, ¿cuánto debe pagar cada uno?



                                        4.1 Razón aritmética
               Competencia
               matemática               Camila quiere visitar un museo de su ciudad. Para eso ahorra cada semana de la siguiente

               En la razón aritmética   manera: 3, 6, 9, 12. ¿Cómo se incrementaron sus ahorros mensualmente?
               y en la geométrica se
               denomina antecedente     Para saberlo, se analiza lo siguiente:
               y consecuente a sus
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
               términos.                Los ahorros de Camila son: 3, 6, 9, 12.
                                        Para saber cómo se incrementó el ahorro, restamos el primer ahorro del segundo.
                                                                                  Razón aritmética
                                           Antecedente
                                                                                                      En símbolos:
                                                                  6   2   3   5   3                    a 2 b 5 r.
                                                                                    Consecuente       Se lee: razón
                                                                                                    aritmética a a b

                                        Camila ahorró 3 dólares más cada mes.

                                         Una razón aritmética es el resultado de comparar dos cantidades. Estas se cotejan al
                                         hallar el valor que nos indica en cuánto excede la una a la otra; es decir, restándolas.


                                        4.2 Razón geométrica

                                        Luisa planifica con sus estudiantes una visita a un museo.

                                        Compró 8 boletos para sus 24 estudiantes.

                                        ¿Cuál es la razón de la compra de los boletos?

                                        Para saber cuál es la razón de la compra, dividimos la cantidad de boletos entre la
                                        cantidad de estudiantes.

                                         Antecedente            8   5   1                           En símbolos:
                                                                                                        a
                                          Consecuente           24    3             Razón               b   5 r
                                        La razón de la compra entre boletos y alumnos es  1  .     Se lee: a es a b.
                                                                                    3
                                        Es decir que por cada boleto, ingresan tres estudiantes.


                                         Una razón geométrica es el resultado obtenido al comparar dos cantidades. Estas
                                         cantidades se cotejan al dividir una entre otra.





         88                    DBA8 (Ev. 1) Propone patrones de comportamiento numérico y expresa verbalmente o por escrito los procedimientos matemáticos.]]></page><page Index="88"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              4.3 Proporción
                                                                                             Competencia
                                                                                             matemática
              Susana y sus amigos necesitan hacer un
              pastel. La razón entre la cantidad de                                          No son lo mismo una
              harina y azúcar es de 8 a 4. Si se utilizan                                    fracción y una razón.
                                                                                                a
              24 porciones de harina, ¿cuántas                                               Si   es una fracción,
                                                                                                b
              porciones de azúcar se deben utilizar?                                         entonces a y b son
                                                                                             números enteros, en
              Para  conocer  cuántas  porciones  de  azúcar  se  deben  utilizar,  se  analiza  la    donde b ≠ 0; mientras
              siguiente tabla.                                                               que en la razón   a   , a y
                                                                                                           b
                                                                                             b pueden ser números
                 Harina          8         12          16         20          24             decimales.
                 Azúcar          4          6          8          10          12             Escribe con tus palabras la
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                                                             diferencia que hay entre
                                                                                             una razón y una fracción.
              Analicemos si existe una proporción entre la cantidad de harina y la cantidad de azúcar.

                                      8   5   8      ó    8 : 4 :: 24 : 12   Extremos
                                      4    24                                                 Cátedra de
                                                                            8 : 4 :: 24 : 12  emprendimiento
              4.4 Constante de proporcionalidad                              Medios           Si tienes un negocio de
                                                                                              galletas y descubres que
                                 8   5  12   5  16   5  20   5  24   5 2    k 5 2             usar el doble de chocolate
                                 4    6     8    10    12                                     te permite hacer el doble
                                                                                              de galletas, puedes
               Una proporción es la igualdad entre dos fracciones que tienen igual razón.     planear mejor cómo
                                                                                              aumentar tu producción.
               a   5   c     ó   a : b :: c : d ==>a y d son extremos, b y c son medios.      Por ejemplo, si usas 1 kilo
               b    d                                                                         de chocolate para hacer
                                                                                              100 galletas, usando 2
                                                                                              kilos harás 200 galletas.
              4.5 Propiedad fundamental de las proporciones                                   Esto te ayuda a calcular
                                                                                              cuántos ingredientes
                                                                                              necesitas y cómo
              En toda proporción, el producto de los extremos siempre es igual al producto de sus   incrementar tu producción
              medios.                                                                         para vender más. Entender
                                                                                              la proporcionalidad te
               8   5   24   extremos: 8 3 12 5 96; medios: 4 3 24 5 96. Entonces: 96 5 96.    permite planificar mejor,
               4    12                                                                        producir más y hacer
                                                                                              crecer tu negocio de
              2 5 2. El valor de la razón es igual.                                           manera exitosa.


              4.6 Cuarto desconocido

              Es cualquiera de los términos de una proporción. Se representa con cualquier letra
              minúscula del alfabeto.

                                   a   5   6        a 5  6 3 8   5   48   5 2.                ¿Puedes pensar en otra
                                   8    24             24      24                             situación donde usar
                                                                                              la proporcionalidad te
                                                                                              ayudaría a planear mejor?


               DBA8 (Ev. 1) Propone patrones de comportamiento numérico y expresa verbalmente o por escrito los procedimientos matemáticos.  89]]></page><page Index="89"><![CDATA[Fracciones y decimales

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Observa el gráfico y escribe el número que falta en cada caso.








                 a.  ¿Cuál es la razón entre los círculos y los rectángulos?

                 b.  ¿Cuál es la razón entre los rectángulos y los círculos?

                 c.  La razón entre círculos y rectángulos es de 3 a

                 d.  La razón entre rectángulos y círculos es de 2 a

                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              2.  Escribe como razón cada una de las siguientes situaciones.

                 a.  En una fábrica de bicicletas, por cada bicicleta producida se necesitan 2 llantas. La razón entre bicicletas y
                     llantas es:

                 b.  Juan lee 38 páginas en 2 horas. La razón entre horas y páginas es:

                 c.  En una fábrica de automóviles, cada vehículo necesita 3 espejos. La razón entre espejos y vehículos es de:


              3.  Completa con las razones correspondientes.


                 a.  Pedro tiene 4 cromos y Luis tiene 6 cromos; la razón de los cromos de Luis y los de Pedro es de:

                 b.  En una frutería hay 4 manzanas por cada 5 peras; la razón de las manzanas y las peras es de:


              4.  Completa las oraciones.

                 a.  Una fábrica de ropa produce en 5 días 250 camisetas; esto es a razón de    camisetas diarias.


                 b.  Luis resuelve 56 ejercicios en 8 días; esto es a razón de    ejercicios diarios.

                 c.  Camila ahorró $220 en 4 semanas; esto es a razón de     dólares semanales.


              5.  Completa las siguientes tablas.
                                              N.° de     1     2     3                 6     7
                                             helados
                                       a.
                                            Valor por   0,50               2    2,50
                                              pagar


                                              N.° de     1     2     3                 6     7
                                             helados
                                       b.
                                            Valor por   1,50               6    7,5
                                              pagar


         90]]></page><page Index="90"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              6.  Escribe la lectura de las siguientes proporciones.

                      4   16                                        b.  3 : 8 :: 12 : 32
                 a.     5
                      9   36
              7.  Comprueba si las siguientes igualdades son o no proporciones.


                                             Igualdad        Sí es proporción  No es proporción


                                            a.   3   5   15
                                              5    25


                                           b.   2   5   15
                                              6    25
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                            c.   4   5  10
                                              5    12

                                           d.   10   5   20
                                              4     8

                                            e.   4   5   20
                                              9    18

                                            f.   7   5  28
                                              4    16

                                           h.   3   5  18
                                              5    30

                                            h.   4   5   10
                                              8    40


              8.  Encuentra el término desconocido en cada proporción.

                      5    10                                            a     5
                  a.     5     x 5                                  c.       5     a 5
                      x    24                                            12    4

                 b.   7   5   m   m 5                               d.   8   5   48   b 5
                      6   24                                             9    b


               Trabajo colaborativo
               Formen parejas de trabajo y busquen dos situaciones cotidianas que puedan presentar en una tabla de
               proporcionalidad.



               Actividad indagatoria

               Pregúntale a un familiar cuánto gana mensualmente, y obtén el valor que gana en una semana. Elabora una tabla
               de proporcionalidad para comprobar el resultado.




                                                                                                                      91]]></page><page Index="91"><![CDATA[Fracciones y decimales

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 5. Proporcionalidad directa




                                         Reto matemático


                                        ¿Crees que el número de horas es proporcional a los días transcurridos?





                                        5.1 Magnitudes directamente proporcionales
                                        Xavier se fue de vacaciones a Manizales, y compró entradas para una obra de teatro. Si
                                        cada entrada cuesta $4, ¿cuánto pagará por 3, 4, 5, 6 y 7 entradas?

                                        Para conocer el costo que se debe pagar por las 7 entradas, observamos
                                        la siguiente tabla.

                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                         Número de entradas      1       2      3       4       5       6      7
                                                Valor            4       8      12      16     20      24      28
              Interdisciplinariedad
              Matemática                Al comparar el número de entradas y el valor que se paga por ellas, concluimos que, al
              y Física                  aumentar el número de entradas, el valor por pagar también aumenta.

              Magnitud es una propiedad   Las magnitudes "números de entradas" y "valor" a pagar están directamente
              física que se puede medir.   correlacionadas. El cociente entre los valores de las dos magnitudes es constante.
              Por ejemplo: la longitud, la
              distancia, el tiempo, el peso   Encontremos las razones entre el número de entradas y el valor por pagar, utilizando los
              o la superficie.          datos de la tabla.

                                                2
                                         1  5  1   ;  5  1   ;   3  5  1   ;   4   5   1   ;   5  5  1   ;   6  5  1   ;   7  5  1  .
                                         4   4  8    4  12   4   16    4   20   4   24    4  28    4
                                                                                       1
                                        Es decir, las fracciones son equivalentes, y la razón es
                                                                                       4
                                         Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir
                                         una, la otra aumenta o disminuye en la misma proporción.


                                        Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:

                                                                A menos corresponde menos.

                                                                   A más corresponde más.
               Competencia
               matemática               Ejemplo 1

               El cociente entre dos    Si una impresora imprime 12 páginas por minuto, ¿cuántas páginas se podrán imprimir
               magnitudes directamente   en 6 minutos?
               proporcionales es el
               mismo.                   En 6 minutos se imprimirán 72 páginas.

                                               Minutos           1       2      3       4       5       6      7

                                           Páginas impresas     12      24      36      48     60      72      84





         92                     DBA8 (Ev. 1) Propone patrones de comportamiento numérico y expresa verbalmente o por escrito los procedimientos matemáticos.]]></page><page Index="92"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              5.2 Regla de tres simple directa

                                             2
              Para iluminar una habitación de 6 m  es necesario poner un foco. Si se necesita iluminar
              un local de artesanías que tiene una superficie de 30 m , ¿cuántos focos se requieren
                                                               2
              para iluminarlo?

              Para saber cuántos focos son necesarios para iluminar 30 m , realizamos lo siguiente:
                                                                 2
              Primer método


                                          Focos           1      x

                                    Metros cuadrados      6     30
                                                                                              Cátedra
              Analizamos la relación de magnitudes.                                           de paz

              Mientras más grande es la superficie, más focos son necesarios. Por tal razón, es una regla   La paz se basa en la
              de tres directa.                                                                justicia y la equidad, que
                                                                                              a menudo requieren
                                                                                              una distribución justa
              Planteamos el proceso para encontrar el término desconocido de una proporción.  de recursos. Imagina
                                                                                              que en una comunidad
               1   5   x      x 5  1 3 30   5  30   5 5                                       hay que distribuir ayuda
               6  Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta  30  6  6  humanitaria (como
                                                                                              comida o agua) de manera
              Para iluminar una superficie de 30 m , son necesarios 5 focos.
                                             2
                                                                                              proporcional a la cantidad
                                                                                              de personas en cada
               Una regla de tres es simple cuando intervienen dos magnitudes, de las cuales se   familia. Si una familia de 2
               conocen tres datos y se desconoce uno.                                         personas recibe 10 litros
                                                                                              de agua, ¿cuántos
                                                                                              litros debería recibir una
              Ejemplo 2                                                                       familia de 6 personas.

              Luis compró 16 globos por $4. ¿Cuántos globos podrá adquirir con $7,50?

              Solución



                     Globos          16     g

                Metros cuadrados     4     7,50


               16   5   g      g 5  16 3 7,50   5   120   5 30
               4     7,50            4         4

              Con $7,50 dólares, Luis podrá adquirir 30 globos.









               DBA8 (Ev. 3) Trabaja sobre números desconocidos y con esos números para dar respuesta a los problemas.  93]]></page><page Index="93"><![CDATA[Fracciones y decimales

                               MUESTRA EDITORIAL





                                                                  Ejemplo 3
                                                                  Teresa utilizó 186 perlas para hacer 3 collares. Si tiene un
                                                                  pedido de 8 collares, ¿cuántas perlas utilizará?

                                                                  Segundo método

                                                                  Invertimos la tabla con las magnitudes correspondientes
                                                                  y completamos los datos.


                                                                         N.° de collares          N.° de perlas

                                                                                3                     186

                                                                                8                      x
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                        Analizamos la relación de magnitudes.

                                        Mientras más perlas, más collares se pueden elaborar.

                                        Multiplicamos en cruz y planteamos una ecuación.

                                        x 5  8 3 186   5  1488   5 496
                                               3        3

                                        Para elaborar 8 collares, utilizará 496 perlas.

                                         Una regla de tres simple es directa cuando las magnitudes que se relacionan son
                                         directamente proporcionales.

                                                                  Ejemplo 4

                                                                  Una fábrica de chocolates llena dos cajas con 36
                                                                  chocolates. ¿Cuántos chocolates tendrá que producir
                                                                  para llenar 112 cajas?

                                                                  Solución

                                                                           N.° de cajas         N.° de chocolates

                                                                                2                      36


                                                                              112                      x

                                                                                 112 3 36    4032
                                                                             x 5           5       5 2016
                                                                                     2        2
                                        Para llenar 112 cajas, es necesario producir 2016 chocolates.

                                         En la regla de tres simple intervienen 3 valores conocidos para luego calcular un cuarto
                                         valor que es desconocido.





         94                                     DBA8 (Ev. 3) Trabaja sobre números desconocidos y con esos números para dar respuesta a los problemas.]]></page><page Index="94"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Las siguientes tablas deben representar proporcionalidades directas. Completa los espacios en blanco de
                 cada una.


                                                 Magnitud     2    3    4
                                                     1

                                                 Magnitud    24              60    72
                                                     2


                                                 Magnitud     2    0,4        3
                                                     1

                                                 Magnitud
                                                     2       1,2        4,8       0,2
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              2.  Dadas las constantes de proporcionalidad directa, completa la tabla.

                                                    Constante de proporcionalidad 8

                                                Magnitud 1    1   2   3    4   5    6

                                                Magnitud 2

              3.  Analiza las magnitudes y escribe verdadero (V) o falso (F) en caso de que sean o no directamente proporcionales.

                                            Número de horas y número de días

                                            Número de productos y costo
                                            Velocidad de un auto y el tiempo en llegar

                                            Distancia caminada y tiempo empleado
                                            Cantidad de personas en realizar un trabajo y el
                                            tiempo empleado
              4.  Realiza el proceso para resolver cada una de las situaciones propuestas.

                 a.

                  Luisa compra 6 libras
                  de uvas en $6,60.
                  ¿Cuánto será el precio
                  que se debe pagar por
                  14 y 24 libras?


                 b.


                  Un jardinero poda
                  15 m  de un jardín en
                     2
                  3 horas. ¿Cuántos
                  metros cuadrados
                  podará en 15 horas?





                                                                                                                      95]]></page><page Index="95"><![CDATA[Fracciones y decimales








                 c.

                  Una pintora tarda 18
                  horas en pintar 2
                  casas. ¿Cuántos días se
                  tardará en pintar un
                  conjunto habitacional
                  de 52 casas?
                 d.

                  Con 15 Kg de uvas se
                  obtienen 2 botellas de vino.
                  ¿Cuántas botellas de vino se
                  pueden obtener si se
                  consiguen 105 kg más de
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                  uvas?
                 e.


                  Un litro de leche
                  cuesta $0,85. ¿Cuántos
                  litros de leche se
                  pueden comprar
                  con $40,80?

                 f.            MUESTRA EDITORIAL

                  Ricardo camina 2 km
                     2
                  en    hora. ¿Cuántos
                     3
                  minutos tardará si
                  camina 12 km?
                 g.

                  En una cafetería se
                  han preparado 130
                  envueltos para 65
                  personas. ¿Cuantos
                  envueltos más se
                  tendrán que preparar
                  para 85 personas?






               Trabajo colaborativo
               En parejas, creen dos problemas que requieran de la regla de tres simple directa para ser resueltos. Intercambien sus
               problemas con los de otro grupo y resuélvanlos.




               Actividad indagatoria
               Averigua a un familiar cuánto dinero gasta en un día de alimentación, y calcula cuánto gastaría en 20 días.




         96]]></page><page Index="96"><![CDATA[Pensamiento numérico

               misma proporción.MUESTRA EDITORIAL
              Tema 6. Proporcionalidad inversa




                   48                    Reto matemático
                   44
                   40
                   36
                   32
                   28                   ¿Por qué es posible darse cuenta de que dos magnitudes no son directamente
                   24
                   20
                   16                   proporcionales, observando únicamente la ubicación de sus puntos en el plano cartesiano?
                   12
                   8
                   4
                   0
                    1  2 3 4  5 6 7  8 9 10 11 12
              6.1 Magnitudes inversamente proporcionales
              En un bazar tienen 48 lápices y los quieren empacar en cajas de 3 lápices (mínimo) y de
              16 (máximo), de manera que todas las cajas tengan la misma cantidad de lápices.
              Determinemos si las magnitudes entre las cajas y los lápices son directa o inversamente
              proporcionales.
              Para conocer qué tipo de magnitudes son, realizamos una tabla.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta

                           Cajas      3       4      6       8      12     16
                          Lápices     16     12      8       6      4      3


              Podemos observar en la tabla que mientras más lápices se empacan por caja, menos
              cajas se utilizan.                                                             Competencia
                                                                                             matemática
              Al hallar las razones entre la cantidad de cajas y la cantidad de lápices, utilizando los
                              3
                                  4
              datos de la tabla:  16  ;   12  ;   6  ;   8  ;   12  y  16  ; nos damos cuenta de que estas razones   Dos magnitudes
                                                                                             son inversamente
                                               4
                                       8
                                           6
                                                    3
              no son equivalentes.                                                           proporcionales cuando, al
                                                                                             multiplicar o dividir una
              Además, el producto entre los valores de las dos magnitudes dadas en la tabla es   de ellas por un número
              constante.                                                                     cualquiera, la otra queda
                                                                                             dividida o multiplicada por
                 3 3 16 5 48 ; 4 3 12 5 48; 6 3 8 5 48 ; 8 3 6 5 48 ; 12 3 4 5 48 y 16 3 3 5 48  el mismo número.
                                                                                             Escribe un ejemplo y
              Entonces, estas magnitudes son inversamente proporcionales.                    preséntalo en clase.
              Además, el producto entre los valores de las dos magnitudes es constante.

               3   5 48;   4   5 48;   6   5 48;   8   5 48;   12   5 48;   16   5 48.
              16       12       8        6       4        3
              Las magnitudes son inversamente proporcionales.

              Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando:

                                       A más corresponde menos.


                                       A menos corresponde más.


               Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, la otra
               disminuye en la misma proporción; o cuando disminuye una, la otra aumenta en la




               DBA8 (Ev. 1) Propone patrones de comportamiento numérico y expresa verbalmente o por escrito los procedimientos matemáticos.  97]]></page><page Index="97"><![CDATA[Fracciones y decimales

                               MUESTRA EDITORIAL





                                                      6.3 Regla de tres simple inversa

                                                      Verónica viaja a 80 km/h y llega a su destino en 3 horas. ¿En qué tiempo
                                                      llegará si aumenta la velocidad 20 km/h más?


                                                      Para  saber  el  tiempo  que  se  demorará  Verónica,  se  realizan  los
                                                      siguientes pasos:

                                                      Primer método

                                        Completamos los datos en una tabla.

              Competencia                     Velocidad km/h                80                  100
              matemática
                                                  Tiempo                     3                   x
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              El producto entre dos
              magnitudes inversamente   Se analiza la relación de magnitudes.
              proporcionales es
              constante.
                                        Mientras más velocidad, menos tiempo. Por tal razón, es una regla de tres inversa.

                                        Se multiplica 80 × 3 y se divide entre 100.

                                                                       80 3 3   240
                                                                   x 5        5      5 2,4
                                                                        100     100
                                        Si Verónica aumenta 20 km/h más a su velocidad, llegará en 2,4 horas o 144 minutos.


                                         Si una magnitud aumenta y la otra magnitud disminuye, estas son inversamente
                                         proporcionales.


                                        Ejemplo 1

                                        En una panadería hacen, con una cierta cantidad de masa, 20 panes de 180 g cada uno.
               Interdisciplinariedad    ¿Cuántos panes de 120 g harán con la misma cantidad de masa?
               Matemática e
               ingeniería               Solución


               El ingeniero civil usa una   Más gramos por unidad, menos cantidad de panes.
               regla de tres inversa a fin
               de conocer la cantidad        Gramos por unidad              180                 120
               de obreros que necesita
               contratar para entregar       Cantidad de panes              20                   x
               la obra en un tiempo
               determinado.
               Responde: si 3 obreros                            x 5  180 3 20   5   3600   5 30
               construyen una pared                                    120       120
               en 8 horas, ¿cuánto se
               demorarán 6 obreros?     Con la misma cantidad de masa se podrán hacer 30 panes de 120 g cada uno.








         98                                     DBA8 (Ev. 3) Trabaja sobre números desconocidos y con esos números para dar respuesta a los problemas.]]></page><page Index="98"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL





              Dos niños se demoran 6 horas en pintar un mural. ¿Cuántos minutos
              se demorarán 8 niños en realizar la misma actividad?

              Segundo método

              Primero, transformamos las horas en minutos, pues la respuesta debe
              ser expresada en minutos.

                                 6 3 60 5 360 minutos.

              Se invierte la tabla con las magnitudes correspondientes y se
              completan los datos.

                                    N.° de niños         Tiempo (minutos)
                                         2                      360
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                         8                       x

              Se analiza la relación de magnitudes.

              Mientras más niños participan, menos tiempo demoran en terminar el mural. Se   Interdisciplinariedad
              multiplica en horizontal y se divide entre 8.                                  Matemática e
                                                                                             Informática
                                        x 5   2 3 360   5   720   5 90
                                               8        8
                                                                                             El ingeniero debe
                                                                                             conocer que mientras
              Los 8 niños se demorarán 90 minutos en pintar el mural.
                                                                                             más personas colaboren
                                                                                             en la construcción, el
               Una regla de tres simple es inversa cuando las magnitudes que se relacionan son   tiempo que se demorarán
               inversamente proporcionales.                                                  en entregar la obra será

                                                                                             menor.
              Ejemplo 2

              En un restaurante, se preparan diariamente 320 vasos de jugo a razón de 180 ml por
              vaso. Si se redujera el tamaño de los vasos a 120 ml, ¿cuántos vasos de jugo se podrían
              preparar con la misma cantidad de fruta?

              Solución
                                                                                             Responde: ¿qué
                                  N.° de vasos     Capacidad del vaso                        tipo de relación de
                                                                                             proporcionalidad existe
                                      320                 180                                entre la cantidad de
                                                                                             personas y el tiempo de
                                       x                  120                                entrega de la obra?

                                         320 3 180    57 600
                                     x 5            5        5 480
                                            120        120

              Con la misma cantidad de fruta se pueden preparar 480 vasos de 120 ml.









               DBA8 (Ev. 3) Trabaja sobre números desconocidos y con esos números para dar respuesta a los problemas.  99]]></page><page Index="99"><![CDATA[Fracciones y decimales

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Las siguientes tablas deben representar proporcionalidades inversas. Complétalas.

                                              Magnitud     1      2      3
                                                  1

                                              Magnitud     24                   6     4
                                                  2



                                              Magnitud
                                                  1         5     4      3     2

                                              Magnitud
                                                  2        1,5                       7,5

                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              2.  Dadas las constantes de proporcionalidad, completa la tabla dada:

                                               Constante de proporcionalidad inversa 7


                                             Magnitud 1    1     2    3    4          6


                                             Magnitud 2

              3.  Analiza las magnitudes y escribe verdadero (V) o falso (F) en caso de que sean o no inversamente proporcionales.


                                            Velocidad de un auto y tiempo de llegada
                                            Cantidad de obreros y tiempo de entrega de una obra
                                            Cantidad de kilómetros recorrido y tiempo
                                            Cantidad de personas y porciones de alimento por
                                            persona
                                            Horas trabajadas y sueldo ganado

              4.  Realiza el proceso para resolver cada una de las situaciones propuestas.

                 a.


                  María recorre en bicicleta
                  cierta distancia a 50 km/h y se
                  demora 6 horas. ¿A qué
                  velocidad debe ir para recorrer
                  la misma distancia en 8 horas?

                 b.


                  En una bodega se venden
                  provisiones para 12 personas,
                  que alcanzan para 30 días.
                  ¿Para cuántos días alcanzarán
                  estas provisiones si se venden
                  para 15 personas?


         100]]></page><page Index="100"><![CDATA[Pensamiento numérico








                 c.


                  Un trabajo es realizado por 50 obreros
                  y lo terminan en 40 días. Si el plazo
                  para terminar el trabajo es de 25 días,
                  ¿cuántos obreros más tendrán que
                  contratarse?

                 d.


                  Si 30 obreros cavan una zanja
                  en 5 días, ¿cuántos días se
                  demorarán 40 obreros?


                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 e.


                  Un autobús viaja de Medellín
                  hasta Quibdó, y se demorará 3
                  horas si va a una velocidad de 80
                  km/h. Si aumenta la velocidad a
                  100 km/h, ¿qué tiempo se
                  demorará el autobús?


                 f.            MUESTRA EDITORIAL

                  Un autobús viaja de Cartagena a
                  Santa Marta, y se demorará 3 horas
                  si va a una velocidad de 80 km/h.
                  Si aumenta la velocidad a 100
                  km/h, ¿qué tiempo se demorará el
                  autobús?


                 g.

                  Marta tiene alimento para sus 70 vacas
                  durante 30 días. Con 20 vacas menos y
                  sin disminuir la ración diaria, ¿durante
                  cuántos días podrá alimentarlas?






               Trabajo colaborativo
               En parejas, resuelvan en su cuaderno el siguiente problema: Cuatro amigos compran un pastel y ponen una cuota
               de $9. Si se unen 2 amigos más, ¿de cuánto es la cuota que tiene que poner cada uno? Luego, creen un problema
               similar al propuesto.

               Actividad indagatoria
               Averigua a un familiar sobre el tiempo que se demora en hacer un trabajo y calcula cuánto tiempo se demoraría si lo
               hace con 3 personas más.


                                                                                                                     101]]></page><page Index="101"><![CDATA[Fracciones y decimales

                               MUESTRA EDITORIAL
                       Proyecto interdisciplinario



                                                                  Recetas saludables
                                                                  Justificación / problemática

                                                                  La alimentación saludable es importante en las distintas
                                                                  etapas de la vida. Es por eso que los estudiantes deben
                                                                  conocer los alimentos que son adecuados para su edad, y
                                                                  diferenciar aquellos productos que no lo son.

                                                                  Objetivos

                                                                  Preparar recetas e identificar productos saludables,
                                                                  cantidades adecuadas y raciones por número de
                                                                  personas.

                                                                  Recursos
                                                                  Recetas, pliegos de papel bond, marcadores, colores.

                                                                  Actividades
                       Galletas de vainilla  (20 unidades)        Formen grupos de trabajo y realicen las siguientes

                Ingredientes:                                     actividades:

                •   500 g de harina                               •   Indaguen sobre alimentos que son saludables.
                •   Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta  200 g de azúcar  •   Conversen sobre los hábitos alimenticios y describan
                                                                      aquellos que deberían ponerse en práctica para tener
                •   300 g de mantequilla                              una vida saludable.

                •   1 huevo                                       •   Busquen una receta en la que se detallen ingredientes,
                                                                      con cantidades en fracciones, números enteros y
                •   100 ml de leche                                   diferentes medidas, y que detallen la preparación y la
                •   2 yemas                                           cantidad de porciones.

                •   1 cucharadita de vainilla                     •   Recuerda que debes tener en cuenta en todo
                                                                      momento las reglas básicas de higiene para la
                •   1 cucharadita de ralladura de limón               preparación de alimentos. Debes lavarte las manos,
                                                                      limpiar el lugar donde se preparará la comida, y lavar
                •   1 pisca de sal                                    los alimentos.

                Preparación
                                                                  Evaluación
                •   Batir la mantequilla con el azúcar, huevo, leche y
                   vainilla.                                      •   Reescriban la receta escogida al menos tres veces más,
                                                                      cambiando el número de porciones. Tomen en cuenta
                •   Agregar  la  harina cernida con  el  polvo de     que las porciones deben se proporcionales a la
                   hornear.                                           cantidad de cada ingrediente. Por ejemplo, si 200 g
                                                                      alcanzan para 5 porciones, ¿cuántos gramos serán
                •   Trabajar la masa y formar las galletas.           necesarios para 8 porciones?

                •   Poner sobre un molde enmantecado y llevar al   •   Elaboren un cartel con la exposición de sus trabajos, y
                   horno precalentado a 180 °C por 20 minutos.        describan la estrategia que utilizaron para cambiar la
                                                                      cantidad de ingredientes.




         102]]></page><page Index="102"><![CDATA[Pensamiento numérico

                               MUESTRA EDITORIAL
                   Competencia digital



              Decimales de gasolina
              Prepárense para una aventura de aprendizaje llena de matemáticas y gasolina con Matific.
              1.  Accede al siguiente enlace: https://www.matific.com/co/en-us/home/maths/episode/
                 GasolineNameToNumeralMain/















                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta





              2.  En este episodio, te encontrarás en una estación de servicio donde la máquina registradora no funciona. Los clientes
                 te dictarán el consumo de gasolina que han realizado. Tu misión será escribir correctamente los decimales en la
                 máquina registradora para calcular el monto total a pagar.
























              3.  Presta atención a las instrucciones que te dan los clientes sobre el consumo de gasolina. Si te encuentras con un
                 problema difícil, Matific te dará una explicación para que puedas continuar resolviendo los problemas.





















                                                                                                                     103]]></page><page Index="103"><![CDATA[Fracciones y decimales

                               MUESTRA EDITORIAL
                        Compruebo mis aprendizajes



              Resuelve y escoge la respuesta correcta en cada caso.
              1.  Camila quiere preparar un pastel y tiene una cantidad de ingredientes en su casa. La tabla muestra las cantidades
                 de ingredientes necesarios para prepararlo. ¿Cuál ingrediente no tiene la porción necesaria?

                                                                                        a.  Harina
                                  Cantidad que tiene
                Ingredientes                             Cantidad que se necesita
                                        Camila                                          b.  Mantequilla
                                        9                          2                    c.  Azúcar
                   Harina               2   tazas                1   5   tazas
                                                                                        d.  Chocolate
                                        13                         1
                   Azúcar               3   tazas                2   3   tazas


                                        11                         1
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                  Chocolate             2   tazas                4   2   tazas
                                        3                          3
                 Mantequilla               tazas                 1    tazas
                                        4                          4

                                     7                          1
                   Vainilla          2   cucharaditas        2   2   cucharaditas


              2.  ¿Qué grupo de números está ordenado correctamente en forma ascendente?

                 a.   3   ,   4   . 0,70
                      2     6
                      5    5          3
                 b.     ,    , 0,24 ,
                      2    6          7
                      6    10
                 c.     ,      , 4,60
                      2    3
                      8    12
                 d.     .      . 1,64
                      3    7
              3.  ¿Qué término es el que falta en la proporción?  7: 4 : : 35 : x
                 a.  28                                             c.  20
                 b.  5                                              d.  17

              4.  ¿Qué números falta escribir en la tabla?
                 Tiempo que se demora una persona en llegar a su destino, a una velocidad constante.


                    Tiempo - horas       2         3        4         6         7        10

                       Metros -
                       distancia        110       165                                   550

                 a.  180 – 210 – 240                                c.  180 – 195 – 205

                 b.  220 – 330 – 385                                d.  220 – 275 – 330



         104]]></page><page Index="104"><![CDATA[Pensamiento numérico

                 ¿Para qué te servirá lo aprendido? MUESTRA EDITORIAL





              6.  Resuelve la siguiente operación.                         3  14
                                                                      a.     ;
                                                    6
                  25   1   13   4  4   1 1,5 1       3   3   5             2   4
                                                4
                                       3 27
                   4     3    6           8     9   3
                                                                      b.   6   ;   3
                                                                           2   4
                                                                           1   5
                                                                      c.      ;
                                                                           2   4


                                                                      d.   7   ;   10
                                                                           2   4

                                                                           5   8
                                                                      e.      ;
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                                           2   4
                                                                  8.  José necesita cercar su terreno con alambre de púas.
              7.  Ubica los pares ordenados en el plano.              Si el alambre cuesta $2,15 el metro, ¿cuánto dinero
                   y                                                  necesita para cercar el terreno?


                                                                                    7,1m
                                                                                                 2,5 m
                 4
                                                                                                  3,2 m
                 3                                                             3,0 m

                                                                                           6,8 m
                 2
                                                                      a.  23 dólares
                                                                      b.  49,45 dólares
                 1
                                                                      c.  48,59 dólares

                                                       x              d.  25,15 dólares
                          1      2      3      4



              Autoevaluación
              9.  Pinta la clave.                                                                        Claves
                                                                                                      Puedo ayudar
                        Reconozco magnitudes directa e inversamente proporcionales en situaciones cotidianas.  a otros.
                     Contenidos  Ordeno correctamente fracciones y números decimales.                 Resuelvo por
                                                                                                       mí mismo.
                        Resuelvo operaciones combinadas y aplico jerarquía de solución.
                                                                                                         ayuda!
                        Ubico en un plano cartesiano pares ordenados con fracciones.                    ¡Necesito
                 Metacognición                                                                          Estoy en
                 ¿Aclaraste dudas y necesidades con los temas aprendidos?                               proceso.
                 ¿En qué momento de tu vida puedes utilizar algunos de los temas aprendidos?




                                                                                                                     105]]></page><page Index="105"><![CDATA[MUESTRA EDITORIAL
                Unidad 4                     Los números enteros



                Transacciones financieras: los números enteros se utilizan ampliamente
                en transacciones financieras, desde la gestión de finanzas personales,
                hasta sistemas contables complejos. Ya sea para calcular ganancias y
                pérdidas, realizar un seguimiento de los gastos o hacer un presupuesto,
                los números enteros nos ayudan a cuantificar y a representar valores
                monetarios. Por ejemplo, si tienes $500 en tu cuenta bancaria y retiras
                $200, la transacción se puede representar como una resta de números
                enteros: 500 - 200 = 300.








                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta]]></page><page Index="106"><![CDATA[t
                                                                                          o numéric
                                                                                                    o y v
                                                                             Pensamiento numérico y variacional
                                                                             P
                                                                              ensamien
                                                                                                         ariacional
                               MUESTRA EDITORIAL





                                               Preguntas orientadoras


                                              1.  Cuando compras algo y luego lo vendes por un valor mayor, ¿qué
                                                  nombre recibe la diferencia y cómo la representas?
                                              2.  Si compras un automóvil nuevo por x valor y más adelante lo vendes
                                                  por un menor valor digamos Z: ¿qué representa la diferencia entre la
                                                  compra y la venta?, ¿cómo la notarías?




                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                                   1.  Conjunto de los números enteros
                                                                   2.  Operaciones con números enteros
                                               Los número
                                               enteros             3.  Multiplicación y división de numeros enteros
                                                                   4.  Potenciación y radicación con enteros
                                                                   5.  Ecuaciones e inecuaciones









                                              EBC
                                              1.  Justifico procedimientos aritméticos, utilizando las relaciones y propiedades
                                                  de las operaciones.
                                              2.  Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en
                                                  diferentes contextos y dominios numéricos.
                                              3.  Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación
                                                  o radicación.







                                              DBA
                                              1.  Propone y justifica diferentes estrategias para resolver problemas con números
                                                  enteros y racionales (en sus representaciones de fracción y de decimal) en
                                                  contextos escolares y extraescolares.

                                              2.  Identifico las características de las diversas gráficas cartesianas (de puntos,
                                                  continuas, formadas por segmentos, etc.) en relación con la situación que
                                                  representan.
                                              3.  Identifico características de localización de objetos en sistemas de
                                                  representación cartesiana y geográfica.



                                                                                                                     107]]></page><page Index="107"><![CDATA[Números enteros

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 1. Conjunto de los números enteros




                                         Reto matemático
                                        Piensa en las siguientes situaciones y determina en qué ciudad hace menos frío.

                                        La ciudad A está a 4 grados Celsius bajo cero, la ciudad B está a 2 grados Celsius y
                                        la ciudad C está a 7 grados Celsius bajo cero.


              Competencia               1.1 Los números relativos y el punto de referencia
              matemática
                                        Para identificar y comprender el signo que se debe poner a un número, es necesario
              El cero es mucho más que   tener un punto de referencia, que no es otra cosa que una ubicación que permita
              un simple número. Su      determinar un sentido, una orientación o una posición.
              desarrollo y adopción han
              revolucionado la manera
              en la que hacemos cálculos,   Ejemplo 1
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              pensamos en números y
              construimos tecnología. Desde   Cuando consideramos una línea del tiempo, el punto de referencia es el año cero (0),
              la India antigua hasta la era   que corresponde al año del nacimiento de Cristo. Por esa razón, los años antes de
              digital, el cero ha permitido   Cristo se acompañan de un signo (2) y los años después de Cristo, se acompañan de
              avances en matemática,
              ciencia y tecnología que son   un signo (1).
              fundamentales para el mundo
              moderno.                  Gráficamente, se puede representar así:
              Sin el cero, no podríamos tener
              conceptos fundamentales                              Año de nacimiento de Cristo
              como los números negativos,       325 a. C.               Año 0           265 a. C.
              los decimales y la notación
              científica.                        2325                     0              1265
              El cero tiene varias funciones:
              como número, como
              marcador de posición, y como   Los números relativos son los mismos números con signos. Comúnmente los números
              indicador de magnitudes   con signo más (1) los asociamos con situaciones o expresiones como: más que, después,
              nulas en diferentes contextos   a la derecha, por encima de, sobran, ganancias, entre otras tantas.
              matemáticos y científicos.
                                        Los números con signo menos (2), en cambio, los asociamos con expresiones como:
                                        menos que, a la izquierda, por debajo de, faltan, deudas, pérdidas, entre otras.

                                        Los números precedidos del signo más (1) como por ejemplo 13, normalmente lo
                                        escribimos 3, entendiendo que estamos hablando de un número positivo.

                                        Los números enteros son los que se forman de la unión de los enteros positivos con los
              ¿Por qué crees que        enteros negativos y el número cero. Se simbolizan con la letra Z.
              necesitamos el número cero
              cuando contamos o hacemos
              sumas y restas?                              Z 5 {… 25, 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3,4, 5…}
                                        Para representar los números enteros negativos, utilizamos la expresión Z  y para los
                                                                                                          2
                                        enteros positivos, Z .
                                                         1
                                        Cuando hablamos del conjunto de los números enteros, nos referimos a la unión entre
                                        el conjunto de los enteros negativos, el conjunto {0} y el conjunto de los enteros positivos,
                                        que lo simbolizamos como:

                                                                      Z 5 Z  ø {0} ø Z 1
                                                                           2




         108                                      DBA1 (Ev. 3) Representa en la recta numérica la posición de un número utilizando diferentes estrategias]]></page><page Index="108"><![CDATA[Pensamiento numérico y variacional

                               MUESTRA EDITORIAL





              1.2 Los enteros y su representación geométrica

              Geométricamente, los números enteros los representamos sobre una recta numérica.
                                                                                             Competencia
              Despues de trazar una recta, elegimos arbitrariamente un punto (punto de referencia),   matemática
              que representa al cero (0). Se fija la distancia del 0 al 1 con ayuda del compás y, teniendo   La abscisa x de un punto
              en cuenta la unidad de referencia, posicionamos otros números enteros tanto a la   es la menor distancia del
              derecha como a la izquiera del 0.                                              punto al eje y.
                                                                                             La ordenada de un punto
                                                                    Unidad de referencia     es la menor distancia del
                                                                                             punto, al eje x.




                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta

                  ...  25   24   23    22   21     0    1     2    3     4     5    ...
                    Z  Números enteros negativos          Z  Números enteros positivos
                                                           1
                     2
              1.3 Representación de números enteros en el plano cartesiano


              Veamos ahora el plano cartesiano. Se     II               y             I
              representa con dos rectas perpendiculares:             12
              una horizontal y otra vertical. La recta               10
              horizontal es el eje de las abscisas o eje x; y        8
              la otra recta, el eje de las ordenadas o eje y.        6
              La intersección de estas rectas determina              4
              el punto (0,0).                                        2                  x
                                                       212 210  28  26  24  22  2  4  6  8 10 12
              El plano queda dividido en cuatro regiones            22
              llamadas cuadrantes y numeradas, como                 24
                                                                    26
              está indicado en la gráfica de la derecha.            28
                                                                    210
              Ejemplo 2                                             212
                                                       III                            IV
              Ubica en el plano cartesiano los puntos A                  y
              (5,6), B (24,3) y C (2,-5)                              7
                                                                                 A (5, 6)
                                                                      6
              •  Las coordenadas del punto A son: con                 5
                 respecto al eje x: 5; y, con respecto al   B (24, 3)  4
                 eje y: 6.                                            3
                                                                      2
                                                                      1
              •  Las coordenadas del punto B son: con                                   x
                 respecto al eje x: 24; y, con respecto  27 26  25  24  23  22  21  0  1  2  3  4  5  6  7
                                                                     21
                 al eje y: 3.                                        22
                                                                     23
              •  Las coordenadas del punto C son: con                24
                 respecto al eje x: 2; y, con respecto al            25      C (2, 25)
                 eje y: 25.                                          26
                                                                     27



               DBA1 (Ev. 3) Representa en la recta numérica la posición de un número utilizando diferentes estrategias  109]]></page><page Index="109"><![CDATA[Números enteros

                               MUESTRA EDITORIAL





                                        1.4 Valor absoluto
              Interdisciplinariedad
              Matemática y              Observa la siguiente gráfica:
              geografía
                                        La distancia entre 23 y el cero es de 3 unidades. A esta distancia la llamamos valor
              Pasar direcciones a un    absoluto de 23, y la notamos como |23| 5 3.
              plano cartesiano te
              permite visualizar y ubicar   La distancia entre 3 y el cero es de 3 unidades. A esta distancia la llamamos valor absoluto
              lugares con precisión. Al
              definir un origen y usar   de 3 y la notamos |3| 5 3.
              ejes para medir posiciones,
              puedes convertir cualquier
              dirección en coordenadas
              y te facilita la localización   Occidente                                                     Oriente
              exacta de cada lugar.                    24    23   22    21    0     1     2    3     4
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              Esta técnica es útil para
              la navegación, mapas
              detallados y planificar                                              3 unidades
              rutas, es como tener un
              GPS en papel.                                         |23| 53          |3| 53



                                         El valor absoluto de un número es la distancia que existe entre el número y el cero
                                P P
                                         en una recta numérica. Para representar el valor absoluto de un número, se utilizan
                                         barras verticales.

                                                               |a| 5 a si a $ 0 y |a| 5 2a si a , 0
                P P

                                        1.5 Orden en los números enteros
              ¿Alguna vez te has
              preguntado cómo saben     Igual que el conjunto de los números naturales, el conjunto de los enteros es un conjunto
              los mensajeros llegar a   ordenado. Para representar las relaciones de orden, utilizamos los signos , (que se lee
              cada lugar en la ciudad?  menor que) y . (que se lee mayor que).
                                        Cuando ubicamos dos números enteros sobre la recta numérica, es mayor el que queda
                                        a la derecha del otro.

                                        Ejemplo 3

                                        Ubica los números enteros 5 y 26 en una recta numérica y establece cuál es mayor.

                                        Empezamos ubicando los números en la recta numérica.


                                            27  26  25   25  24   23  22   21   0   1    2   3    4   5   6    7

                                        Observamos que 5 quedó a la derecha de 26 y podemos concluir que: 5 . 26 o lo que
                                        es lo mismo 26 , 5









         110                                 DBA3 (Ev. 1) Determina criterios de comparación para establecer relaciones de orden entre dos o más números.]]></page><page Index="110"><![CDATA[Pensamiento numérico y variacional

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Escribe el número relativo que representa cada situación:
                 a.  El buzo está sumergido a una profundidad de 60 m. ____
                 b.  El dron se encuentra a 2500 m de altura. ____

                 c.  La temperatura promedio de Medellín es de 23 grados Celsius. ____
                 d.  En la sabana de Bogotá se han registrado temperaturas de 2 grados Celsius bajo cero. ____

              2.  Determina las coordenadas de los puntos ubicados en el plano cartesiano
                                                                   y
                                                                 7
                                                           B
                                                                 6
                                                                 5
                                                                             A
                                                                 4
                                                                 3
                                                                 2
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                                 1              x
                                                                  0
                                                     27 26  25  24  23  22  21  1  2  3  4  5  6  7
                                                                21
                                                                22
                                                                               C
                                                                23
                                                                24
                                                         D
                                                                25
                                                                26
                                                                27
              3.  Responde las siguientes preguntas:
                 a.  ¿Qué números enteros tienen como valor absoluto 75?
                 b.  ¿Qué números enteros tienen como valor absoluto 128?
                 c.  ¿Qué número entero es mayor que 210 y menor que 28?
                 d.  ¿Qué número entero se encuentra 4 unidades a la izquierda de 1?

              4.  Representa en la recta numérica los siguientes conjuntos.
                 a.  Los enteros mayores que 3 y menores que 11.
                 b.  Los enteros positivos mayores que 7.

                 c.  Los enteros mayores que 25, pero menores que 4.
                 d.  Los enteros negativos menores que 25

              5.  Localiza los puntos en el plano cartesiano
                 A(2,1); B(-6,4); C(10,5); D(0,-2); E(7,0); F(0,-4); G(0,6); H(0,0); I(-3-4)
                                                                 y
                                                              12
                                                              10
                                                               8
                                                               6
                                                               4
                                                               2
                                                                                x
                                                  212 210  28  26  24  22  2  4  6  8 10 12
                                                              22
                                                              24
                                                              26
                                                              28
                                                             210
                                                             212


                                                                                                                     111]]></page><page Index="111"><![CDATA[Números enteros

                               MUESTRA EDITORIAL





              6.  Considera los números enteros, responde las preguntas y justifica tus respuestas.
                 a.  ¿Cuáles tienen valor absoluto mayor que 4?

                 b.  ¿Cuáles tienen valor absoluto menor que 5?

                 c.  ¿Cuál es el valor absoluto de cero?
                 d.  ¿Por qué el valor absoluto de un número es siempre positivo?

              7.  Escribe los números enteros faltantes en cada una de la rectas numéricas dadas.
                 a.


                                       26          24         22           0     1          3
                 b.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta

                                 280        260   250         230        210    0           20

              8.  Ubica en la recta numérica los números pedidos en cada caso:
                 a.  El número entero que se encuentra 6 unidades a la derecha de 27.
                 b.  El número entero que se encuentra 8 unidades a la izquierda de 2.


                                27   26   25   24  23   22   21   0    1    2   3    4    5   6    7
              9.  Escribe el valor absoluto de cada número.


                 a.  |210|=                        c.  |27|=                          e.  |11|=
                 b.  |13|=                         d.  |28|=
              10.  Los números enteros que están a la misma distancia de cero, se denominan números opuestos. Los signos de
                 estos números son distintos. Por ejemplo, 23 es el opuesto de 3 y 3, el opuesto de 23.

                                                             3                3



                                              24    23   22    21    0     1    2     3    4
              11.  Determina el opuesto de cada uno de los números enteros dados.

                 a.   210                          c.  226                            e.  245
                 b.  18                            d.  12




               Trabajo colaborativo
               Junto a un compañero o compañera elaboren el plano de un barrio, ubiquen tres lugares importantes y escriban
               sus coordenadas.

               Actividad indagatoria
               ¿Cuál crees que es la diferencia entre un plano de la ciudad y un plano de tu casa?




         112]]></page><page Index="112"><![CDATA[Pensamiento numérico y variacional

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 2. Operaciones con números enteros




                                         Reto matemático

                                        Un ascensor que se encontraba en el piso 7 subió 3 pisos; luego, bajó 6 y por
                                        último bajó 2. ¿En qué piso quedó finalmente el ascensor?



              2.1 Adición con números enteros                                                Cátedra

              Supón que Javier está haciendo un desplazamiento en línea recta. Sale de su casa y, para ir   de salud y
                                                                                             bienestar
              a la farmacia, recorre 200 m en dirección oriente. Al salir de allí, va en la misma dirección
              hacia la salsamentaria, y recorre 150 m. De ahí, recorre 100 m hacia al occidente, donde se   Los eventos cotidianos, como
              detiene a tomar un refresco en una cafetería. Finalmente, regresa a su casa.   la pandemia de COVID-19,
                                                                                             pueden cambiar nuestros
                                          200                150                             hábitos de manera significativa.
                                                                                             Podemos utilizar números
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                                                             enteros para medir estos
                                                                                             cambios. Por ejemplo, antes
                         250    0    50   100  150   200  250   300   350  400               de la pandemia, podríamos
                                                                                             haber lavado nuestras manos
                                                                                             2 veces al día. Después de la
                                                                                             pandemia, este número podría
                                            2250               2100                          haber aumentado a 10 veces al
              a.  Escribe una expresión matemática que represente los 2 primeros recorridos y otra  día, mostrando un incremento
                 que represente los 2 últimos desplazamientos.                               de +8 veces. Estos cambios
                                                                                             numéricos ilustran cómo
              b. Escribe una expresión matemática que nos indique cuánto se desplazó en total de  eventos importantes pueden
                 occidente a oriente.                                                        transformar y cuantificar nuestro
                                                                                             comportamiento diario.
              c.  Escribe una expresión matemática que nos indique cuánto se desplazó en total de
                 occidente a oriente.
              Para la solución, consideremos que los desplazamientos hechos sobre la recta numérica
              de la situación descrita, se representan con expresiones matemáticas asociadas a la
              operación de adición.

              a.  Desplazamiento 1 y 2:    0 1 200 5 200        200 1 150 5 350
                                                                                             ¿Qué otro cambio crees que las
                 Desplazamiento 3 y 4:     350 1 (2100) = 250   250 1 (2250) 5 0             personas podrían hacer en sus
                                                                                             vidas después de la pandemia?,
              b. 200 1 150 5 350           Distancia recorrida de occidente a oriente.       ¿cómo podríamos medir ese
              c.  (2100) 1 (2250) 5 2350.  Distancia recorrida de oriente a occidente.       cambio con números enteros?
              Para definir la operación de adición, hablamos de dos números enteros y se presentan
              dos casos:
              2.1.1 Adición con números enteros de igual signo

               Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman sus respectivos valores
               absolutos y, al resultado, se le deja el signo de ambos números.

              Ejemplo 1. Suma 210 con 225

              Primero, calculamos el valor absoluto de 210 y 225: |210| 5 10, |225| 5 25
              Luego, sumamos los valores absolutos: |225| 1 |210| 5 35
              Finalmente, le dejamos a este resultado el signo 2, por ser números negativos.
                                          (210) 1 (225) 5 235.


               DBA1 (Ev. 3) Representa en la recta numérica la posición de un número utilizando diferentes estrategias.  113]]></page><page Index="113"><![CDATA[Números enteros

                               MUESTRA EDITORIAL





              Competencia               2.2.2 Adición con números enteros de diferente signo
              matemática
                                         Para sumar dos números enteros de diferente signo, se restan sus respectivos valores
              Para realizar adiciones y   absolutos y, al resultado, se le deja el signo del número entero que tenga mayor
              sustracciones con enteros   valor absoluto.
              en la recta numérica,
              comenzamos trazando       Ejemplo 2. Suma 220 y 8
              la primera flecha desde
              el origen con el sentido   Primero, calculamos el valor absoluto de 220 y 8: |220| 5 20, |8| 5 8
              indicado. Luego, trazamos   Luego, restamos los valores absolutos: |220| 2 |8| 5 12
              la segunda flecha desde
              el punto donde terminó la   Para terminar, le dejamos a este resultado el signo 2, porque 220 tiene mayor valor
              primera flecha.           absoluto que 8.
                                                                      (220) 1 (8) 5 212
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                        2.2 Propiedades de la adición
                                        La operación de adición de números enteros cumple las propiedades que se muestran
                                        en la siguiente tabla:


                Propiedad         Descripción                 Enunciado                        Ejemplo
                           La adición de dos números enteros
                Clausurativa                               Si a, b [Z, a 1 b [Z            (210) 1 (233) 5 243
                           es otro número entero.
                           En la adición de números enteros,                              (225) 120 5 20 1 (225)
               Conmutativa  el orden de los sumandos no altera   Si a, b [Z, a 1 b 5 b 1 a
                           el resultado.                                                       25 5 25
                           Los sumandos se pueden agrupar                           (220 1 15) 1 (24) 5 (25) 1 (24) 5 29
                Asociativa   de distintas formas y el resultado es   Si a, b, c [Z, a 1 (b 1 c) 5 (a 1 b) 1 c
                           el mismo.                                                (220) 1 (15 1 (24)) 5 (220) 1 11 5 29
                           Todo número entero sumado con                                  0 1 (225) 5 (225) 1 0
                Elemento   el 0, da como resultado el mismo   Si a [Z, a 1 0 5 0 1 a 5 a
                 neutro
                           número entero.                                                     225 5 225
                           Todo número entero sumado con                                   (26) 1 6 5 6 1 (26)
               Inverso aditivo su inverso aditivo, da como   Si a [Z, a 1 (2a) 5 (2a) 1 a 5 0
                           resultado el 0.                                                       0 5 0
                                        2.3 Sustracción de números enteros
                                        La sustracción de dos números enteros se define como la adición del minuendo más el
                                        opuesto del sustraendo.
                                                      Si a, b son números enteros, entonces a 2 b 5 a 1 (2b).
                                        Ejemplo 3. Calcula la diferencia 8 212.
                                        Expresamos la diferencia entre 8 y 12 como la suma de 8 más el opuesto de 12, que es 212.
                                                                      8 2 12 5 8 1 (212)
                                                                           5 24
                                        Verifiquemos este resultado, haciendo la representación geométrica.
                                                                          212
                                                                                     8


                                            24   23   22   21    0    1    2    3    4    5    6    7    8    9

                                        8 1 (212) 5 24 El resultado de esta suma es el resultado de la sustracción.


         114                      DBA9 (EV. 3) Realiza combinaciones de operaciones, encuentra propiedades y resuelve ecuaciones en donde están involucradas.]]></page><page Index="114"><![CDATA[Pensamiento numérico y variacional

                               MUESTRA EDITORIAL





              2.4 Operaciones combinadas con adición y sustracción de números enteros
              En el ascensor de un edificio de 5 pisos, se registró el número de personas que
              subieron y bajaron en cada uno de los pisos. ¿Cuántos pasajeros llegaron al
              quinto piso?

                          Piso        Personas que suben Personas que bajan

                       Primer piso            110                  0
                      Segundo piso            12                   23
                        Tercer piso            0                   28
                       Cuarto piso            14                   24
                       Quinto piso            13                   22

              Para conocer cuántos pasajeros llegaron al quinto piso, planteamos la siguiente operación:
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                           (110) 1 (12) 1 (23) 1 (28) 1 (14) 1 (24) 1 (13) 1 (22)            Competencia
                                                                                             matemática
              Adicionamos los números con signo positivo y conservamos el signo:
                                                                                             En la mayoría de sistemas
                                          10 1 2 1 4 1 3 5 119                               numéricos antiguos no
                                                                                             existía el cero. Se cree que
              Adicionamos los números con signo negativo y conservamos el signo:
                                                                                             los hindúes fueron quienes
                                    (23) 1 (28) 1 (24) 1 (22) 5 217                          lo utilizaron por primera
                                                                                             vez por el año 650 d. C.
              Sustraemos los valores absolutos de los números (el mayor del menor) y se escribe en el   Indaga y redacta un
              resultado el signo del número que tenga mayor valor absoluto:                  párrafo sobre este tema.
                                            119 2 17 5 12

               En una operación combinada de adición y sustracción sin signos de agrupación, se
               empieza a operar de izquierda a derecha, según aparecen las operaciones. En una
               operación de adición y sustracción con signos de agrupación, como paréntesis ( ),
               corchetes [ ] o llaves { }, se resuelven primero las operaciones internas de los signos de
               agrupación, es decir, de adentro hacia afuera.

              Ejemplo 4

                           210 2[7 1 112(6 2 4)] 1 {4 2 [4 1 (8 210)]} 1 3 2 (8 2 3)
              Solución
              Resolvemos primero los paréntesis:
                               210 2 [7 1 11 2 (2)] 1 {4 2 [4 1 (22)]} 1 3 2 (5)
              Resolvemos las operaciones dentro de los corchetes:

                                      210 2 [16] 1 {4 2[2]} 1 3 2 (5)
              Resolvemos las operaciones que están dentro de las llaves:
                                        210 2 (16) 1 (2) 1 3 2 (5)
              Resolvemos las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha:
                                       210 2 16 1 2 1 3 2 55 226





              DBA9 (Ev. 3) Realiza combinaciones de operaciones, encuentra propiedades y resuelve ecuaciones en donde están involucradas.  115]]></page><page Index="115"><![CDATA[Números enteros

                 c.  (29) 2 15MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Llena los espacios en blanco, en la siguiente tabla, según corresponda.

                                           a      b     a 1 b   a 2 b   b 2 a (a 1 b) 2 8
                                           15    -37
                                           -7    63
                                          -120   -48
                                          -230   135

              2.  Halla el número que falta en la operación:

                 a.   210 1 5 2 (−___) 5 7
                 b.  35 2 7 1 (2___) 5 18

                 c.  35 1 (27) 2 (___) 5 223
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              3.  Escribe las siguientes sustracciones como adiciones y resuélvelas.

                 a.  (112) 2 (16)                                   e.  (17) 2 0

                 b.  (+5) 2 (111)                                   f.  (140) 2 (130)

                 c.  (225) 2 (26)                                   g.  (210) 2 (25)

                 d.  (120) 2 (28)                                   h.  (113) 2 (118)

              4.  Escribe las sustracciones y encuentra el valor del dato desconocido.

                 a.  ¿Qué número debe sustraerse de 258 para que la diferencia sea 28?
                 b.  ¿Qué número restado de (136), da (148)?

                 c.  ¿Cuál es el minuendo, si el sustraendo es 47, y la diferencia es (29)?

                 d.  ¿Cuál es la diferencia si el sustraendo es (210) y el minuendo es (215)?

                 e.  ¿Cuál es el sustraendo si el minuendo es 92 y la diferencia (2145)?

              5.  ¿Cuál de las siguientes sucesiones está ordenada correctamente de mayor a menor?

                 a.  7, 6, 25, 24

                 b.  10, 0, 21, 22

                 c.   23, 22, 1, 2

                 d.   24, 25, 2, 1
              6.  Resuelve las siguientes sustracciones.

                 a.  55 2 (213)                                     d.  37 2 (238)

                 b.  (242) 2 14.                                    e.  (247) 2 (265)

                                                                    f.  (239) 2 70


         116]]></page><page Index="116"><![CDATA[Pensamiento numérico y variacional








              7.  Asocia con una flecha el ejemplo de la columna de la izquierda con el nombre de la propiedad de la columna de la
                 derecha. Los ejemplos y las propiedades corresponden a la adición de números enteros

                 (215) + 3 = 3 + (215)             Clausurativa


                 (212) 1 0 5 0 1 (212) 5 (212)     Conmutativa
                 (22) 1 4 5 2                      Asociativa


                 7 1 (27) 5 (27) 1 7 5 0           Elemento neutro

                 [14 1 31] 1 (220) 5 14 1 [31 1 (220)]   Opuesto aditivo

              8.  Haz la representación geométrica en la recta numérica de las sustracciones indicadas.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 a.  (29) 2 (23) 5

                    213  212  211  210  29  28  27  26  25  24  23  22  21  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13

                 b.  8 2 (24) =


                   213  212  211  210  29  28  27  26  25  24  23  22  21  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13

                 c.  (26) 2 7 5 MUESTRA EDITORIAL

                   213  212  211  210  29  28  27  26  25  24  23  22  21  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13

                 d.  13 2 18 5

                   213  212  211  210  29  28  27  26  25  24  23  22  21  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13

              9.  Calcula los resultados de cada expresión. Compara los resultados de cada par de expresiones matemáticas y escribe
                 el signo ,, . o 5, según corresponda.

                 a.  (28) 2 (27) + 12   ______ (213) 1 5

                 b.  (20 2 34) 1 (212)  ______ (223) 2 [(23) 115]

                 c.  56 1 45 1 (26)    ______ 12 1 [(21) 2 (215)]

                 d.  25 1 [32 2 (-4)]    ______ [(28) 1 (216)] 2 5




              Trabajo colaborativo
               Trabajen en parejas la simplificación de la siguiente expresión: 19 1 (25) 1 {26 1 [(225 2 16) 1 (29 1 3)]}




              Actividad indagatoria
               Investiga qué otras estrategias se pueden utilizar para resolver operaciones combinadas de números enteros




                                                                                                                     117]]></page><page Index="117"><![CDATA[Números enteros


              Tema 3. Multiplicación y división de números enteros




                  2    5     2   5       Reto matemático


               4    4      4            Calcula las áreas A , A  y A  y prueba que A  1 A  5 A .
                                                        1  2  3              1   2    3
                 A 1   A 1     A 3



              Cátedra                   3.1 Multiplicación de enteros del mismo signo y de signos diferentes
              de salud y
              bienestar                 La multiplicación de números naturales se puede definir como una suma repetida de un

              Las matemáticas pueden    mismo número.
              aplicarse a situaciones de la
              vida real y promover una vida   Ejemplo 1. 3 3 5 se lee 3 veces 5 y significa que 3 3 5 5 5 1 5 1 5 y, por tanto, el
              equilibrada y saludable.  producto es 15.
              1: Multiplicación mismo signo
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              • Positivo 3 Positivo 5 Positivo  Ahora, aplicando la misma idea para determinar el producto 4 3(26) que se lee 4 veces 26,
              Ejercicio Regular 3 Buena   significará que 4 3 (26) 5 (26) 1 (26) 1 (26) 1 (26) y, por tanto, el producto es 224.
              Alimentación 5 Mejora de la
              Salud                     Observa la estrategia para saber qué pasa cuando el primer factor es negativo y el
              • Negativo 3 Negativo     segundo es positivo.
              5 Positivo
              Sedentarismo 3 Mala       3 3 4 5 12 2 3 4 5 8  1 3 4 5 4  0 3 4 5 0  21 3 4 5 ? 22 3 4 5 ? 23 3 4 5 ?
              Alimentación
              5 Empeoramiento de la Salud  Los números naranja disminuyen de 1 en 1 y los números en verde disminuyen de 4 en 4.
              2: Multiplicación de signos
              diferentes       MUESTRA EDITORIAL
                                        Continuando con ese patrón, se tiene que:
              • Positivo 3 Negativo
              5 Negativo                21 34 5 0 1 (24) 5 24    22 3 4 5 (24) 1 (24) 5 28  23 3 4 5 (28) 1 (24) 5 212
              Ejercicio Regular 3 Mala
              Alimentación 5 Compromiso   De lo anterior, concluimos que el producto de dos enteros de distinto signo es un
              de la Salud
              • Negativo 3 Positivo     entero negativo.
              5 Negativo
              Sedentarismo 3 Buena                             (1) 3 (2) 5 2    (2) 3 (1) 5 2
              Alimentación 5 Resultado
              Subóptimo                 Ahora, miremos qué pasa cuando el primer factor es negativo y el segundo es negativo,
                                        utilizando la misma estrategia.

                                        3 3 (22) = 26      1 3 (22) 5 22      21 3 (22) 5 ?      23 3 22 5 ?

                                        2 3 (22) 5 24      0 3 (22) 5 0       22 3 22 5 ?
                                        Los números en naranja disminuyen de 1 en 1 y los números en rojo aumentan de 2 en 2.
              Es importante fomentar hábitos
              saludables, actividad física   Al continuar con ese patrón, se tiene que:
              regular y una dieta equilibrada.
                                        21 3 (22) 5 0 1 2 5 2    22 3 22 5 2 1 2 5 4       23 3 22 5 4 1 2 5 6
                                        De lo anterior, concluimos que el producto de dos enteros del mismo signo es un entero
                                        positivo.

                                                               (1) 3 (1) 5 1    (2) 3 (2) 5 1

                                        Ejemplo 2
                                        a.  12 3 (27) 5 284                   c.  (22) 3 (225) 5 50

                                        b.  28 3 15 5 2120                    d. 31 3 10 5 310


         118                                 DBA2 (Ev. 1) Propone y justifica diferentes estrategias para resolver problemas con números enteros y racionales.]]></page><page Index="118"><![CDATA[Pensamiento numérico y variacional

              b.  290 4 15= 26MUESTRA EDITORIAL





              3.2 Propiedades de la multiplicación
              La multiplicación de números enteros cumple con las siguientes propiedades:
               Propiedad           Descripción                     Enunciado                     Ejemplo
                        La multiplicación de dos números enteros es
              Clausurativa                                      Si a, b [Z, a 3 b [Z           (21) 3 (23) 5 3
                        otro número entero.
                        En la multiplicación de números enteros, el                           (25) 3 4 5 4 3 (25)
              Conmutativa                                     Si a, b [Z, a 3 b 5 b 3 a
                        orden de los factores no altera el producto.                            220 5 220
                        Los factores se pueden agrupar de distintas                      7 3 ((25) 3 (22)) 5 7 3 (10) 5 70
               Asociativa                                 Si a, b, c [Z, a 3 (b 3 c) 5 (a 3 b) 3 c
                        formas y el producto es el mismo.                              (7 3 (25)) 3 (22) 5 (235) 3 (22) 5 70
               Elemento  Todo número entero multiplicado por 1 da   Si a [Z, a 3 1 5 1 3 a 5 a  1 3 (22) 5 (22) 3 1
                neutro  como resultado el mismo número entero.                                   22 5 22
                                                                                         5 3 (26 1 1) 5 5 3 (26) 1 5 3 1
                Inverso   La multiplicación de enteros distribuye con   Si a, b, c [Z, a 3 (b ± c) 5 a 3 b ± a 3 c  5 3 (25) 5 (230) 15
                aditivo  respecto a la adición y a la sustracción.
                                                                                                225 5 225
              Ejemplo 3. Aplica la propiedad asociativa en la expresión 8 3 (27) 3 (22)
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              8 3 (27) 3 (22) 5 (8 3 (27)) 3 (22)        Aplicando propiedad asociativa
                            5 256 3 (22)
                            5 112
              Ejemplo 4. Aplica la propiedad asociativa en la expresión (25) 3 6 3 (23) 3 (23)
              (25) 3 6 3 (23) 3 (23) 5 ((25) 3 6) 3 ((23) 3 (23))  Aplicando propiedad asociativa
                                   5 (230) 3 9
                                   5 2270
              Ejemplo 5. Aplica la propiedad distributiva en la expresión (25) 3 [14 2 (26)]
              (25) 3 [14 2 (26)] 5 (25) 3 [14 1 6]
                              5 (25) 3 14 1 (25) 3 6     Aplicando la propiedad distributiva
                              5 (270) 1 (230)
                              5 2100
              3.3 División de números enteros
              Para la división de números enteros, tengamos en cuenta que, cuando dividimos números
              naturales, por ejemplo 36 entre 4, lo que hacemos es buscar el número que multiplicado por
              4 nos dé 36 y ese número es 9; por lo que decimos que 36 4 4 5 9, porque 9 3 4 5 36
              En la división exacta de números enteros, se analizan dos casos:
              3.3.1. División de enteros del mismo signo
              a.  42 4 6 5 7,      puesto que el número que multiplicado por 6 da 42 es 7
              b.  (224) 4 (24) 5 6,   puesto que el número que multiplicado por 24 da 224 es, 6
               Al dividir dos números enteros del mismo signo, se obtiene como resultado un
               número entero positivo.

              3.3.2. División de enteros de diferente signo
              a.  72 4 (29) 5 28   puesto que el número que multiplicado por 29 da 72, es 28
              b.  (235) 4 7 5 25   puesto que el número que multiplicado por 7 da 235, es 25
               Al dividir dos números enteros de diferente signo, se obtiene como resultado un
               número entero negativo.

              Ejemplo 6
                 a.  14 4 (27) 5 22                 c.  (220) 4 (25) 5 4
                                                    d.  30 4 10 5 3

              DBA 9 (Ev. 1) Utiliza las operaciones y sus inversas en problemas de cálculo numérico.                 119]]></page><page Index="119"><![CDATA[Números enteros

                 d.  5 3 (211) 5 ____ MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Encuentra la respuesta en cada caso.            7.  Llena los espacios en blanco después de realizar las
                                                                      operaciones indicadas.
                 a.  [245 3 9] 4 5 5 ________
                                                                     a    b    c    a 3 b 3 c  a 3(c 3 b)  5 3 c 3 b
                 b.  [(260) 3 (210)] 4 3 5 ________
                                                                    24   25   22
                 c.  [80 3 4] 4 (240) 5 ________                     6    2   28

                 d.  [14 3 (–6)] 4 (23) 5 ________                   2   26   29
                                                                    23   21   23
                 e.  [228 3 2] 4 4 5 ________                     8.  Busca el número entero que reemplaza la letra a en
                 f.   [(250) × 2] ÷ 25 5 ________                     cada expresión matemática para que la igualdad sea
                                                                      verdadera.
                 g.  [(216) × (–5)] ÷ (220) 5 ________
                                                                      a.  3 3 a 5 24, entonces a 5
                 h.  [(26) × 9 × 2] 4 (26) 5 ________
                                                                      b.  (25) 3 a = (220), entonces a 5
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 i.   [(260) × (24)] ÷ 40 5 ________
                                                                      c.  a 3 7 = (235), entonces a 5
                 j.   [10 3 (26) 3 (28)] 4 (216) 5 ________
                                                                      d.  (22) 3 a = 16, entonces a 5
              2.  Escribe los divisores comunes de las siguientes
                 parejas de números enteros.                          e.  [4 1 5] 3 a = (236), entonces a =
                                                                      f.   (210) a 5 (140), entonces a 5
                 a. (290) y (210)   b. (26) y (23)   c. 8 y 20
                                                                  9.  Calcula el cociente en cada una de las divisiones.
              3.  Halla tres múltiplos comunes de las siguientes      a.  (244) 4 22 5         g.  (228) 4 (24) 5
                 parejas de números enteros.
                                                                      b.  75 4 (25) 5          h.  (2200) 4 (25) 5
                 a. 4 y 12        b. (23) y (212)  c. (25) y (230)
                                                                      c.  63 4 (29) 5          i.  234 4 (23) 5
              4.  Aplica  la propiedad distributiva para  resolver    d.  (2216) 4 (236) 5     j.  (2224) 4 (28) 5
                 cada expresión.
                                                                      e.  (236) 4 4 5          k.  180 4 (212) 5
                 a.  (22) 3 [15 1 (29)]    b.  (26) x [(27) 1 (213)]  f.  (260) ÷ (25) 5       l.  (2225) 4 15 5
                 c.  5 3 [16 2 (-4)]    d.  14 3 [18 2 (22)]      10.  Calcula el valor numérico de cada expresión:

                 e.  [211 1 (25)] x (27)  f.  [(24) 1 16] 3 (29)      a.    (22) 3 (24) 1 (26) 3 (23)
              5.  Escribe en la línea el número o los números que                     (213)
                 correspondan para que se cumpla la igualdad.         b.   (18) 3 (25) 1 (210) 3 (13)
                 a.   29 3 ___ 5 63                                                   (17)
                 b.   27 3 ___ 5 35                                   c.   (26) 3 (12) 1 (24) 3 (110)
                                                                                      (24)
                 c.  11 3 ___ 5 233                                        (21) 3 (214) 1 (22) 3 (213)
                 d.   29 3 ___ 3 4 5 72                               d.              (18)

                 e.   ___ 3 25 3 4 5 2120
                                                                   Trabajo colaborativo
                 f.    ___ 3 ___ 3 29 5 2180                       Trabaja con un compañero. Cada uno debe plantear un
                                                                   problema en el que se utilicen las operaciones de división y
              6.  Determina los siguientes productos:              multiplicación de números enteros. Luego, intercambien los
                                                                   problemas planteados y soluciónenlos de manera individual.
                 a.  (28) 3 5 5 ____      e.  28 3 22 5 ____       Finalmente, compartan la soluciones encontradas y si es
                                                                   necesario, hagan las correcciones del caso.
                 b.  3 3 (27) 5 ____      f.  212 3 7 5 ____

                 c.  (27) 3 (23) 5 ____   g.  24 3 210 5 ____      Actividad indagatoria
                                                                   Investiga qué propiedades cumple la operación de división
                                          h.  12 3 24 5 ____       en los números enteros.


         120]]></page><page Index="120"><![CDATA[Pensamiento numérico y variacional

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 4. Potenciación y radicación con enteros




                                         Reto matemático


                                        ¿Cuál es el número de cubos pequeños que hay en la figura?



              4.1 La potenciación de enteros
              En una empresa de chocolates, para empacar sus productos, tienen 4 tipos de cajas,
              como se muestran en las figuras laterales.
              Recurriendo a la matemática, nos piden resolver los siguientes interrogantes:

              1. ¿Cuántas cajas tipo 1 caben en cada uno de los demás tipos de caja?                  Tipo 4
              Como se muestra en la ilustración, podemos ver cuántas cajas tipo 1 caben por cada lado
              en las demás cajas, lo que nos permite concluir que:
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 i.  En la tipo 2 caben 2 3 2 3 2 5 8 cajas tipo 1.
                 ii.  En la tipo 3 caben 3 3 3 3 3 5 27 cajas tipo 1.                                 Tipo 3
                 iii. En la tipo 4 caben 6 3 6 3 6 5 216 cajas tipo 1.

              2. ¿Cuántas cajas tipo 2 caben en la caja tipo 4?
              En este caso, por cada lado de la caja tipo 4, caben 3 cajas tipo 2 y se concluye que, en la   Tipo 2
              caja tipo 4, caben 3 3 3 3 3 5 27 cajas tipo 2.
              3. ¿Cuántas cajas tipo 3 se pueden empacar en la caja 4?

              Igual que en el caso anterior, podemos determinar que, por cada lado de la caja 4, caben   Tipo 1
              2 cajas tipo 3. Concluimos que en la caja tipo 4 caben 2 3 2 3 2 5 8 cajas tipo 3.

              En la solución a las diferentes situaciones, encontramos que, en cada caso, aparecen
              unos productos indicados con todos los factores iguales y esta particularidad nos lleva a
              una operación que llamamos potenciación.
              Aparecen tres elementos:

              1. El número que se repite como factor se llama base (a).
              2. El número de veces que se repite el factor se llama exponente (n).
              3. El resultado se llama potencia (a ).
                                              n
              La operación de potenciación consiste en escribir, en forma abreviada, un producto
              indicado en el que todos sus factores son iguales.

                                  a  = a 3 a 3 a 3 a 3 ... 5 b                   Exponente
                                   n
                         4
              Ejemplo 1. 5  5 5 3 5 3 5 3 5 5 625
                                                                              a  = b   Potencia
                                                                                n
                     Base = 5.     Exponente 5 4         Potencia 5 625
                                                                                Base
              Ejemplo 2. Calcula las siguientes potencias.
                 a.  (22)  5 (22) 3 (22) 3 (22) 3 (22) 5 16
                         4
                 b. 3  5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 243
                      5
                 c.  14 5 1 3 1 3 1 3 1 5 1




              DBA9 (Ev. 3) Realiza combinaciones de operaciones, encuentra propiedades y resuelve ecuaciones en donde están involucradas.  121]]></page><page Index="121"><![CDATA[Números enteros

                               MUESTRA EDITORIAL





                                        4.2 Propiedades de la potenciación
                                        Dados a y b números enteros distintos de cero, m y n números naturales, en la
                                        potenciación se cumplen las siguientes propiedades.
                                                     Propiedades de la potenciación de números enteros
                                         Producto de potencias con igual base                a  3 a  5 a m 1 n
                                                                                              m
                                                                                                   n
                                         Cociente de potencias con igual base                a  4 a  5 a m 2 n
                                                                                              m
                                                                                                   n
                                         Potencia de una potencia                             (a )  5 a m 3 n
                                                                                                m n
                                         Producto de potencias con igual exponente          a  3 b  5 (a 3 b) n
                                                                                              n
                                                                                                  n
                                         Cociente de potencias con igual exponente          a  4 b  5 (a 4 b) n
                                                                                                  n
                                                                                              n
                                        Ejemplo 3. Resuelve las operaciones indicadas
                                                      Ejemplo                              Propiedad
                                         (12 )  5 12 334  5 12 12            Potencia de una potencia
                                           3 4
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                         (213)  3 (213)  5 (213) 4 1 7  5 (213) 11  Producto de potencias de igual base
                                              4
                                                      7
                                         (26)  3 3  5 [26 3 3]  5 (218) 5    Producto de potencias de igual exponente
                                             5
                                                            5
                                                 5
                                         (228)  4 (–2)  5 [(228) 4 (22)]  5 14 7  Cociente de potencias con igual exponente
                                              7
                                                    7
                                                                     7
                                         15  4 15  5 15 8 2 5  5 15 3        Cociente de potencias con igual base
                                                5
                                           8
                                        4.3 Radicación con números enteros
                                        Considera la siguiente situación: se sabe que el área de una terreno cuadrado es de 64 m
                                                                                                                   2
                        A = 64  l = ?   y se quiere averiguar la longitud del lado del cuadrado. ¿Qué tenemos que hacer?
                                        Recordemos que, para determinar el área de un cuadrado de lado l, utilizamos la
                                        fórmula A 5 l .
                                                    2
              Competencia
                                                                                                       2
              matemática                Si reemplazamos el valor del área en la formula, obtenemos la ecuación: l  5 64
              Los elementos de la       Lo que significa que debemos encontrar el número l, que elevado al cuadrado da 64.
              radicación son:           Este proceso es conocido como radicación, en donde observamos que conocida la
              1.  Cantidad subradical o  potencia (64) y el exponente (2) debemos encontrar la base (l).
                  radicando (b)
              2.  Índice de la raíz (n)  Esto lo simbolizamos como: l 5 √64, de donde l 5 8
              3.  Raíz (a)              Por tanto, la longitud del cuadrado cuya área es 64 m , es 8 m.
                                                                                      2
                  Índice                La radicación es una operación inversa de la potenciación, en la que conocida la potencia
                                        y el exponente, debemos encontrar la base.
                    n   b = a  Raíz     La relación entre la potenciación y la radicación la describimos por medio de esta
                        Radicando       equivalencia:
                  Signo
                                                                                  n
                  radical                                             n  b 5 a    a  5 b
                                        Lo que significa que debemos encontrar el número n que elevado al cuadrado da 64.
                                        Ejemplo 4
                                        Calcula la raíz en cada caso
                                        a.  5  32 5 2, puesto que 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 32

                                        b.  3  125 5 5, puesto que 5 3 5 3 5 5 125
                                        c.    10 000 5 10, puesto que 10 3 10 3 10 3 10 5 10 000
                                            4
                                        d.   28 5 22, puesto que (22) 3 (22) 3 (22) 5 28
                                            3
                                        e.  5  2243 5 23, puesto que (23) 3 (23) 3 (23) 3 (23) 3 (23) 5 2243



         122                                                 DBA 9 (Ev. 1) Utiliza las operaciones y sus inversas en problemas de cálculo numérico.]]></page><page Index="122"><![CDATA[Pensamiento numérico y variacional

                               MUESTRA EDITORIAL





              4.4 Propiedades de la radicación
              Las propiedades de la radicación de números enteros son las mismas que las de números
              naturales con el exponente n, siendo un número natural distinto de cero.


                 Propiedad            Enunciado             Expresión algebraica                Ejemplos
                               La raíz n-ésima de la
              Raíz n-ésima de la                              n  n  n 4 n 5 1  1         6  6    6 4 6 5 1   1
              n-ésima potencia  n-ésima potencia es igual      a   5 a      5 a            21  5 21    5 21 5 21
                               a la cantidad subradical.
              Raíz de un       Es igual al producto de las      n  ab 5   a 3   b     25 3 36 5  25 3  36 5 5 3 6 5 30
                                                                         n
                                                                     n
              producto         raíces de sus factores.
                               Es igual al cociente de la
              Raíz de una      raíz del numerador entre      n a    n  a                     3 64  3  64  4
              fracción                                           b  5   n  b     bÞ 0            8   5   3  8   5  2
                               la raíz del denominador.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              Ejemplo 5
              Al aplicar las propiedades, obtenemos el resultado de las siguientes raíces.

                                                                    3 21728
                                           3
              a.     7 3               c.     6 7               e.
                  3
                                                                        27
              b.     9 8               d.  100 3 4
                  4
              Solución
                                                                  3
              a.  Simplificamos el exponente y el índice de la raíz:   7 57  5 7
                                                           3

                                                              3
                                                                  3
                                                                  8
                                                              2
                                                           4
              b.  Simplificamos el exponente y el índice de la raíz:   9 59  5 9 2

                                                                  4
              c.  Recordamos la propiedad de la potenciación: producto de potencias de bases
                 iguales.
                 6  5 6  3 6  3 6, se conserva la base y se suman exponentes.
                      3
                  7
                          3
                                             3  3
                                            3
                                                              3
                                                                 3
                                                                      3

                                                 3  3
                                                    1

                             3

                               7
                                    3  3  1
                 Por lo tanto,    6  5   6 6 6 5  6  6  6 56 363   6 536   6 3
                                  3
              d.    100 3  4 5 10 3 2 5 20
                  3 21728
              e.           5   3  21728   5  212  5 24
                     27        3  27     3
               En la radicación, pueden aparecer los siguientes casos:
               Cuando la cantidad subradical es positiva y el índice es par, la raíz toma doble signo ±.
               Ejemplo:   16 5 ±4 porque 4  =16 y (24)  5 16
                                               2
                                      2
               Cuando la cantidad subradical es positiva y el índice es impar, la raíz es positiva.
               Ejemplo:   8 5 2 porque 2  5 8
                      3
                                   3
               Cuando la cantidad subradical es negativa y el índice es impar, la raíz es negativa.
               Ejemplo:  28 5 22 porque (22)  5 28
                      3
                                         3
               Cuando la cantidad subradical es negativa y el índice es par, la raíz no está definida en el
               conjunto de los números enteros.
               Ejemplo:   225 5 no está definida en el conjunto de los números enteros.
               DBA9 (Ev. 3) Realiza combinaciones de operaciones, encuentra propiedades y resuelve ecuaciones en donde están involucradas.  123]]></page><page Index="123"><![CDATA[Números enteros

                               MUESTRA EDITORIAL





                                        4.5 Operaciones combinadas
                     Glosario           4.5.1 Jerarquía de las operaciones combinadas
                Jerarquía. Orden
                que se debe tener en    Carlos tiene una cartulina rectangular de 25 cm 3 30 cm y, para decorar un cartel,
                cuenta para resolver    necesita recortar 8 cuadrados cuyos lados midan 5 cm, y 5 cuadrados cuyos lados midan
                correctamente           10 cm. ¿Le alcanzará la cartulina?
                operaciones             Para saber si le alcanza o no la cartulina, planteamos una operación combinada donde el
                combinadas.
                                        resultado de la diferencia debe ser positiva o 0.
                                                                                         2
                                                                                2
                                                                  25 3 30 2 [8 3 5  1 5 3 10 ]
                                         Para resolver operaciones combinadas con números enteros, se utiliza la
                                          jerarquía de las operaciones:
                                         1.  Efectuar las operaciones que se encuentran entre paréntesis, corchetes y llaves.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                         2.  Calcular las potencias y raíces.

                                         3.  Calcular los productos y cocientes.
                                         4.  Realizar las adiciones y sustracciones.


                           Jerarquía de operaciones             25 3 30 2 [8 3 5  1 5 3 10 ] Se resuelven las potencias que
                                                                                        2
                                                                               2
                                                                hay dentro del corchete.
                                                                25 3 30 2[8 3 25 1 5 3 100] Se resuelven las potencias que
                                  ( ) [ ]
                               1 Paréntesis                     hay dentro del corchete..
                                                                25 3 30 2[200 1 500] Se resuelven las multiplicaciones del
                                  a   √                         corchete.
                                   b
                             2 Potencias y raíces
                                                                25 3 30 2[700] Multiplicamos lo que está fuera del corchete
                                                                y resolvemos la sustracción.
                                  :  4
                          3 Multiplicación y divisiones         750 2 700 5 50
                                                                Luego de realizar la operación, podemos concluir que sí le
                                + −                             alcanza la cartulina e, incluso, le sobra.
                              4 sumas y restas




                                         En una operación combinada se pueden encontrar diversas operaciones (suma, resta,
                                         multiplicación, división, potenciación y radicación), donde pueden o no aparecer
                                         signos de agrupación.

                                        Ejemplo 6
                                                                                            2
                                        Encuentra la solución de: 3 1 5 3 4 1 7 2 5 2 28 4 7 1 9 3 4  1  100 5
                                        Solución

                                        Resolvemos potencias y raíces.      3 1 5 3 4 1 7 2 5 2 28 4 7 1 9 3 16 1 10
                                        Resolvemos multiplicaciones y divisiones. 3 1 20 1 7 2 5 2 4 1 144 1 10

                                        Resolvemos sumas y restas de izquierda a derecha. 175



         124                                                       DBA1 (Ev. 4) Interpreta y justifica cálculos numéricos al solucionar problemas.]]></page><page Index="124"><![CDATA[Pensamiento numérico y variacional

                               MUESTRA EDITORIAL





              Ejemplo 7
                                                                                              Interculturalidad
              Resuelve los siguientes ejercicios.
              a.   322 1 3 3 (22 1 17) 4 54 2 3(26 1 7 2 12)22 3 (25 1 3)4 =                 La matemática es
                                                                                             fundamental para la
                               2
                                             2
              b.  20 2 524 4 4 1 6  1 (  81 1 2 3 5 )6 27 3 8 4(725) 5
                                                                                             gente que vive en el
                                                                 2
                                                   2
                  3
                                                            0
                                                        3
                                     2
                                2
              c.     −27 3 64 2(23)  (23)  1  81 1 (25)  1  2  1 5  1  2  212 4  45 4 5 5    campo. Medir sus terrenos,
              Solución                                                                       dividirlos en parcelas para
                                                                                             sus plantaciones, calcular
              a.   322 1 3 3 (22 1 17) 4 54 2 3(26 1 7212) 22 3(25 1 3)4 5                   la cantidad de semillas que
                 Resolvemos operaciones en el paréntesis.                                    necesita, los productos que
                                                                                             vende, etc.
                  322 1 3 3(115) 4 54 2 3(211) 22 3(22) 4                                    Reflexiona acerca de
                 Resolvemos las multiplicaciones y divisiones que están dentro de los corchetes.  cómo la matemática es
                                                                                             esencial en la agricultura.
                 322 1 94 2 3(211) 14) 4
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 3174 2 3274 Resolvemos sumas y restas dentro de los corchetes.
                 7 1 7 5 14 Eliminamos corchetes.
                               2
                                             2
              b.  20 2524 4 4 1 6  1 (  81 1 2 3 5 )6 27 3 8 4 (7 2 5) 5
                 Resolvemos potencias y raíces.
                 20 2524 4 4 1 36 1 (9 1 2 3 256 27 3 8 4 (7 2 5)
                 Resolvemos multiplicaciones y divisiones.
                 20 256 1 36 1(9 1 50)6 228
                 Resolvemos paréntesis.
                 20 256 1 36 159)6 228.
                 Resolvemos llaves y eliminamos signos de agrupación.

                 20 2 101 2 28
                 Resolvemos sumas de izquierda a derecha 2109
                                2
                  3
                                     2
                                                            0
                                                                2
                                                   2
                                                         3
              c.     −27 3 64 2(23)  (23)  1  81 1(25)  1  2  15  12  212 4  45 4 5 5
                 Aplicamos propiedades de la potenciación y radicación.
                    −27 3   64 2(23) 1  9 1 (25)  1   9 1 2  212 4   9
                                             2
                                                     2
                  3

                                 4
                        3
                 Resolvemos potencias y raíces.
                 23 3 4 2 81 1 3 1 25 1 3 1 4 212 4 3.
                 Resolvemos multiplicaciones y divisiones.
                 212 281 1 3 1 25 1 3 1 4 2 4
                 Resolvemos sumas y restas 293 1 31 5 262
                              2
                                             3
                                         2
              d.    25 1 39 1 (3  1 8) (6 2 4 ) 1   64 2 3 5
                 Resolvemos potencias y raíces.
                 Resolvemos multiplicaciones y divisiones.
                 8 1 (9 1 8) (6 2 16) 1 4 3 4 2 3 5
                 8 2 170 1 16 23 5
                 Resolvemos sumas y restas 24 2 173 5 2149


              DBA9 (Ev. 3) Realiza combinaciones de operaciones, encuentra propiedades y resuelve ecuaciones en donde están involucradas.  125]]></page><page Index="125"><![CDATA[Números enteros

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Resuelve los siguientes ejercicios:
                                                       3
                                                    2
                            3
                                  3
                               3
                 a.   37(4 1 4 22 ) 1  22164 2233 1 (2 1 3)  1  644 5
                                                2
                 b.  6 3 3 (7 1 6 2 5 212)+ 34(5 1 3 ) 1  644 5
                                              3
                 c.   28163151(4 1 2)  +  512 2 4  28 + (25)2(24)4 =
                                     2
                                       3
                                          4 2
                                  3
                                               5
                 d.  3(6 1  25 26) 1  125 1 (2 )  42  1 10 5
              2.  Aplica la jerarquía de solución de operaciones combinadas sin signos de agrupación.
                                         3
                 a.    25 1 4 2 5 1 42 1 25 2  264 5
                      2
                                            3
                                     2
                 b.  8    4 1 124 2 6 1 3  1 2 2 9    27 5
                                               2
                 c.  4 3 3 1   16 3 4 1 2 2 3 1 10  1 14 5
                                    4
                                           2
                 d.    400 4 25 1 9 4   81 1 5  225 1 12 5
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                               2
                 e.  (40 4 5) 3 2  2 8 2 30 4 10 5
                                2
                      2
                 f.   4  2 100 4 5  1 8 4 2 2 32 5
                                3
                 g.    100 4 5 2 2  1 8 3 22 21 5
                                        3
                             3
                 h.  1 2 16 3   28 2 5 1 2  2 4 3 (212) 2 36 5
                 i.    5  81 1 31 1(–5 1 6 –12) – 546 1(–2)  1 –273 16 5
                                                         4
                                                2
                                                   3
                 j.   4  2 33  64 4 (3 2 10)4 4 (28 1 7 1 4) 23 5
                      3
                          3
                                             3 2
                                                       2
                                   2
                                                             2
                      3
                 k.     127344(122 )255(2912 ) 13(123) 61533 5
                 l.    23232372(  4923)42425(2118)+  216345
                                                     3
                                                        3
                                          3
                              3
                                       2
                 m.  (  25 2  36) 2(2327 )4(   8 215)1(122 )  16 5
              3.  Elimina signos de agrupación y resuelve las siguientes operaciones:
                                  6
                                                        5
                                                3
                 a.  33(3  22711 15  36)4(281  64)332  325
                 b.   223(3 26354(   6417 1  25)
                           4
                                          0
                                   3
                     (2423  64)322  81)45
                                               3
                 c.   53(34273(81224  4)1(261   8)
                                          3
                          5
                     352   32)4152  963    7295
                 d.   5 237 1  6 25(229 )4163124(  264)4
                                                 3
                               4
                           2
                       2
                                       0
                              3
                     234(926) 124285
              4.  Reemplaza los valores numéricos y resuelve los siguientes ejercicios:
                 a.  Si a 5 4, b 5 5, c 5 22
                         2
                     22a  + b3 2 c 27a 1 4b 5
                 b.  Si x 5 5, a 5 2, b 5 3, c 5 4
                       x (x 2 a)(x 2 b)(x 2 c)1 a 1 c =
                 c.   Si x 5 5, y 5 2, z 5 8
                        2
                                        2
                                           3
                            2
                     2x  1 y  2 z 1(x 1 y)  +    z 5
                 d.  Si m 5 8, n 5 22
                     (m 2 n) 23m 1 3n 1(m 2n 16)
         126]]></page><page Index="126"><![CDATA[Pensamiento numérico y variacional








              5.  Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno.
                                              0
                                                  2
                 a.   25 321(221 100) 4(528 )27 3(12  9)
                                       2
                        2
                 b.   53444(23 22 )1  71  842(1213) 42 4
                              2
                                                   2
                                 1
                                        3
                 c.  (2122 ) (23) 3(122 )210326212(532 2 49)4
                                 3
                                                        2
                           2 4
                                        2
                 d.     34315  81(16)2(231432)6
                            4
                      3
                      3
                                                     8
                 e.     253 2414(11)2(212(523)13) 4100
              6.  Realiza las siguientes operaciones y selecciona la respuesta correcta.
                 a.   2252 33(16 4 (2 2 4) 1 5 3 242 6(21 2 5) 5
                      A.  43
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                      B.  5
                      C.  29
                      D.  6
                                               5
                                    2
                                                   7
                                            4
                 b.  3 1 8 (  162(22)  182(3 33 )43 1  323  25
                     A.   261  MUESTRA EDITORIAL
                     B.  59
                     C.  50

                     D.   263

              7.  Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios.
                 a.   2103 22 1  8110423 33(22)2521123(6210)64
                               3
                                        2
                             3
                 b.      5 13(28) 421(726219)244 2
                        2
                               2
                      3
                 c.  (212   227)  3   814(112721)
                           3
                                2
                                    4
                 d.   2311001721332  2 3  183  24
                                       3
                 e.   210(212545) 1  3 12 16    2
                                             2
                                   2
                                         2
               Trabajo colaborativo
               Trabajen en parejas el siguiente problema.
               Inés compra 7 cajas de bombones a $4 cada una. Cuando va a pagar, le dicen que están en oferta y que le descuentan
               $0,5 por cada caja que compre. ¿Cuánto dinero deberá pagar Inés por todas las cajas de bombones? Indiquen la
               solución mediante una operación combinada de números enteros.



               Actividad indagatoria
               Averigua sobre un enlace web que permita resolver operaciones combinadas con números enteros. Comparte el
               enlace con tus compañeros.


                                                                                                                     127]]></page><page Index="127"><![CDATA[Números enteros

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 5. Ecuaciones e inecuaciones




                                         Reto matemático

                                        Si tuvieras el doble de la edad que tienes, ¿cuántos años tendrías?




                                        5.1 Ecuaciones
              Competencia
              matemática                5.1.1 Elementos de una ecuación
              Las ecuaciones que        En distintas situaciones cotidianas se presentan problemas en donde es necesario utilizar
              tienen una sola incógnita   igualdades en las que se desconoce uno de los datos. Estas igualdades toman el nombre
              con exponente uno se      de ecuaciones.
              llaman ecuaciones de
              primer grado.              Una ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas en la que se desconoce
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                         un valor al que se llama incógnita.
                                        5.1.2 Elementos de una ecuación
                                        Una ecuación tiene dos miembros. El primero está escrito a la izquierda del signo igual,
                                        y el segundo, a la derecha. Los dos lados del signo igual son equivalentes. Encontrar el
                                        valor de la incógnita significa que se encontró un valor que satisface la ecuación.

                                                                     x 1 2x5 5x 1 21 6
                                                              primer miembro    segundo miembro

                                        Existen dos tipos de ecuaciones:
                                        Numérica. Es la equivalencia entre dos cantidades y estas están separadas por el signo igual.
              Interdisciplinariedad                                                       5 1 1 5 1 1 2 1 3
              Matemática                        5 kg      1 kg   1 kg    2 kg   3 kg
              y Medicina                                                                        6 5 6
                                        Algebraica. Es la equivalencia entre dos expresiones algebraicas. En una ecuación hay
              Para conocer el tamaño
              o la edad aproximada      letras a las que se las denomina variables y que son x, y o z y números que son las
              de una persona, se        constantes.
              puede acudir a una            Resuelve con la aplicación de
              fotografía de sus huesos                                       Resuelve por transposición de términos
              y plantear una ecuación               propiedades
              de proporcionalidad entre   2x 1 8 5 9 1 3                    2x 1 8 5 9 1 3
              estatura y longitud de sus   Aplicando la propiedad de la igualdad, si  En forma abreviada, un término que se
              huesos.                    a ambos miembros de la igualdad se  encuentra sumando en un miembro, pasa al
                                         suman, restan o multiplican por un  otro miembro restando, y viceversa. Si un
                                         mismo número, la igualdad se mantiene. número se encuentra multiplicando en un
                                         2x 1 8 2 8 5 9 1 3 2 8             miembro, pasa al otro dividiendo, y viceversa.
                                         2x 5 4                             2x 5 9 1 3 2 8
                                         2x   5   4                         2x 5 4
                                          2    2                            x 5  4
                                         x 5 2                                  2
                                                                            x 5 2





         128                                    DBA8 (Ev. 3) Trabaja sobre números desconocidos y con esos números para dar respuestas a los problemas.]]></page><page Index="128"><![CDATA[Pensamiento numérico y variacional








              5.2 Desigualdades e inecuaciones                                               Cátedra de
                                                                                             ciudadanía y
               Una desigualdad es una relación entre dos expresiones algebraicas que no son   democracia
               iguales. Se escriben con los signos , o .; # o $. Una inecuación es una desigualdad
               que se verifica para ciertos valores de la variable.                          En el mundo del
                                                                                             emprendimiento, al igual
                                                                                             que en las matemáticas,
              5.2.1 Expresiones que hacen referencia a una desigualdad                       comprender las relaciones
                                                                                             entre diferentes variables
                                   Ejemplo                         Expresión algebraica      y establecer metas
              El teléfono cuesta, por lo menos, $ 250.                    t $ 250            alcanzables es importante.
              La edad mínima para ver la película es 12 años.             e $ 12             Por ejemplo, considera
              Luis tiene como máximo 5 pares de zapatos.                   z # 5             la venta de limonada.
              La velocidad permitida es de máximo 70 km por hora.         v # 70             Podemos expresar esta
                                                                                             situación con la siguiente
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              Para resolver una inecuación, seguimos los mismos pasos que para resolver una ecuación.   inecuación: ingresos .
              La única diferencia, radica en que la solución es un conjunto de números enteros que   costos. Esto implica que,
              puede ser graficado en la recta numérica.                                      como emprendedor,
                                                                                             necesitas generar más
              Ejemplo 1                                                                      ingresos de los que gastas
                                                                                             para obtener ganancias.
              Resuelve las siguientes inecuaciones y grafica su resultado.

              a.  m 1 4 # 8
              b.  n 1 12 . 17  MUESTRA EDITORIAL

              c.   24 1 5 2 7 # p 1 6
              Solución
                                                                                             Mediante el uso de
              Resolvemos siguiendo los mismos pasos de la ecuación y luego graficamos su solución.   inecuaciones, puedes
              Tomamos en consideración solo los valores enteros.                             diseñar un plan que te
                                                                                             permita establecer metas
              a.  m 1 4 # 8                                                                  financieras claras y calcular

                 m # 8 2 4                                                                   los recursos necesarios
                                      –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0   1  2   3  4  5  6  7  8       para llevar a cabo este
                 m # 4                                                                       proyecto.

              El conjunto solución en los números enteros es: M 5 {..., 2, 3, 4}
              b.  n 1 12 . 17

                 n . 17 2 12                     0  1  2  3   4 5   6  7  8
                 n . 5

              El conjunto solución en los números enteros es: N 5 {6, 7, 8,...}

              c.   24 1 5 2 7 # p 1 6
                 24 1 5 2 7 26 # p
                                                 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0   1
                 211 1 5 # p
                 p $ 26

              El conjunto solución en los números enteros es P 5 {26, 25, 24, ...}



               DBA9 (Ev. 3) Realiza combinaciones de operaciones, encuentra propiedades y resuelve inecuaciones en donde están involucradas.  129]]></page><page Index="129"><![CDATA[Números enteros

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Identifica el término que falta en cada igualdad.

                 a.  5 1 6 2 ____5 3                                g.  ____1 30 4 6 1 8 5 42

                 b.  7 1 9 1____2 4 5 17                            h.  15 4____1 6 2 8 3 2 5 25

                 c.  ____1 4 2 5 1 9 5 13                           i.  ____1 28 2 26 4 2 5 50

                 d.  3 1 9 3____5 57                                j.  4____1 25 2 10 5 31


                 e.  7 3____1 9 2 4 5 47                            k.  28 2 5 1 6 3____2 5 77

                 f.  8 1 3 2____3 5 5 224                           l.    ____1 8 3 2 2 6 5 17

                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              2.  Encuentra el valor de la incógnita en cada igualdad y comprueba.
                 a.  7 + 4 1 x 2 6 5 5 1 4               x 5         j.  26(x 1 1) 5 22(x 2 1) 1 4           x 5

                 b.  12 2 8 1 y 2 3 5 21 1 4             y 5         k.  2(23x 1 2) 2 16 5 2(x 2 1) 2 2      x 5


                 c.  3 1 2a 28 2 5 5 25 1 3              a 5         l.  3(2x 1 2) 5 25(x 2 1) 1 1           x 5

                 d.  20 1 4 2 10 1 4p 5 65 2 34          p 5         m.  2x 2 5(23x 1 2) 5 5x 2 9x 1 11      x 5

                 e.  6 1 5 1 2b – 6 5 5 1 10             b 5         n.  2(23x 1 2) 5 5[2(x 2 1)] 2 13       x 5

                 f.  32 1 8 2 4 1 5x 1 9 5 20 1 5        x 5         o.  2x 2 3 2 2(3x 1 12) 1 43 5 0        x 5

                 g.  45 1 7 2 8 1 28 2 3 5 45 1 6m       m 5         p.  2x – 5x + 11 – 13 = 5x + 3x +20       x 5

                 h.  2w 1 8 2 5 1 8 1 5 2 18 5 6 1 2     w 5         q.  2[(23x 1 2) 2 6] 5 2x               x 5

                 i.  16 2 3(x 1 2) 5 4(x 2 1)            x 5         r.  2[2x 1 10] 5 5(x 2 1) 2 10          x 5


              3.  Expresa en lenguaje algebraico las siguientes expresiones que se refieren a desigualdades.

                 a.  El tiempo de lavado es de máximo 20 minutos.

                 b.  El préstamo se otorgará si el cliente gana al menos 2000 dólares mensuales.

                 c.  En un almacén, el precio se considerará al por mayor si compra más de 3 artículos.

                 d.  El paciente debe estar en cama más de 5 días.


                 e.  Haga ejercicio más de 30 minutos diarios.

                 f.   La deuda no es más de 400 dólares.

                 g.  En el paseo no gastaré más de 100 dólares.

                 h.  Para un viaje seguro, el bus debe llevar menos de 40 pasajeros.


         130]]></page><page Index="130"><![CDATA[Pensamiento numérico y variacional

                               MUESTRA EDITORIAL





              4.  Plantea una ecuación para conocer las medidas de  las figuras.
                 a.                                b.                                 c.
                                                           3x
                                                                                     2x 23
                  P 5 24 m  x
                                                                     x
                                                                                       P 5 19 m
              5.  Analiza si es verdadero o falso, según corresponda.
                 a.  Si 5 1 v 5 36, entonces v 5 12

                 b.  Si 132 4 r 5 63, entonces r 5 3
                 c.  Si 4m 5 48, entonces m 5 12
                 d.  Si 58 5 116 4 v, entonces v 5 2
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 e.  Si m 1 7 5 31, entonces m = 6
                 f.   Si 7v 5 49, entonces v 5 7

                 g.  Si c 4 2 5 30, entonces c 5 106
                 h.  Si 11g 1 9 5 154, entonces g 5 11
                 i.   Si 30 5 6r, entonces r 5 11

                 j.   Si 1 5 8 2 7m, entonces m 5 1
              6.  Escribe en tu cuaderno una inecuación para cada situación.

                 a.  Para comprar en el supermercado, debo llevar mínimo $20.

                 b.  Los boletos para el concierto cuestan, por lo menos $25.
              7.  Resuelve las inecuaciones en el conjunto de los números enteros y grafica su solución.



                 a.  5x 2 6 . 4            –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2  3    4 5 6 7    8

                 b.  2x 2 6 , 24           –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2  3    4 5 6 7    8


                 c.  4m 2 4 # 12           –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2  3    4 5 6 7    8

                 d.  n 2 10 1 6 $ 4 2 10    –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2  3   4 5 6 7    8


                 e.  x 1 5 $ 6 1 3         –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2  3    4 5 6 7    8


                 f.   p 2 1 1 7 $ 5 2 1    –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2  3    4 5 6 7    8

              Trabajo colaborativo
              Trabajen en parejas. Escriban situaciones cotidianas que se pueden expresar con inecuaciones.


              Actividad indagatoria
              Averigua qué son las inecuaciones lineales con dos incógnitas y cómo se representan en el plano cartesiano.


                                                                                                                     131]]></page><page Index="131"><![CDATA[Números enteros



                      Proyecto interdisciplinario



              Presupuesto familiar. Áreas asociadas al proyecto: Matemática y Estudios sociales
              Justificación / problemática

              La alimentación de los miembros del hogar es importante, por tal razón, que se deben elaborar presupuestos antes de
              la ejecución de los gastos. Al comienzo, la elaboración de un presupuesto puede verse como una tarea difícil; sin
              embargo, a medida que vamos desarrollando el hábito, nos damos cuenta de lo sencilla que es y de los grandes
              beneficios que nos trae saber con anticipación cómo vamos a gastar e invertir nuestro dinero.

              Objetivos

              •   Identificar ingresos y egresos de los gastos familiares a fin de mejorar el presupuesto familiar.
              •   Identificar el monto de ingresos familiares.

              •   Identificar el monto de egresos en alimentación, medicina, vivienda y servicios básicos.

              •   Identificar la cantidad de dinero que se ahorra cada mes.
              Recursos

              •   Facturas                      •   Papel                         •   Pliegos de papel bond

                                                •
                                                   Lápiz
                                                                                     Marcadores
                                                                                  •
              •   Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta  Rol de pagos MUESTRA EDITORIAL





















              Actividades


              •   Haz una lista de ingresos familiares, como salarios, arriendos u otras actividades.

              •   Realiza una lista de egresos familiares, tomando nota de las facturas de gastos.


              •   Realiza un análisis de los datos obtenidos mediante operaciones matemáticas.
              Evaluación

              •   Presenta en un cartel los ingresos y egresos de los gastos familiares.

              •   Analiza los gastos y verifica si es posible que exista ahorro familiar o si es
                 indispensable eliminar gastos innecesarios.

         132]]></page><page Index="132"><![CDATA[Pensamiento numérico y variacional

                               MUESTRA EDITORIAL
                   Competencia digital



              Proporciones
              Es hora de poner a prueba lo que has aprendido en tus
              libro de matemáticas con la ayuda de WordWall, una
              plataforma educativa interactiva y divertida.
              ¿Cómo participar?
              1.  Ingresa a los recursos de WordWall a través de los
                 siguientes enlaces:
                 •   https://wordwall.net/es/resource/16933468/
                     proporcionalidad-directa
                 •   https://wordwall.net/es/resource/18192480
                 •   https://wordwall.net/es/resource/22283172/
                     proporcionalidad-directa


                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              2.  Lee atentamente las preguntas y selecciona la respuesta
                 correcta. Puedes utilizar los botones de color rosado con
                 las siguientes opciones:
                 •   50:50: elimina dos opciones incorrectas,
                     aumentando tus posibilidades de acertar la
                     respuesta correcta.
                 •   Puntuación x2: duplica el valor de tu respuesta
                     correcta, obteniendo el doble de puntos por esa
                     pregunta.
                 •   Tiempo extra: añade más segundos al reloj para
                     tener más tiempo para pensar y responder la
                     pregunta.






              3.  ¡Responde en el tiempo establecido! Entre más
                 rápido respondas, más puntos adicionales recibirás
                 por los segundos no utilizados50:50: elimina dos
                 opciones incorrectas, aumentando tus posibilidades
                 de acertar la respuesta correcta.







              4.  ¡Obtén tu puntaje! Al completar cada actividad,
                 recibirás un puntaje que reflejará tu desempeño.
                 Compártelo con tus compañeros de clase.















                                                                                                                     133]]></page><page Index="133"><![CDATA[Números enteros

                               MUESTRA EDITORIAL
                        Compruebo mis aprendizajes



              1.  Determina el grupo de números mayores a 25.         c.  La suma de dos números opuestos siempre da
                                                                          como resultado 1.
                 a.  0, 28, 29, 212, 221
                                                                      d.  La suma de dos números enteros positivos
                 b.   210, 211, 15, 10                                    siempre es un entero positivo.

                 c.  0, 24, 23, 22, 21                                e.  La suma  de dos números  enteros negativos
                                                                          siempre es positiva.
                 d.   26, 27, 28, 29
                                                                      f.   Si un factor es cero en una multiplicación,
              2.  Escribe con los signos , y ., según corresponda.        entonces el producto es cero.

                 a.   28 ________ 114                                 g.  Si un factor es 21 en una multiplicación con un
                                                                          entero positivo, el producto es un entero positivo.
                 b.   25 ________ 0
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                      ,
                 c.   220 ________ 215                            6.  Lee y encuentra los resultados.
                                                                      a.  ¿Qué número se debe sumar a  218 para
                 d.   24 ________ 212                                     obtener 50?
                                                      .
                 e.   0 ________ 214
                                                                      b.  ¿Qué número debe restarse a  225 para
                                                                          obtener 215?
              3.  Completa la tabla.
                                                                      c.  ¿Qué número debe multiplicarse a  23 para
                     Número       Opuesto    Valor absoluto               obtener 218?
                       25
                       10                                             d.  ¿Entre qué número se debe dividir 280 para
                      256                                                 obtener 10?
                       34
                                                                  7.  Completa el siguiente esquema.
              4.  Responde las siguientes preguntas.

                 a.  ¿Cuántos números hay entre 3 y 23?                45            20          –12            –9

                 b.  ¿Qué números están entre 2 y 24?
                                                                              1             1            1
                 c.  ¿Cuál es el opuesto del opuesto de 18?

                 d.  Juan cobra $1200, gasta $600 dólares en
                     educación, $400 en alimentación, luego cobra
                     un cheque de $200. ¿Cuánto dinero le queda a                   1              1
                     Juan?

              5.  Indica si es (V) verdadero o (F) falso, según
                 corresponda.
                                                                                             1
                 a.  La diferencia de dos enteros negativos
                     es  negativa.

                 b.  La diferencia de dos enteros negativos
                     siempre es positiva.



         134]]></page><page Index="134"><![CDATA[Pensamiento numérico y variacional

                               MUESTRA EDITORIAL





              8.  (10 3 100)  (20 3 80) es igual a:                    22 3 3 1 2 5723(2512)432(29)42(1028)1865

                 a.  20 000 3 80 000                                  a.  4
                                                                      b.  8
                 b.  2000 3 8000
                                                                      c.  12
                 c.  2000 3 80 000
                                                                      d.  16
                 d.  2000 3 800
                                                                  10.  La temperatura de una ciudad es de  28 °C.
              9.  Resuelve los ejercicios y escoge la respuesta       ¿Cuántos grados debe variar para tener una
                 correcta.                                            temperatura de 14 °C?

                  28 +515 2 3(215 1 3) 4 42(8)42(427)186              a.   110 °C
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 a.   220                                             b.   112 °C
                                                                      c.   114 °C
                 b.  160
                                                                      d.   116 °C
                 c.  178
                                                                  11.  Trabajen en parejas.
                 d.  296
                                                                      Para determinar las preferencias acerca de las
                  523(20 12) 4 6 2 (14)42(1024)4265                   emisoras de radio en una ciudad, fueron entrevistados
                                                                      400 habitantes, de entre 20 y 40 años, de diferentes
                 a.  60                                               barrios.

                 b.   2120
                                                                      Determinen la población, la muestra y la variable.
                 c.  88                                           12.  Expreso mis emociones. Reflexiona sobre la

                                                                      solidaridad. Indica alguna actividad en la que hayas
                 d.  11
                                                                      sido solidario con un compañero de clase.


              13.  Pinta según la clave.                                                                 Clave

                        Identifico números enteros, sus opuestos y su valor absoluto.                 Puedo ayudar
                                                                                                         a otros.
                     Contenidos   Resuelvo las operaciones básicas con números enteros.               Resuelvo por
                        Identifico el orden de números enteros y los represento en la recta numérica.

                                                                                                       mí mismo.
                        Resuelvo situaciones mediante la aplicación de operaciones con números enteros.
                        Resuelvo ecuaciones e inecuaciones que tienen solución en los enteros.          ¡Necesito
                                                                                                         ayuda!
                 Metacognición                                                                          Estoy en
                                                                                                        proceso.
                 ¿Aclaraste dudas y necesidades con los temas aprendidos?

                 ¿En qué momento de tu vida puedes utilizar algunos de los temas aprendidos?
                 ¿Para qué te servirá lo aprendido?





                                                                                                                     135]]></page><page Index="135"><![CDATA[MUESTRA EDITORIAL
                Unidad 5                    Geometría



                La arquitectura es una de las disciplinas más complejas de entender, especialmente para
                todos aquellos que forman parte de su ámbito profesional. Pese a que no todo el mundo
                lo conoce, su dificultad se desprende de su interrelación con diferentes áreas artísticas,
                las cuales tienen un importante peso a la hora de gestionar determinadas acciones
                relacionadas con esta disciplina, siendo la geometría una de ellas. Por eso, el uso de la
                geometría en la arquitectura es tan importante. Como bien sabes, la geometría es
                la rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las figuras lineales y sus diferentes
                formas de aplicación en las distintas áreas de trabajo. Es conveniente que conozcas que
                el uso de esta disciplina es realmente importante a la hora de obtener determinados
                resultados. La correcta interpretación y estudio de la geometría en la arquitectura
                permitirá calcular aspectos tales como los relacionados con los pesos de carga en
                determinadas estructuras, además de influenciar de manera relevante en lo relacionado
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                con las consideraciones estéticas, en cada una de las construcciones llevadas acabo.]]></page><page Index="136"><![CDATA[Pensamiento espacial

                               MUESTRA EDITORIAL









                                               Preguntas orientadoras


                                              1.  Según los ingenieros, ¿qué figura geométrica se considera la más
                                                  perfecta por excelencia?
                                              2.  ¿En qué contribuye al desarrollo de los jóvenes, la adquisición de
                                                  conocimientos geométricos?






                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                                   1.  Posición relativa de las rectas
                                                                   2.  Polígonos
                                                                   3.  Medidas de superficie
                                               Geometría           4.  Medidas de volumen
                                                                   5.  Medidas de masa
                                                                   6.  Medidas de capacidad
                                                                   7.  Perímetro y área del círculo





                                              EBC

                                              1.  Clasifico polígonos en relación con sus propiedades.
                                              2.  Calculo áreas y volúmenes a través de composición y descomposición de
                                                  figuras y cuerpos.

                                              3.  Identifico relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades
                                                  de la misma magnitud.

                                              4.  Identifico características de localización de objetos en sistemas de
                                                  representación cartesiana y geográfica.
                                          Biblioteca Pública Virgilio Barco . Bogotá. Colombia / @Chica, S. (2019).




                                              DBA

                                              1.  Reconozco el plano cartesiano como un sistema bidimensional que permite
                                                  ubicar puntos como sistema de referencia gráfico o geográfico.
                                              2.  Identifico características de localización de objetos en sistemas de
                                                  representación cartesiana y geográfica.
                                              3.  Estimo la medida de longitudes, áreas, volúmenes, masas, pesos y ángulos en
                                                  presencia, o no, de objetos y decido sobre la conveniencia de los instrumentos
                                                  a utilizar, según las necesidades de la situación.




                                                                                                                     137]]></page><page Index="137"><![CDATA[Geometría

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 1. Posición relativa de las rectas




                                         Reto matemático
                                        ¿Cuál es la diferencia entre una semirrecta y un segmento de recta?


                                                                              T
                                                                F

                                        Durante un paseo al departamento de Santander, Gabriela observa un puente en el que
                                        se pueden distinguir diferentes rectas. ¿Qué elementos geométricos y qué clase de
                                        rectas se pueden identificar?


                                        En el gráfico se pueden identificar los siguientes elementos geométricos y diferentes
                                        clases de rectas:


                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              Interdisciplinariedad            Punto              Recta           Segmento        Semirrecta o rayo
              Geometría
              e historia                                           t     R      L                      F       D
                                                 M               N                          K
              El primer libro en el que
              se trataron conceptos
              sobre geometría fue Los                                                            Un rayo se extiende
              elementos, escrito por     El punto no tiene   Una recta tiene   Es un trozo de recta   en un solo sentido.
              el matemático griego       dimensión ni       infinitos puntos y se  limitado por dos   Se lo nombra al
              Euclides, 300 años antes   medida y se denota   extiende        puntos llamados    mencionar su
              de Cristo.                 con una letra      infinitamente en   extremos. Se lo   origen y otro punto
                                         mayúscula.         sentidos opuestos.   nombra al       por donde pase.
                                                            Se la puede       mencionar sus
                                         Por un punto       nombrar al        puntos extremos.   Se escribe    y se
                                         pueden pasar       mencionar dos                        lee "semirrecta FD".
                                         infinitas rectas.  puntos o con una   Se escribe   y se
                                                            letra minúscula.  lee "segmento LK".

                                                            Se escribe    o  .



              Indaga sobre este         Otra figura geométrica que no se puede definir, es el plano. También tiene infinitos
              matemático y confecciona  puntos, pero, al contrario de la recta, se extiende en muchas direcciones, no tiene
              una ficha biográfica.     fronteras; sin embargo, para representarlo en papel, se usa una figura de cuatro lados.



                                                                    Punto

                                                                                       Recta














         138]]></page><page Index="138"><![CDATA[Pensamiento espacial

                               MUESTRA EDITORIAL





              1.1 Rectas paralelas


                 m
                           Se escribe: m || n                 Se escribe: a || b
                    n
                           Se lee: "la recta  m es            Se lee: "la recta m es
                           paralela a la recta n".            paralela a la recta n".
                                                      a b                                      Las líneas férreas son
                                                                                                 ejemplo de rectas
              1.2 Rectas secantes                                                                   paralelas.

                  Oblicuas                            Perpendiculares
                                                                                             Interdisciplinariedad
                  Dos rectas que se cortan y que no   Dos rectas que se cortan y que         Geometría
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                  forman ángulos rectos son rectas    forman ángulos rectos son rectas       e ingeniería
                  secantes oblicuas.                  secantes perpendiculares.
                                                                                             Cuando un albañil
                                                                                             construye una pared,
                                                                                             esta debe quedar
                                                                                             perfectamente recta.
                                                                                             Para ello, la persona traza
                       Se escribe:                    Se escribe:                            rectas con piolas y clavos.
                                                                                             ¡Un trabajo que demanda
                       Se lee: "la recta  x es        Se lee: "la recta p es perpendicular   mucho esfuerzo y que se
                       oblicua a la recta y".         a la recta q".                         debe valorar y pagar al
                                                                                             precio justo!
              1.3 Rectas coincidentes



                    B        C              Son rectas coincidentes cuando coinciden en

                 A                          todos sus puntos y siguen la misma dirección.



              Dos rectas en el plano pueden o no tener puntos en común.


                                                 Posición relativa de la rectas




                         Secantes                    Paralelas (no tienen           Coincidentes (todos sus
                   (un punto en común)               puntos en común)                 puntos en común)




                 Oblicuas      Perpendiculares









                                                                                                                     139]]></page><page Index="139"><![CDATA[Geometría

                               MUESTRA EDITORIAL





                                        1.4 Plano cartesiano – Coordenadas cartesianas
              Competencia
              matemática                1.4.1 Pares ordenados fraccionarios
              En la imagen se muestran   Al analizar los planos de una casa, Adriana ha observado que la cocina se encuentra en
              algunas fracciones        los siguientes pares ordenados:
              equivalentes que puedes
              emplear para localizar              A   1  ,   8  ; B   3  ,   4  ; C   7  ,   10  ; D   6  ,  15  ; E   3  ,   15  .
              puntos en el plano                      2   4      2   4      2   4      2   4      2   4
              cartesiano.
                                        ¿Qué forma tiene la superficie de la cocina?
                 1  2  3  4  5
                 2  4  6  8 10          Para determinar la forma de la superficie de la cocina, realizamos los siguientes pasos:
                 1  2  3  4  5
                 3  6  9 12 15
                                        •   Identificamos los ejes: horizontal (x o de las abscisas) y vertical (y o de las ordenadas).
                 1  2  3  4  5
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 4  8 12 16 20          •   Determinamos la escala que se utilizará para dividir los ejes.
                 1  2  3  4  5
                 5 10 15 20 25          •   Dividimos cada eje del plano en partes iguales.
                 1  2  3  4  5
                 6 12 18 24 30
                                        •   Dividimos cada parte del eje de las x en dos partes, ya que su denominador es 2. Al
                                            eje de las y se lo divide en cuatro partes iguales, ya que su denominador es 4. Luego,
              Escribe en el cuaderno
              otros ejemplos de             se ubican los pares ordenados.
              fracciones equivalentes.
                                               y

                                             4                                y
                                                                             5
                                             3                              19/4
                                                                           18/4
                                                                           17/4
                                             2                               4
                                                                            15/4
                                                                           14/4
                                             1                             13/4
                                                                             3
                                                                            11/4
                                                                     x     10/4
                                              0    1   2    3    4          9/4
                                                                             2
                                                                            7/4
                                                       eje x                6/4
                                                                            5/4
                                                                             1
                                                                            3/4
                                                       3  ,   4             2/4
                                                                            1/4
                                                      2    4                                                    x
                                                                              0  1/2 1  3/2 2  5/2 3  7/2 4  9/2
                                                       eje y



                                        La superficie de la cocina tiene forma de pentágono irregular.

                                         El plano cartesiano está formado por dos rectas perpendiculares: una horizontal o eje
                                         de las x, y otra vertical o eje de las y. El origen es el punto de intersección de las dos
                                         rectas. Los pares ordenados se pueden expresar con números fraccionarios.








         140                                   DBA 7 (Ev. 1) Localiza, describe y representa la posición y la trayectoria de un objeto en un plano cartesiano.]]></page><page Index="140"><![CDATA[Pensamiento espacial

                               MUESTRA EDITORIAL





              1.4.2 Pares ordenados decimales
                                                                                             Competencia
              Ricardo desea poner estacas de madera para delimitar la superficie de su terreno, y las   matemática
              entierra en las siguientes coordenadas:                                        En un par ordenado (x, y),

                         A (0,3; 0,6); B (1; 0,4); C (1,6; 1); D (1,4; 1,6); E (0,7; 1,4); F (0,3; 1,2)   el primer componente x
                                                                                             corresponde al eje x y el
              ¿Qué forma se observa desde una vista aérea?                                   segundo componente y
                                                                                             corresponde al eje y.
              Para determinar la forma que se verá desde una vista aérea, realizamos los siguientes pasos:

              •   Trazamos un plano cartesiano y lo dividimos en las unidades necesarias para ubicar
                 los pares ordenados.
              •   Dividimos cada unidad en diez partes iguales. Cada parte representa un décimo.

                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              •   Localizamos los pares ordenados donde se clavarán las estacas de madera.


                                        y

                                       2



                                       1




                                                               x
                                        0        1         2



                                  y                                                          Interdisciplinariedad
                                 2                                                           Geometría y
                                 1,9                                                         arquitectura
                                 1,8
                                 1,7
                                 1,6                                                         En la arquitectura, se
                                 1,5
                                 1,4                                                         utiliza un plano cartesiano
                                 1,3                                                         para estructurar los planos
                                 1,2                                                         de una casa. Así se puede
                                 1,1
                                 1                                                           representar una distancia
                                 0,9                                                         real a escala. Por ejemplo:
                                 0,8
                                 0,7                                                         1cm 5 1m.
                                 0,6
                                 0,5
                                 0,4
                                 0,3
                                 0,2
                                 0,1                                x
                                                 0,9
                                  0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 1 1,1 1,2 1,3 1,4  1,5 1,6 1,7 1,8  1,9 2

              La vista aérea del terreno tiene forma de un hexágono irregular.

               Los pares ordenados también pueden estar representados en números decimales.
               Cada unidad se puede dividir en décimos o centésimos, según sea el caso.


               DBA 7 (Ev. 1) Localiza, describe y representa la posición y la trayectoria de un objeto en un plano cartesiano.   141]]></page><page Index="141"><![CDATA[Geometría

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Ubica los pares ordenados que se solicitan, une los puntos en orden alfabético y escribe el nombre de la figura
                 que se formó.
                                                                                 y

                 A.    2  ;   6                   B.       3  ;   14
                       3   6                               3   6


                 C.    6  ;   20                  D.      11 20
                                                             ;
                       3   6                               3   6
                 E.   13 14                       F.      10 10
                                                             ;
                         ;
                       3   6                               3   6
                 G.    8  ;   2
                       3   6
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 a.  ¿Qué figura se formó?

                 b.  ¿Qué pares ordenados formarán un rectángulo?                                                       x


              2.  Utiliza los puntos y traza sobre ellos un par de rectas paralelas, un par de rectas perpendiculares y un par de
                 rectas secantes oblicuas.


















              3.  Fíjate en el gráfico y escribe los pares ordenados de cada punto de la figura.
                                              y
                                                                                     A.

                                                                                     B.
                                                                                     C.
                                                        A
                                                                                     D.
                                                  H             B
                                                                                     E.
                                                       F   C        D
                                               G                                     F.
                                                                                     G.
                                                             E
                                                                                     H.
                                                                                  x




         142]]></page><page Index="142"><![CDATA[Pensamiento espacial

                               MUESTRA EDITORIAL





              4.  Dibuja una figura a tu elección y escribe los pares ordenados correspondientes; pueden ser decimales
                 o fraccionarios.

                                             y
















                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta







                                                                                      x


              5.  Observa el gráfico y completa con   , || ,   , según la relación de segmentos y rectas.



                                           P


                                   N
                                                  Q
                                                         R
                                                 O
                                      M

                                                     S









               Trabajo colaborativo
               Formen equipos de trabajo, recorten de una revista un gráfico en el que se pueda evidenciar la posición relativa de
               las rectas. Nombren las rectas o segmentos que encuentren, como en el ejercicio 5.



               Actividad indagatoria

               Pregunta e indaga: ¿en qué figuras geométricas se evidencian segmentos paralelos?, ¿en qué figura geométrica se
               evidencian segmentos secantes?, y ¿en qué figura geométrica se evidencian segmentos perpendiculares?




                                                                                                                     143]]></page><page Index="143"><![CDATA[Geometría

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 2. Polígonos




                                         Reto matemático
                                        ¿Qué diferencia encuentras en las figuras del gráfico?


                                                                              T
                                                                F

                                               2.1 Clasificación de polígonos


                                               Vinicio quiere pintar un cuadro en un bastidor, y tiene dos modelos para escoger.
                                               ¿Qué forma tendrá el cuadro si escoge el bastidor con fondo verde?


                                               Para saber qué forma tiene el bastidor con fondo verde, es necesario que
                                               conozcamos algunas características de los polígonos.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                               2.1.1 Elementos de un polígono


              Competencia                                         B            Lado: segmento que compone la línea
              matemática                           Lado                        poligonal cerrada.
                                                 A
              Los segmentos de                                                 Ángulo: abertura formada por dos los
              recta que forman una                                    Diagonal  lados consecutivos.
              línea poligonal cerrada
              constituyen un polígono.       E
              La palabra polígono                                              Diagonal: segmento que une dos vértices
              proviene del griego poli,   Ángulo interior           C    Vértice  no consecutivos.
              que significa “muchos”                      D
              y gonos, que significa                                           Vértice: punto en común entre dos lados.
              “lados.”
                                        Los polígonos se clasifican por sus lados en:


                                                  Polígonos regulares                  Polígonos irregulares
                                         Los que tienen todos sus lados de igual   Un polígono se considera irregular si sus
                                         longitud y todos sus ángulos interiores   lados y sus ángulos no son iguales.
                                         de igual medida.










                                         Heptágtono   Hexágono     Decágono    Heptágono    Hexágono    Decágono


                                        Si Vinicio escoge el bastidor con fondo verde, el cuadro que pinte tendrá la forma de un
                                        polígono regular, ya que sus lados y son ángulos son iguales. En este caso, el polígono
                                        será un pentágono, pues tiene cinco lados y cinco ángulos de igual medida.






         144                            DBA5 (Ev. 3) Estima la medida de longitudes, áreas, volúmenes, masas, pesos y ángulos en presencia o no de los objetos
                                                     y decide sobre la conveniencia de los instrumentos a utilizar, según las necesidadesde la situación.]]></page><page Index="144"><![CDATA[Pensamiento espacial








              2.2 Perímetro de polígonos regulares e irregulares

              Ana quiere poner en su terreno una cerca de alambre de púas. Si quiere
              poner  una  cerca  de  5  vueltas,  ¿cuántos  metros  de  alambre  necesita
              comprar?

              Para saber cuánto alambre debe comprar Ana, es necesario que conozcamos
              el perímetro del terreno.
                                                                                              Competencia
              El terreno tiene forma de un heptágono irregular.
                                                                                              matemática
                                     P 5 l 1 l 1 l 1 l 1 l 1 l 1 l.                           Los polígonos también se
                                                                                              clasifican por sus ángulos en:
                                     P 5 4,5 1 4,5 1 4 1 4,2 1 6,5 1 4 1 5,3                  Cóncavos
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                                                              Tienen algún ángulo
                                     P 5 33 m                                                 interno mayor a 180°.
              El perímetro del terreno es de 33 m, pero si Ana quiere dar 5 vueltas de alambre, se
              multiplica el perímetro por 5.
                                                                                              Convexos
                                            33 3 5 5 165 m
                                                                                              Tienen todos sus ángulos
                                                                                              internos menores a 180°.
              Ana debe comprar 165 m de alambre.

              Ejemplo 1        MUESTRA EDITORIAL

              Determina cuánto suman los ángulos internos de un octágono.
                                                                                             Interdisciplinariedad
              Solución                                                                       Matemática
                                                                                             y defensa
              La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono se calcula con la
              siguiente fórmula:
                                                                                             Se refiere seguramente al
                                                                                             término "polígono de tiro"
                            S 5 180 (n 2 2)
                                                                                             como un espacio cerrado
                                                                                             o abierto para la práctica
                            S 5 180 (8 2 2)       S 5 180 (6)          S 5 1080              de artillerías, pueden
                                                                                             estar destinados para los
              La suma de los ángulos internos de un hexágono es 1080°.                       miembros del ejército,
                                                                                             cuerpos o fuerzas de
              Ejemplo 2                                                                      seguridad o para particulares
                                                                                             que se encuentren
              Encuentra el perímetro del siguiente polígono.                 6,3 cm          habilitados para la utilización
                                                                                             de armamento.
              Solución

              Cuando el polígono es regular, podemos multiplicar el número de lados por la
              medida del lado.

                P 5 n 3 l        P 5 5 3 6,3        P 5 31,5 m        P 5 perímetro
                                                                       l 5 valor del lado

                                                                       n 5 número de lados

               DBA5 (Ev. 3) Estima la medida de longitudes, áreas, volúmenes, masas, pesos y ángulos en presencia o no de los objetos   145
               y decide sobre la conveniencia de los instrumentos a utilizar, según las necesidadesde la situación.]]></page><page Index="145"><![CDATA[Geometría








                                        2.3 Área de polígonos regulares

                                        Andrea y Mateo elaboran una cometa de forma hexagonal. ¿Cuántos centímetros
                                        cuadrados de papel necesitan para su elaboración, si la medida de sus lados es de 30 cm,
                                        y la apotema mide 26 cm?




                                                                  30 cm     Para encontrar la superficie de la
                                                                            cometa, primero obtenemos el
                                                                            perímetro del polígono regular.
                                                                            P 5 l 1 l 1 l 1 l 1 l 1 l

                                                       ap                   P 5 30 1 30 1 30 1 30 1 30 1 30
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                       26 cm                P = 180 cm



               Competencia              El valor de la altura de cada triángulo formado en la figura coincide con el valor de
               matemática               la apotema.
               Un polígono regular está   Aplicamos la siguiente fórmula.
               formado por el número
               de triángulos, según  MUESTRA EDITORIAL
               el número de lados de               La fórmula para calcular el área de un polígono regular es:
               dicho polígono.
                                                   A 5   P 3 Ap         A 5   b 3 h   3 número de lados
                                                          2                     2


              Interdisciplinariedad
              Matemática y              Fórmula 1
              ciencias naturales
                                        A 5  P 3 Ap           A 5   180 3 26   5 2340 cm 2
              En la naturaleza, los            2                      2
              polígonos se encuentran
              en cuerpos como las       Fórmula 2
              naranjas y las mandarinas.
              Si aplicamos un corte          b 3 h                        30 3 26
              longitudinal podemos      A 5    2    3 número de lados  A 5   2      3 6 5 390 3 6 5 2340 cm 2
              apreciar que se forman
              triángulos.
                                        Mateo y Andrea necesitan 2340 cm  de papel para elaborar la cometa.
                                                                       2

                                         El área de un polígono regular se calcula multiplicando el perímetro por la apotema
                                         y dividiendo entre dos. El área o superficie de una figura se expresa en unidades
                                         cuadradas.











         146]]></page><page Index="146"><![CDATA[Pensamiento espacial

                               MUESTRA EDITORIAL





              Ejemplo 3
                                                                                             Interdisciplinariedad
                                                                                             Geometría y
              Sea un polígono regular de 6 lados, cuyos lados miden 3,1 cm y su apotema 2,7 cm.
              Calcula el área de la figura.                                                  arquitectura


              Solución                                                                       Los polígonos están
                                                                                             presentes en nuestra
                                                                                             vida diaria, cuando, por
                                     3,1 cm            P 3 Ap                                ejemplo, observamos
                                                  A 5            P 5 3,1 3 6 5 18,6 cm       mosaicos que recubren
                                                         2                                   una superficie con
                                                                                             polígonos regulares sin
                                                      18,6 3 2,7  56,22                      que queden espacios o
                                                 A 5                     25,11 cm 2
              2,7 cm                                     2          2                        sin que se superpongan.

                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              Ejemplo 4

              Los polígonos están presentes en nuestra vida diaria, cuando, por ejemplo, observamos
              teselaciones o recubrimientos de una superficie plana con polígonos regulares sin que
              queden espacios o sin que se superpongan.



                                                                                             He aquí un teselado de
                                                                                             un plano con triángulos
                                                                                             equiláteros.
                                                                               25 cm

                   15 cm          10, 32 ap
                                            100 cm

              Solución


              Calculamos el área del rectángulo.

              A 5 b 3 a            A 5 100 3 25 5 2500 cm 2

              Calculamos el área de un pentágono.

                   P 3 Ap               75 3 10,32   774
              A 5                   A 5            5      5 387 cm 2
                     2                      2         2
              Multiplicamos el área del pentágono por cuatro pentágonos que tiene el diseño.

                                           387 3 4 5 1 584 cm 2

              Ahora, restamos el valor del área del rectángulo menos el área de los polígonos.

                                          2500 2 1584 5 952 cm 2


                                           2
              El color anaranjado ocupa 952 cm  y el color verde ocupa una superficie de 1584 cm .
                                                                                       2

                                                                                                                     147]]></page><page Index="147"><![CDATA[Geometría

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Colorea los polígonos regulares y marca con una x los irregulares.




















                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta







              2.  Completa la tabla.

                                                                                               Suma de ángulos
                      Polígono                N.° de lados                Fórmula
                                                                                                   internos
                      Pentágono

                                                                       S 5 180 (8 − 2)

                                                                      S 5 180 (10 − 2)

                      Hexágono

                                                                       S 5 180 (9 − 2)


              3.  Dibuja dos polígonos regulares y dos polígonos irregulares.



























         148]]></page><page Index="148"><![CDATA[Pensamiento espacial








              4.  Calcula el perímetro de cada uno de estos polígonos regulares, de los que se conoce la longitud de un lado.
                       24,5 cm                                          12,7 cm








                                                                         21,7 cm
                       40,3 cm






                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              5.  Utiliza la cuadrícula para hacer los cálculos y completa la siguiente tabla.

















                                  N.° de lados
                                                                                   Perímetro (cm)
                                                                     Lado (cm)
                                                  Apotema (cm)
                  Polígono     MUESTRA EDITORIAL                                                      Área (cm )
                                                                                                               2
                 Pentágono                            24,8              36                               2232
                  Hexágono             6              36,4                               252
                 Heptágono                            22,9                               154            1763,3
                  Octágono             8                                30                                 4344
                  Nonágono                            68,7                               450             15 457,5

              6.  Relaciona con una línea el polígono, cuyos lados están dados en centímetros, con su respectivo perímetro.
                                       2,1                                                          2,1
                        2,2                                1,7               3,5
                                                                                                            2,6
                                   2
                                               3,5                                       4
                                                                        0,6  1,1               4,2
                                   2,5                                                                        2,8
                                                                               1

                                        2,2                                       1                      2,2






                        12,3 cm           11 cm            11,2 cm           13,9 cm           10,2 cm



                                                                                                                     149]]></page><page Index="149"><![CDATA[Geometría

                                        220 cm MUESTRA EDITORIAL





              7.  Encuentra el valor del término desconocido de cada polígono, cuya longitud de los lados está dado
                 en centímetros.

                      2

                                3,2                                             5,3
                                                                   7,1
                 4,1    P 5 16,3
                                                                                1,7

                                                                         P 5 26
                 2,1
                              ×                                                     ×
                                                                      6,8
                   1,8
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              8.  Calcula el área de cada uno de los siguientes polígonos regulares.
                                   24 cm


                                    ap 5 16,5


                                  54 cm

                                    ap 5 56,1


                                     36 cm



                                    ap 5 31,2



                                     18 cm

                                    ap 5 21,7



                                   18 cm


                                   ap 512,38 cm 2



               Trabajo colaborativo                                Actividad indagatoria
                                             ap 5 27,7 cm
               Trabajen en parejas y  32 cm                        ¿Cuál es el valor de la apotema de un decágono regular
               encuentren el valor                                 que tiene de lado 36 cm y de área 9972 cm ?
                                                                                                        2
               del área de la parte                      100 cm
               pintada de verde.






         150]]></page><page Index="150"><![CDATA[Pensamiento espacial

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 3. Medidas de superficie




                                         Reto matemático


                                        ¿Sabes qué medidas de superficie se utilizan para medir terrenos agrícolas?




              3.1 Medidas de superficie SMD
                                                                                             Competencia
              Juan tiene una hacienda cuya superficie mide 125 dam  y Carlos tiene una hacienda de   matemática
                                                              2
                   2
              34 hm . ¿Cuántos metros cuadrados tiene cada hacienda?                         Los múltiplos de las unidades
                                                                                             de superficie son medidas más
              Para conocer cuántos metros cuadrados tiene cada hacienda, es necesario que    grandes que el metro cuadrado
              conozcamos las unidades de superficie.                                         y los submúltiplos son medidas
                                                                                             más pequeñas que el metro
              Recuerda que la unidad fundamental de superficie es el metro cuadrado m , es decir, un   cuadrado.
                                                                              2
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              cuadrado que mide 1 m en cada lado.
                                                                                             Interdisciplinariedad
                          Múltiplos                                Submúltiplos              Matemáticas

               kilómetro  hectómetro  decámetro   metro   decímetro  centímetro  milímetro   e historia
               cuadrado   cuadrado    cuadrado   cuadrado cuadrado    cuadrado  cuadrado     Las medidas de superficie
                                                                                             agrícolas, como la hectárea,
                 km 2       hm 2        dam 2      m 2       dm 2       cm 2      mm  2      el acre y la fanegada, no
                                                                                             fueron inventadas por una
                                Multiplica sucesivamente por 100                             sola persona, sino que
                                                                                             evolucionaron a lo largo del
                                                                                             tiempo en diferentes culturas
              Para convertir de una unidad a otra, se procede así:                           para satisfacer necesidades
                                                                                             agrícolas locales, por ejemplo,
                       3 100     3 100      3 100     3 100     3 100     3 100              la hectárea, deriva del sistema
                                                                                             métrico decimal, introducido
                                                                                             durante la Revolución Francesa.
                   km2       hm2       dam2       m2        dm2       cm2       mm2          El acre se originó en la
                                                                                             Edad Media.


                       4 100     4 100      4 100     4 100     4 100     4 100

              Ahora, se debe convertir la medida de cada hacienda a metros cuadrados.

                                 Divide sucesivamente entre 100
                                                                                             ¿Averigua qué otro nombre
              Hacienda de Juan: 125 dam  a m  5 125 3 100 5 12 500 m .                       recibe una fanegada en
                                                                 2
                                      2
                                          2
                                                                                             Antioquia, Valle y Eje Cafetero?
              Hacienda de Carlos: 34 hm  a m 5 34 3 10 000 5 340 000 m .
                                     2
                                         2
                                                                   2
              La hacienda de Juan tiene 12 500 m  y la hacienda de Carlos tiene 340 000 m .
                                             2
                                                                                2
               Las medidas de superficie son aquellas que sirven para medir el espacio plano que
               ocupa una figura geométrica.
               El metro cuadrado (m ) es la unidad principal de las medidas de superficie. Para medir
                                  2
               superficies grandes, se utilizan los múltiplos; y para medir superficies pequeñas, se
               utilizan los submúltiplos.

               DBA5 (Ev. 3) Estima la medida de longitudes, áreas, volúmenes, masas, pesos y ángulos en presencia o no de los objetos   151
               y decide sobre la conveniencia de los instrumentos a utilizar, según las necesidadesde la situación.]]></page><page Index="151"><![CDATA[Geometría








                                        3.2 Medidas agrarias
              Competencia
              matemática                Cecilia dice que el terreno de la hacienda de su pueblo mide 74 hm . Patricia dice que
                                                                                                    2
              En las medidas agrarias,   mide 74 ha. ¿Quién tiene la razón? Para conocer quién tiene la razón, recuerda que la
              un área es una medida     hectárea contiene 100 dam .
                                                                2
              de la superficie de un
              cuadrado de 10 m de lado.                                                              1 ha
              En cambio, la hectárea es   Medidas de        2         2          2                 1 dam
              la medida de la superficie   superficie   hm        dam          m
              de un cuadrado de 100 m
              de lado.                                Hectárea     Área     Centiárea
                                           Medidas                                       1 ha
                                           agrarias      ha         a          ca
              Interdisciplinariedad
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              Matemática
              y TIC                     3.3 Equivalencias entre medidas de superficie
                                        1 hm    5 1ha  5 10 000 m 2
                                             2
              La tecnología, a través
              de los satélites, ha      1 dam    5 1a  5 100 m 2
                                              2
              posibilitado observar
              grandes regiones de la       2
              Tierra y precisar su área.   1 m      5 1ca
              Los satélites envían
                                        Una hectárea se puede expresar de varias formas equivalentes.
              fotografías en las que  MUESTRA EDITORIAL
              podemos apreciar
              accidentes geográficos              1 ha             1 ha             1 ha             1 ha
              y nos permite ver las
              grandes extensiones de            10 000 m 2       100 dam 2           1 hm 2         0,01 km 2
              los continentes, desiertos
              y mares.                  Luego de este análisis, se puede decir que, tanto Cecilia, como Patricia, tienen razón.

                                         Para medir superficies de terrenos agrícolas, se usa la hectárea. Esta representa el área
                                         de un cuadrado de 100 m de lado.


                                                         Ejemplo 1

                                        Con esto puedo saber   Realiza las siguientes conversiones.
                                          cuánto mide el
                                         terreno de mi casa       2           2
                                            ¡Qué bien!   a.  4 dam   a      m
                                                         b.  8 hm 2  a      dam 2

                                                         c.  2 hm 2  a      ha

                                                         Solución

                                                         a.  4 dam    a     m      5 4 3 100      5      400 m 2
                                                                  2
                                                                              2
                                                                                2
                                                         b.  8 hm 2  a      dam   5 8 3 100       5      800 dam 2
                                                         c.  2 hm 2  a      ha     5 2 3 1        5      2 ha




         152                                                DBA 6 (Ev. 2) Identifica los elementos que componen las figurasy cuerpos geométricos.]]></page><page Index="152"><![CDATA[Pensamiento espacial


                     Evaluación formativa




              1.  Completa la tabla.


                                          km 2   hm 2  dam 2   m 2    dm 2   cm 2   mm 2

                                                         7

                                                                       19
                                                                                    5000


              2.  Completa las equivalencias.


                 a.  3 ha 5                       m 2
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                             2
                 b.  345 dam  5                   ca
                 c.  4,5 ca 5                     a

                 d.  3780 ca 5                    a

                           2
                 e.  2,8 hm  5                    a

                                                  m
                 f.   7 dam  5 MUESTRA EDITORIAL
                           2
                                                   2
              3.  Escribe verdadero (V) o falso (F), según corresponda.
                         2
                 a.  4 km  5 4 000 hm 2
                          2
                 b.  3 hm  5 30 ha
                 c.  2,5 dam  5 25 000 dm 2
                            2

                 d.  70 000 mm  5 7 dm 2
                               2
                            2
                 e.  206 km  5 2060 hm 2
                 f.   67 ha 5 67 hm 2

              4.  Relaciona cada medida con su equivalencia.


                 4 km                      56,785 409 km 2
                      2
                 12 m                      40 000 dam 2
                      2
                 4000 dm 2                 0,12 dam 2

                 1200 m                    120 000 dm 2
                        2

                 56 785 409 m              40 m 2
                             2

              DBA 9 (Ev. 1) Utiliza las operaciones y sus inversas en problemas de cálculo numérico.
              DBA8 (Ev. 1) Propone patrones de comportamiento numéricos y expresa verbalmente o por escrito los procedimientos matemáticos.  153]]></page><page Index="153"><![CDATA[Geometría

                               MUESTRA EDITORIAL





              5.  Transforma las unidades a metros cuadrados y ordénalos de mayor a menor.

                 a.  45 000 dm 2

                 b.  5700 dm 2


                 c.  352 000 cm 2

                 d.  45,034 dam 2


                 e.  235 000 000 mm 2

                 f.   5,005 dam 2
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              6.  Resuelve los siguientes problemas.

                 a.  Un terreno mide 0,045 hm², 0,86 dam² y 24 m². ¿Cuántos metros cuadrados tiene el terreno?


                                              Datos          Solución       Respuesta











                 b.  Un terreno tiene de superficie 12 ha. Si su dueño plantó césped en 12 300 metros cuadrados, ¿en cuántos
                     metros cuadrados falta plantar césped?


                                              Datos          Solución       Respuesta














               Trabajo colaborativo
               Formen equipos, resuelvan el siguiente problema y planteen otro similar: la superficie de un terreno es 2850 m . Si
                                                                                                               2
               se destinan 5 dam  para construir una piscina y 34500 dm  para construir una casa, ¿cuántos metros cuadrados del
                                                                 2
                               2
               terreno quedan sin construir?

               Actividad indagatoria
               Averigua cuántas hectáreas de extensión tiene el Parque Nacional Natural El Cocuy.



         154]]></page><page Index="154"><![CDATA[Pensamiento espacial

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 4. Medidas de volumen




                                         Reto matemático

                                        ¿Cuántos cubos componen la figura?



              4.1 Medidas de volumen SDM                                                      Competencia
                                                                                              matemática
              Liliana necesita guardar cubos de 1 centímetro de arista en una caja que tiene
              1 decímetro de ancho, 1 decímetro de largo y 1 decímetro de alto. ¿Qué volumen   En las imágenes se pueden
              ocupará la caja?                                                                apreciar las unidades de
                                                                                              medida de volumen más
                                                                                              empleadas.
              Para conocer el volumen que ocupará la caja, Liliana hace el siguiente esquema gráfico:
                                                                                              a)


                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                    1 dm=10 cm 1 dm=10 cm
                                                    1 cm  1 cm            1 mm 1 mm 1 mm
                   1 dm=10 cm                      1 cm  1 cm 3        Zoom del milímetro     b)
                                                                            1 mm
                                                                                 3



                                   1 dm 3


              Para conocer el volumen que ocupará la caja, se multiplica el largo por el ancho
              y la altura.                                                                    c)

                                       1dm 3 1dm 3 1dm 5 1 dm   3

              Las medidas de volumen tienen múltiplos y submúltiplos, tal y como lo muestra la
              siguiente tabla, con sus respectivas equivalencias.


                                           km 3      1 km   5      1 000 000 000 m 3          d)
                                                         3
                          Múltiplos        hm 3      1 hm   5         1 000 000 m 3
                                                          3
                                           dam 3     1 dam   5            1000 m 3
                                                           3
                      Unidad de medida     m 3       1 m    5                 1 m 3
                                                        3
                                           dm 3      1 dm   5  0,001           m 3
                                                          3
                        Submúltiplos       cm 3      1 cm   5  0,000001        m 3            Responde: ¿cuántas
                                                         3
                                                                                              dimensiones tiene la
                                           mm  3     1 mm   5  0,000 000 001   m 3            magnitud volumen?
                                                          3


               Las medidas de volumen se emplean para medir el espacio ocupado por diferentes
               objetos que tienen tres dimensiones (ancho, largo y alto). La unidad de medida del
               volumen es el m . Esto equivale al volumen de un cubo que tiene un metro de
                              3
               ancho, un metro de largo y un metro de alto; o al de un cubo cuyas aristas
               miden un metro.





               DBA5 (Ev. 3) Estima la medida de longitudes, áreas, volúmenes, masas, pesos y ángulos en presencia o no de los objetos y decide sobre la   155
               conveniencia de los instrumentos a utilizar, según las necesidades de la situación. los instrumentos a utilizar, según las necesidades de la situación.]]></page><page Index="155"><![CDATA[Geometría

                               MUESTRA EDITORIAL





                                                 4.2 Conversiones de medidas de volumen

                                                 Luis tiene una carga de 17 dam . Para ponerla en un camión, debe transformar
                                                                           3
                                                 la medida a metros cúbicos. ¿Cuántos metros cúbicos tiene la carga?
                                                 Para convertir de una unidad a otra, analizamos el siguiente gráfico:


                                                                   Multiplica sucesivamente por 1000



               Competencia                       3 1000    3 1000     3 1000    3 1000    3 1000    3 1000
               matemática

               El volumen de un cuerpo
               es la cantidad de espacio      km3       hm3      dam3        m3       dm3        cm3      mm3
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
               que ocupa. El volumen
               se expresa en unidades
               cúbicas.                          4 1000    4 1000     4 1000    4 1000    4 1000    4 1000


                                                           Divide sucesivamente entre 1000



                                                                              3
                                                                                  3
                                                                       17 dam  a m  5
                                        Como la conversión es de una medida mayor a una medida menor, multiplicamos
               Realiza la conversión de   3 1000 cada lugar recorrido hacia la derecha.
                      3
               6546 km  a m .
                          3
                                                                                       3
                                                                   17 3 1000 5 17 000 m .
                                        Ejemplo 1
                                        Expresa en metros cúbicos la siguiente adición.

                                                                          3
                                                                                             3
                                                                  3
                                                                                   3
                                                            12 cm  1 3 hm  1 45 dm  1 65 dam  5
                                        Solución
                                        Transformamos cada medida en metros cúbicos.

                                             12 cm 3      a    m   5     12    4     1 000 000 5 0, 000012 m 3
                                                                 3
                                             3 hm 3       a    m   5      3    3     1 000 000 5 3 000 000 m 3
                                                                 3
                                             45 dm 3      a    m     5   45    4         1000 5 0,045 m  3
                                                                 3
                                             65 dam 3     a    m   5     65    3         1000 5 65 000 m  3
                                                                 3
                                        Realizamos la adición.

                                        0,000012 1 3 000 000 1 0,045 1 65 000 5

                                        3 065 000, 045 m 3




         156                   DBA 9 (Ev. 1) Utiliza las operaciones y sus inversas en problemas de cálculo numérico.
                               DBA 8 (Ev. 1) Propone patrones de comportamiento numéricos y expresa verbalmente o por escrito los procedimientos matemáticos.]]></page><page Index="156"><![CDATA[Pensamiento espacial


                     Evaluación formativa




              1.  Tomando en cuenta que cada cubo equivale a un centímetro cúbico, escribe de cuántos centímetros cúbicos
                 está formada cada figura.









                                              cm 3          cm 3        cm 3        cm 3


              2.  En cada grupo de medidas, encierra la que sea mayor.

                 a.  cm 3   dm 3   mm  3

                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                     3
                 b.  hm 3   dam   m
                                3
                 c.  km 3   dam   hm
                                3
                                      3
              3.  Relaciona, con una línea, las medidas que son equivalentes.
                 1,2 km                           28 000 hm 3
                       3
                 28 dam                           28 000 m 3
                        3
                 12 cm 3       MUESTRA EDITORIAL
                                                            3
                                                  12 000 mm
                 12 dm                            1200 hm 3
                       3

                 28 km 3                          0,012 m 3
              4.  Observa el ejemplo de la proporción y encuentra el valor desconocido de las siguientes.


                                   3
                                              3
                      3
                 1 hm  es a 1000 dam  como 45 m  es a 45 000 dm 3
                 a.  71 dam  es a 71 000 m  como 4 cm  es a x mm 3             x 5
                                                    3
                                         3
                            3
                 b.  21 m  es a 21 000 000 cm  como x m  es a 2 000 000 dm     x 5
                                                     3
                                           3
                                                                      3
                         3
                 c.  14 cm  es a 0,014 dm  como 35 m  es a x dam 3             x 5
                                                  3
                                       3
                          3
                 d.  23 dam  es a 0,000 023 km  como x m  es a 0,000 0008 hm 3  x 5
                                                      3
                            3
                                            3
              5.  Completa la tabla.
                                            km 3         hm 3       dam  3        m 3
                                              5
                                                          6
                                                                      7
                                                                                   8




                                                                                                                     157]]></page><page Index="157"><![CDATA[Geometría

                               MUESTRA EDITORIAL





              6.  Realiza las siguientes conversiones.

                 a.  9 dm  5           mm 3
                          3
                 b.  0,00876 km  =         dam 3
                               3
                 c.  5000 dam  =          hm 3
                              3
                 d.  98 cm  =          mm 3
                          3
                 e.  0,34 m  =          cm 3
                           3
                 f.   0,009876 m  =         mm 3
                               3
              7.  Expresa en metros cúbicos el resultado de las siguientes operaciones.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 a.  4,567 dm  1 320 m  1 243 090 cm
                                      3
                             3
                                                   3









                 b.  56 dm  1 0,09 dam  2 12,16 m
                                      3
                                                3
                           3










                                        3
                              3
                 c.  0,876 dam  1 0,076 m  2 34 dm 3











              Trabajo colaborativo
              Resuelvan en parejas la siguiente situación y luego inventen otra diferente e intercámbien la con otra pareja. Una
              caja de forma rectangular mide 0,056 dm de largo, 45 cm de ancho y 15 000 mm de alto. ¿Cuánto es el volumen
              en centímetros?

              Actividad indagatoria
              Pregunta a un familiar en qué momento un médico puede utilizar las medidas de volumen.


         158]]></page><page Index="158"><![CDATA[Pensamiento espacial

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 5. Medidas de masa




                                         Reto matemático


                                        ¿Qué medidas de peso son usuales cuando compras en el supermercado?




              5.1 Unidades de peso
                                                                                             Interdisciplinariedad
              En el sistema métrico decimal, la unidad fundamental de las medidas de masa es    Matemática
              el gramo (g).                                                                  y física

              El gramo tiene múltiplos para expresar medidas más grandes y submúltiplos para   La masa es la cantidad
              expresar medidas más pequeñas.                                                 de materia que tiene
                                                                                             un cuerpo.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              Analicemos la siguiente tabla.
                                    kg    kilogramo        1000 g  Para convertir una
              Múltiplos             hg    hectogramo        100 g  medida de masa
                                   dag    decagramo          10 g  expresada en una unidad,
              Unidad de medida      g     gramo               1 g  a otra, multiplicamos por
                                    dg    decigramo          0,1 g  10 o dividimos el número
              Submúltiplos          cg    centigramo        0,01 g  entre 10, según la medida
                                   mg     miligramo        0,001 g  requerida.               Competencia
                                                                                             matemática
              Los objetos pueden pesar más o menos que un gramo. Observemos algunos ejemplos   Existen otras medidas
              de medidas aproximadas.                                                        más grandes que el
                                                                                             kilogramo.

                                                                                             1 miriagramo es igual a
                     Objeto                                                                  10 000 gramos:
                                                                                             1 mag = 10 000 g.
                Se puede medir su     mg      cg     dg       g     dag      hg     kg
                     peso en

              Además de estas medidas, en nuestro país existen otras que se utilizan en mercados y
              supermercados.

                    1 tonelada 5 1000 kilogramos                  tonelada       t

                  1 kilogramo 5 1000 gramos       5 2,2 libras    kilogramo      kg
                     1 quintal 5 4 arrobas        5 100 libras    quintal        q

                        1 libra 5 453,5 gramos    5 16 onzas      libra          lb
                      1 arroba 5 25 libras                        arroba         @

                       1 onza 5 28,35 gramos                      onza           oz







               DBA5 (Ev. 3) Estima la medida de longitudes, áreas, volúmenes, masas, pesos y ángulos en presencia o no de los objetos y decide sobre la   159
               conveniencia de los instrumentos a utilizar, según las necesidades de la situación. los instrumentos a utilizar, según las necesidades de la situación.]]></page><page Index="159"><![CDATA[Geometría

                               MUESTRA EDITORIAL





              5.2 Conversión de medidas de masa
              Carmen compró algunos productos en el supermercado y quiere guardarlos en una caja
              que tiene una capacidad de 18 kg. ¿Es posible que pueda guardar todos los alimentos?



                                            Lista de compras

                                  •   2 quesos de 500 gramos cada uno

                                  •   2 kg de azúcar

                                  •   1 libra de arroz
                                  •   4 onzas de manteca
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                  •   ½ arroba de papas

                                  •   7500 gramos de harina



              Para saber si las compras le alcanzan a caber en la caja, es necesario realizar la conversión
              de algunas medidas.

              Como se quiere comparar con kilogramos, realizamos la conversión de cada medida.
              Queso:
              500 g a kg  5 500 ÷1 000     5 0,5 kg × 2   5  1,0 kg
              Azúcar:
              2 kg a kg   5 2,0 kg
              Arroz:

              1 lb a g    5 1 × 453,5      5 453,5 g a kg 5 0,4535 kg
              Manteca:
              4 oz a g    5 4 × 28,35      5 113,4 g a kg 5 0,1134 kg
              Papas:
              0,5 @ a lb  5 0,5 × 25       5 12,5 lb a g   5 12,5 × 453,5 5 5 668,75 g 5 5 668,75 g a kg 5,66875 kg
              Harina:
              7 500 g a kg 5 7 500 ÷ 1 000 5  7, 5 kg

              Sumamos las cantidades expresadas en kilogramos.

                          1 1 2 1 0,4535 1 0,1134 1 5,66875 1 7,5 5 16,73565 kg.

              A Carmen sí le alcanza la capacidad de la caja para llevar las compras.

                         La masa es la cantidad de materia que tiene un cuerpo, y su unidad fundamental es el gramo.








         160                   DBA 9 (Ev. 1) Utiliza las operaciones y sus inversas en problemas de cálculo numérico.
                               DBA8 (Ev. 1) Propone patrones de comportamiento numéricos y expresa verbalmente o por escrito los procedimientos matemáticos.]]></page><page Index="160"><![CDATA[Pensamiento espacial

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Observa cada gráfico y encierra la medida que utilizarías para medir su masa.









                                         lb      oz mg        g mg         g cg        lb








                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                         kg      oz mg        q t          g kg       oz

              2.  Completa la tabla con las equivalencias correspondientes.

                                        kg      hg      dag       g       dg      cg      mg
                                        34                              340 000

                                                 56                              560 000
                                                         78                              780 000
                                                                  23              2 300
                                                                          18      180
                                                                 0,87              87
                                                        0,0094                             94

              3.  Dibuja un objeto que tenga una masa aproximada  a la solicitada.


                                             400 g                  8 lb











                                             12 g                  4 t

















                                                                                                                     161]]></page><page Index="161"><![CDATA[Geometría








              4.  Escribe los signos menor que (,) o mayor que (.), según corresponda

                 a.  5 kg _____ 5500 g

                 b.  3 t _____ 3400 g

                 c.  2800 g _____ 3,5 kg

                 d.  2 @ _____ 75 lb

                 e.  5000 g _____ 30 000 cg

                 f.   3 q _____ 120 lb

                 g.  4,5 kg _____ 4800  g
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 h.  3,2 kg _____ 3,400 hg

              5.  Realiza la conversión y exprésala en la medida solicitada.


                 a.   1   kg   a ____ g                             e.   1   kg  a ____ lb
                      4                                                  2

                 b.   1   q   a ____ lb                             f.   3   g  a ____ lb
                      2        MUESTRA EDITORIAL
                                                                         4
                 c.   3   lb   a ____ oz                            g.   2   @  a ____ lb
                      4                                                  5


                 d.   1   t   a ____ kg                             h.   1   q  a ____ @
                      5                                                  2



               Trabajo colaborativo
               Trabajen en parejas para resolver cada problema.
               a.  Una persona vestida pesa 78,5 kg. Si la ropa pesa 567 g, ¿cuál es el peso real de dicha persona?






               b.  Lorena necesita 767 libras de papas para preparar la comida de una semana en su restaurante. Si compró 28
                  arrobas de papas, ¿le alcanza lo que compró?, y ¿cuántas arrobas le sobran o le faltan?









               Actividad indagatoria
               El Índice de Masa Corporal (IMC) expresa la relación entre el peso y la altura de una persona ¿qué valores de IMC
               indican si una persona es saludable?, ¿cuál es el IMC de la familia?, ¿qué hábitos afectan el IMC de una persona?



         162]]></page><page Index="162"><![CDATA[Pensamiento espacial

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 6. Medidas de capacidad




                                         Reto matemático


                                        ¿Cómo puedes calcular la cantidad de litros que
                                        entran en el tanque de gasolina de un auto?



              6.1 Unidades de capacidad
                                                                                              Competencia
              Dentro del Sistema Internacional de Unidades (SI), podemos encontrar el litro como   matemática
              unidad de medida de capacidad.                                                  Una piscina olímpica,
                                                                                              cuenta con 10 carriles,
                                           kl              kilolitro          1 000 l         pero solo se usan 8, ya
                   Múltiplos               hl             hectolitro           100 l          que el primero y el
                                                                                              último son útiles para
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                          dal              decalitro           10 l           impedir el oleaje. El
               Unidad de medida            l                 litro              1 l           ancho de cada carril
                                                                                              está reglamentado en
                                           dl              decilitro           0,1 l          2,5 metros. La

                  Submúltiplos             cl              centilitro         0,01 l          temperatura del agua
                                                                                              suele variar entre los
                                          ml               mililitro          0,001 l         25 ºC y 28 ºC. Puede
                                                                                              contener hasta casi
              A partir del litro, se definen sus múltiplos, que son medidas más grandes, y sus submúltiplos,
              que son medidas más pequeñas.                                                   cuatro millones de
                                                                                              litros de agua.
               El litro ( l ) es la unidad de las medidas de capacidad. Cada unidad de capacidad es
               igual a 10 unidades del orden inmediato inferior.


              Observemos algunas equivalencias de las medidas de capacidad.

                      Múltiplos                  Litro                Submúltiplos
                  Kilolitro (kl) 5 1000 l      Litro (l) 5 1 l      Decilitro (dl) 5 0,1 l

                                                                                              Realiza la conversión
                                                                                              de la cantidad de litros
                                                                                              de agua que puede
                                                                                              contener una piscina
                                                                                                         3
                 Hectolitro (hl) 5 100 l                            Centilitro (cl) 5 0,01 l  olímpica a m .







                 Decalitro (dal) 5 10 l                            Mililitro (ml) 5 0,001 l











                                                                                                                     163]]></page><page Index="163"><![CDATA[Geometría

                               MUESTRA EDITORIAL





                                        6.2 Conversiones de medidas de capacidad

                                        Si Verónica tiene 564 cl de pintura amarilla y 1360 ml de pintura roja, ¿cuántos litros de
                                        pintura naranja obtendrá?

                                        Para conocer cuántos litros de pintura naranja obtendrá Verónica, es necesario que
                                        transformemos cada medida a litros.

                                        Para convertir de una unidad a otra, analizamos el siguiente gráfico.


                                                               Multiplica sucesivamente por 10



                                                3 10      3 10       3 10      3 10      3 10      3 10
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              Cátedra de
              Educación
              ambiental                      kl        hl       dal         l        dl         cl       ml

              El Páramo de Chingaza
              aporta el 80 % del agua           4 10      4 10       4 10      4 10      4 10      4 10
              que usa Bogotá y tiene
              una capacidad de
              almacenamiento estimada
              de 293 millones de m ,                            Divide sucesivamente entre 10
                               3
              gracias a embalses como
              Chuza, San Rafael, y
              Chingaza. En el verano,   564 cl a l    5       564 4 100     5      5,64 l
              la reducción del caudal,
              la evaporación y el       1360 ml a l   5       1360 4 1000   5      1,360 l
              incremento en el consumo
              impactan la sostenibilidad   5,64 + 1,36    5   7,00 l
              del suministro de agua.
              Para mitigar los efectos   Verónica obtendrá 7 litros de pintura naranja.
              de la sequía, es esencial
              optimizar el uso del agua,   Para realizar conversiones de unidades de capacidad a unidades inferiores o
              conservar el ecosistema    superiores, se multiplica o se divide sucesivamente por 10.
              del páramo y planificar
              adecuadamente para
              asegurar un suministro de   Ejemplo 1
              agua eficiente y seguro
              durante los períodos secos.  Realiza las conversiones solicitadas.

                                        a.  45 cl a dal

                                        b.  0,876 hl a l

                                        Solución
               ¿Puedes investigar en
               cuánto se reduce el      a.  45 4 1000 5 0, 045 dal
               volumen de agua en
               estos embalses durante   b.  0,876 3 100 5 87,6 l
               el verano y cuál es su
               impacto en la comunidad?


         164                   DBA 6 (Ev. 2) Identifica los elementos que componen las figuras y cuerpos geométricos.
                               DBA8 (Ev. 1) Propone patrones de comportamiento numéricos y expresa verbalmente o por escrito los procedimientos matemáticos.]]></page><page Index="164"><![CDATA[Pensamiento espacial

                               MUESTRA EDITORIAL





              6.3 Relación de medidas de volumen y capacidad

              Raúl y María construyen una caja en forma de cubo, que mide un
              decímetro de arista. Luego, la arman sin dejar ningún agujero. ¿Qué
              cantidad de líquido podrán verter en el recipiente?






                                                                 1dm


                                                                                              Competencia
                                                                                              matemática
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                1dm                                           Las botellas de bebidas
                                                                                              tienen sus medidas
                                                                                              marcadas en ml o cm ,
                                                                                                               3
              Para saber qué cantidad de líquido puede caber en la caja, utilizan botellas con medidas   ya que la definición de
              diferentes y las vierten en su interior.                                        ambas medidas es
                                                                                              la misma.
                                                                 1 litro


                                                3/4 litro
                                 1/2 litro











                              La capacidad de un cubo de 1 dm de arista es 1 l.

                                             1 dm  5 1 litro
                                                  3

              Raúl y María pueden colocar un litro de líquido en la caja de un decímetro de arista.


              A partir de esta relación, y teniendo en cuenta las correspondencias entre las unidades
              de volumen, tenemos:


              1 dm  5 1000 cm              1 dm  5 1000 ml             1 cm  5 1 ml
                  3
                             3
                                               3
                                                                            3
               El volumen es el espacio que ocupa un objeto. La capacidad es la posibilidad que
               tiene un recipiente de contener algo en su interior. Con ambas medidas se puede
               establecer una relación entre las unidades.







                                                                                                                     165]]></page><page Index="165"><![CDATA[Geometría








               Interdisciplinariedad    6.4 Conversiones de medidas
               Matemáticas y
               tradición                      kl         hl       dal         l        dl         cl       ml
                                              m 3                           dm 3                           cm 3
               Las medidas actuales de los
               líquidos se originan de los   Ejemplo 2
               antiguos términos con los que
               se designaban los recipientes
               que los contenían. En la   Expresa cada medida en la unidad indicada.
               antigüedad, la unidad principal
               era la cántara o cántaro,   a.  678 litros a decámetros cúbicos
               equivalente a 16 litros.
                                        b.  76 centímetros cúbicos a litros

                                        c.  5 litros a milímetros cúbicos
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                        Solución
                                        Identificamos las medidas y, en lugar de litros, colocamos su equivalente, que es dm .
                                                                                                                   3
                                        Realizamos la conversión de medida de volumen.

                                        a.  678 dm  a dam 3
                                                  3
               Su existencia se menciona
               desde textos hebreos         678 4 1 000 000 5 0, 000678 dam 3
               del Antiguo Testamento
                                        b.  76 cm  a dm
                                                       3
                                                 3
               y continúa en el Nuevo  MUESTRA EDITORIAL
               Testamento, la literatura
               romana y la poesía árabe.    76 4 1000 5 0, 076 dm 3
               Aunque su uso ha disminuido
               en la actualidad, el cántaro se   c.  5 dm  a mm 3
                                                3
               ha convertido en un objeto
               de interés etnográfico y     5 × 1 000 000 5 5 000 000 mm 3
               arqueológico.
               Entre los cántaros americanos
               tenemos la múcura        Otras medidas de capacidad
               precolombina para Colombia
               y el Caribe.             Existen otras medidas de capacidad que se utilizan con frecuencia.

                                              Unidad de         Onza líquida      Botella     Galón      Barril
                                                medida

               Competencia                    Equivalencia           1             750 cl     3,78 l      169 l
               matemática                                            32
               La venta de gasolina en   Ejemplo 3
               nuestro país, por lo general,
               se realiza en galones.
               También la venta de      El tanque de gasolina de un automóvil puede llenarse con 15 galones de gasolina.
               petróleo se realiza en barriles   ¿Cuántos litros son 15 galones?
               de petróleo que equivale a
               42 galones.              Solución
               Pregunta a un familiar que
               tenga un auto, qué cantidad   15 × 3,78 5 56,7 l
               de galones de gasolina o
               diésel le cabe al tanque   15 galones 5 56,70 litros
               de su vehículo. Realiza la
               conversión a barril.



         166                   DBA 9 (Ev.1) Utiliza las operaciones y sus inversas en problemas de cálculo numérico.
                               DBA 8 (Ev.1) Propone patrones de comportamiento numéricos y expresa verbalmente o por escrito los procedimientos matemáticos.]]></page><page Index="166"><![CDATA[Pensamiento espacial

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Colorea la respuesta correcta.


                                       a.  5 dal         50 l           500 l        5 000 l

                                       b.  8 kl          80 l           800 l        8 000 l

                                       c.  14 hl         140 l         1 400 l       14 000 l

                                       d.  9 hl          90 l           900 l        9 000 l

                                       e.  3 dal         30 l           300 l        3 000 l


                                       f.   4 ml         0,4 l          0,04 l       0,004 l
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                       g.  5 cl          0,5 l          0,05 l       0,005 l

                                       h.  3 cl          0,3 l          0,03 l       0,003 l

                                       i.   8 dl         0,8 l          0,08 l       0,008 l


                                       j.   7 ml         0,7 l          0,07 l       0,007 l

              2.  Completa los espacios en blanco.

                               a.  25 l                     dl                 cl                 hl

                               b.  14 l                     cl                 ml                  kl
                               c.  8,78 kl
                                                            hl                  l                 dal
                               d.  3,21 dal
                                                            l                  ml                  cl
                               e.  45,7 hl
                                                            cl                 dal                 l
                               f.   0,8767 kl
                                                            l                  hl                 dl
              3.  Expresa cada medida en la unidad solicitada.
                 a.  56 litros a cm   5 56 dm     a  cm         5  56  ×  1 000       5  56 000  cm 3
                                 3
                                           3
                                                        3
                                                        3
                                                                                                               3
                 b.  7 litros a mm   5 7 _______   a  mm        5 _________________ 5 _________________  mm
                                3
                 c.  9 litros a dm    5 9 _______   a  dm       5 _________________ 5 _________________  dm    3
                                                        3
                                3
                 d.  86 litros a m    5 86 _______  a  m 3      5 _________________ 5 _________________  m    3
                                3
                                                                                                               3
                                  3
                                                        3
                 e.  122 litros a cm   5 122 _______ a  cm      5 _________________ 5 _________________  cm
                 f.   3 litros a mm   5 3 _______   a  mm       5 _________________ 5 _________________  mm    3
                                                        3
                                3





                                                                                                                     167]]></page><page Index="167"><![CDATA[Geometría

                               MUESTRA EDITORIAL





              4.  Resuelve la siguiente situación. La capacidad de una botella de agua es de 355 ml, y contiene 320 cm . ¿Qué
                                                                                                             3
                 espacio de la botella queda vacía?















              5.  Expresa en litros el resultado de las siguientes operaciones.

                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 a.  45 dal 1 67 cl 1 234 ml 1 34 hl 5















                 b.  34 kl 1 6,87 hl 1 2 894 ml 1 21,74 dal 5















                 c.  3 l 1 6,907 hl 1 28,874 kl 1 36,3 hl 5
























         168]]></page><page Index="168"><![CDATA[Pensamiento espacial








              6.  Transforma a la unidad solicitada.

                                       a.  35 galones a litros 5                    litros

                                       b.  67 barriles a litros 5                   litros
                                       c.  8 botellas a centilitros 5               centilitros
                                       d.  96 onzas líquidas a litros 5             litros

                                       e.  6 galones a litros 5                     litros
                                       f.   8 barriles a litros 5                   litros

                                       g.  12 botellas a centilitros 5              centilitros
                                       h.  384 onzas líquidas a litros 5            litros
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              7.  Resuelve los siguientes problemas.
                 a.  La arista del cubo mide 25 cm. ¿Cuántos litros de agua puede contener?











                               MUESTRA EDITORIAL

                 b.  ¿Con cuántos litros de agua se puede llenar una piscina que tiene 5 m de largo, 21 dm de ancho y 18 dm
                     de profundidad?
















               Trabajo colaborativo
               En parejas, construyan una caja en forma de cubo que mida 1 dm de arista, y comprueben que en ella puede caber
               un litro de agua.



               Actividad indagatoria
               Investiga en Internet cuántos centímetros cúbicos o mililitros tiene una gaseosa de 2 litros y elabora una
               representación gráfica.






                                                                                                                     169]]></page><page Index="169"><![CDATA[Geometría


              Tema 7. Perímetro y área del círculo




                                         Reto matemático

                                        ¿Cuál es la diferencia entre círculo y circunferencia?





                                        7.1 Circunferencia, círculo y sus elementos
               Competencia
               matemática
                                                    Circunferencia                           Círculo
               Uno de los números
               más conocidos desde la    Es una línea curva cerrada, cuyos puntos  Es una figura plana, formada por una
               antigüedad es el número   están a la misma distancia del centro.  circunferencia y su interior.
               Pi, cuyo símbolo es  .
               Su valor aproximado
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
               es 3,14.                                     Circunferencia                       Círculo







               Cada 14 de marzo se
               celebra en todo el       Elementos
               mundo el Día de pi,
                                        Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la
               una conmemoración  MUESTRA EDITORIAL
               que trata de promover    circunferencia.                                          Cuerda
               la divulgación sobre el
               número  , en particular,   Radio: segmento que une cualquier punto de la                  Radio
               y que busca acercar las   circunferencia con el centro.                                  Diámetro
               matemáticas a la sociedad.                                                            Centro
                                        Diámetro: cuerda que pasa por el centro de la
                                        circunferencia.                                        Arco  Secante      Tangente
                                        Tangente: recta que tiene un único punto en común con
                                        la circunferencia.

                                        Secante: recta que tiene dos puntos en común con la
                                        circunferencia.

                                        En nuestro diario vivir, podemos encontrar diferentes figuras circulares, por ejemplo:

                                              Sector circular        Segmento circular          Corona circular

                                         Parte del círculo, limitada  Parte del círculo, limitada  Región limitada por dos
                                         por dos radios y su arco.  por una cuerda y su arco.  circunferencias con el
                                                                                            mismo centro pero con
                                                                                            distinto radio.












         170]]></page><page Index="170"><![CDATA[Pensamiento espacial

                               MUESTRA EDITORIAL





              7.2 Longitud de la circunferencia – Número Pi ( )

               Para obtener el número Pi (p), dividimos la longitud de la circunferencia C entre la
               longitud del diámetro D:

                                                   C   5 p
                                                 D


              Ricardo quiere colocar una cinta protectora alrededor de las tapas de
              tres barriles. El barril de 8 litros tiene un diámetro de 70 cm; el de 5
              litros, de 40 cm, y el de 3 litros, 20 cm. ¿Cuántos centímetros de
              cinta necesita?


                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              Si le hace falta una tapa para un barril que tiene 90 cm de diámetro,
              ¿qué cantidad de madera necesita?

              Para saber la cantidad de cinta que necesita Ricardo, es necesario que
              calculemos la longitud de la tapa de cada barril.


                  La longitud de la circunferencia C es igual a la longitud del diámetro D(D 5 2r)
                                          multiplicado por Pi (p).
                                        C 5 pD   o   C 5 2pr




              Barril de 8 litros        Barril de 5 litros       Barril de 3 litros
                                                                                              Competencia
              C 5 70 3 3,14 5 219,8 cm C 5 40 3 3,14 5 125,6 cm C 5 20 3 3,14 5 62,8 cm       matemática
                                                                                              El diámetro de una
                                                                                              circunferencia mide el
                                     219,8 1 125,6 1 62,8 5 408,20 cm
                                                                                              doble que el radio.
                                                                                              Diámetro = 2 3 r
              Ricardo necesita 408,20 cm de cinta.

              7.3 Área del círculo

                                                                                                 Diámetro
                  El área del círculo es igual a Pi ( ) multiplicado por la longitud del radio elevado al cuadrado.

                                               A 5   3 r 2


              Para conocer la cantidad de madera que necesita Ricardo, calculamos el área del círculo.

              Si el diámetro es 90, el radio es igual a  90   5 45 cm
                                                2                                                     Radio

                                 A 5   3 r     A 5 3,14 3 452 5 6358,5
                                         2
              Ricardo necesita 6358,5 cm  de madera.
                                     2



                                                                                                                     171]]></page><page Index="171"><![CDATA[Geometría

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Lee y escribe la palabra que corresponda a la definición.

                 a.  Línea que atraviesa la circunferencia de un extremo a otro y pasa por el centro.

                 b.  Línea que va del centro a cualquiera de los puntos de la circunferencia.


                 c.  Segmento que sin pasar por el centro conecta con dos puntos de la circunferencia.

                 d.  Línea recta exterior a la circunferencia que pasa por un solo punto de ella.


                 e.  Línea recta que pasa por dos puntos de la circunferencia.

                 f.   Parte del círculo limitado por dos radios y su arco.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              2.  Dibuja una circunferencia de 2 cm de radio. Señala y rotula su centro, el radio, el diámetro, una recta secante y
                 un segmento circular.






























              3.  Completa la tabla.


                                                  L=   3 d                   5 3,14

                                         Longitud (cm)     Diámetro (cm)      Radio (cm)
                                                                                  4,5
                                                                                  3,4

                                                                                  4,2
                                                                                  7,8

                                                                                 12,2





         172]]></page><page Index="172"><![CDATA[Pensamiento espacial

                               MUESTRA EDITORIAL





              4.  Resuelve los siguientes problemas.

                 a.  Se van a pintar los círculos interiores de una cancha de básquet. Cada uno tiene 2 metros de radio. Cada galón
                     de pintura puede cubrir hasta 7 17  m . ¿Cuántos galones de pintura son necesarios para pintar el círculo interior
                                                    2
                                                20
                     y los medios círculos de los extremos?











                 b.  Se está colocando una cerca alrededor de una plaza de toros. La plaza de toros mide 20 m de radio. ¿Cuántos
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                     metros de cerca serán necesarios para toda la plaza?











                 c.  Si una pizza tiene un radio de 17,5 cm, ¿cuál es la longitud del borde de la pizza en centímetros?












              5.  Encuentra el valor del área de cada círculo.





                                               14 cm                        3,5 cm










               Trabajo colaborativo
               En parejas, y con la ayuda de una cuerda, comprueben la deducción del valor del número Pi, midiendo la longitud
               y el diámetro.



               Actividad indagatoria
               Averigua cuál es el valor del área de una moneda de 1000 pesos.


                                                                                                                     173]]></page><page Index="173"><![CDATA[Geometría

              •  MUESTRA EDITORIAL
                      Proyecto interdisciplinario





                                                                  Practiquemos el reciclaje

                                                                  Justificación / problemática

                                                                  Realizar prácticas de reciclaje es muy importante para la
                                                                  conservación ambiental, pues a partir de dichas prácticas
                                                                  se contribuye a limitar la contaminación y a utilizar los
                                                                  recursos reciclados en la elaboración de diferentes
                                                                  objetos útiles en nuestra vida cotidiana. Es por eso que
                                                                  este proyecto se enfocará en la conservación del
                                                                  ambiente mediante la elaboración de algunos objetos
                                                                  con material reciclado

              Objetivos

              Incentivar en el aula el reciclaje de botellas, papel y cartón, a fin de generar un análisis matemático y estadístico de los
              resultados obtenidos.
              Recursos
              Botellas, papel, revistas.
              Actividades

              Formen grupos de trabajo y realicen las siguientes actividades:
              •   Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta  Investiguen sobre los objetos que se pueden reciclar y cómo es su correcto almacenamiento.

              •   Escriban las ventajas y desventajas de reciclar.
              •   Definan qué objetos van a recolectar (pueden ser botellas, revistas, latas, etc.).
              •   Definan un tiempo de entrega.

              Realicen el análisis de recolección. Observen el ejemplo.
              38 botellas que recolectaron los 3 participantes es el total. 16 botellas del participante 1, equivalen al 42,1 %



                       Tiempo        Primera semana     Segunda semana      Tercera semana         Total
                                    Botellas      5     Botellas      4     Botellas    7    Botellas     16
                     Participante 1
                                    Papel lb      3     Papel lb      2     Papel lb    2    Papel lb      7
                                    Botellas      6     Botellas      3     Botellas    4    Botellas     13
                     Participante 2
                                    Papel lb      1     Papel lb      1     Papel lb    1    Papel lb      3
                                    Botellas      4     Botellas      3     Botellas    2    Botellas      9
                     Participante 3
                                    Papel lb      1     Papel lb      2     Papel lb    2    Papel lb      5


              Evaluación

              •   Realicen el análisis de porcentajes por cada uno de los participantes para conocer el aporte de botellas y papel
                 de cada uno.
                 Construyan con el material recolectado un objeto que sea práctico y útil.


         174]]></page><page Index="174"><![CDATA[Pensamiento espacial

                               MUESTRA EDITORIAL
                   Competencia digital





              ¿Cómo calcular proporciones?                        4. Lee atentamente las explicaciones y observa el
                                                                      proceso para realizar la regla de tres simple directa.
                                                                      Para que pongas en práctica lo aprendido, te
              1. Ingresa al siguiente enlace:                         presentamos algunos ejemplos con explicaciones
                 http://t.ly/8fHCs                                    detalladas y gráficas ilustrativas. ¡Intenta resolverlos
                                                                      antes de ver la respuesta!

              2.  Comencemos por comprender la base de todo esto: la
                 proporcionalidad. Haz clic en la flecha inferior derecha
                 para comenzar y, en los botones correspondientes,
                 cada vez que hayas leído las instrucciones y las
                 explicaciones dadas.

                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta










                                                                  5. Por último, ¡pon a prueba tus habilidades! Ahora, es
                                                                      tu turno de demostrar lo que has aprendido.
                                                                      Resuelve la actividad final.





              3. Realiza la actividad inicial. Cuando termines, da clic
                 en Enviar.















                                                                  6. Recuerda que la práctica constante te ayudará a
                                                                      dominar esta herramienta matemática y a resolver
                                                                      problemas de proporcionalidad con facilidad. No
                                                                      dudes en volver a ver las explicaciones y los
                                                                      ejemplos anteriores si lo necesitas.












                                                                                                                     175]]></page><page Index="175"><![CDATA[Geometría

                               MUESTRA EDITORIAL
                        Compruebo mis aprendizajes




              1.  Divide cada unidad del plano en las partes solicitadas.
                                     La unidad dividida en medios.  La unidad dividida en cuartos.
                                       y                            y


                                     2                             2




                                                                   1
                                     1

                                                             x                             x
                                               1       2                     1       2
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              2.  Dibuja dos polígonos regulares y dos irregulares.









              3.  Colorea del mismo color el nombre del polígono con su número de lados.

                                 9 lados     Heptágono     Pentágono        6 lados      Hexágono



                               Octágono        8 lados       7 lados        5 lados     Eneánogo
              4.  Completa las siguientes transformaciones.

                                           a.  1 ______ m 3    5            ______ cm 3
                                           b.  3______dm 3     5    ______ litros de agua
                                           c.   ______ mm 3    5           2 ______ cm 3
                                           d.  7______m 3      5    ______ litros de agua
                                           e.   ______ dm 3    5          40 ______ cm 3

                                           f.  2500______dm 3  5    ______ litros de agua
              5.  En grupos de tres personas, resuelvan la siguiente situación: ¿cuál es la medida del lado de un terreno pentagonal
                 regular que tiene un perímetro de 610 metros?


              6.  Indica cuánto hay que adicionar a las siguientes medidas para obtener 1 dm  en cada caso.
                                                                                   3
                          a. 27 cm 3          hay que adicionar                       para obtener 1 dm .
                                                                                                      3
                          b. 300 cm           hay que adicionar                       para obtener 1 dm .
                                                                                                      3
                                  3
                          c. 0,001 m          hay que adicionar                       para obtener 1 dm .
                                                                                                      3
                                   3
                          d. 120 000 mm       hay que adicionar                       para obtener 1 dm .
                                       3
                                                                                                      3
                                                                                                      3
                          e. 834 cm           hay que adicionar                       para obtener 1 dm .
                                  3
         176]]></page><page Index="176"><![CDATA[Pensamiento espacial

                               MUESTRA EDITORIAL





              7.  Encierra los recipientes cuya capacidad equivalga a más de un litro.









              8.  Transforma en litros y resuelve la siguiente adición:

                 18 dal 1 34 cl 1 2,84 dl 1 54,89 cl 5






                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              9.  Formen parejas y resuelvan las siguiente situación.

                 Lorena confecciona un mantel rectangular, cuyas dimensiones son 2,8 m y 1,5 m, para cubrir la mesa de las mismas
                 dimensiones. ¿Qué superficie tiene la mesa?









              10.  Escribe verdadero (V) o falso (F), según  corresponda.
                 a.  12 km²        =  1 200 hm²          (       )

                 b.  3 000 cm²     =  0,3 m²             (        )

                 c.  7 000 m²      =  700 a              (        )

                 d.  600 ha        =  60 000 a           (        )



              11.  Pinta según la clave.                                                                 Clave
                        Resuelvo problemas que impliquen cálculo de áreas de polígonos regulares y aplicación    Puedo ayudar
                        de la regla de tres simple.                                                      a otros.
                     Contenidos  Identifico la realación entre unidades de capacidad y unidades de volumen.  Resuelvo por
                        Identifico medidas de superficie y las relaciono con las unidades agrarias.
                                                                                                       mí mismo.

                        Realizo conversiones con medidas de capacidad.
                                                                                                         ayuda!
                        Resuelvo problemas con cálculo de perímetro de la circunferencia y área del círculo..  ¡Necesito

                 Metacognición                                                                          Estoy en
                                                                                                        proceso.
                 ¿Aclaraste dudas y necesidades con los temas aprendidos?

                 ¿En qué momento de tu vida puedes utilizar algunos de los temas aprendidos?
                 ¿Para qué te servirá lo aprendido?



                                                                                                                     177]]></page><page Index="177"><![CDATA[MUESTRA EDITORIAL
                Unidad 6                    Estadística y probabilidad



                En el mundo actual, la estadística se constituye como una herramienta fundamental en
                los procesos de investigación, puesto que permite la planeación en la recolección de
                datos, así como la organización, representación, interpretación y análisis de la información
                referente a individuos u observaciones de un fenómeno del cual se estudian sus
                características en común, en una población o en una muestra.


                El  análisis  nos permite  describir  comportamientos  de  la  información, obtener
                conclusiones y hacer recomendaciones que facilitan la toma de decisiones. Muchos
                fenómenos presentan características de tipo aleatorio, por lo que es conveniente estudiar
                la posibilidad de ocurrencia de eventos relacionados con estos. A esa posibilidad se
                denominará probabilidad. Con su estudio, se analizan los resultados de los fenómenos o
                experimentos aleatorios y, así, es posible tomar decisiones en presencia de incertidumbre.
                En cada uno de los experimentos, el interés es asociar números a sus resultados, los
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                cuales se convertirán en los valores para las variables aleatorias con las que, a su vez, se
                construyen los modelos necesarios para estudiar las situaciones estadísticas con las
                distribuciones de probabilidad.]]></page><page Index="178"><![CDATA[Pensamiento aleatorio

                               MUESTRA EDITORIAL






                                               Preguntas orientadoras


                                              En una clínica de maternidad se lleva el registro del sexo de los recién
                                              nacidos. ¿Cuál de los dos sucesos siguientes te parece que tiene más
                                              probabilidad?
                                                  A.  Que entre  los próximos 10 recién  nacidos  haya más de un
                                                      70 % de niñas.
                                                  B.  Que entre los próximos 100 recién nacidos haya más de un 70 %
                                                      de niñas.


                                                                     1.  Datos discretos y tablas de frecuencia
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                                     2.  Análisis estadístico
                                               Estadística y
                                               probabilidad          3.  Medidas de tendencia central y medidas
                                                                         de dispersión
                                                                     4.  Probabilidad





                                              EBC

                                              1.  Comparo e interpreto datos provenientes de diversas fuentes (prensa,
                                                  revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).

                                              2.  Interpreto, produzco y comparo representaciones gráficas adecuadas para
                                                  presentar diversos tipos de datos. (diagramas de barras, diagramas circulares).
                                              3.  Uso medidas de tendencia central (media, mediana y moda) para interpretar
                                                  el comportamiento de un conjunto de datos.
                                              4.  Uso modelos (diagramas de árbol, por ejemplo) para discutir y predecir la
                                                  posibilidad de ocurrencia de un evento.





                                              DBA

                                              1.  Organiza la información recolectada en tablas y la representa mediante
                                                  gráficas adecuadas.
                                              2.  Calcula las medidas requeridas de acuerdo a los datos recolectados y usa,
                                                  cuando sea posible, calculadoras o software adecuado.
                                              3.  Interpreta la información que se presenta en los gráficos, usando las medidas
                                                  de tendencia central y el rango.

                                              4.   Compara las características de dos o más poblaciones o de dos o más grupos,
                                                  haciendo uso conjunto de las respectivas medidas de tendencia central y el rango.





                                                                                                                     179]]></page><page Index="179"><![CDATA[Estadística y probabilidad


              Tema 1. Datos discretos y tablas de frecuencia




                                         Reto matemático

                                        ¿Alguna vez has realizado una encuesta? ¿Cómo lo has hecho?





                                        1.1 Datos discretos

                                        Un estudiante de sexto año de básica secundaria ha realizado una encuesta en su aula sobre
                                        el postre favorito de sus compañeras y compañeros. Organizó los resultados en una tabla.

                                                        Postres               Conteo          Frecuencia absoluta
              ¿Cuál es tu postre favorito?  1          Tres leches        /////  /////  /////          15
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                            2           Tiramisú              ///// //                 7

                                            3      Brevas con arequipe      ///// ///// //             12
               Competencia
               matemática                   4            Pastel             ///// ///// /              11

               Cuando se realiza una        5           Gelatina              ///// //                 7
               encuesta, se pueden          6       Fresas con crema            ///                    3
               hacer tres clases de
               preguntas: abiertas,  MUESTRA EDITORIAL
                                                                                55
                                          Total
               cerradas y mixtas.
               Escribe en el cuaderno   Al observar los resultados, se puede evidenciar que el postre de tres leches es el que más
               ejemplos de estas tres   gusta, y que las fresas con crema es el postre que menos agrada.
               clases de preguntas
               utilizadas en encuestas.
                                         Los datos obtenidos en esta encuesta son números enteros; representan conteos
                                         y no pueden ser divididos. Se llaman datos discretos.


                                        1.2 Diagrama de barras

                                        Luego de obtener los resultados, se representan en un diagrama de barras.



                                                         18
                                                         16
                                                         14
                                                         12
                                                         10
                                                          8
                                                          6
                                                          4
                                                          2

                                                              P1   P2  P3   P4   P5   P6




         180                                    DBA 10 (Ev. 3) Organiza la información recolectada en tablas y la representa mediante gráficas adecuadas.]]></page><page Index="180"><![CDATA[Pensamiento aleatorio

                               MUESTRA EDITORIAL





              1.3 Tabla de frecuencias                                                        Competencia
              Un banco realizó una encuesta sobre su servicio a 80 personas: solicitaron que dieran su   matemática
              opinión sobre la atención, respondiendo a una pregunta cerrada. ¿Cómo fue la atención   Datos continuos son
              al cliente?                                                                     aquellos que se obtienen
                                                                                              de medidas que se
                 Excelente     Muy buena         Buena         Regular          Mala          pueden escribir como
                                                                                              números fraccionarios
                                                                                              o decimales y pueden
              Luego de haber realizado la encuesta, se obtuvieron los siguientes resultados.  tomar cualquier valor
                                                                                              dentro de un
                                                                                              intervalo dado.
                                          Muy
                 Opinión    Excelente                Buena     Regular         Mala           Anota en el cuaderno
                                         Buena                                                ejemplos de datos
                Número de       25         40          10         3             2             continuos.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                respuestas

              En este problema, atención al cliente es la variable que se quiere medir; los tipos de
              opinión son las categorías con las que se quiere medir la variable; y el número de
              respuestas es la frecuencia absoluta con que se repite cada categoría.          Cátedra de
                                                                                              emprendimiento
              Una tabla de frecuencia para una variable es una tabla que asocia cada valor de la   Implementar encuestas
              variable con la cantidad de veces que se observa ese valor.                     de satisfacción al cliente
                                                                                              en un emprendimiento
              He aquí la tabla de frecuencias:                                                proporciona una riqueza
                                                                                              de información valiosa que
                                     Opinión sobre servicio bancario                          puede ser utilizada para
                                                                                              mejorar la experiencia del
                               Frecuencia        Frecuencia                                   cliente, guiar decisiones
                 Opinión                                            Frecuencia relativa
                                absoluta         acumulada                                    estratégicas y mantener
                                                                                              una ventaja competitiva
                Excelente          25                               25  25/80 5 0,313         en el mercado. La
                                                                                              retroalimentación
                Muy buena          40           25 1 40 5 65           40/80 5 0,500
                                                                                              obtenida permite no
                  Buena            10           65 1 10 5 75           10/80 5 0,125          solo abordar problemas
                                                                                              existentes, sino también
                 Regular           3            75 1   3 5 78            3/80  5 0,037        anticiparse a las
                   Mala            2            78 1   2 5 80            2/80  5 0,025        necesidades futuras y
                                                                                              continuar innovando para
                   Total           80                                                 1,000   el éxito a largo plazo.


               La frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que el dato se repite dentro
               del conjunto.

               La frecuencia acumulada es la suma o total acumulado de todas las frecuencias
               absolutas hasta el total del conjunto de datos.
                                                                                             ¿Si tuvieras un negocio
               La frecuencia relativa de un dato da información sobre qué parte de la muestra en   de cuidado de mascotas,
               estudio corresponde a la característica analizada. La frecuencia relativa se obtiene al   que preguntarías en tu
               dividir la frecuencia absoluta entre el número total de datos y se puede expresar   encuesta?
               como una fracción, como un decimal o como un porcentaje.




               DBA 10 (Ev. 3) Organiza la información recolectada en tablas y la representa mediante gráficas adecuadas.   181]]></page><page Index="181"><![CDATA[Estadística y probabilidad

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Completa la tabla y realiza un diagrama de barras.


                                                     Deporte más practicado
                                   Deporte             Conteo             Frecuencia absoluta

                                  Natación    /////  ///// /////  /////  ///// /////
                                  Fútbol      ///// /////   /////  ///// ///

                                  Básquet     ///// ///// /////  /////  /////  /////
                                              /////  /////
                                  Tenis       ///// /////  /////  /////   /////  /

                                  Equitación  ///// ///// ////
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                  Atletismo   /////  /////  /////  /////  //
                                  Total


                                             40
                                             35

                                             30
                                             25

                                             20
                                             15
                                             10

                                             5

                                                    Nat  Fút  Bás  Tenis Equ  Atle


              2.  Completa la tabla.


                                                       Fruta más comprada
                                                                                         Frecuencia
                            Fruta      Frecuencia absoluta    Frecuencia acumulada
                                                                                           relativa
                           Manzana             15

                           Naranja             20
                            Sandía             30

                            Papaya             25
                             Uvas              10

                             Total







         182]]></page><page Index="182"><![CDATA[Pensamiento aleatorio

                               MUESTRA EDITORIAL





              3.  Observa los datos obtenidos en una evaluación de deportes. Construye una tabla de frecuencias y responde
                 las preguntas.


                                          7    7    8    6    4    7    9   10   2    3
                                          7    8    9    6    7    8    9   10   10   2
                                          4    5    7    8    9    8    9   10   4    6
                                          7    8    4    7    9    7    6   5    6    5
                                          6    7    8    9   10    4    5   7    8    9


                         Calificación   Frecuencia absoluta     Frecuencia acumulada   Frecuencia relativa




                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta














                 a.  ¿Cuántos estudiantes obtuvieron menos de 5 puntos? __________


                 b.  Si la evaluación se supera con una calificación mínima de 7 puntos, ¿cuántos estudiantes superaron la prueba?
                     __________

              4.  Llena la siguiente tabla.

                           Tipo de frecuencia    Concepto    ¿Cómo se calcula?     ¿Cómo se expresa?



                           Frecuencia absoluta







                            Frecuencia  relativa





              Trabajo colaborativo
              Con un compañero o compañera de tu clase, realicen una encuesta sobre un tema de interés mutuo y construyan
              una tabla de frecuencias.

              Actividad indagatoria
              Averigua qué profesionales utilizan tablas de frecuencias en su trabajo y cómo las aplican.


                                                                                                                     183]]></page><page Index="183"><![CDATA[Estadística y probabilidad

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 2. Análisis estadístico




                                         Reto matemático

                   Toman   No toman     Observa el gráfico y responde: ¿qué porcentaje de estudiantes toman
                   transporte transporte
                                        transporte escolar?



                                       Iván y sus compañeros deben elaborar el análisis estadístico de una encuesta realizada a
                                       algunos estudiantes de su escuela.

                                       Deben realizar una tabla de frecuencias, un diagrama de barras e interpretar las
                                       conclusiones de este trabajo.

                                       Para que Iván y sus compañeros puedan realizar todo el análisis estadístico, parten de
                                       una encuesta sobre la comida que prefieren 100 estudiantes.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                       2.1 Recolección de datos


                                                                     Comida favorita

               Competencia                      Comida china                      IIIII    IIIII     IIIII    IIIII    IIII
               matemática                    Comida colombiana                    IIIII    IIIII     IIIII    I
               La frecuencia absoluta        Comida ecuatoriana                   IIIII    IIIII     IIIII    IIIII    II
               de un dato es el número
               de veces que el dato           Comida mexicana                     IIIII    IIIII     IIIII    IIIII
               se repite dentro del            Comida italiana                    IIIII    IIIII     IIIII    III
               conjunto.
                                              Comida peruana                      IIIII    IIIII     IIIII    IIIII
               La frecuencia acumulada
               es la suma o total      2.2 Tablas de frecuencia
               acumulado de todas las
               frecuencias absolutas.                         Frecuencia         Frecuencia         Frecuencia
                                         Comida favorita
               La frecuencia relativa se                       absoluta          acumulada            relativa
               obtiene dividiendo la    Comida china              24                 24                0,20
               frecuencia absoluta entre
               el número total de datos.  Comida                  16                 40                0,13
                                        colombiana
                                        Comida                    22                 62                0,18
                                        ecuatoriana
               Interdisciplinariedad    Comida mexicana           20                 82                0,17
               Matemática
               y estadística            Comida italiana           18                 100               0,15
                                        Comida peruana            20                 120               0,17
               Los diagramas circulares
               se utilizan para identificar   Total               120                                  1,00
               rápidamente porcentajes
               de un estudio estadístico.
               Usualmente se emplean
               en periódicos o revistas.



         184                                    DBA 10 (Ev. 3) Organiza la información recolectada en tablas y la representa mediante gráficas adecuadas.]]></page><page Index="184"><![CDATA[Pensamiento aleatorio

                               MUESTRA EDITORIAL





              2.3 Diagrama de barras
              El diagrama de barras puede elaborarse con barras verticales u horizontales.
              En el diagrama de barras, cada frecuencia absoluta se representa con rectángulos de
              diferente altura.
                             Comida favorita                            Comida favorita
              30
              25
              20
              15
              10
              5
              0
                                                           0         10        20       30
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                  China    Colombiana  Ecuatoriana          Peruana     Italiana   Mexicana   Competencia
                                                                                              matemática
                       Mexicana  Italiana  Peruana          Ecuatoriana  Colombiana  China
                                                                                              En un diagrama circular,
              2.4 Diagrama circular                                                           el ángulo de cada sector
              En una escuela se realizó una encuesta sobre el deporte que más les gusta practicar a los   representa el porcentaje,
                                                                                              con respecto a la
              estudiantes, y se obtuvieron los siguientes resultados.
                                                                                              frecuencia de una variable,
                          Fútbol         115 votos  Básquet        92 votos                   en una tabla de datos.
                          Ciclismo       69 votos   Vóleibol       138 votos                  La gráfica muestra el
                                                                                              consumo de productos en
                          Atletismo      46 votos   Natación       40 votos                   una actividad del colegio.
              ¿Cómo se representan los resultados en un diagrama circular?
              Para representar datos en un diagrama circular, es necesario realizar una tabla de   Frituras
              frecuencias.
                                                                                                        Ensaladas
                Deporte   Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada    Frecuencia relativa     Refrescos
              Fútbol              115                   115                  0,230
              Básquet              92                   207                  0,184                  Confituras
              Ciclismo             69                   276                  0,138
              Vóleibol            138                   414                  0,276            Responde: ¿qué producto
              Atletismo            46                   460                  0,092            se consumió más?
              Natación             40                   500                  0,08
              Total               500                                        1,00
              Para elaborar un diagrama circular, es necesario multiplicar la frecuencia relativa de cada
              variable por 360°. Así, se obtiene el valor de los grados de cada porción correspondiente
              que se debe trazar en el círculo.
                      Deporte              Frecuencia relativa           Grados
                        Fútbol                   0,230             0,230  × 360 =   82,80°
                       Básquet                   0,184             0,184  × 360 =   66,24°
                       Ciclismo                  0,138             0,138  × 360 =   49,68°
                       Vóleibol                  0,276             0,276  × 360 =   99,36°
                      Atletismo                  0,092             0,092  × 360 =   33,12°
                      Natación                    0,08             0,08    × 360 =   28,80°
                        Total                     1,00


               DBA 10 (Ev. 1) Lee y extrae la información estadística publicada en diversas fuentes.                 185]]></page><page Index="185"><![CDATA[Estadística y probabilidad








                                        Para dibujar el diagrama circular correspondiente a la tabla anterior, sigue estos pasos.
               Competencia
               matemática               1. Dibuja una circunferencia.

               La circunferencia tiene   2. Coloca el graduador en el centro y, desde la línea vertical, mide el primer ángulo de
               360 grados o un ángulo       82,80°, en sentido horario.
               de un giro.              3. Desde la línea morada, mide el siguiente ángulo de 66,24°.
               La suma total de las
               frecuencias relativas es 1.  4. Con el graduador, mide el siguiente ángulo y traza la línea divisoria.
                                        5. Continúa así hasta completar todos los ángulos, es decir, la circunferencia.

                                        6. Luego, pinta de diferentes colores cada sección, y escribe el deporte y los porcentajes.
                                                                                Deporte favorito
               Cátedra                                       º
               de ética y                               28,80                         8 %
               valores                              33,12 º         º              9 %    23 %
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
               Estudiar las estadísticas                       82,80
               de violencia, desigualdad                                          28 %     18 %
               y pobreza en tu entorno              99,36 º      66,24 º
               te permite desarrollar                                                  14 %
               estrategias éticas basadas
               en la realidad, lo que                      49,68 º          Fútbol    Básquet     Ciclismo
               fortalece la comprensión
               de estos desafíos y facilita                                 Volley    Atletismo   Natación
               decisiones acertadas.  MUESTRA EDITORIAL
               Mantenerse informado y    Para representar gráficamente porcentajes de los resultados de una encuesta, se usa
               comprometido activa tu    un diagrama circular, donde cada región es proporcional al porcentaje representado.
               conciencia social y cultiva
               valores como la justicia,   Ejemplo 1
               la responsabilidad y la
               solidaridad.             Representa en un diagrama circular los datos de la tabla.
                                                                       Venta de casas
                                                Vendedor/a         Cantidad de casas            Ángulo
                                                     A                    20                      72°
                                                     B                    30                     108°

                                                     C                    45                     162°
              ¿Conoces qué organismo
              del gobierno proporciona               D                    5                       18°
              las cifras oficiales de               Total                100                     360°
              pobreza?
                                        Solución

                                                                               5 %
                                                                                                  A
                                                                                    20 %
                                                                                                  B
                                                         Venta de casas    45 %
                                                                                     30 %         C
                                                                                                  D






         186]]></page><page Index="186"><![CDATA[Pensamiento aleatorio

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Traza los siguientes grados en una sola circunferencia de forma consecutiva.

                                                        65°    40°    55°
                                                        80°    90°    30°











                                                                          30°


                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta





              2.  Encuentra el valor del ángulo y completa la tabla.

                                     Postre favorito        Frecuencia relativa         Grados
                                  Tres leches                      0,15

                                  Tiramisú                         0,15
                                  Pastel de chocolate              0,10
                                  Fresas con crema                 0,40
                                  Torta helada                     0,20
                                  Total                            1,00

              3.  Encuentra el valor del ángulo y completa la tabla.
                 a.  ¿Qué color es el preferido?
                 b.  Si se realizó la encuesta a 80 estudiantes, ¿a cuántos les gusta el color verde?

                 c.  ¿Qué porcentaje representa el color que menos prefieren?
                 d.  ¿A cuántos estudiantes les gusta el color verde y a cuántos les gusta el naranja?

                                                          Color de preferencia


                                                             9 %

                                                                    23 %
                                                      18 %




                                                       20 %         30 %







                                                                                                                     187]]></page><page Index="187"><![CDATA[Estadística y probabilidad

                               MUESTRA EDITORIAL





              4.  Realiza el análisis estadístico de los resultados obtenidos en una encuesta.
                 Edades de estudiantes que asisten a un museo.


                                          12 10 10 15 16 11 13 17 16 11 17 15
                                          16 12 10 16 15 11 13 15 17 13 15 17

                                          17 11 17 12 14 14 11 14 13 17 15 17
                                          17 16 10 15 10 13 12 16 17 12 11 13

                                          13 15 11 15 15 11 15 13 16 11 15 12

                                                          Tabla de datos
                                                     Edad          Conteo
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                      10
                                                      11
                                                      12
                                                      13
                                                      14
                                                      15
                                                      16
                                                      17
                                                     Total

                                                       Tabla de frecuencias
                           Edad     Frecuencia absoluta    Frecuencia acumulada     Frecuencia relativa
                            10
                            11
                            12
                            13
                            14
                            15
                            16
                            17
                           Total


                                                        Diagrama de barras



















         188]]></page><page Index="188"><![CDATA[Pensamiento aleatorio

                               MUESTRA EDITORIAL





              5.  Completa la tabla de frecuencias y realiza un diagrama circular.

                                                         Gastos familiares
                                            Gastos      Frecuencia relativa   Grados °
                                         Alimentación          0,15
                                          Vestimenta           0,32
                                           Medicina            0,18
                                          Educación            0,20
                                          Recreación           0,15

              6.  Observa el siguiente gráfico de barras, y a partir de este, elabora una tabla de frecuencias. Luego, realiza un
                 diagrama circular.
                                             60
                                             55
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                             50
                                             45
                                             40
                                             35
                                             30
                                             25
                                             20
                                             15
                                             10
                                              5
                                              0
                                                  Pera  Manzana  Sandía  Uvas  Durazno

                                          Fruta   F. absoluta F. acumulada F. relativa Grados
                                           Pera
                                         Manzana
                                          Sandía
                                           Uvas
                                         Durazno
                                           Total















               Trabajo colaborativo
               En parejas, realicen una encuesta corta a sus compañeros y compañeras de clase, y luego representen los datos en un
               diagrama circular.



               Actividad indagatoria
               Recorta de un periódico un diagrama circular e interpreta cada región como porcentaje de los datos.


                                                                                                                     189]]></page><page Index="189"><![CDATA[Estadística y probabilidad

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 3. Medidas de tendencia central y medidas de dispersión



                                         Reto matemático

                                        ¿Con qué aportes se obtiene la nota del promedio de tu evaluación?
                                        ¿Cómo crees que realizó ese cálculo tu profesora o profesor?



               Competencia              3.1 Medidas de tendencia central
               matemática
                                        La tabla muestra datos recolectados mediante una encuesta aplicada a estudiantes de
               Los datos no agrupados   sexto grado, sobre la talla que tiene cada uno.
               son el conjunto de datos
               que no se clasifican y         1,34     1,35    1,37     1,36    1,35     1,35    1,34     1,36
               se presentan en una
               tabla de datos de forma        1,36     1,36    1,36     1,34    1,37     1,37    1,35     1,37
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
               individual.
               La serie de datos: 3, 3, 3, 3,   1,36   1,35    1,37     1,35    1,36     1,37    1,36     1,37
               1, 2, 1, 2, 1, 1, 4 muestra la   1,35   1,34    1,36     1,36    1,37     1,35    1,37     1,36
               cantidad de veces que un
               grupo de estudiantes fue   Encuentra:
               al cine durante un mes.
                                        •   La estatura mediana.

                                        •   La estatura con mayor frecuencia, es decir, la estatura que más se repite.

                                        3.1.1 Media aritmética o promedio

                                        Para calcular la media aritmética del conjunto de datos, realizamos los siguientes pasos:
               Determina la media
               aritmética.
                                        1. Adicionamos todas las estaturas.

                                         1,34 1 1,35 1 1,37 1 1,36 1 1,35 1 1,35 1 1,34 1 1,36 1 1,36 1 1,36 1 1,36 1 1,34
                                         1 1,37 1 1,37 1 1,35 1 1,37 1 1,36 1 1,35 1 1,37 1 1,35 1 1,36 1 1,37 1 1,36 1
                                         1,37 1 1,35 1 1,34 1 1,36 1 1,36 1 1,37 1 1,35 1 1,37 1 1,36 5 43,45


                                        2. Dividimos la suma obtenida entre el total de estudiantes encuestados; en este caso,
                                            32 estudiantes: 43,45 4 32 = 1,357 m.

                                        El promedio de estatura entre los estudiantes de sexto grado es de 1,357 m.


                                         La media aritmética o promedio de un conjunto de datos es el valor de la característica
                                         que toma cada dato en estudio. Se calcula hallando el cociente entre la suma de los
                                         datos y el número total de datos:














         190                    DBA 10 (Ev. 4) Calcula las medidas requeridas de acuerdo a los datos recolectados y usa, cuando sea posible, calculadoras o software.]]></page><page Index="190"><![CDATA[Pensamiento aleatorio

                               MUESTRA EDITORIAL





              3.1.2 Mediana
                                                                                             Competencia
              Para calcular la estatura mediana, se ordena cada una de las estaturas obtenidas en forma   matemática
              ascendente.                                                                    Las medidas de tendencia
                                                                                             central tienen la siguiente
               1,34  1,34   1,34   1,34  1,35  1,35  1,35  1,35   1,35  1,35  1,35  1,35     simbología / abreviación:
                                                                                             Media:
               1,36  1,36   1,36  1,36  1,36   1,36  1,36  1,36   1,36  1,36  1,36  1,37
                                                                                             Mediana 5 Med
               1,37  1,37   1,37  1,37  1,37   1,37  1,37  1,37
                                                                                             Moda 5 Mo
              Observemos que, antes de los valores de las estaturas resaltadas (1,36 y 1,36), hay 15
              registros y después de ellas también hay 15 datos.

              Para encontrar la mediana, se realiza un promedio de las dos medidas resaltadas.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              1,36 1 1,36   2 1,36   La estatura mediana es de 1,36 m.                        Cátedra
                   2                                                                          de Salud y

              Si los datos son impares, se toma aquel dato que se encuentra en la mitad.      bienestar
                                                                                              Los epidemiólogos Richard
              Por ejemplo:                                                                    Doll y Austin Bradford Hill
                                                                                              demostraron, mediante
              34  34  35  36  37   En este caso, el 35 está en la mitad de los datos y, por lo tanto,     estudios estadísticos, que
                                   es la mediana.                                             fumar es el principal factor de
                                                                                              riesgo para desarrollar cáncer
                                                                                              pulmonar. Este hallazgo
               La mediana de un conjunto de números ordenados de menor a mayor es el valor    resalta la importancia de la
               central (si el conjunto tiene un número impar de datos) o la media de los dos valores   investigación y la educación
                                                                                              en la promoción de estilos
               centrales (si el conjunto tiene un número par de datos).                       de vida saludables y en la
                                                                                              prevención de enfermedades.
                                                                                              Es importante entender
              3.1.3 Moda                                                                      cómo nuestras decisiones
                                                                                              diarias afectan nuestra salud a
              La moda de las estaturas de los estudiantes se puede verificar así:             largo plazo. Mantener hábitos
                                                                                              saludables como una buena
              1,34   4 estudiantes                                                            alimentación, ejercicio regular
                                                                                              y no fumar, puede prevenir
              1,35    8 estudiantes                                                           enfermedades y fortalecer
                                                                                              nuestro cuerpo.
              1,36   11 estudiantes

              1,37   9 estudiantes

              El registro de estatura que aparece más veces es 1,36 m. Por lo tanto, la estatura moda de
              los estudiantes de sexto grado es 1,36.
                                                                                             ¿Cómo crees que los
                                                                                             científicos descubrieron que
               La moda de un conjunto de datos es el valor de la característica que más se repite en   fumar aumenta el riesgo de
               una población o muestra. Es un dato del conjunto de datos.                    cáncer de pulmón?









              DBA 11 (Ev. 3) Interpreta la información que se presenta en los gráficos usando las medidas de tendencia central y el rango.  191]]></page><page Index="191"><![CDATA[Estadística y probabilidad

                               MUESTRA EDITORIAL





                                        3.2 Medidas de dispersión


                                        Después de una competencia de atletismo, se realizó una encuesta entre los estudiantes
                                        para saber cuántas horas dedican a practicar este deporte durante la semana.


                                        Del sondeo se obtuvieron los siguientes resultados.


                                              5        1        8        4        6        3        1        2

                                              2        3        5        4        7        6        2        1
                                              5        4        3        4        2        5        3        4

                                              0        2        6        8        1        7        4        3
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                              5        1        2        0        8        3        2        4



              Competencia               ¿Cuáles son el rango y la desviación media de estos resultados?
              matemática
                                        Para conocer cuál es el rango y cuál es la desviación media, es importante que realicemos
              El rango es una medida de   una tabla de frecuencias.
              dispersión que representa
              el recorrido estadístico
              que diferencia el valor
              máximo y el valor mínimo.     Horas dedicadas    Frecuencia   Frecuencia   Frecuencia   Frecuencia
              Para esto, es necesario        a hacer deporte    absoluta   acumulada      relativa    porcentual
              ordenar los valores y restar
              el valor mínimo del valor            0               2            2           0,04         4 %
              máximo.
              Por ejemplo, dados: 15, 17,          1               6            8           0,13         13 %
              17, 17, 18, 21, 21, 16 y 28.         2               9            17          0,20         20 %
              Responde: ¿cuál es el
              rango de esta lista de               3               7            24          0,16         16 %
              datos?
                                                   4               8            32          0,18         18 %
                                                   5               5            37          0,11         11 %
                                                   6               3            40          0,07         7 %

                                                   7               2            42          0,04         4 %
                                                   8               3            45          0,07         7 %


                                         Para calcular el rango, realizamos la diferencia entre el dato mayor y el dato menor.



                                        Rango 5 dato mayor 2 dato menor            R 5 8 2 0 5 8










         192                         DBA8 (Ev. 2) Realiza cálculos numéricos, organiza la información en tablas, elabora representaciones gráficas y las interpreta.]]></page><page Index="192"><![CDATA[Pensamiento aleatorio

                               MUESTRA EDITORIAL





              3.2.1 Desviación media para datos no agrupados                                  Cátedra
                                                                                              de ética y
               La desviación media o desviación respecto a la media de un conjunto de datos   valores
               individuales es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media   Es muy importante que
               aritmética.                                                                    siempre digas de dónde
                                                                                              sacaste la información
                                                                                              cuando haces un trabajo
                                                                                              importante. Esto muestra que
               La desviación media es representada por                                        eres honesto y te preocupas
                                                                                              por respetar el trabajo de
                                                                                              otras personas. Cuando citas
                                                                                              correctamente las fuentes,
                                                                                              no solo haces que tu trabajo
                                                                                              sea más creíble, sino que
                                                                                              también ayudas a mantener
              Para encontrar la desviación media, es necesario conocer la media aritmética de    un ambiente escolar justo
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              los datos.                                                                      y respetuoso, donde todos
                                                                                              valoramos el conocimiento
                5   2(0) 1 6(1) 1 9(2) 1 7(3) 1 8(4) 15(5) 1 3(6) 1 2(7) 1 3(8)               de los demás
                                         45

                5  0 1 6 1 18 1 21 1 32 1 25 1 18 1 14 1 24   5 3,51
                                   45

              Con este dato, procedemos a encontrar la desviación media de un conjunto de datos
              agrupados, que es la misma expresión anterior, pero cada sumando multiplicado por la
              frecuencia absoluta correspondiente, y a dividir luego por el número de datos.
                                                                                             ¿Por qué crees que es
                                                                                             importante decir de dónde
                 Horas dedicadas a    Frecuencia                  )x 2  )     )x 2  ) f      sacamos la información
                                                                                             cuando escribimos algo
                   hacer deporte     absoluta (f)     x 2           i          i     i
                                                       i
                                               i                                             importante?
                         0                2           23,51         3,51        7,02
                         1                6           22,51         2,51       15,06
                         2                9           21,51         1,51       13,59

                         3                7           20,51         0,51        3,57
                         4                8            0,49         0,49        3,92

                         5                5            1,49         1,49        7,45
                         6                3            2,49         2,49        7,47

                         7                2            3,49         3,49        6,98
                         8                3            4,49         4,49       13,47

                        Total             45                                   78,53


              D  5  7,02 1 15,06 1 13,59 1 3,57 1 3,92 1 7,45 1 7,47 1 6,98 1 13,47   5   78,53   5 1,745
                                             45                               45
              La desviación media es de 1,745.






              DBA 10 (Ev. 4) Calcula las medidas requeridas de acuerdo a los datos recolectados y usa, cuando sea posible, calculadoras o software adecuado.   193]]></page><page Index="193"><![CDATA[Estadística y probabilidad

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1.  Encuentra la media aritmética de los datos de cada tabla.
                 Edad de los niños de sexto grado.

                   Juan  Pedro  Luis  Carlos Vinicio  Raúl  Ricardo Jaime
                    13    12    12    11    12    11    11     12
                 La edad promedio es:
                 Estatura en metros de un grupo de estudiantes

                  Camila Mateo Patricio Emilio Martina Valentina Rafaela Agustina Felipe
                   1,54  1,69  1,61  1,53  1,35  1,30  1,30  1,20  1,10
                 La estatura promedio es:
                 Precio de ropa de un almacén

                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                  Pantalón Camiseta Camisa Vestido  Saco  Chompa Abrigo   Falda
                   $ 55  $ 35  $ 43  $ 50  $ 32  $ 65  $ 75   $ 45
                 El precio promedio es:

                 Tiempo de horas de trabajo
                  Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
                    8     8      8       6     6      4       2
                 El tiempo promedio de horas de trabajo a la semana es:
              2.  Ordena los siguientes datos y encuentra la mediana.
                 Notas obtenidas durante el primer trimestre

                   6,7  7,6   8,3  6,7   5,8  8,9   9,5  9,8   10
                   10   8,7    9   9,5   9,8  7,4   8,5  9,8   9,2
                   10   9,6   9,2  8,6   8,6  8,2   8,5  7,8   8,3









                 Temperatura registrada en dos semanas
                  23° 22° 24° 20° 19° 17° 18°
                  10° 12° 11° 12° 14° 15° 18°
              3.  A partir del gráfico de barras, realiza una tabla de frecuencias y encuentra las medidas de tendencia central.
                                                 90        Animal favorito
                                                 80
                                                 70
                                                 60
                                                 50
                                                 40
                                                 30
                                                 20
                                                 10
                                                 0
                                                           Clase de mascota
                                                      Perro   Gato      Pájaro
                                                  Pez    Conejo    Reptil     Otro


         194]]></page><page Index="194"><![CDATA[Pensamiento aleatorio

                               MUESTRA EDITORIAL





                 Tabla de frecuencias

                         Mascota      Frecuencia absoluta   Frecuencia acumulada       Frecuencia relativa














                 Medidas de tendencia central

                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                 Moda
                 Mediana
              4.  Encuentra la desviación media de la edad de los entrenadores de fútbol, de acuerdo con la siguiente
                 información.

                                            25    26    27    25     28    29    26    25
                                            27    30    26    27     26    25    28    25
                                            27    29    30    27     25    26    28    26

                              Edad de los entrenadores de fútbol  Frecuencia absoluta  Media aritmética
                                            25
                                            26
                                            27
                                            28
                                            29
                                            30

                            Edad de entrenadores de fútbol  Frecuencia absoluta (f,)  x  2   )x  2   )x  2  ) f
                                                                                     1      1       1     1
                                         25
                                         26
                                         27
                                         28
                                         29
                                         30
                                        Total

                 Desviación media


              Trabajo colaborativo
              En parejas, busquen los datos estadísticos que haya publicado algún medio de comunicación, y encuentren la
              frecuencia absoluta, la media y la desviación media.

              Actividad indagatoria
              Averigua cómo se obtiene la varianza de un grupo de datos si ya cuentas con la desviación media.


                                                                                                                     195]]></page><page Index="195"><![CDATA[Estadística y probabilidad

                               MUESTRA EDITORIAL
              Tema 4. Probabilidad




                                         Reto matemático

                                        ¿Para qué crees que es importante la noción y cálculo de una probabilidad?





                                        4.1 La probabilidad simple

                                        En sexto grado hay 25 estudiantes, de los cuales 15 son mujeres y el resto son hombres.
                                        La maestra de Ciencias Naturales realiza una actividad y tiene que seleccionar a un
                                        estudiante al azar. Halla la probabilidad de que la persona seleccionada sea: un hombre;
                                        una mujer; un estudiante de sexto año o el profesor de Matemáticas.


                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                        Para hallar la probabilidad que existe en cada caso, analicemos cada uno de ellos.
               Cátedra                  Probabilidad de que sea mujer
               de salud y
               bienestar
                                        Como son 25 estudiantes y 15 son mujeres, la probabilidad de que una mujer sea
               Para ti, los juegos de azar   seleccionada es de   15  ,   3   o 60 %.
               pueden ser divertidos,                    25   5
               pero es importante
               entender cómo pueden     Probabilidad de que sea hombre
               afectar tu salud. Jugar de
               vez en cuando puede ser   25 alumnos 2 15 mujeres 5 10 hombres
               entretenido, pero si juegas
               demasiado, podría afectar   Como son 25 estudiantes y 10 son hombres, la probabilidad de que un hombre sea
               tu bienestar. Por ejemplo,                 10 2
                                                            ,
               jugar mucho puede causar   seleccionado es de   25 5   o 40 %.
               problemas emocionales
               y económicos. Lo         Probabilidad de que sea un estudiante de sexto grado
               importante es mantener
               un equilibrio saludable   Como son 25 estudiantes y 25 son estudiantes de sexto, la probabilidad de que un
               en todo lo que haces,    alumno de sexto sea seleccionado es de 1 o 100 %.
               incluidos los juegos.
               Aprender a tomar
               decisiones responsables   Probabilidad de que sea un profesor de Matemáticas
               te ayudará a cuidar de
               ti mismo en todos los    Ningún estudiante es profesor de Matemáticas, por lo que la probabilidad de que el
               aspectos de la vida.     profesor sea seleccionado es de   0   o 0 %.
                                                                     25

                                         La probabilidad de un suceso es un número que puede estar entre 0 y 1, y expresa  la
                                         posibilidad de que un suceso ocurra. Un suceso imposible es 0 y un suceso seguro es 1.

                                         La probabilidad de un suceso se puede expresar como una fracción en la que el
                                         numerador es el número de sucesos favorables y el denominador es el número de
              ¿Cuál crees que es la      sucesos posibles.
              línea entre disfrutar
              de los juegos de azar                      Probabilidad 5   Número de casos favorables
                                                                         Número de casos posibles
              como entretenimiento y
              desarrollar una adicción?  También se expresa como una fracción equivalente o porcentaje.



         196                                                  DBA12 (Ev. 1) Enumera los posibles resultados de un experimento aleatorio sencillo.]]></page><page Index="196"><![CDATA[Pensamiento aleatorio








              4.2 Representación gráfica
                                                                                              Interdisciplinariedad
              Tenemos 6 cajas con enlatados y frutas. En una de ellas hay atún, en otras 2 hay sardinas,   Matemática
              y el resto contiene frutas. Si se escoge una caja, ¿qué probabilidad hay de que contenga   y metereología
              atunes, sardinas o frutas?
                                                                                              Uno de los usos
                                                                                              más frecuentes de
                                                                                              probabilidad es en el
                                                                                              pronóstico del tiempo.








                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta


                                                                                              Indaga sobre una
                                                                                              aplicación que prediga
                                                                                              cuál será la condición
                        Atún                   Sardinas                   Frutas              climática de tu localidad
                                                                                              en un día, semana,
                  La probabilidad es        La probabilidad es       La probabilidad es       mes, etc.

                                                                         3
                                                      1
                                                2
                          1    MUESTRA EDITORIAL
                                                                               1
                                                   o
                                                                             o
                          6                     6     3                  6     2





              Ejemplo 1

              Observa la ruleta y escribe qué probabilidad existe de que Juan se gane un peluche.

              Clave de colores                peluche

                                              chupete
                                              llavero

                                              pelota



              Solución
              La probabilidad de que Juan se gane un peluche es:

              Probabilidad 5   Número de casos favorables   5   4
                              Número de casos posibles    12
               4   5   4    o      33,3 %
              12    12

               DBA12 (Ev. 3) Interpreta y asigna la probabilidad de ocurrencia de un evento dado, teniendo en cuenta el   197
               número de veces que ocurre el evento en relación con el número total de veces que realiza el experimento.]]></page><page Index="197"><![CDATA[Estadística y probabilidad

                               MUESTRA EDITORIAL
                     Evaluación formativa




              1. Observa el gráfico y completa la tabla.
              ¿Qué probabilidad hay de que salga un color determinado al girar la ruleta?














                                           Color      Relación con el total  Probabilidad
                                                                                  1
                                            Azul             3 de 18
                                                                                  6
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                            Rojo
                                           Amarillo
                                            Verde
                                             Lila

              2. Relaciona cada gráfico con la fracción que representa su probabilidad.
                 a. Sacar un as de picas
                 b. Sacar número par

                 c. Sacar color rojo






                                      1                                 2              1
                                      2                                 8              4
              3. Responde. Si Luis necesita sacar el color verde para ganar puntos, ¿en qué ruleta debería jugar?
                                             a.           b.           c.           d.








              4. Resuelve las siguientes situaciones y expresa la probabilidad en fracción y porcentaje.

                 a.  Si hay manzanas en una canasta, 6 son verdes y 8 son rojas, ¿cuál es la probabilidad de sacar una manzana
                     verde, sin ver el interior de la canasta?




                 b. Hay 8 cajas iguales con dulces. Tres de ellas contienen chocolates, y el resto, caramelos. Si se toma una caja,
                     ¿qué probabilidad existe de que tenga caramelos?






         198]]></page><page Index="198"><![CDATA[Pensamiento aleatorio








                 c.  ¿Cuál es la probabilidad de sacar un saco negro de un aparador, si dentro de él ya están guardados 7 sacos de
                     otros colores, además de 4 negros?









              5. Observa el conjunto de pelotas y responde.








                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta

              Si escoges una pelota del conjunto, ¿cuál será la probabilidad de que la pelota que salga sea ____?
                 a.  amarilla



                 b. celeste



                 c.  roja      MUESTRA EDITORIAL



                 d. verde clara


                 e. morada



                 f.  rosada



                 g. azul


                 h. verde oscura








              Trabajo colaborativo
              En grupo, planteen un problema que se tenga que resolver con métodos de probabilidad.


              Actividad indagatoria
              Investiga en qué juegos se utiliza la probabilidad y de qué manera se realizan.



                                                                                                                     199]]></page><page Index="199"><![CDATA[Estadística y probabilidad

                               MUESTRA EDITORIAL
                      Proyecto interdisciplinario





              Elección del producto y pago adecuado

              Justificación / problemática

              En nuestro día a día, nos encontramos con productos y
              servicios que utilizamos para cubrir nuestras necesidades.
              (por ejemplo, alimentación, vestimenta, salud y otros).

              Para pagar dichos productos, utilizamos dinero u otro
              medio de pago. Además, buscamos la mejor oferta de
              costo. Es importante poner en práctica los conocimientos
              matemáticos, a fin de tomar las mejores decisiones.

              Objetivos
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              Identificar ofertas de productos y medios de pago, para realizar una comparación y tomar decisiones de compra.

              Recursos

              Medios de comunicación, como Internet o diarios.



                                  $ 519                              $ 549













              Actividades

              •  Identifica dos artículos que quieras adquirir.

              •  Revisa en Internet, diarios o revistas, los precios, ofertas y descuentos. Después, escribe un ejemplo de las
                 promociones que encuentres, a fin de comparar precios y tomar la mejor decisión. Por ejemplo: compara precios
                 de dos o más televisores y analiza cuál es el que más te conviene adquirir, si la compras en efectivo o con tarjeta de
                 crédito, identifica las tasas de interés si las hubiera.

              Evaluación

              •  Realiza cálculos y averigua las diferentes formas de pago para que puedas elegir la mejor oferta. Indaga acerca de
                 las siguientes formas de pago: efectivo, tarjeta de crédito, tarjeta de débito, cheque o medios electrónicos. Identifica
                 el que más te convendría.


              •  Redacta un documento en el que nombres las razones de la elección del producto o de la forma de pago, y
                 arguméntalo con operaciones matemáticas.






         200]]></page><page Index="200"><![CDATA[Pensamiento aleatorio

                               MUESTRA EDITORIAL
                   Competencia digital




              Gráficos circulares
              1. Realiza una encuesta a tus compañeros y define un tema (por ejemplo, deporte o color favorito).
              2. Luego, ingresa al siguiente enlace:              5. En la columna B, escribe los resultados de la
                 https://charts.hohli.com/                            encuesta realizada














                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta






              3. Borra los datos de ejemplo e identifica los datos que  6. Da clic en Generate. Podrás copiar el enlace del
                 se van a representar. Escríbelos en la fila 1:       gráfico y compartirlo.






















              4. En la columna A, añade las variables.            7. Podrás observar los porcentajes correspondientes al
                                                                      poner el cursor sobre cada una de las variables
                                                                      en la gráfica.






















                                                                                                                     201]]></page><page Index="201"><![CDATA[Estadística y probabilidad

                               MUESTRA EDITORIAL
                        Compruebo mis aprendizajes




              1.  Ejercicio 1                                         c.  Que la mediana sea 15.
              En una tienda de autos, se registra la cantidad de autos   13   12      14      15      15       16
              Renault vendidos en cada día del mes de abril. El registro
              arrojó los siguientes datos:
                                                                  5.  Encuentra la desviación media con base en los datos
              0; 1; 2; 1; 2; 0; 3; 2; 4; 0; 4; 2; 1; 0; 3; 0; 0; 3; 4; 2; 0; 1; 1; 3; 0; 1;   de la siguiente tabla:
              2; 1; 2; 3
                                                                     Horas
              Con los datos obtenidos, elabora una tabla de frecuencias.  dedicadas   Frecuencia

                                                                                           i
                                                                                                    i
                                                                                                             i
              2.  Ejercicio 2                                        a hacer   absoluta   x 2      )x 2  )  )x 2  ) f i
                                                                                  (f)
                                                                    deporte        i
              Elabora una tabla de frecuencias a partir de las temperaturas   20
              máximas registradas en el mes de agosto, en la ciudad     21
              de Bogotá:                                               22
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                           17   18   15   16   19                      23
                           20   16   18   17   18                      24
                           19   17   15   16   19                      25
                           16   20   18   17   18                     Total
                           20   15   19   18   20
                           18   16   17   15   19                 6.  Encuentra la media aritmética de cada grupo de datos.
                           19
              Elabora una tabla de frecuencias, agregando la frecuencia   a.  67, 89, 90, 75, 50, 60, 54, 65, 64
              porcentual y la frecuencia porcentual acumulada.
              3.  En cada tabla colorea aquellos datos que representan
                 la moda.
                                        Edades de estudiantes         b.  56, 57, 59, 60, 56, 57, 60
                Materias aprobadas
                                         que entrenan fútbol
                Matemática      34         12           30
                 Lenguaje       54         13           50
                 Ciencias       38         14           25
               Computación      54         15           18
                  Historia      28         16           15            c.  25, 26, 28, 29, 30, 26

                 Clubes del colegio    Sabor de helado favorito
                  Fútbol        24      Chocolate       32
                 Natación       36        Mora          21
                 Ciencias       42        Fresa         36
                Matemática      19        Chicle        41            d.  12, 13, 14, 15, 15, 16, 18, 18, 15
                  Danza         21        Limón         54
              4.  Completa los datos para que se cumpla la condición.
                 a.  Que la moda sea 34.

                23     35     34     18     23     35     35          e.  34, 35, 33, 35, 36, 37, 40, 32


                 b.  Que la media sea 20.
                  23       35        34        18        23
                  25       20        25        10        15




         202]]></page><page Index="202"><![CDATA[Pensamiento aleatorio








              7. Encuentra la frecuencia absoluta y la media de cada  8. Observa los datos de cada grupo y halla el rango y el
                 grupo de datos.                                      promedio de cada uno.
                                                                      Grupo 1: 45, 44, 42, 46, 41, 40,41, 44
               12 13 13 15 16 13 12 14 13 14 14 15
                                                                      Rango: __________ Promedio: __________
               15 16 13 14 12 14 15 15 14 13 12 12                    Grupo 2: 12, 13, 14, 15, 12, 13, 14, 16
                                                                      Rango: __________ Promedio: __________
                 Edad de los       Frecuencia        Media        9. En parejas, relacionen con una línea la expresión con
                alumnos que         absoluta       aritmética
               entrenan fútbol                                        la probabilidad correcta, si se lanza un dado.
                     12                                               a.  Probabilidad de que                  0
                     13                                                   salga el número 4.
                     14                                               b. Probabilidad de que salga             1
                     15                                                   un número menor a 8.                 2
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                     16                                               c.  Probabilidad de que
                    Total                                                 salga el número impar.                1

                                                                      d. Probabilidad de que salga
                25    26    27    25    28    29     26    25                                                  1
                                                                          el número mayor que 7.               6
                27    30    26    27    26    25     28    25
                                                                  10. En un curso de 30 alumnos y de los cuales 18 son
                27    29    30    27    25    26     28    26         mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que, al escoger
                                                                      una persona, esta no sea mujer?
                 Edad de los   MUESTRA EDITORIAL
                                                                  11. En una bolsa se tienen las
                                                    Media
                                 Frecuencia
                entrenadores                                          balotas que se muestran en la
                  de fútbol       absoluta        aritmética          imagen.
                     25                                               a.  Calcula la probabilidad de
                     26                                                   obtener cada uno de los
                     27                                                   colores.
                     28                                               b. ¿Cuál es la probabilidad
                     29                                                   del evento no sacar una
                     30                                                   balota verde?



              12. Pinta según la clave.
                                                                                                         Clave
                        Construyo una tabla de frecuencias a partir de un grupo de datos.             Puedo ayudar
                     Contenidos  Identifico medidas de tendencia central.                             Resuelvo por
                        Calculo la desviación media de un grupo de datos.
                                                                                                         a otros.
                        Obtengo el rango de un grupo de datos.

                        Calculo la probabilidad de un evento.                                          mí mismo.
                                                                                                        ¡Necesito
                 Metacognición                                                                           ayuda!
                 ¿Aclaraste dudas y necesidades con los temas aprendidos?                               Estoy en
                                                                                                        proceso.
                 ¿En qué momento de tu vida puedes utilizar algunos de los temas estudiados?

                 ¿Para qué te servirá lo aprendido?




                                                                                                                     203]]></page><page Index="203"><![CDATA[MUESTRA EDITORIAL
              Bibliografía




              Altamiranoferna. (s. f.). Proporcionalidad Inversa. WordWall. https://wordwall.net/es/resource/18192480/proporcionalidad-inversa
              Armas, A. y Zambrano, A. (2001). Matemática 7°. Libro de trabajo. Maya Ediciones Cía. Ltda.
              Ayuda de Gmail. (s. f.). Cómo crear una cuenta de Gmail. Google Inc. https://support.google.com/mail/answer/56256?hl=es-419
              BlackBoxGuild. (s. f.). La biblioteca de virgilio barco ofrece grandes espacios para la lectura, rincones iluminados. FreePik. https://www.
                 freepik.es/video-premium/biblioteca-virgilio-barco-ofrece-grandes-espacios-lectura-rincones-iluminados_1567297
              Broitman, C., Itzcovich, H., Novembre, A., Escobar, M., Grimaldi, V., Ponce, H. y Sancha, I. (2013). Los matemáticos de 6°. Santillana.
              Charts Builder. (s. f.). Generador de gráficos de pastel. https://charts.hohli.com/
              Chica, S. (2019). Parque nacional de Chiribiquete: ¿por qué es importante para Colombia? Blendex. https://idiomasblendex.com/parque-
                 nacional-de-chiribiquete-por-que-es-importante-para-colombia/
              Chiriboga, M. A. (2018). Tendencias Matemática 7. Maya Cía. Ltda.
              Duarte, A., Vega, E., Duarte, J. y Martínez, Y. (2010). Matemáticas 6°. MEN.
              Harcourt. (2002). Harcourt Matemáticas Grado 7. Harcourt School Publisher.
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              Matemática.pt. (s. f.). Calculadora científica en línea. https://www.matematica.pt/es/util/calculadora-cientifica-en-linea.php#google_
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              Matific. (s. f.). Gasoline Decimals. https://www.matific.com/co/en-us/home/maths/episode/GasolineNameToNumeralMain/
              MAYA Educación. (2024). Matemáticas 6 EGB. Cuaderno de trabajo.
              MAYA Educación. (2024). Matemáticas 6 EGB. Libro de consulta.
              Ministerio de Educación Nacional. (2006). Estándares Básicos de Competencias en Lenguaje, Matemáticas, Ciencias y Ciudadanas.
              Ministerio de Educación Nacional. (2016). Derechos Básicos de Aprendizaje – V.2.
              Pcepeda. (s. f.). Proporcionalidad directa. WordWall. https://wordwall.net/es/resource/22283172/proporcionalidad-directa
              Perdomo, A., Guerra, C., Ochoa, M. y Marín, J. (2023). Matemáticas 6. MEN y Uncoli.
              Perdomo, A., Guerra, C., Ospina, B. y Marín, J. (2023). Matemáticas 7. MEN y Uncoli.
              Perero, M. (s. f.). Historia e Historias de Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica.
              Profesorateresa. (s. f.). Proporcionalidad directa. WordWall. https://wordwall.net/es/resource/16933468/proporcionalidad-directa
              Sánchez, T. y Tabango Sánchez, S. (2018). Tendencias Matemática 5. Maya Ediciones Cía. Ltda.
              Tabango, S. y Chiriboga, M. A. (2018). Tendencias Matemática 6. Maya Ediciones Cía. Ltda.
              Web2.0calc. (s. f.). Calculadora científica. https://web2.0calc.es/#google_vignette




              Webgrafía




              Educaplay. (s. f.). Descuentos y recargos. https://es.educaplay.com/recursos-educativos/859537-descuentos_y_recargos.html
              GeoGebra. (s. f.). Cuerpos de revolución. https://www.geogebra. org/m/CbpFWuZw
              Khan Academy. (s. f.). Dividir fracciones. https://es.khanacademy. org/math/arithmetic/fraction-arithmetic/arith-review-dividing-
                 fractions/e/dividing_fractions_1.5
              La escuela digital. (s. f.). Geometría. Las líneas. http://www.escueladigital.com.uy/geometria/1_lineas.htm
              Saber programas. (s. f.).  Exel - Crear gráficos estadísticos en Exel según el tipo de datos.  https://www.youtube.com/
                 watch?v=cucK3A0BXEk
              Superprof. (s. f.). Ejercicios y problemas resueltos de interés. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/
                 proporcionalidad/ejercicios-y-problemas-resueltos-interes.html
              Superprof. (s. f.). Poliedros regulares. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/espacio/poliedros-
                 regulares.html





         204]]></page><page Index="204"><![CDATA[Pruebas tipo Saber




                                                         Tiempo disponible:

                                                         1 hora y 30 minutos
              Instrucciones:

              1. Este examen contiene 20 preguntas que abarcan los temas aprendidos en este nivel.

              2. Escribe tu nombre y apellido en el espacio asignado en la hoja de respuestas.

              3. Para contestar, usa la hoja de respuestas, y responde según el ejemplo. Por ejemplo, si la respuesta correcta a la
                 pregunta N°1 es la A hazlo de la siguiente manera:

                     Señala de esta manera          No indiques de esa manera           Tampoco de este modo.


                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta




                     A      B     C      D            A     B      C      D            A     B      C      D




              Nombre
              Grado:           MUESTRA EDITORIAL
                                                              Fecha



                                 1     A     B      C     D           11     A     B     C     D


                                 2     A     B      C     D           12     A     B     C     D

                                 3     A     B      C     D           13     A     B     C     D


                                 4     A     B      C     D           14     A     B     C     D


                                 5     A     B      C     D           15     A     B     C     D


                                 6     A     B      C     D           16     A     B     C     D


                                 7     A     B      C     D           17     A     B     C     D


                                 8     A     B      C     D           18     A     B     C     D


                                 9     A     B      C     D           19     A     B     C     D


                                10     A     B      C     D           20     A     B     C     D




                                                                                                                     205]]></page><page Index="205"><![CDATA[Este espacio está disponible para que puedas resolver problemas si así lo necesitas.
                               MUESTRA EDITORIAL



























                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta



























































         206]]></page><page Index="206"><![CDATA[Pruebas tipo Saber




              Preguntas tipo Saber                                5. La solución de la ecuación 5x 2 80 5 120 es:

              1. En la imagen que se muestra, se observa que el       a.  40
                 número de troncos que se apila en cada montón va
                 aumentando. Si se quiere armar un cuarto montón,     b. 30
                 siguiendo la secuencia ¿Cuántos troncos se tendrán
                 que apilar?                                          c.  8

                 a.  18 troncos                                       d. 24


                 b. 14 troncos                                    6. Sergio y Juan Pablo van al supermercado y hacen las
                                                                      siguientes compras: Sergio selecciona 2 kilos de
                 c.  15 troncos                                       manzana a $16 800 cada kilo y Juan Pablo selecciona
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
                                                                      4 kilos de peras a $9000 pesos el kilo. Sergio paga las
                 d. 12 troncos                                        manzanas y las peras con un billete $100 000, el
                                                                      dinero que le devolvieron a Sergio es:
              2. Si pasamos el número 10110  del sistema binario al
                                           2
                 sistema decimal, el resultado será:                  a.  $30 400

                 a.  18                                               b. $30 000

                                                                          $29 600
                 b. 22         MUESTRA EDITORIAL
                                                                      c.
                 c.  20                                               d. $28 000

                 d. 16                                            7. El maximo común divisor de 12 y 16 es:


                                                              2
              3. El valor numérico de la expresión 12 33(8 2 5)23 ,   a.  2
                 es:
                                                                      b. 4
                 a.  97
                                                                      c.  3
                 b. 75
                                                                      d. 6
                 c.  98
                                                                  8. En una pequeña finca cafetera, 40 bultos de café
                 d. 99                                                representan 1/8 de la cosecha total. El número total
                                                                      de bultos de café cosechados en la finca es:
              4. El  número 31 del  sistema decimal equivale, en
                 sistema binario, a:                                  a.  200 bultos

                 a.  11011 2                                          b. 240 bultos


                 b. 10111                                             c.  300 bultos
                          2
                 c.  11111                                            d. 320 bultos
                          2

                 d. 11101 2

                                                                                                                     207]]></page><page Index="207"><![CDATA[Pruebas tipo Saber

                               MUESTRA EDITORIAL





              9. Si un automóvil consume 18 galones de gasolina   13. 18 kg convertidos a dg es equivalente a:
                 para recorrer 540 km, bajo las mismas condiciones el
                 número de kilómetros que recorrerá con 8 galones     a.  180 000 dg
                 de gasolina es:
                                                                      b. 18 000 dg
                 a.  240 km
                                                                      c.  1800 dg
                 b. 200 km
                                                                      d. 180 dg
                 c.  300 km
                                                                  14. Si un atleta pesa 90 kg y la ropa que lleva puesta pesa
                 d. 250 km                                            890 g, su peso real es de:


                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              10. El valor numérico del polinomio aritmético          a.  89 kg
                 (22) 3 (7 2 10) 2(23) , es:
                                     3
                              2
                                                                      b. 89,11 kg
                 a.  6
                                                                      c.  88 kg
                 b. 8
                                                                      d. 90,89 kg
                 c.  7
                                                                  15. El tanque de gasolina de un automóvil puede llenarse
                 d. 9                                                 con 12 galones de gasolina. La capacidad del tanque,
                                                                      en litros, es:
              11. La suma de los ángulos internos de un octágono
                 regular corresponde a:                               a.  60 litros


                 a.  480 °                                            b. 45 litros

                 b. 1040 °                                            c.  48,36 litros

                 c.  1080 °                                           d. 45,42 litros


                 d. 960 °                                         16. A 24 estudiantes de un salón de clase se les preguntó
                                                                      cuántas horas dedican al uso del celular. Sus
              12. Si el volumen de un cubo es de 216 m , se puede     respuestas fueron: 2, 3, 2, 2, 2, 3, 3 ,4, 5, 3, 3, 5, 2, 3, 4, 3,
                                                     3
                 concluir que la arista del cubo mide:                2, 3, 2, 3, 3 ,4, 5 y 3. La moda de esta lista de datos es:

                 a.  4 m                                              a.  2


                 b. 3 m                                               b. 4

                 c.  8 m                                              c.  3


                 d. 6 m                                               d. 5






         208]]></page><page Index="208"><![CDATA[Pruebas tipo Saber








              17.  Los datos que se dan a continuación, corresponden a   20.  A un grupo de alumnos de grado sexto se les
                 los pesos en kg de 20 personas: 66, 68, 57, 70, 66, 52,   encuestó sobre qué preferían de refrigerio, de entre
                 75, 65, 69, 71, 58, 66, 67, 74, 61, 66, 70, 67, 78, 75. La   una lista de 4 opciones. Los resultados se muestran
                 media aritmética o promedio del peso de este grupo   en la siguiente gráfica:
                 de personas es:
                                                                                    No. de estudiantes
                 a.  67,05                                        30
                                                                  25
                 b.  65,5
                                                                  20

                 c.  66,05                                        15
                                                                  10
                 d.  70,5
                                                                  5
                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta
              18.  En un curso de 28 hombres y 20 mujeres, ¿cuál es la   0
                 probabilidad de que, al escoger una persona, esta NO    Jugo      Pancake     Helado    Sándwich
                 sea hombre?
                                                                                    No. de                  No. de
                                                                         Refrigerio  estudiantes  Refrigerio  estudiantes
                 a.   28                                                 Jugo        10          Jugo        15
                      48
                                                                     A   Pancake     15       B  Pancake     10
                                                                         Helado      20          Helado      20
                 b.   5                                                  Sándwich    25          Sándwich    25
                      12       MUESTRA EDITORIAL
                                                                                    No. de        Refrigerio  No. de
                                                                         Refrigerio
                 c.   8                                                           estudiantes             estudiantes
                      48                                                 Jugo        10          Jugo        10
                                                                     C   Pancake     15      D   Pancake     20
                 d.   5                                                  Helado      25          Helado      15
                      48                                                 Sándwich    20          Sándwich    25

              19.  En una bolsa se tienen las balotas que se muestran en
                 la imagen. La probabilidad del evento No sacar una   ¿Cuál de la tablas anteriores representa los datos de la
                 balota roja es:                                      gráfica?


                 a.   5                                               a.  B
                      12
                                                                      b.  C
                 b.   7
                      12
                                                                      c.  D
                 c.   1
                      2                                               d.  A

                 d.   1
                      4













                                                                                                                     209]]></page><page Index="209"><![CDATA[MUESTRA EDITORIAL



























                 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta











                                                Este libro fue compuesto en caracteres
                                                Myriad Pro Light a 11 puntos, impreso
                                                 en Bogotá, Colombia, en el año 2024.]]></page><page Index="210"/></pages></Search>
